´Algebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Otros

Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Otros
Problemas De Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
Problema 1.
Una compañia minera recibió un contrato para suministrar 70,000 toneladas de mineral de hierro de baja
calidad, 181,000 toneladas de mineral de hierro de calidad intermedia y 41,000 toneladas de mineral de
hierro de alta calidad. La mina A produce por cada dı́a de operación 8,000 toneladas de mineral de baja
calidad, 5,000 toneladas de mineral de calidad intermedia y 1,000 toneladas de mineral de alta calidad. La
mina B produce por cada dı́a de operación 3,000 toneladas de mineral de baja calidad, 12,000 toneladas
de mineral de calidad intermedia y 3,000 toneladas de mineral de alta calidad. La mina C produce por
cada dı́a de operación 1,000 toneladas de mineral de baja calidad, 10,000 toneladas de mineral de calidad
intermedia y 2,000 toneladas de mineral de alta calidad. Cuantos dı́as debe operar cada mina para que
la compañia minera cumpla con su contrato sin que sobre mineral de baja, intermedia o alta calidad?
Problema 2.
Para todos los posibles valores de t ∈ R encuentre los posibles conjuntos solución del siguiente sistema
de ecuaciones
t x1 + 1 x2 + 1 x3
1 x1 + t x2 + 1 x3
= 1
= 1
1 x1 + 1 x2 + t x3
= 1
Problema 3.
Para que valor de α el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución? Encuentre el conjunto solución
para cuando α tiene el valor dado por la respuesta anterior
1 x1 − 3 x2 − 1 x3 − 10 x4
=
α
1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 0 x4
2 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 4 x4
=
=
5
7
1 x1 + 1 x2 + 0 x3 + 1 x4
=
4
1
Solución del Problema 1
Denomine por xA , xB y xC el número de dı́as que operan las minas A, B y C, entonces la compañia
minera cumplirá con su contrato cuando
8, 000 xA + 3, 000 xB + 1, 000 xC
5, 000 xA + 12, 000 xB + 10, 000 xC
=
=
70, 000
181, 000
1, 000 xA + 3, 000 xB + 2, 000 xC
=
41, 000
El sistema puede reducirse a la siguiente forma
Rearreglando el sistema, su
⎡
8
⎣ 5
1
8 xA + 3 xB + 1 xC
=
70
5 xA + 12 xB + 10 xC
1 xA + 3 xB + 2 xC
=
=
181
41
matrix aumentada está dada por
⎤
⎡
⎤
3 1 70
1 3 2 41
⎣ 8 3 1 70 ⎦
12 10 181 ⎦
o
3 2 41
5 12 10 181
Para la primera parte del proceso de escalonamiento, se suman −8 veces la primera ecuación a la
segunda ecuación, y se suman −5 veces la primera ecuación a la tercera ecuación. El resultado de esta
parte se muestra antes y después de un intercambio de filas.
⎤
⎤
⎡
⎡
1 3 2 41
1 3 2 41
⎣ 0 7 5 86 ⎦
⎣ 0 1 0 8 ⎦
o
0 1 0 8
0 7 5 86
Para la etapa final del proceso de escalonamiento, se suman −7 veces la segunda ecuación a la tercera
ecuación, de manera que el resultado está dado por
⎡
1 3
⎣ 0 1
0 0
⎤
2 41
0 8 ⎦
5 30
La solución del sistema está dada por
xA = 6,
xB = 8. xC = 5.
Solución del Problema 2
La matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales está dada por
⎡
t
⎣ 1
1
1 1
t 1
1 t
2
⎤
1
1 ⎦
1
Después de la primera etapa de escalonamiento, bajo el supuesto que t = 0,–explique porque esta
restricción es necesaria– la matriz augmentada está dada por
⎡
t
1
⎣ 0 t2 − 1
0 t−1
⎤
1
t−1 ⎦
t−1
1
t−1
t2 − 1
Después de la etapa final de escalonamiento, bajo el supuesto adicional que t = −1,–explique porque
esta restricción es necesaria– la matriz augmentada está dada por
⎡
t
1
1
⎢
⎢ 0 t2 − 1
⎣
0
0
⎤
1
⎥
t−1 ⎥
⎦
t2 − t
t−1
t3 − 2 t + t2
Los posibles resultados dependen del valor del elemento localizado en la tercera fila y la tercera columna
de la matriz aumentada. De manera mas especı́ca, si este elemento es o no igual a 0. Resolviendo la
ecuación
t3 − 2 t + t2 = 0,
se tiene que otros valores de t que deben analizarse separadamente son t = 0, que ya está considerado,
t = 1 y t = −2. Entonces, si t ∈
/ {−2, −1, 0, 1} el sistema tiene solución única y dada por
x1 =
1
t+2
x2 =
1
t+2
x3 =
1
t+2
Análisis de los casos particulares.
1. Si t = −2, la matriz original está dada por
⎡
−2
1
1
−2
1
1
−2
1
1
1
−1
1
1
−1
1
1
−1
⎢
At=−2 = ⎢
⎣ 1
1
y su forma escalonada está dada por
⎡
−2
⎢
⎢ 0
⎣
0
1
⎤
⎥
1 ⎥
⎦
1
⎤
⎥
−3/2 3/2 3/2 ⎥
⎦
0
0
3
De manera que el sistema no tiene solución.
2. Si t = −1, la matriz original está dada por
⎡
⎢
At=−1 = ⎢
⎣ 1
1
y su forma escalonada está dada por
⎡
−1 1 1
⎢
⎢ 0
⎣
0
2 0
0 2
3
1
⎤
⎥
2 ⎥
⎦
2
1
⎤
⎥
1 ⎥
⎦
1
El sistema tiene solución única dada por
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1
3. Si t = 0, la matriz original está dada por
⎡
0
1 1
⎢
At=0 = ⎢
⎣ 1
1
⎥
1 ⎥
⎦
1
0 1
1
⎤
1 0
y su forma escalonada está dada por
⎡
1 0
⎢
⎢ 0 1
⎣
0 0
1
⎤
1
⎥
1 ⎥
⎦
−2 −1
1
El sistema tiene solución única dada por
x1 =
1
2
x2 =
1
2
x3 =
1
2
4. Si t = 2, la matriz original está dada por
⎡
1
⎢
At=1 = ⎢
⎣ 1
1
1 1
1
⎤
⎥
1 ⎥
⎦
1
1 1
1 1
y su forma escalonada está dada por
⎡
1
1 1
⎢
⎢ 0
⎣
0
0 0
0 0
1
⎤
⎥
0 ⎥
⎦
0
El sistema tiene solución múltiples dadas por
CS = {(x1 = 1 − x2 − x3 , x2 , x3 ) | x2 , x3 ∈ R}
4