Física Movimiento en 2 dimensiones

Física
Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
FIS109A – 2: Física
2do semestre 2014
Ejemplo 1
Una piedra se deja caer de un acantilado de 100 metros de altura. Si
la velocidad inicial de la piedra es nula:
a)
b)
c)
Determinar el tiempo que demora la piedra en llegar al suelo.
Determinar la velocidad final de la piedra.
Determinar cuanta distancia recorre la piedra durante el último
segundo.
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Ejemplo 2
Una persona lanza una piedra hacia arriba desde el techo de un
edificio con una velocidad inicial de 20 m/s. Si el edificio tiene 50 m
de altura y la piedra no es agarrada por la persona cayendo hacia el
suelo calcule los siguientes datos de la piedra:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Tiempo necesario para alcanzar la altura máxima.
Altura máxima.
Tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde
donde fue arrojada.
La velocidad de la piedra en el instante de c).
Velocidad y posición de la piedra luego de 5 s.
Tiempo necesario para que la piedra llegue al suelo.
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Ejercicio Propuesto
Una persona se encuentra en el piso 8 de un edificio a 24 metros del
suelo y ve pasar por afuera de su ventana un objeto hacia arriba a
una velocidad de 50 metros por segundo.
a)
b)
c)
Determine la altura máxima a la que llega el objeto.
Determine el tiempo en que el objeto llega a su altura máxima.
Determine el tiempo en que el objeto llega de vuelta al suelo.
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Movimiento en 2 Dimensiones
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Definición de posición y velocidad en 2D
La posición de un objeto en 2-D.
y
∆𝑟
𝑟𝑖
𝑟𝑓
El vector
desplazamiento es
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = ∆𝑥 + ∆𝑦
El vector
velocidad es
∆𝑟
𝑣=
∆𝑡
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∆𝑥
𝑣𝑥 =
∆𝑡
Posición
𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖
𝑟𝑓 = 𝑥𝑓 + 𝑦𝑓
x
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
∆𝑦
𝑣𝑦 =
∆𝑡
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Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de
30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?
N
30°
𝑟1
𝑟2
Si ese desplazamiento fue
realizado en 4 horas ¿Cuál fue la
velocidad promedio?
∆𝑟
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Definición de velocidad instantánea en 2D
∆𝑟
𝑣 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
En la figura la velocidad instantánea
sería representada por la diferencia entre
a)
un vector muy cercano al vector P y
b)
el vector P,
dividido por el tiempo requerido para
hacer ese desplazamiento.
Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad
instantánea.
𝑣= 𝑣
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𝑣=
(𝑣𝑥,𝑓 − 𝑣𝑥,𝑖 )2 + (𝑣𝑦,𝑓 − 𝑣𝑦,𝑖 )2
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Definición de aceleración en 2D
∆𝑣 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎=
=
∆𝑡
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
∆𝑣
𝑎 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:
1.
La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡.
2.
La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su
magnitud (𝑣) permanece constante.
3.
La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.
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Velocidad en 2D con aceleración constante
La velocidad final 𝒗𝒇 de un cuerpo con velocidad
inicial 𝒗𝒊 y una aceleración constante 𝒂 será:
𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 + 𝒂 × 𝒕
𝒗𝒇 = 𝒗𝒙,𝒊 𝒊 + 𝒗𝒚,𝒊 𝒋 + 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 × 𝒕
𝒗𝒇 = 𝒗𝒙,𝒊 + 𝒂𝒙 × 𝒕 𝒊 + 𝒗𝒚,𝒊 + 𝒂𝒚 × 𝒕 𝒋
Eje x
𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
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Eje y
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
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Posición en 2D con aceleración constante
La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con posición
inicial 𝑟𝑖 , velocidad inicial 𝑣𝑖 y una aceleración
constante 𝑎 será:
1
𝑟𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
1
𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡 2
2
1
𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2 𝑗
2
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 × 𝑡 +
1
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
Eje x
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
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Eje y
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2
2
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Ecuaciones de Movimiento en 2D
Eje x
Eje y
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑣𝑥,𝑓 × 𝑡
2
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑣𝑦,𝑓 × 𝑡
2
𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2
2
𝑣𝑥,𝑓 2 = 𝑣𝑥,𝑖 2 + 2𝑎𝑥 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑣𝑦,𝑓 2 = 𝑣𝑦,𝑖 2 + 2𝑎𝑦 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
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Ejemplo: Mov. 2D con 𝒂 constante
Una partícula parte del origen en 𝑡 = 0 con una velocidad inicial que
tiene una componente 𝒙 de 20 m/s y una componente 𝒚 de -15 m/s.
La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de
aceleración 𝒙, dada por 𝒂𝒙 = 4,0 m/s2.
a)
Determine las componentes del vector velocidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡.
b)
Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s.
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Proyectiles
 Movimiento 2-D
 Aceleración vertical
𝑎𝑦 = −𝑔
 Aceleración horizontal
𝑎𝑥 = 0
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Componentes de 𝑣 en proyectiles
En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra
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𝒂 = −𝒈 𝒋
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Independencia de las componentes
Fotografía de múltiple exposición que muestra
la posición de dos esferas a intervalos iguales
de tiempo. Una se dejó caer desde una
posición de reposo y la otra se lanzó
horizontalmente.
Se ve que la altura (y por lo tanto el
desplazamiento vertical) de las esferas es la
misma.
El movimiento en la dirección vertical no se
entera de lo que pasa en la dirección
horizontal.
Los movimientos vertical y horizontal son
independientes.
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Componente horizontal no cambia
𝒗𝒙 y 𝒗𝒚 son independientes:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥 = 0).
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡
𝒗 = 𝒗𝒙 𝒊 + 𝒗𝒚 𝒋
Entonces, la magnitud de 𝑣
aumenta y su dirección cambia.
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Proyectiles: Ejemplo 1
2,0 m/s
1,5 m
∆x
Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde
da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo?
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Proyectiles: Ejemplo 2
Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una
distancia horizontal de 30 m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?
y
a
∆x=30 m
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x
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Proyectiles: Ejemplo 3
100 m/s
37°
Se dispara un proyectil desde la orilla de un
acantilado de 140 m de altura con una velocidad
de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal.
140 m
a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.
b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado
c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final.
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Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se
supone ∆y =0)
  45
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o
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Resumen
Se definieron los vectores posición 𝑟, desplazamiento ∆𝑟, velocidad 𝑣 y
aceleración 𝑎 en 2 dimensiones.
El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un
vector. La posición está definida como:
1
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
1
𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2 𝑗
2
En el movimiento de proyectiles:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥 = 0).
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𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡
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