Enunciados

ESTADÍSTICA APLICADA
Primer Curso del Grado en Bioquı́mica (2015-2016)
Tema 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Observación: En este tema se debe intentar resolver todos los ejercicios posibles tanto “a
mano” (ayudándose de calculadora) como con con el programa R.
5.1 Una compañı́a farmacéutica afirma que cierto medicamento elimina el dolor de cabeza en
un cuarto de hora en el 90 % de los casos. Tomada una muestra de 200 pacientes a los
que se les administró el medicamento, se observó la desaparición del dolor en 170 de ellos.
Contrastar la hipótesis de la compañı́a.
5.2 Los contaminantes provenientes de aguas residuales y vertidos industriales pueden reducir
la concentración de oxı́geno disuelto en el agua y tener efectos adversos en las especies
acuáticas. Se obtienen medidas de la concentración (en ppm) de O2 en diversas localizaciones de un rı́o:
4.9 5.1 5.6 4.3 4.7 4.9 4.5 5.1
Supongamos que la concentración de O2 en el agua sigue una distribución normal de
media µ y desviación tı́pica σ.
a) Calcular un intervalo de confianza al 95 % para µ.
b) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para σ 2 .
c) Algunos cientı́ficos piensan que 5.0 ppm es una concentración de O2 disuelto en la que
apenas pueden vivir los peces. En base a la muestra observada, al nivel de significación
0.05, determinar si hay suficiente evidencia de que la concentración media de oxı́geno
disuelto es menor que 5.0 ppm.
5.3 El siguiente conjunto de datos procede del National Quality Control Scheme, Queen Elizabeth Hospital, Birmingham1 Son los resultados de la cantidad de sodio (en ppm) presente
en 20 muestras procedentes de análisis séricos:
140
138
143
144
141
144
137
139
132
133
157
159
143
141
149
124
118
145
145
139
a) Construye un intervalo de confianza para la cantidad esperada de sodio en una muestra
de sangre.
b) ¿Hay evidencia de que el nivel medio de sodio en sangre es diferente de 140 ppm?
5.4 En un estudio farmacológico, unos investigadores midieron la concentración quı́mica de
dopamina en el cerebro de seis ratas expuestas a tolueno y seis ratas de control. Las
concentraciones en la región del estriado del cerebro fueron las siguientes:
1
Fuente de los datos: Andrews, D.F. and Herzberg, A.M. (1985). Data. A Collection of Problems from Many
Fields for the Student and Research Worker. Springer.
1
Dopamina
Tolueno
3.420
2.314
1.911
2.464
2.781
2.803
(ng/gm)
Control
1.820
1.843
1.697
1.803
1.739
1.990
Suponer que la distribución de probabilidad de la concentración de dopamina es normal
en cada uno de los dos grupos.
a) A nivel α = 0.1, contrastar si las varianzas del grupo de control y el grupo expuesto
a tolueno se pueden considerar iguales.
b) A nivel α = 0.05, ¿hay suficiente evidencia estadı́stica para afirmar que la concentración media de dopamina es superior en el estriado del grupo expuesto a tolueno que
en el grupo de control?
5.5 Bell y Foster (1994), en The Evolutionary Biology of the Threespine Stickleback, estudiaron
el efecto de los depredadores sobre la evolución de la longitud de la espina dorsal en los
espinosos (Gasterosteus aculeatus; ver figura).
Se piensa que las espinas dorsales actúan como un mecanismo antidepredador. Para comprobar si su teorı́a era cierta, los investigadores muestrearon ocho espinosos de cada uno
de los siguientes lagos: Benka Lake (sin depredadores), Garden Bay Lake (algunos depredadores) y Big Lake (muchos depredadores). Reproducimos sus observaciones de la
longitud (en mm) de la espina:
Benka Lake
4.2
4.1
4.2
4.3
4.5
4.4
4.5
4.3
Garden Bay Lake
4.4
4.6
4.5
4.2
4.4
4.2
4.5
4.7
Big Lake
4.9
4.6
4.3
4.9
4.7
4.4
4.5
4.4
Estamos interesados en saber si la longitud media de la espina difiere entre estas tres
poblaciones.
a) Para analizar los datos con R los investigadores escriben:
Datos = read.table("EspinosoLagos.txt",header=TRUE)
A = aov(Longitud ~ Lago,data = as.data.frame(Datos))
¿Cómo tiene que escribirse el fichero de datos EspinosoLagos.txt?
2
b) A continuación los investigadores escriben:
summary(A)
obteniendo la siguiente tabla de la cual se han borrado algunos resultados
Df
Lago
Residuals
--Signif. codes: 0
Sum Sq
0.3033
0.7363
Mean Sq
F value
Pr(>F)
0.0267 *
*** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1
1
Completa la tabla ANOVA. A nivel α = 0.05, ¿qué concluimos acerca de la influencia
de los depredadores sobre la longitud de la espina?. Si cambiamos el nivel a α = 0.01,
¿cambiarı́a la respuesta?
5.6 Se realiza un cruzamiento prueba de un posible dihı́brido (un doble heterocigoto) de
Drosophila B/b;F/f con doble homocigoto recesivo b/b;f/f (B = cuerpo negro, b = cuerpo
marrón, F = quetas dobles, f = quetas sencillas). Los resultados son los siguientes:
Cuerpo
Cuerpo
Cuerpo
Cuerpo
negro, quetas dobles
negro, quetas sencillas
marrón, quetas dobles
marrón, quetas sencillas
230
210
240
250
Utilizar un contraste χ2 para determinar si estos resultados se ajustan a los esperados
para un cruzamiento prueba de este hipotético dihı́brido.
Observación: Este tipo de experimento que cruza un dihı́brido con un doble homocigoto
recesivo y luego aplica un test χ2 de bondad de ajuste se utiliza para comprobar si dos
genes se segregan independientemente.
5.7 Un veterinario midió la densidad de células nerviosas en lugares especı́ficos del intestino
de nueve caballos. Los resultados del lugar I (región media del yeyuno) y del lugar II
(región mesentérica del yeyuno) se muestran en la tabla siguiente:
Animal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Lugar I
50.6
39.2
35.2
17.0
11.2
14.2
24.2
37.4
35.2
Lugar II
38.0
18.6
23.2
19.0
6.6
16.4
14.4
37.6
24.4
¿Hay suficiente evidencia muestral de que en toda la población de caballos la densidad de
células nerviosas del lugar I es superior a la del lugar II?.
5.8 La tabla siguiente muestra los efectos de un placebo y de la hidroclorotiacida sobre la
presión sistólica de 12 pacientes, a la mitad de los cuales se les administró el placebo. A
los otros seis se les dio la medicación.
3
Placebo
H-cloro
211
181
210
172
210
196
203
191
196
167
190
161
Supongamos que la presión sistólica es una v.a. con distribución normal.
a) Dar la estimación de máxima verosimilitud de la presión sanguı́nea sistólica media con
ambos tratamientos.
b) ¿Puede aceptarse que las varianzas, con placebo y con hidroclorotiacida, son iguales?
c) Determinar si hay suficiente evidencia estadı́stica, a nivel α = 0,05, para afirmar que
el tratamiento con hidroclorotiacida reduce la presión sanguı́nea sistólica. Hacer el
estudio asumiendo igualdad de varianzas.
d) Decidir razonadamente si el p-valor del contraste anterior es superior o inferior a 0,05.
5.9 Se usan el método de la glucosa oxidasa y el de la hexoquinasa para analizar el nivel de
glucosa en diez muestras de sangre, obteniéndose los siguientes resultados (en mM):
Muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
glucosa oxidasa
1.1
2.0
3.2
3.7
5.1
8.6
10.4
15.2
18.7
25.3
hexoquinasa
0.9
2.1
2.9
3.5
4.8
8.7
10.6
14.9
18.7
25.0
Determina si hay diferencias entre el nivel medio de glucosa determinada con uno y otro
método. ¿Qué hipótesis se utilizan? ¿Depende la conclusión de que se utilicen los niveles
de significación α = 0.01, α = 0.05 y α = 0.1? ¿Qué se puede decir del p-valor del
contraste?
5.10 Sir Joseph Lister (1827-1912), profesor de cirugı́a en la Universidad de Glasgow, comprobó que una herida envuelta en vendas tratadas con fenol frecuentemente no se infectaba. Reproducimos los datos de Lister observados en fracturas abiertas y amputaciones:
Perı́odo
1864–1866
1867–1870
Fenol
No
Sı́
Resultados
De 34 pacientes operados, 19 se recuperaron y 15 murieron.
De 40 pacientes operados, 34 se recuperaron y 6 murieron.
¿Hay suficiente evidencia muestral a favor de la hipótesis de que el tratamiento con fenol
disminuye la proporción de muertes por infección?
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