RELATIVIDAD ESPECIAL

FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA RELATIVIDAD ESPECIAL Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad desde un punto de vista Matemático” José L. Flores Universidad de Málaga Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA 1 FÍSICA CLÁSICA 2 POSTULADOS DE EINSTEIN 3 TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 4 MODELO MATEMÁTICO 5 CINEMÁTICA RELATIVISTA 6 DINÁMICA RELATIVISTA Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley 1. FÍSICA CLÁSICA Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley SISTEMAS INERCIALES: Sistema de Referencia: Conjunto de coordenadas que permite determinar unı́vocamente la ubicación espacial y temporal de cualquier suceso. Sistema inercial: Sistema de referencia que está en reposo o movimiento rectilı́neo uniforme respecto de un objeto material sobre el cual no actúa fuerza alguna, cualquiera sea su posición. Principio Relatividad Galileo: En los sistemas inerciales los fenómenos mecánicos responden a las mismas leyes, lo que hace imposible distinguir en mecánica cual de ellos está en reposo y cual en movimiento. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley TRANSFORMACIONES DE GALILEO: x0 = x − v · t y0 = y z0 = z t 0 = t. Establecen la relación entre las coordenadas espaciales y temporales de dos sistemas de referencia inerciales. Se deducen de suponer el carácter absoluto del espacio y del tiempo. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley LEYES DE NEWTON: Primera Ley: “Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilı́neo a no ser que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado” Segunda Ley: ”El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la lı́nea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” Tercera Ley: ”Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos” Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley ECUACIONES DE MAXWELL: ~ = ρ/0 ∇·E ~ =0 ∇·B ~ = −∂ B/∂t ~ ∇×E ~ = µ0 0 ∂ E ~ /∂t + µ0 jc . ∇×B Conjunto de ecuaciones que, junto con la fuerza de Lorentz, describen por completo los fenómenos eléctricos y magnéticos. Conllevan la noción de campo electromagnético y la predicción de las ondas electromagnéticas ¡¡Ecuaciones no invariantes frente a las transformaciones Galileo!! Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley EL ÉTER: Introducido como medio fı́sico por el que se debı́an propagar las ondas electromagnéticas y como sustento del concepto de campo. Sugerı́a la existencia de un sistema de referencia muy especial: aquél en el que el éter estarı́a en reposo y en el que las ecs. de Maxwell admitı́an su expresión conocida, de hecho la más simple posible. Este espacio no podı́a ser otro que el espacio absoluto. La existencia del éter se consideraba ampliamente aceptada a finales del s. XIX, pero debı́a poseer unas propiedades fı́sicas muy peculiares que lo hacı́an muy difı́cil de detectar. Michelson y Morley diseñaron un experimento para probar su existencia midiendo el movimento de la tierra a través de él. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley EXPERIMENTO MICHELSON-MORLEY: Realizado en Cleveland en 1887, se considera uno de los experimentos más importantes de la Fı́sica. Pretendı́a probar el movimiento de la tierra a través del éter midiendo la velocidad de la luz en dos direcciones perpendiculares entre sı́ y con diferente velocidad relativa al éter. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley Michelson y Morley construyeron un interferómetro compuesto de un semiespejo, que dividı́a la luz en dos haces de luz que viajaban en direcciones perpendiculares y luego se recogı́an en un punto común. Al seguir trayectorias distintas, estos haces de luz debı́an viajar a diferente velocidad, por lo que debı́an crear un patrón de interferencia al ser detectados al final de su trayecto. El experimento no detectó ninguna interferencia, y, por tanto, ninguna variación en la velocidad de la luz. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El éter Experimento Michelson-Morley EXPLICACIONES A LOS RESULTADOS: La Tierra arrastra consigo al éter en su movimiento, Los cuerpos se contraen en la dirección de su movimiento, cancelando ası́ el efecto debido a la diferencia de velocidades de los haces, La velocidad de la luz es constante con respecto a la fuente que la emite, .. . Relatividad Especial (A. Einstein, 1905). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA 1. POSTULADOS DE EINSTEIN Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL: Las leyes de la Fı́sica coinciden en cada sistema de referencia inercial. En particular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo que destierra la noción de sistema de referencia absoluto, e incorpora implı́citamente el Principio de inercia. La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente. Por tanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser un Principio universal, resultando clave para establecer las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz 2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz DEDUCCIÓN DE LAS TRANFORMACIONES DE LORENTZ: y y’ (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P v → O O0 x x’ Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R 0 tales que R 0 se mueve en la dirección x con velocidad v respecto de R. (Suponemos t = t 0 = 0 cuando O, O 0 coinciden.) Consideremos el suceso P con coordenadas (x, y , z, t) en el sitema R. Pretendemos hallar las coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) de P en R 0 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz Resulta razonable suponer que las coordenadas en las direcciones perpendiculares al movimiento permanecen invariantes: y0 = y, z 0 = z. También podemos suponer que (x, t), (x 0 , t 0 ) se relacionan mediante: x 0 = Ax + Bt, t 0 = Cx + Dt. Si denotamos por x, t las coordenadas de O 0 en R entonces: x 0 = Ax + Bt = 0, x/t = v =⇒ B = −vA. Sustituyendo (1) en la ecuación x 0 = Ax + Bt se tiene: x 0 = A(x − v · t). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL (1) FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz y y’ (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P ← −v O O0 x x’ Invirtiendo las ecs. x 0 = Ax + Bt, t 0 = Cx + Dt se tiene: x= Dx 0 + vAt 0 AD − BC t= At 0 − Cx 0 . AD − BC (2) Repitiendo el argumento anterior, pero tomando el punto O que se mueve con velocidad −v respecto del sistema R 0 , obtenemos: A = D. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz Sustituyendo esto en las transformaciones anteriores, y usando la notación convencional A = γ, C /A = K , queda: x= t 0 − Kx 0 x 0 + vt 0 , t= ; x 0 = γ(x − vt), t 0 = γ(t + Kx), γ(1 + vK ) γ(1 + vK ) donde γ y K no dependen de x, t, pero γ = γ(|v |), K = K (v ). Si R 0 se mueve con velocidad v respecto de R, entonces R se mueve con velocidad −v respecto de R 0 . Luego: x = γ(x 0 + vt 0 ), t = γ(t 0 + K 0 x 0 ) donde K 0 = K (−v ). Comparando estas ecuaciones con las anteriores para x, t: γ2 = 1 , 1 + vK Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” K = −K 0 RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz De la segunda de estas dos ecuaciones se tiene K = −v /V 2 , donde V 2 depende de |v |. En consecuencia 1 γ=p . 1 − (v /V )2 Las leyes de transformación quedan entonces: x − vt x0 = p 1 − (v /V )2 Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” t − (v /V 2 )x t0 = p . 1 − (v /V )2 RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA y Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz (x”,y”,z”,t”) (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P y” y’ v → v → x x” x’ Para determinar la dependencia de V en v , supongamos otro sistema R 00 que se mueve con velocidad relativa v respecto de R 0 . Entonces: x0 − v t0 x =q 1 − (v /V )2 00 2 t 0 − (v /V )x 0 t =q . 1 − (v /V )2 00 La transformación entre R y R 00 debe tener la misma forma que la composición de las transformaciones entre R y R 0 , y R 0 y R 00 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz 2 Luego V 2 = V es una constante universal independiente de la velocidad relativa de los sistemas de referencia. En resumen, la transformación queda: x − vt x0 = p , 1 − (v /V )2 t − (v /V 2 )x t0 = p 1 − (v /V )2 con V ≡ cte. Esencialmente existen dos posibilidades: V = ∞ ó V < ∞. En el primer caso obtendrı́amos las transformaciones de Galileo. x 0 = x − vt, t 0 = t. El segundo postulado de Einstein permite determinar V , mostrando que tiene un valor finito y calculable experimentalmente. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz P O = O0 O P O0 Supongamos que en el instante t = t 0 = 0 un flash de luz es emitido desde el origen O. El flash de luz es descrito desde “ambos” sistemas R, R 0 como una esfera centrada en O, O 0 cuyo radio se incrementa a velocidad c. Supongamos que en el sistema R, la esfera de luz pasa por un punto P de coordenadas espaciales (x, y , z) en el instante t. Entonces: x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 = 0. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz Este suceso tendrá coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) en el sistema R 0 , que deberán satisfacer: 2 2 2 2 x 0 + y 0 + z 0 − c 2 t 0 = 0. Sustituyendo en esta última expresión las expresiones para x 0 , y 0 , z 0 , t 0 dadas por las transformaciones obtenidas anteriormente obtenemos: (1 − (cv /V 2 )2 )x 2 + (1 − (v /V )2 )y 2 + (1 − (v /V )2 )z 2 −(1 − (v /c)2 )(ct)2 − 2v (1 − (c/V )2 )xt = 0 A partir de aquı́, cálculos elementales permiten concluir: V = c, y, por tanto, Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” γ = (1 − (v /c)2 )−1/2 . RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Deducción de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: y (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P v → O x 0 = γ(x − vt) y0 = y z0 = z t 0 = γ(t − (v /c)2 x) con γ = (1 − (v /c)2 )−1/2 y’ O0 x x’ Observaciones: Obtenidas en primer lugar por Lorentz. Einstein las dotó de contenido fı́sico. Minkowski las dotó de contenido geométrico al interpretarlas como isometrı́as de espacio 4-dimensional con métrica no eunclı́dea. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático 3. MODELO MATEMÁTICO Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO ESCALAR Denotaremos por V = V (R) a un espacio vectorial real de dimensión n. Tipos de Formas Bilineales Sea b : V × V → R una forma bilineal simétrica. Diremos que b es: definida positiva (resp. negativa) si b(v , v ) > 0 (resp. b(v , v ) < 0) ∀v ∈ V \ {0}. semidefinida positiva (resp. semidefinida negativa) si b(v , v ) ≥ 0 (resp. b(v , v ) ≤ 0) ∀v ∈ V . indefinida si no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa. no degenerada si el radical N = {v ∈ V : b(v , w ) = 0 ∀w ∈ V } sólo está formado por el vector 0 (en caso contrario, se dice degenerada). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Teorema de Sylvester Dada una forma bilineal simétrica b en V existe una base B = {ei }ni=1 tal que la matriz (b(ei , ej ))i,j de b en dicha base es:  MB (b) =   0µ −Iν  In−(µ+ν) “µ (nulidad) y ν (ı́ndice) son independientes de B” Observaciones El subespacio generado por {ei }µi=1 coincide con el radical de b. Dados (V , b), (V 0 , b 0 ), existe un isomorfismo f : V → V 0 que preserva b y b 0 si y sólo si n = n0 , µ = µ0 , ν = ν 0 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Demostración (Teorema de Sylvester). Para la existencia de bases ortonormales: Considérese la matriz (simétrica) de b en una base B1 arbitraria. Diagonalizando por congruencia, considérese B2 nueva base con matriz asociada MB2 (b) diagonal. p Dividiendo cada v ∈ B2 por |b(v , v )| (si 6= 0) se obtiene la base B requerida. Para la unicidad del ı́ndice y la nulidad: La nulidad µ se corresponde con la dimensión del radical de b, luego es independiente de B. El ı́ndice ν también es independiente de B, puesto que en caso contrario existirı́a u ∈ V con b(u, u) mayor y menor que 0. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Carácter Causal (de un vector) Dada una forma bilineal simétrica b en V , sea qb (v ) = b(v , v ) su forma cuadrática asociada. Diremos que v ∈ V es: temporal si qb (v ) < 0. espacial si qb (v ) > 0 ó v = 0. luminoso si qb (v ) = 0 y v 6= 0. causal si v es temporal o lumin. Producto Escalar Un producto escalar g sobre V es una forma bilineal simétrica no degerada. Diremos que g es: euclı́deo si ν = 0. lorentziano si ν = 1 y n ≥ 2. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Ortogonalidad Sea (V , g ) un espacio vectorial con un producto escalar g . Sean v , w ∈ V , se dice que v es ortogonal a w , y se denota v ⊥ w , si g (v , w ) = 0. Sean A, B ⊆ V , se dice que A ortogonal a B, y se denota A ⊥ B, si v ⊥ w ∀v ∈ A, ∀w ∈ B. Subespacio Ortogonal Sea W un subespacio vectorial de (V , g ). Se define el ortogonal de W como: W ⊥ = {v ∈ V : g (v , w ) = 0 ∀w ∈ W }. Diremos que W es no degenerado si W ∩ W ⊥ = {0} (⇔ g |W no degen.). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático ESPACIOS VECTORIALES LORENTZIANOS Espacio Vectorial Lorentziano Llamamos espacio vectorial lorentziano a un espacio vectorial V de dimensión n ≥ 2 dotado de un producto escalar lorentziano g . Conos y Orientación Temporal El conjunto de los vectores temporales (causales, luminosos si n > 2) tiene dos partes conexas. Cada una de estas partes se llama cono temporal (causal, luminoso). Una orientación temporal de un espacio vectorial lorentziano es una elección de uno de los conos temporales (⇔ causales o luminosos). Al cono elegido le llamaremos cono futuro, y al otro pasado. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Cono Futuro Proposición Dos vectores temporales v y w caen en el mismo cono temporal sii g (v , w ) < 0. v w Proposición Cada cono temporal es convexo (el segmento que une cada dos de sus puntos también está incluido en él). Cono Pasado Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Desigualdad Cauchy-Schwarz Invertida Si v , w son temporales entonces: (1) |g (v , w )| ≥ |v ||w |, además la igualdad se da sii v , w son colineales. (2) Si v , w están en el mismo cono, entonces existe único ϕ ≥ 0 tal que: g (v , w ) = −|v ||w | cosh(ϕ). Demostración. (1) Tenemos w = av + w , w ⊥ v ⇒ g (w , w ) = a2 g (v , v ) + g (w , w ) ⇒ g (v , w )2 = g (v , v )(g (w , w ) − g (w , w )) ≥ g (v , v )g (w , w ) = |v |2 |w |2 . (2) Si v , w se encuentran en el mismo cono entonces −g (v , w )/|v ||w | ≥ 1 ⇒ ∃! ϕ : cosh(ϕ) = −g (v , w )/|v ||w |. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Desigualdad Triangular Invertida Si v , w son temporales que están en el mismo cono entonces: |v | + |w | ≤ |v + w |, y la igualdad se da sii v , w son colineales. Demostración. Como v , w pertenecen al mismo cono, v + w temporal y g (v , w ) < 0: |v + w |2 = −g (v + w , v + w ) = |v |2 + |w |2 + 2|g (v , w )| ≥ |v |2 + |w |2 + 2|v ||w | = (|v | + |w |)2 . La igualdad se da sii |g (v , w )| = |v ||w |, es decir, sii v , w colineales. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Carácter Causal (de un subespacio) Un subespaco W de (V , g ) es: espacial si g |W es euclı́dea temporal si g |W es no degenerada con ν = 1 (Lorentz si dimW ≥ 2) luminoso si g |W es degenerada (W ∩ W ⊥ 6= ∅). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático GRUPO DE LORENTZ Consideramos ahora un espacio vectorial lorentziano muy particular: Espaciotiempo Lorentz-Minkowski Es el espacio vectorial lorentziano Ln = (Rn , h·, ·i1 ), donde h(a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn )i1 = −a1 b1 + n X ai b i . i=2 Sea B0 = (e1 , . . . , en ) es la base usual de Rn . Denotamos −1 0 η = MB0 (h·, ·i1 ) = 0 In−1 Orientación temporal ≡ cono causal futuro aquél al que pertenece e1 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Grupo de Lorentz Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como Iso(Ln ) = {f : Ln → Ln : f es una isometrı́a vectorial} Por otra parte, se define el grupo de Lorentz como O1 (n) = {A ∈ Mn (R) : At ηA = η} (det(A) = ±1). Observación Fijada la base usual B0 se tiene el siguiente isomorfismo de grupos: Φ(f ) = Af = M(f , B0 ) n Φ : Iso(L ) → O1 (n), Φ−1 (A) = fA Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Transformaciones Propias/Impropias Una transformación de Lorentz A es propia (resp. impropia) si det A = +1 (resp. det A = −1). O1+ = {A ∈ O1 (n) : det A = +1} (puras o boosts) O1− = {A ∈ O1 (n) : det A = −1} Transformaciones Ortocronas/No Ortocronas Una transformación de Lorentz A es ortocrona (resp. no ortocrona) si fA (C ↑ ) = C ↑ (resp. fA (C ↑ ) = C ↓ ). O1↑ = {A ∈ O1 (n) : fA (C ↑ ) = C ↑ } = {A ∈ O1 (n) : a11 ≥ 1}. O1↓ = {A ∈ O1 (n) : fA (C ↑ ) = C ↓ } = {A ∈ O1 (n) : a11 ≤ −1}. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático El grupo de Lorentz en dim= 2 Isometrı́as con determinante 1: cosh θ sinh θ +↑ O1 (2) = :θ∈R sinh θ cosh θ O1+↓ (2) = {−A : A ∈ O1+↑ (2)} Isometrı́as con determinante −1: cosh θ sinh θ −↑ O1 (2) = :θ∈R − sinh θ − cosh θ O1−↓ (2) = {−A : A ∈ O1−↑ (2)}. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático El grupo de Lorentz en dim> 2 Af ∈ O1 (n) admite un vector propio temporal: M(fA , B) ∈ {±1} × O(n − 1) para cierta B base ortn. (A ∈ O1+↑ ⇒ rotación espacial pura en hiperpl. ortg. al v. propio.) Af ∈ O1 (n) admite un vector propio luminoso con autovalor λ 6= ±1: M(fA , B) ∈ O1 (2) × O(n − 2) para cierta B base ortn. (Transformación Lorentz bidimensional en un plano temporal π compuesto con una isometrı́a euclı́dea en π ⊥ .) Af ∈ O1 (n) admite un único vector propio luminoso independiente de autovalores +1 ó −1. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Peculiaridad en dim= 4 Toda transformación de Lorentz puede escribirse como composición de una isometrı́a para un plano temporal π1 y una isometrı́a en un plano espacial π2 , no necesariamente ortogonal a π1 . En Relatividad, este resultado se suele enunciar ası́: Las transformaciones de Lorentz (propias, ortocronas) son composiciones de “boosts” y rotaciones. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático MODELO MATEMÁTICO El siguiente modelo matemático recoge todas las implicaciones derivadas de los postulados de Einstein: Espaciotiempo en Relatividad Especial Un espaciotiempo en Relatividad Especial es un espacio afı́n lorentziano (A, V , g ) de dimensión 4 orientado temporalmente, donde A es el conjunto de puntos o sucesos, V es el espacio vectorial director, g es la métrica de Lorentz con una orientación temporal prefijada. Observación: Es posible mostrar la unicidad del modelo, y llegar a él de modo deductivo. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Observador Instantáneo Un observador instantáneo es un par (P, e0 ) con P ∈ A y e0 ∈ V vector temporal unitario futuro. Llamamos trayectoria de un observador no acelerado a una recta afı́n {P + se0 : s ∈ R} generada por un observador instantáneo (P, e0 ). Sistema Referencia Inercial Un sistema de referencia inercial R es un par formado por un observador instantáneo (P, e0 ) y una base ortn. {e1 , e2 , e3 } de e0⊥ . Llamamos espacio en reposo del sistema de referencial inercial R en el instante t0 al hiperplano afı́n de A de ecuación t ≡ t0 en las coordenadas introducidas por R (como referencia ortonormal afı́n). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Trayectoria de R 0 medida por R La trayectoria que mide R del observador R 0 es la curva en e0⊥ < V : X1 X2 X3 t 7→ t e1 + e2 + e3 T T T donde e00 = Te0 + X1 e1 + X2 e2 + X3 e3 . Tri-velocidad La tri-velocidad que mide R de R 0 es la derivada: ~v = X2 X3 X1 e1 + e2 + e3 T T T Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” (e00 temporal ⇒ |~v | < 1). RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático TRANSFORMACIONES DE LORENTZ CLÁSICAS: R, R 0 sistemas referencia inerciales a velocidad no nula generan el plano temporal he0 , e00 iR . Supongamos que e1 , e10 se hallan en este plano, y e2 = e20 , e3 = e30 . Veamos la relación entre las coordenadas de R y R 0 , suponiendo que las bases inducidas por B y B 0 tienen la misma orientación: R → B = (e0 , e1 ), R 0 → B 0 = (e00 , e10 ) Puesto que M(Id, B ← B 0 ) ∈ O1+↑ (2), existe θ ∈ R tal que: cosh(θ) sinh(θ) 0 M(Id, B ← B ) = con v = tanh(θ) ∈ (−1, 1). sinh(θ) cosh(θ) Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matemático Luego 1 M(Id, B ← B ) = √ 1 − v2 0 1 v v 1 Si (t, x), (t 0 , x 0 ) son las coordenadas de R, R 0 , resp.: t= x= √ 1 (t 0 + vx 0 ) ≡ 1−v 2 √ 1 (vt 0 + x 0 ) ≡ 1−v 2 1 (t 0 + cv2 x 0 ) 1−v 2 /c 2 √ 1 2 2 (vt 0 + x 0 ) 1−v /c √ Estas son precisamente las transformaciones de Lorentz que habı́amos deducido previamente. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades 3. CINEMÁTICA RELATIVISTA Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades DILATACIÓN DEL TIEMPO Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades P R0 R L S R, R 0 sistemas de referencia inerciales, bajo los convenios anteriores, con velocidad relativa v . S recta descrita por el observador asociado a R 0 . P suceso a lo largo de la recta S. Observemos que P = (T , L) en R y P = (T 0 , 0) en R 0 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades De las transformaciones de Lorentz se tiene 0 1 T 1 v T √ = 2 L v 1 0 1−v y, por tanto, se deducen las relaciones T =√ 1 T 0, 1 − v2 L= √ 1 vT 0 1 − v2 La primera igualdad es la dilatación del tiempo anunciada: “El sistema de referencia R, que mide una coordenada temporal T , aprecia una dilatación del tiempo respecto a la coordenada temporal T 0 medida por R 0 ” Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades R0 R P L R, R 0 sistemas de referencia inerciales con velocidad relativa v . Para R hay una varilla rı́gida en reposo de longitud L, cuyos extremos tienen asignadas coordenadas (t, 0), (t, L) para cada instante t. Para R 0 la varilla se mueve a velocidad −v , y sus extremos tienen coordenadas (0, 0), P = (0, L0 ) en el instante t 0 = 0. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades Si P = (T , L) para R, entonces de las transformaciones de Lorentz: 1 T 1 v 0 =√ L v 1 L0 1 − v2 y, por tanto, se deducen las relaciones T =√ 1 vL0 , 1 − v2 L= √ 1 L0 1 − v2 La segunda igualdad es la contracción de la longitud anunciada: “El sistema R 0 observará una contracción de la longitud en la dirección del movimiento respecto a la longitud “en reposo” medida por R” Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades PARADOJA DE LOS GEMELOS Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades S e000 Q Primer Gemelo e00 e0 Segundo Gemelo P R, R 0 , R 00 sistemas de referencia inerciales con vectores temporales futuros e0 , e00 , e000 no colineales. P, Q, S puntos de corte de las rectas afines correspondientes. La desigualdad triangular invertida implica: |PS| > |PQ| + |QS| Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades El primer gemelo, que permanece en reposo en R, mide un intervalo de tiempo |PS| mayor que la suma de los tiempos |PQ| + |QS| medido por el segundo gemelo. Sin embargo, el segundo gemelo puede argumentar que en otro sistema de referencia es su hermano quien se va y vuelve, mientras que él permanece en reposo, por lo que el tiempo transcurrido debiera ser superior para él. ¿Cuál de los dos gemelos tienes razón? El primero, ya que el sistema de referencia alternativo propuesto por el segundo gemelo no es inercial. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades LEY DE ADICIÓN DE VELOCIDADES: Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades v12 → v23 → B1 R1 B3 B2 R2 v13 → R3 R1 , R2 , R3 sistemas referencia inerciales con velocidades relativas vij . De las transformaciones de Lorentz sabemos que: cosh(θij ) sinh(θij ) M(Id, Bi ← Bj ) = donde tanh(θij ) = vij . sinh(θij ) cosh(θij ) Además: M(Id, B1 ← B3 ) = M(Id, B1 ← B2 ) · M(Id, B2 ← B3 ). Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Dilatación del tiempo Contracción de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adición de las velocidades Sustituyendo las expresiones de las matrices se obtiene: cosh(θ13 ) sinh(θ13 ) cosh(θ12 + θ23 ) sinh(θ12 + θ23 ) = . sinh(θ13 ) cosh(θ13 ) sinh(θ12 + θ23 ) cosh(θ12 + θ23 ) Luego, θ13 = θ12 + θ23 , y, por tanto, v13 = tanh(θ13 ) = tanh(θ12 + θ23 ) tanh(θ12 )+tanh(θ23 ) = 1+tanh(θ = 12 )·tanh(θ23 ) En conclusión: Ley Adición Velocidades: v13 = Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” v12 +v23 1+v12 ·v23 . RELATIVIDAD ESPECIAL v12 +v23 1+v12 ·v23 FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a 3. DINÁMICA RELATIVISTA Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a CONSIDERACIONES PREVIAS: ¿Por qué reformular la dinámica? Las transformaciones de Lorentz son incompatibles con las siguientes propiedades clásicas: - la posibilidad de acelerar los cuerpos más allá de c. - la conservación del momento en todos los sistemas de referencia. ¿Cómo puede reformularse? Generalizando el concepto newtoniano de momento de manera que: - Se preserve en todos los sistemas de referencia. - Se asemeje al momento newtoniano a velocidades bajas. Observación importante: el carácter intrı́nseco que exigimos al momento relativista sugiere que éste deberı́a estar relacionado con un objeto de cuatro dimensiones. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R 0 con coordenadas de e00 para R: vy 1 vx vz √ ,√ ,√ ,√ . 1 − v2 1 − v2 1 − v2 1 − v2 Si interpretamos R 0 como una partı́cula de masa m, las tres últimas componentes de me00 deben estar relacionadas con el momento lineal clásico respecto a R. Por otra parte, el desarrollo de Taylor de la primera componente es 1 2 1 2 1 2 √ m = (1 + v + · · · )m ≡ mc + mv + · · · , 2 2 1 − v2 lo que sugiere su relación con la energı́a cinética clásica respecto a R. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Postulados 1. A toda partı́cula fı́sica se le asigna una masa en reposo m ≥ 0. 2. La partı́cula fı́sica es material si m > 0. En ausencia fuerzas su trayectoria se identifica a la de un observador no acelerado {p + se00 : s ∈ R} y se define su energı́a-momento como el vector temporal futuro p = me00 . 3. La partı́cula fı́sica es luminosa si m = 0. Su trayectoria se identifica con una recta afı́n del tipo {P + su : s ∈ R}, Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” con u luminoso, futuro. RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Partı́cula masiva Una partı́cula de masa m > 0 es una curva temporal ρ : I ⊂ R → A con la normalización g (ρ0 , ρ0 ) = −m2 (≡ −mc 2 ). Llamamos energı́a-momento de la partı́cula en el instante s ∈ I a la velocidad ρ0 (s). Si la trayectoria de la partı́cula es una recta afı́n se dirá que está no acelerada, y su energı́a-momento se considerara un vector constante de V . Rayo de luz Un rayo de luz es cualquier recta afı́nmente parametrizada ρ : I ⊂ R → A cuya energı́a-momento ρ0 es luminosa y futura. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Descomposición de V inducida por un sistema de referencia inercial: V = he0 iR ⊕ e0⊥ . La energı́a-momento en s0 ∈ I de una partı́cula ρ se escribe: ~ ρ0 (s0 ) = Ee0 + P ~ ∈ e ⊥. donde E = −g (e0 , γ 0 (s0 )) > 0, P 0 Energı́a, momento, tri-momento Si se tiene una partı́cula ρ y un sistema de referencia inercial R, llamamos: Energı́a de ρ medida por R a E . ~ Momento de ρ medido por R a P. ~ Tri-momento de ρ medido por R a ~p = mP/E ∈ e0⊥ . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Si ~v es la tri-velocidad que mide R se tiene: m E=q 1− mc 2 (≡ q ), v2 v2 1 − c2 c2 ~ = E~v , P ~p = m~v . Esto indica que incluso una partı́cula material en reposo v = 0 debe tener un mı́nimo de energı́a E = mc 2 Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a ¡MUCHAS GRACIAS! Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Momento Lineal Relativista El momento lineal relativista de a una partı́cula de masa en reposo m0 que se mueve a velocidad ~u respecto de un sistema de referencia S es: m0~u ~p = p = m~u , 1 − u 2 /c 2 donde m := √ m0 1−u 2 /c 2 es la masa inercial de la partı́cula. Observaciones: Ası́ definido ~p se preserva en todos los sistemas de referencia. La expresión de ~p se aproxima a la newtoniana a velocidades bajas: ~p ≈ m0~u Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” para u c. RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a Fuerza, Trabajo, Energı́a Cinética La fuerza, el trabajo y la energı́a cinética se definen qa partir del momento de manera análoga al caso clásico: ~ = d~p , F dt ~ · d~r , dW = F dT ~ · ~u . =F dt Integrando la expresión del trabajo se obtiene: m0 c 2 T =p − m0 c 2 . 2 2 1 − u /c Si suponemos u c, entonces: 1 T ≈ m0 c 2 (1 + u 2 /c 2 ) − m0 c 2 ≈ m0 c 2 . 2 Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a ENERGÍA RELATIVISTA TOTAL: Se define la energı́a relativista total de una partı́cula de masa m0 como: m0 c 2 E = T + m0 c 2 = p 1 − u 2 /c 2 De la conservación del momento se deduce: La energı́a relativista total de un sistema de partı́culas siempre se conserva en cualquier sistema de referencia, independientemente de que el número de partı́culas del sistema permanezca invariante. El momento lineal y la energı́a total relativista se relacionan mediante la expresión: E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4 . Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a EQUIVALENCIA ENTRE MASA Y ENERGÍA: Consideremos un cuerpo en reposo de masa m0 que se fractura en dos piezas de masas m01 , m02 y velocidades u1 , u2 , resp. Aplicando la conservación de energı́a se deduce que la suma de las masas de los trozos resultantes es menor que la masa del cuerpo original, siendo: T1 + T2 . ∆m = c2 Se deduce, por tanto, que parte de la masa del cuerpo original se ha transformado en energı́a cinética de los fragmentos resultantes. Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL FÍSICA CLÁSICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ MODELO MATEMÁTICO CINEMÁTICA RELATIVISTA DINÁMICA RELATIVISTA Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energı́a relativista total Equivalencia entre masa y energı́a ¡MUCHAS GRACIAS! Ciclo Conferencias: “Una introducción a la Relatividad...” RELATIVIDAD ESPECIAL

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