2.4 Círculo y circunferencia Círculo. Imaginemos la siguiente

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2.4 Círculo y circunferencia
Círculo. Imaginemos la siguiente construcción en el plano. Tracemos un segmento OM de
longitud r > 0 cualquiera pero fija, giremos en cualquier sentido, una vuelta completa, a
dicho segmento alrededor del extremo fijo O. La región en el plano barrida por el segmento
OM se llama círculo.
M
r
O
El punto fijo O se llama centro del círculo. La longitud del segmento giratorio OM = r se
llama radio del círculo.
Circunferencia del círculo. En la realización de la misma construcción, el punto extremo
móvil M traza una trayectoria cerrada. Al conjunto puntos de esa trayectoria se llama
circunferencia del círculo. Al punto O se llama centro de la circunferencia y la longitud del
segmento giratorio OM = r se llama radio del circunferencia.
M
r
O
Dado que OM = r es contante los puntos de la circunferencia están a una misma distancia
de su centro.
De las construcciones y observaciones anteriores, tenemos las definiciones clásicas.
Circunferencia. Conjunto de puntos del plano equidistantes de un punto fijo, llamado
centro, esta distancia de denomina radio.
Circulo. Conjunto de puntos en plano que se encuentran contenidos en el interior y sobre
una circunferencia. El centro y radio de la circunferencia se llaman respectivamente,
centro y radio del círculo.
Como todo círculo tiene asociada una circunferencia y recíprocamente, algunas
definiciones de sus elementos son comunes a ambas.
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Diámetro. Al segmento que pasa por su centro y tenga como extremos dos puntos de la
circunferencia se llama diámetro (D) de esa circunferencia o de su círculo asociado. La
longitud del diámetro es igual a dos veces la longitud del radio.
U
M
r
r
N
r
Diámetros: MS, NT y RU
D = 2r
O r
T
r
r
S
R
2.4.1 Perímetro
Es número de unidades lineales que mide la circunferencia de un círculo (en una vuelta
completa) comúnmente se le llama también circunferencia o longitud de la circunferencia
del círculo.
Aceptando el caso extremo, si el radio es un segmento nulo la circunferencia se reduce a un
punto con perímetro cero.
Se demuestra que para cualquier circunferencia, si dividimos su perímetro P entre la
longitud de su diámetro D obtenemos un número irracional constante, este número se
simboliza con la letra griega π . Una aproximación comúnmente usada de π , es 3.1416.
Así:
P
= π ≅ 3.1416
D
De esta ecuación, P = π D y como D = 2r . Por tanto, para cualquier circunferencia,
P = 2π r
r≥0
ul
Más adelante, cuando estudiemos perímetros de polígonos regulares cuando el número de
lados crece sin límite, veremos cómo se puede intuir esta relación.
Es obvio que dicha relación sirve para calcular P sabiendo r , o a la inversa. Pero lo más
interesante es que ella nos informa la variación de P si hacemos que varíe r , en el plano o
el tiempo. En este sentido P es función de r ,
P = P ( r ) = 2π r , r ≥ 0
3
Es decir la longitud de la circunferencia o el perímetro varía proporcionalmente con la
longitud de su radio, la constante de proporcionalidad es 2π . Trace su gráfica.
2.4.2 Área
En el círculo, si variamos su radio r varía su área A , ¿Cuál es la relación funcional entre
A y r?
Imaginemos cortar (o dividir) el círculo de la manera que se muestra abajo, en la que todas
las “porciones de círculo cortados diametralmente” llamados sectores circulares sean
iguales entre sí. Tomemos cada uno de los sectores circulares y dispongámoslos de la
manera que se muestra en el lado derecho,
r
r
r
A cada una de las seis curvas se
llama arco circular
A cada una de las seis particiones del
círculo se llama sector circular
¿A qué es igual la suma de las longitudes de todos los arcos circulares?
Imaginemos repetir el mismo proceso anterior, pero recortando al círculo un número mayor
de sectores circulares,
r
r
r
Notamos que si el número de cortes se hace cada vez muy grande (se dice que n tiende a
infinito), la figura de la derecha se aproxima cada vez más y más a un rectángulo. Cuya
altura es r , y cuya base mide 2π r / 2 = π r unidades de longitud ¿por qué? Pero como el
área del círculo es siempre igual al área de la figura de la derecha. Entonces de todo esto
vemos que el área del círculo debe ser igual a r (π r ) = π r 2 .
Por tanto la relación entre el área A del círculo y su radio r es,
4
A = π r2, r ≥ 0
u2
Trace la gráfica de esta función.
2.4.2.1 Problemas resueltos
a) Perímetro y área
Determinemos el perímetro de un círculo, sabiendo que su área es de 7 plg².
Solución. Puesto que el perímetro está dada por P = 2π r . Entonces, para determinar el
perímetro del círculo necesitamos determinar su radio. Usemos el dato del problema para
ver si es posible obtenerlo de allí: Su área es de 7 plg.², pero como A = 7 = π r 2 . De aquí
podemos despejar el radio r = 7 / π . Sustituyendo en la fórmula del perímetro, queda
r = 2 7π plg. Por lo que su perímetro es de aproximadamente 9.4 plg.
Observación: En realidad hemos traducido el problema geométrico en el problema
algebraico de resolver un sistema de ecuaciones dos ecuaciones P = 2π r y 7 = π r 2 . La
traducción se hizo a través de las fórmulas de perímetro y área del círculo, donde las
literales representan magnitudes geométricas. En otros problemas el sistema de ecuaciones
pertinentes se construye a partir de propiedades geométricas que uno “ve” en el dibujo que
hace.
b) Triángulo equilátero inscrito en una circunferencia
El área de un círculo crece a partir de cero con una rapidez constante de 3 cm²/s. ¿Con qué
rapidez crece el área del triángulo equilátero de base horizontal inscrito en su
circunferencia?
Solución: Imaginemos.
Parece correcto afirmar que si el área del círculo crece con rapidez constante, entonces el
área del triángulo equilátero inscrito también debe crecer con rapidez constante. Y más
seguros estamos aún, de que la rapidez con que crece el área del círculo debe ser mayor que
la con que crece el área del triángulo en todo el tiempo. Estos hechos debemos de
comprobarlos y determinarlos.
El radio r y el área A del círculo; la base b (igual a los tres lados del triángulo equilátero),
la altura h y el área B del triángulo equilátero inscrito son magnitudes que crecen
5
continuamente en el tiempo t ≥ 0 que transcurre. Así la variable independiente es t , las
primeras dependen de esta última.
Por supuesto, hay otras magnitudes que también son variables pero ellas no son relevantes
para la solución del problema.
r
b
h
b
b
Puesto que nos piden determinar la rapidez con que crece el área del triángulo equilátero
inscrito, nuestra tarea será construir la expresión analítica del área del triángulo equilátero
en función del tiempo B = B (t ) , y a partir de esta expresión obtener dicha rapidez.
Construyamos B = B (t ) .
Partamos de la función general de dos variables del área del triángulo B = bh / 2 . ¿Es
posible ponerlo en términos de solamente la base b ? Puesto que el triángulo es equilátero,
su altura divide simétricamente en dos triángulos rectángulos al triángulo equilátero, así
tenemos.
b
b
h
b/2
b/2
Por Pitágoras,
h=
Por lo que al sustituir B = bh / 2 en queda,
3b
2
3b 2
4
Ahora debemos expresar b en función de t , y para lograrlo tenemos que relacionarlo con
el radio r , pues este depende de t . ¿De dónde vamos a obtener estas relaciones? De ciertos
dibujos apropiados que vamos a tener que hacer.
B = B (b) =
6
r
b
h
b
b/2
b/2
A partir de este dibujo, tratemos de construir una ecuación que relacione r , h y b . Para este
tipo de problemas, (como en otros problemas resueltos) la estrategia consiste en hacer
trazos (tirar segmentos y hacer varios dibujos o transformaciones a partir del dibujo
original), a fin de construir triángulos, generalmente rectángulos, u otras figuras comunes,
cuyas lados o elementos sean expresados en términos de las variables que uno está usando.
Para luego ver qué propiedad geométrica se puede aplicar en la figura resultante:
Teorema de Pitágoras, proporciones entre triángulos semejantes, otras, a veces es
necesario aplicar más de una propiedad. Todo ello con el fin de obtener un conjunto de
ecuaciones o relaciones que a uno le interesan y/o nos piden.
Lo que se va a ver en el dibujo depende de que tan bien dibujado esté. Un mal dibujo no
nos puede proveer de buena información o nos puede dar información falsa. Es
indispensable pues, aprender a realizar dibujos apropiados a mano alzada. Apropiados en el
sentido de que uno pueda ver que cumplen con las condiciones del problema, y además,
pueden servir para descubrir en ellos información un tanto oculta, pero importante, para la
solución del problema. Por ejemplo, para este problema en particular, debemos explicitar
en el dibujo, y estar plenamente consciente de ello, de que el centro del círculo debe
ubicarse sobre la altura del triángulo equilátero inscrito.
Implementemos la sugerencia. Realicemos algunos trazos,
b
h
r
r
b/2
(1)
r
b
b/2
(2)
(3)
Con el trazo (1) formamos un triángulo rectángulo en el que conocemos sus catetos
b / 2 y h , pero de él no logramos obtener ninguna ecuación que vincule h, b y r .
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Con el trazo (2) formamos un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden r y cuya base
es b , pero con él no logramos obtener ninguna ecuación que relacione h, b y r .
Con el trazo (3) formamos el triángulo rectángulo (pequeño), de hipotenusa r y base
horizontal b / 2 , pero de cateto vertical aún desconocido.
r
r
h
r
r
b/2
b/2
¿Podemos expresar este cateto en términos de r , h o b ? Viendo el dibujo nos damos cuenta
que este cateto es igual a h − r . Hemos llegado así al triángulo rectángulo,
r
h-r
b/2
¿Qué ecuación se puede construir a partir de él? Con el teorema de Pitágoras,
r 2 = (h − r ) 2 + b 2 / 4
Simplificando,
h 2 − 2hr + b 2 / 4 = 0
(I)
Esta ecuación relaciona r , h y b , y deseamos b en términos de r . Entonces tenemos que
construir una ecuación que tenga solamente b y r , y de allí despejar b en términos de r .
Para lograrlo debemos expresar h en términos de r o bien en términos de b .
Ahora, como h = 3b / 2 , al sustituir esta relación en (I), luego de simplificar y escribirla
como producto queda,
b (b − 3 r ) = 0
Por lo que, de aquí obtenemos b en términos de r ,
b = 3r
8
b = 0 , no la tomamos en cuenta ya que b está creciendo.
Sustituyendo b = 3 r , en B = 3 b 2 / 4 , y simplificando nos da,
B = 3 3 r2 / 4
(II)
Ahora debemos expresar r en términos de t y sustituirla en (II)
Puesto que el área A del círculo está creciendo en el tiempo t con una rapidez constante de
3 cm²/s a partir de cero. Entonces,
A = 3t cm 2
(III)
Recordemos que esta relación representa la ecuación de una línea recta, donde su pendiente
es la rapidez con que crece su área.
Por otro lado, el área A del círculo es función de su radio r . Entonces,
A = π r2
cm 2
(IV)
Puesto que ambas representan la misma área podemos igualarlas,
3t = π r 2
Despejando r tenemos,
r = 3t / π
Sustituyendo esta última expresión en (II) y simplificando, finalmente, tenemos que el área
del triángulo equilátero inscrito en función de t está dada por,
B = B (t ) =
9 3t
≅ 1.24t cm 2
4π
De esta relación lineal e interpretando el coeficiente de su término lineal como la rapidez
con que crece el área del triángulo equilátero inscrito, concluimos que bajo las condiciones
impuesta en el problema, dicha área crece con una rapidez constante de 1.24 cm²/s,
aproximadamente.
Notemos que, en efecto, la rapidez con que crece el área del triángulo es menor que la con
que crece el área del círculo.
¿Cuál es su área a los 10 s?, ¿Cuál es el área del círculo a los 10 s? Verifique si sus
respuestas satisfacen las condiciones físicas del problema.
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Observación. En la resolución de este problema hemos intentado mostrar algunas
estrategias específicas y generales en resolución de problemas geométricos típicos. No
memorice la propia resolución, trate de reflexionar sobre los de razonamientos que hemos
empleado y sobre el proceso en general.
Finalmente, con el fin de aclarar mejor la resolución, veamos un esquema/resumen del
trabajo algebraico realizado. Considerando las condiciones y lo que nos pide el problema.
Se quiere construir B en función de t , ya que a través de ella podemos responder al
requerimiento del problema. Llegamos a construir la función B = 1.24t .
Esquema/resumen del trabajo algebraico realizado
T riángulo
equilátero
Condiciones y
propiedades
utilizadas
T riángulo equilátero
inscrito en una
circunferenica
Igualdad de dos
expresiones que
representan el área del
cuadrado
0 =h 2 -2hr+b 2 /4
Ecuaciones
auxiliares de
sustitución
h = (⌦3)b/4
r = ⌦3t/π)
b = (⌦3)r
Funciones
construidas
B = hb/2
Función de
part ida
B= (⌦3)(b 2 /4)
B= 3(⌦3)(r2/4)
B= 9(⌦3)(t/4π) = 1.24t
Función final/objetivo
El proceso comprende, principalmente, construcción de ecuaciones algebraicas a partir de
dibujos sujetas a determinadas condiciones, y trabajo algebraico. Generalmente, cuando
uno inicia a resolver problemas como estos, no tiene claro su esquema, uno lo va
construyendo en el propio proceso. Se sugiere preguntarse durante el proceso, qué pienso
hacer, cómo se va hacer aquello que pienso hacer, para qué hacerlo, cómo voy en el
proceso, que quiero hacer, etc.
Problemas propuestos.
1. Determine el lado de un cuadrado que tiene la misma área que un círculo de radio 2.2 cm
¿Quién tiene mayor perímetro?
2. Determine las dimensiones de un rectángulo que tengan el mismo perímetro que un
círculo de área 5.6 cm² ¿Quién tiene mayor área?, ¿Se pueden construir otros rectángulos
con ese mismo perímetro?
10
3. Determine el radio del círculo que tiene la misma área que un cuadrado de lado 4.02
plgs. ¿Quién tiene mayor perímetro?
4. Considere un círculo un triángulo equilátero y un rectángulo, tales que: El círculo tiene
radio de igual longitud que el lado del triángulo equilátero. La suma de sus áreas es igual al
área que del rectángulo el cual tiene un lado de longitud 4 y el otro con longitud igual al
radio del círculo. Determine el radio del círculo.
5. Determine, la base y la altura de un triángulo, los lados de un rectángulo, y el radio de un
círculo que tengan la misma área que un cuadrado de lado 3. ¿Entre todos ellos quien tiene
el menor perímetro?
6. Determine las dimensiones de dos triángulos rectángulos, de un rectángulo, y de un
cuadrado que tenga el mismo perímetro que un círculo de radio 8. ¿Quién de todos ellos
tiene la mayor área?
7. Determine el peso de un aro circular de radio 1.2 m, si su pedo por unidad lineal es de
0.2 lb/m.
8. En la siguiente figura uv = 20 ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia?
v
u
9. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio R. Exprese el área de
la región fuera de dicho triángulo y dentro de la circunferencia en términos de R.
10. El radio de un círculo disminuye a razón constante de 1.3 cm/s, a partir de 12 cm. (a)
Exprese su área y su perímetro en función del tiempo, (b) ¿Con que rapidez decrece su
perímetro? y (c) ¿A los cuantos segundos el círculo desaparecerá?
11. El área de un círculo crece a partir de cero a razón constante de 2 cm²/s. ¿A qué razón
crece el área del triángulo isósceles inscrito si su altura es igual a su base?
12. El área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia crece a partir de cero con
una rapidez constante de 2 cm²/min. Determine con qué rapidez crece el área su círculo.
13. Considere todos los rectángulos de base horizontal inscritos en una circunferencia de
radio R (hay una infinidad). Haga varios dibujos o realice la Simulación Rectángulos
Inscritos. (a) ¿Sus áreas son diferentes?, ¿entre todos ellos hay uno que tiene la mayor
área?, ¿entre todos ellos hay uno de mayor perímetro? (b) ¿Cuáles son las magnitudes
variables?, ¿cuáles son sus límites de variación? (c) Considere a dichos rectángulos como si
11
se tratara de un rectángulo, inscrito en la circunferencia, cuya base se hace variar
continuamente. Si hace variar dicha base, ¿cómo varía su área?, ¿cómo varía su perímetro?
Haga sus gráficas cartesianas cualitativas, (d) Exprese el área de lo rectángulo en función
de la base, y (e) Exprese el perímetro del rectángulo en función de la base. ¿Cree que el
cuadrado es el que tiene mayor área? Compruébelo. ¿Cuál rectángulo tiene mayor
perímetro?
14. Se desea diseñar una ventana que deje pasar la mayor cantidad de luz. Las restricciones
de diseño son: Debe tener la forma de un semicírculo sobre puesto sobre un rectángulo, y
su borde perimetral debe ser de 18 pies. Haga dibujos o ejecute la Simulación ventana y
responda. (a) ¿Existen varias alternativas de construcción?, dibuje algunas. (b) ¿Cuáles son
las magnitudes qué cambian?, ¿cuáles son sus intervalos en qué cambian? (c) ¿Es cierto que
a mayor área la ventana deja pasar mayor luz? (d) Observe que todas estas ventanas, y por
tanto sus áreas correspondientes, se pueden generar, a partir de una ventana haciendo variar
la base o altura del rectángulo, manteniendo constante el borde perimetral de la ventana. (e)
Seleccione una magnitud variable y exprese el área de la ventana en función de la variable
seleccionada. (f) Usando la función construida determine las dimensiones de la ventana que
deja pasar mayor luz.
15. Considere tres puntos cualesquiera sobre un circunferencia de radio R. (a) Con ellos
forme un triángulo. Mantenga fijos dos ellos y considere como su base al segmento que los
une. ¿Dónde debe situarse el tercero para que el área del triángulo formado tenga la altura
mayor?, ¿para que tenga área máxima?, ¿Este triángulo debe ser isósceles? (b) El triángulo
de mayor área inscrito en una circunferencia debe ser isósceles. Ahora, entre todos los
isósceles inscritos ¿quién tiene la mayor área? Considere todos los triángulos isósceles de
base horizontal inscritos en una circunferencia de radio R. Haga dibujos y observe que si
hace variar la altura desde 0 hasta 2R las áreas también varían. (c) Haga la gráfica
cartesiana cualitativa del área en función de la altura A = A( h) . (d) Exprese el área de los
triángulos en función de la altura. Usando esta función y nociones de cálculo diferencial se
puede demostrar que el triángulo equilátero es triángulo de mayor área entre todos los que
se pueden inscribir en una circunferencia de radio R.
16. Suponga que tiene un alambre de 50 cm de longitud. (a) Si con él forma un cuadrado,
¿cuál es su perímetro?, ¿cuál es su área?, (b) Si con él forma una circunferencia, ¿cuál es su
perímetro?, ¿cuál es su área? (c) Si corta dicho alambre en dos pedazos, uno de 17.5 cm y
otro de 50 - 17.5 = 32.5 cm, con el primer pedazo forma un cuadrado y con el segundo
forma una circunferencia, ¿cuánto es la suma de sus perímetros?, ¿cuánto es la suma de sus
áreas? (d) Si corta un pedazo de longitud x , ¿cuál es la longitud del otro pedazo?, con el
primero forma un cuadrado y con el segundo forma una circunferencia, Si varía la longitud
x ¿varía la suma de sus perímetros?, ¿varía la suma de sus áreas? (e) Exprese cada una de
sus áreas en función de x . (f) Exprese la suma de sus áreas en función de x . (g) Esboce la
gráfica de esta última función ¿cuál es el intervalo de variación de x ?, ¿hay un valor de x
para el cual la suma de sus áreas es máxima?
14. Suponga que tiene varios alambres con 50 cm de longitud c/u. Cada alambre se corta en
tres pedazos de diferente longitud de manera aleatoria, es decir, los tres pedazos de un
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mismo alambre pueden ser diferentes entre sí, y los tres pedazos de un alambre pueden
también ser diferentes a los tres pedazos de cualquier otro alambre. Con los tres pedazos de
cada alambre se forman una circunferencia y dos triángulos equiláteros. (a) ¿Varían la
suma de sus perímetros?, ¿varían la suma de sus áreas? (b) Si un pedazo tiene longitud x y
otro de longitud y ¿cuál es la longitud del tercero?, ¿cuáles son intervalos de variación de
cada uno de ellos? (c) Exprese la suma de sus áreas en función de x e y. ¿Existe ciertos
valores de x e y para los cuáles la suma de sus área es máxima? Su resolución analítica se
estudia en cálculo de varias variables.
15. Usando regla y compás o el CABRI realice lo indicado. (a) Ubique en el punto tres
puntos no alineados. (b) use dichos puntos y construya un triángulo, (c) determine el punto
medio de cada uno de los lados del triángulo, trace las mediatrices y ubique su punto de
intersección (recuerde el punto de intersección se llama circuncentro), (d) trace una
circunferencia con centro el circuncentro del triángulo. Del proceso anterior, concluya: (I)
Tres puntos no alineados determinan una circunferencia. (II) El circuncentro del triángulo
es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
2.4.3 Áreas de regiones especiales
Estudiemos un conjunto particular de problemas en los cuales se pide calcular el área de
regiones formadas entre cuadrados, triángulos equiláteros, triángulos rectángulos isósceles,
circunferencias o semicircunferencias. Dichas áreas se pueden calcular planteando
igualdades entre áreas, sumando y/o restando áreas de regiones de figuras comunes, algunas
se pueden obtener casi de inmediato; sin embargo algunas requieren visualizar las
relaciones entre las áreas de figuras presentes, por ejemplo, observar traslapes de áreas,
observar la posibilidad de combinar, reacomodar y transformar ciertas regiones, con el fin
de poder plantear una igualdad entre áreas. Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo.
Calculemos el área de región pintada,
2a
2a
Vemos, un cuadrado de lado 2a , un círculo radio a y cuatro cuartos de círculo de radio a ,
El área de cada una de ellas podemos fácilmente calcularlas pues conocemos sus
dimensiones para calcularlas.
Ahora tratemos de plantear una igualdad entre áreas. Si sumamos el área del círculo central
(rayado vertical) con la suma de las áreas de los cuatro cuartos de círculo (rayado
horizontal) tendremos la figura,
13
2a
2a
Donde la región en cuadrícula queda traslapada o duplicada, y esta es el área que deseamos
calcular.
Esto se puede interpretar como el área del cuadrado más el área que deseamos determinar.
Entonces si a esta región así formada, “le quitamos” el área del cuadrado, nos debe de
quedar el área de la región pintada original. Lo descrito arriba nos lleva a plantear la
ecuación de áreas,
Área pintada = área del círculo + área de 4 cuartos de círculo – área del cuadrado
Área pintada = 2(área del círculo) – área del cuadrado
Sustituyendo valores,
Area pintada = 2π a 2 − (2a) 2
Area pintada = 2(π − 2)a 2
Posiblemente se pueden proponer otros procedimientos para calcular dicha área. Proponga
un procedimiento alternativo.
Problemas propuestos
1a. Determine el área de la región en blanco.
14
4
4
1b. Determine el área de la región pintada.
a
a
1c. Determine el área de la región en blanco.
2
2
2
2a. Determine x si el área de la región pintada es igual a 1.
15
2x
2x
2b. Determine y si el área de la región pintada es igual a π .
y
y
2c. Calcule el valor de z si el área sombreada es igual a 3.
2z
2z
2z
3. La circunferencia central esta circunscrita al triángulo equilátero. Determine el radio de
la circunferencia central, si el área de las tres lunas en blanco es igual a 3.
16
4. ¿Es el área del rectángulo interior igual a la suma de las áreas de las cuatro lunas
exteriores? Justifique su respuesta.
2.4.4 Segmentos y rectas asociadas
Dependiendo de su ubicación o relación con respecto a la circunferencia, a los segmentos o
rectas se les da nombres especiales. Veamos sus nombres y dibujos.
tangente
cuerda
radio
diámetro
secante
Problemas propuestos
1. Observando los dibujos de arriba, defina con sus propias palabras cada una de los
segmentos y rectas asociadas a la circunferencia. Ejemplo, cuerda es el segmento que une
dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
17
2. Dibuje una circunferencia, trace un radio y trace su recta tangente en el punto extremo
del radio sobre la circunferencia.
3. Dibuje un segmento tangente a una circunferencia de modo que dicho segmento sea
tangente a la circunferencia en uno de sus extremos.
4. En una circunferencia, ¿toda cuerda es perpendicular al radio que pasa por el punto
medio? Justifique su respuesta. Use su respuesta para mostrar que el circuncentro de un
triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita.
5. ¿Todo diámetro es una cuerda?, ¿Cuál es el intervalo de variación de las longitudes de
las cuerdas de una circunferencia de radio r ?
6. Dibuje un triángulo cualquiera, dibuje sus bisectrices y determine su incentro, de este
punto trace segmentos perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo. Tomando
como radio a uno de dichos segmentos y centro el incentro dibuje la circunferencia inscrita
en el triángulo, ¿Por qué los tres segmentos tienen la misma longitud? Visualice estos
hechos ejecutando la Simulación incentro.
2.4.5 Ángulos asociados
Los lados de estos ángulos son segmentos asociados a la circunferencia, los nombres de
ellos hacen referencia a dichos segmentos o a la ubicación de sus vértices. Veamos y
recordemos sus dibujos y nombres.
α
β
O
ρ
σ
χ
δ
θ
α , central. β , inscrito. χ y δ : entre cuerdas.
σ : entre secantes. ρ : entre tangentes. θ : entre secante y tangente
Problemas propuestos
1. Defina cada uno de los ángulos asociados a la circunferencia. Ejemplo, ángulo central, es
uno de los ángulos formado entre dos radios.
2. Dibuje, en una circunferencia, dos ángulos inscritos que midan 90o. Con sus lados forme
un triángulo rectángulo, ¿Su hipotenusa pasa por el centro?
3. Dibuje un ángulo inscrito formado por un diámetro y una cuerda.
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4. Dibuje un ángulo entre una tangente y una secante de tal manera que su vértice se ubique
sobre la circunferencia.
5. Dibuje un ángulo entre una secante que pase por el centro de la circunferencia y una
tangente.
6. Dibuje un ángulo entre dos tangentes a una circunferencia que mida π / 3 .
7. a) Dibuje un ángulo entre una cuerda y un diámetro, b) dibuje un ángulo central entre dos
diámetros.
2.4.6 Arco
Consideremos una circunferencia de radio r , seleccionemos un punto fijo F sobre ella.
Imaginemos otro punto M en principio coincidente con F , luego desplacemos M sobre
dicha circunferencia hasta ubicarlo en cierta posición. La trayectoria recorrida por M sobre
la circunferencia se llama arco de circunferencia, arco circular o brevemente arco.
Podemos designarle como un conjunto de puntos entre dos puntos ubicados sobre una
circunferencia, o simple e informalmente una porción de circunferencia.
M
Arco FM, de radio r y
extremos F y M
r
F
O
Lo simbolizaremos con arcFM , que leemos “arco FM ”.
Observaciones. (a) Si M se deja sobre F sin ningún desplazamiento, diremos que el arco
es nulo. Si M se le desplaza sobre una vuelta completa, diremos que se ha generado un arco
de una circunferencia completa. (b) Dos puntos sobre una circunferencia la dividen en dos
arcos.
2.4.6.1 Medida angular
A todo arco podemos asociarle un ángulo central y recíprocamente a todo ángulo central
podemos asociarle un arco.
19
A
α
O
r
B
Diremos que el ángulo central AOB subtiende o abarca al arcAB , o que arcAB es
subtendido o abarcado por dicho ángulo central.
Así, resulta natural asociar la misma medida del ángulo central (en cualquier sistema de
medición) al arco subtendido.
En este sentido decimos que la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo
central por el cual es subtendido sobre la circunferencia.
Por ejemplo, si en una circunferencia el ángulo central mide π / 3 radianes, entonces se
dice que el arco subtendido por ese ángulo, tiene una medida angular de π / 3 radianes.
A
C
π/3
B
O
D
Al enunciado, la medida angular del arcAB es de π / 3 , lo escribimos como arcAB = π / 3 .
Así también vemos en dibujo que arcCD = 90° .
Imaginemos una familia de circunferencias concéntricas (tienen su centro en común), y un
ángulo central que abarque arcos sobre cada una de ellas. Todos esos arcos tienen la misma
mediada angular.
20
A
E
F
C
D B
Los arcAB , arcCD y arcEF tienen la misma medida, pues están subtendidos por el mismo
ángulo central.
También, si ángulos centrales tienen igual medida en circunferencias no concéntricas, los
arcos subtendidos tienen igual medida angular.
2.4.6.2 Longitud de arco
Todo arco tiene determinada longitud, la cual se mide sobre la circunferencia en la que se
ubica. Por ejemplo si tenemos una circunferencia de radio 10 cm, sobre dicha
circunferencia, podemos seleccionar arcos con longitudes de 0.5, 1.7, 6, 30.5 60 cm etc.
Llamamos longitud de arco de un arco, al número de unidades lineales de su longitud.
Generalmente, a esta longitud se le denota con la letra s .
A
A
2 cm
s = π cm
1/2 km
s
O
B
B
longitud del arcAB = π cm
longitud del arcCD = s km
2.4.6.3 Radián
Sobre una circunferencia de radio 2 cm, podemos seleccionar arcos cuyas longitudes sean
iguales a 2 cm, sobre una circunferencia de radio 40.75 kilómetros podemos ubicar un arco
que tenga una longitud de 40.75 kilómetros. En general, sobre una circunferencia de radio
r podemos ubicar arcos cuyas longitudes sean iguales a la del radio, y como a todo arco
podemos asociarle un ángulo central, entonces, definimos.
En una circunferencia, cuando un ángulo central subtiende un arco cuya longitud sea igual
a la longitud de su radio, diremos que dicho ángulo mide un radián.
21
s = 2 cm
A
B
C
r = 2 cm
O
r
O
s=r
D
B
longitud del arcAB = 2 cm
AOB
radián
longitud del arcCD = r
COD
radián
Sobre cualquier circunferencia podemos ubicar arcos cuyas longitudes sean iguales a dos
veces el radio de la circunferencia, diremos entonces que los ángulos centrales que abarcan
a dichos arcos miden cada uno de ellos dos radianes.
Puesto que una circunferencia tiene una longitud de 2π r , esto quiere decir que en ella
caven 2π = 2.2832 (aproximadamente) radios, por lo que diremos que un ángulo central de
una vuelta completa mide 2π radianes. Razonando de manera similar se tiene que, un
ángulo central de media vuelta mide π radianes, un ángulo central de ¼ de vuelta mide
π / 2 radianes, etc.
En general, podemos ubicar un arco que mida k veces el radio, donde k es cualquier
número real en (0, 2π ] , entonces decimos que el ángulo central que subtiende a dicho arco
mide k radianes. Si k = 0 , ¿a qué se reduce el arco?
Aunque esta medida surge como medida de ángulos centrales, se puede emplear para medir
ángulos no necesariamente centrales. Una de sus ventajas es que permite medir ángulos de
manera continua y considerar a la medida de los ángulos como una variable real.
Observaciones. (a) A un arco le asociamos dos sistemas de medición, (I) Medida angular,
la cual coincide con le medida del ángulo central el cual lo subtiende sobre una
circunferencia y, (II) La medida de su longitud en unidades lineales. (b) No debemos
confundir la medida angular de un arco, la cual se puede medir usando cualquier sistema
de medición de ángulos; con la medida de su longitud, la cual se puede medir usando
cualquier sistema de medición de longitudes lineales. Por ejemplo, no es lo mismo decir, un
arco tiene una medida angular de π radianes, que decir, un arco tiene una longitud de π
kilómetros. La primera hace mención de la abertura entre los lados del ángulo central que lo
abarca, mientras que la segunda menciona el número de unidades lineales sobre su
circunferencia.
Problemas propuestos
1. Dibuje lo indicado. (a) Un arco subtendido por un ángulo central, (b) un arco abarcado
por un ángulo inscrito, (c) los arcos formados entre dos secantes a una circunferencia, (d) el
arco de menor medida angular entre una tangente y el extremo de una cuerda, (e) el arco de
22
mayor longitud entre dos tangentes, (f) el arco de menor medida angular que se forma con
dos cuerdas que se intersecan y, (g) los arcos que se forman entre los extremos de un
diámetro y una circunferencia.
2. Dibuje una circunferencia. (a) Muestre un arco cuya medida angular sea ¼ de vuelta y
(b) muestre un arco cuya medida angular sea ½ vuelta.
3. Dibuje dos circunferencias concéntricas. Muestre los arcos asociados a un ángulo central
de (a) π / 3 radianes, (b) 45o y (c) 3π / 2 radianes.
4. (a) Dibuje un arco cuya medida angular sea de 15o, (b) dibuje un arco cuya medida
angular sea π radianes y (c) dibuje un arco cuya medida angular sea de 360o .
5. ¿Cuál es la medida angular de un arco subtendido por un ángulo de 360o?
6. Dibuje un par de arcos cuya suma de sus medidas angulares sea 90o.
7. Dibuje 7 ángulos inscritos en una circunferencia que abarquen el mismo arco.
8. Dibuje una circunferencia, un ángulo central y su arco asociado, luego dibuje 4 ángulos
inscritos que abarquen o subtiendan el mismo arco.
9. Considere un arco sobre una circunferencia. ¿Cuántos ángulos centrales lo abarcan?,
¿cuántos ángulos inscritos lo pueden abarcar, tienen igual medida angular?
10. Determine el radio de la circunferencia en la que cualquier arco sobre ella, la medida
angular del arco es numéricamente igual a la longitud de dicho arco.
11. En una circunferencia tiene radio 3. ¿Cuál es la longitud del arco de ¼ de vuelta?, ¿cuál
es la longitud del arco de 3/10 de vuelta? Use regla de tres o proporciones.
12. Una circunferencia tiene área de 7.93 u2. ¿Cuánto mide un arco de 2/5 de su
circunferencia?
13. En una circunferencia un ángulo central crece a partir de 30º con una rapidez constante
de 2º/s (a) Exprese la medida angular del arco subtendido por dicho ángulo en función del
tiempo y determine la rapidez con que crece dicha medida, (b) determine en cuanto creció
la medida angular de ese arco durante los 10 primero segundos y, (c) determine el tiempo
que debe transcurrir para que la medida angular del arco sea de 58.7º.
2.4.6.4 Medida de longitud de arco
Dado un arco sobre una circunferencia de radio r , cuyo ángulo central es α y con longitud
s . Determinemos la relación entre tales magnitudes. Primero veamos que, una
circunferencia de radio r (constante) se puede considerarlo como un arco de longitud s de
una circunferencia completa, con un ángulo central 2π radianes, y como su longitud es
igual a 2π r escribimos s = 2π r . Un arco de media circunferencia tiene ángulo central igual
23
π y su longitud s = 2π r / 2 = π r . Un arco de ¼ de circunferencia tiene ángulo central π / 2
y longitud s = 2π r / 4 = (π / 2) r .
s
s
r
α = 2π
s
α=π
r
α = 2π
r
s = πr
s = 2πr
s = (π/2)r
Para un ángulo central α cualquiera, ¿cuál es la longitud del arco que abarca? Vemos que
para un radio fijo, si hacemos crecer el ángulo central (en [0, 2π ] ) entonces la longitud de
arco crece proporcional con el ángulo central. Usando regla de tres,
2πr
2π
s
r
α
r
ángulo central
2π
α
longitud de arco
2πr
s
De aquí, obtenemos que la relación entre la longitud de arco y su ángulo central medido en
radianes,
s = αr
Así, la longitud de un arco es igual al producto del radio de la circunferencia por el
ángulo central en radianes que lo abarca.
Observación. Ambos lados de la ecuación s = α r , deben tener las mismas dimensionales
lineales, y para que esto suceda, el ángulo α debe ser un número puro sin dimensión. En
este sentido el sistema radianes mide ángulos sin dimensión, aunque digamos que están
expresados en radianes.
Problemas propuestos
24
1. Un móvil recorrió la trayectoria que se indica. Determine la distancia recorrida.
3
5
2
1
1
2. Para una circunferencia de radio 3.41 cm. Obtenga la medida de los arcos si cada uno es
abarcado por el ángulos dado. (a) π / 4.3 rads, (b) 1.47 rads, (c) 20.3°, (d) 2/5 rads, (e)
0.0001 rads,
3. En una circunferencia se sabe que un ángulo central de 1.3 radianes subtiende un arco de
1.3 pg. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?
4. Dibuje los arcos y calcule su longitud sabiendo que: (a) r = 2 y α = π / 4 , (b)
r = 3.5 y α = 3π / 4 , (c) r = π y α = π .
5. Sobre una circunferencia de radio 10 un arco tiene una longitud de 3, ¿cuál es la medida
angular de dicho arco?
6. Sobre una circunferencia de radio 20 km, un arco tiene una medida angular de 2.6
radianes, ¿cuál es la longitud del arco?
7. Sobre una circunferencia un arco tiene una medida angular de 120º y una longitud de
91180 kilómetros. Determine el radio de dicha circunferencia.
8. Exprese la fórmula para calcular la longitud de arco si el ángulo central se mide en
grados sexagesimales.
9. Sobre una circunferencia de 5 cm de radio. La medida angular de un arco crece a partir
de 0.1 radianes con una rapidez de 0.2 radianes/segundo. (a) Exprese la medida angular del
arco en función del tiempo, (b) exprese la medida del ángulo central en función del tiempo,
(c) exprese su longitud en función del tiempo y, (d) determine a los cuantos segundos su
longitud es de 4 cm.
10. Sobre una circunferencia de 16 m de radio, la medida angular de un arco crece a partir
de 1 m con una rapidez de 3.5 m/s. (a) Exprese su longitud en función del tiempo, (b)
exprese la medida del ángulo central que lo subtiende en función del tiempo, (c) exprese la
medida angular del arco en función del tiempo y, (d) determine la rapidez con que crece su
medida angular.
25
2.4.6.5 Función longitud de arco. Aunque la relación s = α r se dedujo considerando una
circunferencia de radio fijo, en realidad ella relaciona longitudes de arcos con sus ángulos
centrales y radios como lados de dichos ángulos, es decir, realmente es una función de dos
variables. Podemos dejar constante el ángulo y hacer variar el radio (los arcos quedan sobre
circunferencias con distintos radios con un mismo ángulo central), entonces la longitud de
arco varía. Podemos dejar constante el radio, hacer variar el ángulo (los arcos quedan sobre
la misma circunferencia con diferentes ángulos centrales), entonces vemos que la longitud
de arco varía. Si variamos tanto el radio como el ángulo, ¿la longitud de arco, siempre
variará?
s3
r3
α
s1
s2
s2
α2
s1
r1
α1
α3 r
r2
s3
α constante, r variable
r constante, α variable
s = s(α , r ) = αr
Problemas propuestos
1. Imagine que hay dos jardines circulares; uno de radio 25 m y otro de radio 50 m y que
Ud. ha caminado 40 m alrededor del jardín de radio menor, (a) ¿cuál es la medida del
ángulo central que generó en su desplazamiento?, (b) si Ud. quisiera caminar los mismos
40 m alrededor del jardín de radio mayor ¿cuál sería la medida del ángulo central que
generaría en su desplazamiento? Note que dos arcos diferentes (con radio y ángulos
centrales diferentes) pueden tener la misma longitud, entonces aunque el radio y el ángulo
cambien la longitud de arco puede permanecer constante. Esto porque s = α r , siempre se
puede encontrar una infinidad de parejas de números reales positivos cuyo producto sea una
constante real positiva.
2. Proponga los radios y ángulos centrales de 3 arcos diferentes que tengan una longitud de
11.3 pg.
3. Proponga 3 arcos diferentes (dé su radio y longitud de arco) que tengan un ángulo central
de 0.5 rads.
4. Una viga de metal tiene la forma de un cuarto de circunferencia, su radio mide
aproximadamente 15.5 m. Cada metro lineal de la viga pesa 0.43 quintales.
Aproximadamente, ¿cuánto pesarán 28 vigas?
5. El radio de una circunferencia crece a una velocidad de 0.78 cm/s. Determine con que
velocidad crece la longitud de un arco abarcado por un ángulo central de 1.7 radianes.
26
6. Un móvil se mueve sobre una trayectoria circular a una velocidad constante de 2.1 m/s.
Un observador situado en el centro de la trayectoria circular observa que el ángulo barrido
por el móvil durante 15 s fue de 4.51 radianes. (a) ¿Cuál fue la distancia recorrida por el
móvil? y, (b) ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular?
7. Una persona observa un objeto que se desplaza sobre una trayectoria aproximadamente
circular. El radio de la trayectoria circular es 214 m. Al seguir el desplazamiento del objeto
la línea visual (idealización del segmento de línea que une la persona y objeto en cualquier
momento) gira a una velocidad de 0.48 rads/s (velocidad angular). (a) Exprese la medida
del ángulo central en función del tiempo (en radianes y suponga que para t = 0 el ángulo
mide 0 radianes) (b) Exprese la longitud de arco recorrida por el objeto en función del
tiempo. (c) Calcule la distancia recorrida durante los primeros 2 segundos. (d) ¿A qué
velocidad se mueve el objeto sobre la trayectoria circular?
2.4.7 Propiedades entre circunferencia y sus elementos
Estudiemos ahora algunas propiedades y relaciones importantes entre la circunferencia y
sus segmentos, rectas y ángulos asociados. Dichas propiedades tienen uso en la solución de
algunos problemas geométricos aplicados. Por su aplicación frecuente en problemas de
precálculo, estudiaremos primeramente, las relaciones entre, ángulo tangente y radio, y
entre segmentos tangentes; dejamos las otras para más adelante.
2.4.7.1 Ángulo entre tangente y radio
Considere una circunferencia. Trace un radio cualquiera y señale con T su extremo sobre la
circunferencia, perpendicular a este radio trace secantes cada vez más cercanas a T ,
cuando la secante se ubica en T , se tiene la recta tangente y de ello inducimos que la
tangente es perpendicular al radio. Así, cualquier recta o segmento tangente a una
circunferencia es perpendicular al radio con extremo en el punto de tangencia.
secantes
tangente
T
r
Problema, circunferencia inscrita en un triángulo equilátero
Determinemos el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero de lado L .
Solución. Construyamos el dibujo apropiado de la situación, para ello, debemos de traducir
en el dibujo lo significa circunferencia inscrita en un triángulo. Cada lado del triángulo
debe “tocar” en un único punto a la circunferencia. Entonces cada lado debe ser tangente a
27
la circunferencia. Esto es muy importante saberlo y explicitarlo en propio momento de
hacer el dibujo. También debemos señalar en el dibujo los datos y la incógnita, lados L y
radio r respectivamente. Para trabajar mejor (como se hace comúnmente) dibujemos un
triángulo equilátero con una base horizontal, esto no afecta la solución del problema (sin
duda se puede trabajar sobre un triángulo en el que ninguna de sus bases es horizontal)
L
L
r
L
Ahora viene el trabajo. A partir del dibujo inicial, buscamos construir triángulos (para este
tipo de problemas generalmente rectángulos, puede ser suficiente uno), tales que en base de
ciertas propiedades geométricas (teorema de Pitágoras, semejanza de triángulos, etc.) que
vemos que las cumplen, podamos formar un conjunto de ecuaciones algebraicas (puede ser
suficiente una), de manera que de tal conjunto podamos despejar la incógnita r . O sea, hay
que construir un dibujo, del cual se puedan construir ecuaciones algebraicas, y de ellas
determinar r en términos del dato L .
Pero, los triángulos a construir no son cualesquiera, ellos debe relacionar de algún modo los
datos con la incógnita. Generalmente debemos darnos cuenta del cumplimiento de
propiedades geométricas aún las más elementales, aquí, el radio de la circunferencia es
perpendicular a toda tangente en el punto de tangencia y simetría, ellas nos que permiten
relacionar datos con incógnita.
Advertimos que la secuencia de actividades que se realizan para construir las ecuaciones
algebraicas no necesariamente es única. Veamos.
El trazo más obvio a realizar es el siguiente,
28
C
L
L
O
A
r
B
T
L/2
Dado que el triángulo es equilátero, por “simetría” y usando la propiedad de que el radio de
la circunferencia es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia T , visualizamos
que el vértice C , el centro O de la circunferencia y el punto de tangencia T , deben estar
verticalmente alineados. Vemos que hemos formado dos triángulos rectángulos iguales o
congruentes. Veamos qué ecuaciones podemos construir en base de alguna propiedad que
cumpla uno de estos triángulos.
Por simetría nos damos cuenta que AT = L / 2 , tenemos,
C
L
A
L/2
T
El triángulo es rectángulo, ¿podemos de este construir una ecuación que contenga L y r ?
Puesto que no podemos escribir el cateto vertical en términos de solamente L y r , no
podemos construirla.
Construyamos entonces otro triángulo, y ver qué se puede relacionar. Pero debemos de
aprovechar lo alcanzado hasta ahora, incorporemos entonces en el dibujo los triángulos
rectángulos anteriores y la información obtenida.
29
C
C
L
L
r
A
O
B
T
L/2
r
U
O
A
T
L/2
B
Podemos formar un triángulo uniendo el punto de tangencia de la circunferencia y el lado
AC con el centro O de la misma circunferencia. Formamos el triángulo CUO . Aquí es
conveniente hacernos una serie preguntas y tratar de respondérnoslas; ¿qué tipo de
triángulo es?, ¿podemos escribir sus lados en términos de r y L ?, ¿es semejante el
triángulo CUO con el triángulo CAT ? Tratemos de responderlas.
CUO , es un triángulo rectángulo, puesto que UO = r es perpendicular a la tangente AC en
el punto U . Los triángulos rectángulos CUO y CAT tienen el ángulo de vértice C en
común, por tanto son semejantes entre sí.
Hemos construido entonces dos triángulos semejantes. Trabajemos entonces con este
hecho. Trasladando y girando en el espacio el triángulo CUO conviene aislar y dibujar los
triángulos en una disposición tal que facilite la construcción de la ecuación con los lados
proporcionales. Señalemos también los lados que ya los hemos escrito en términos del dato
L y la incógnita r .
C
C
L
A
L/2
T
O
r
U
30
Es claro que no podemos construir ninguna relación de proporcionalidad puesto que
desconocemos los lados correspondientes en el triángulo CUO . Veamos si se pueden
determinar.
Puesto que el triángulo ABC es equilátero, por simetría. CU = L / 2 . Pero aún no podemos
formar ninguna relación de semejanza entre lados correspondientes, ¿ por qué?
Sigamos tratando de expresar algún otro lado en términos de L y r . En el triángulo CAT ,
por Pitágoras tenemos que CT = 3L / 2 . Por lo que tenemos,
C
C
L
⌦ L/2
L/2
A
L/2
T
O
r
U
Ahora podemos formar la relación de proporción,
OU CU
=
AT CT
r
L2
=
L2
3L 2
Finalmente, de esta ecuación obtenemos que el radio de la circunferencia inscrita en el
triángulo equilátero de lado L es igual a,
3L
r=
6
Propiedad. De esta ecuación se deduce también que, el radio de la circunferencia inscrita
en un triángulo equilátero es igual a un tercio de su altura. Deduzca.
31
2h/3
L
L
h
r
r
O
r
r = h/3
L
2.4.7.2 Tangencia entre circunferencias
Una circunferencia puede ser tangente a otra interior o exteriormente en un punto,
T
O2
O2
T
O1
O1
Tangentes interiormente
Tangentes exteriormente
Propiedad. Si dos circunferencias son tangentes interior o exteriormente, entonces el
punto de tangencia y sus centros están alineados. Haga dibujos y justifique este hecho.
Problema, circunferencias tangentes entre sí. Consideremos el dibujo.
r
ρ
R
32
Una semicircunferencia de radio R , una circunferencia de radio r , y una circunferencia de
radio ρ , son tangentes entre sí según se indica. Veamos uno de los procesos para expresar
ρ en términos de R .
Usemos la estrategia de formar figuras, ver propiedades e ir construyendo ecuaciones en
base a ellas. Señalemos los centros con M , N y Q, y los puntos de tangencia con T y V .
Tratemos de formar triángulos tales que sus lados puedan expresarse en términos de
R, r y ρ .
Tracemos los segmentos NQ y MQ . Ahora MN = r , NQ = r + ρ ¿por qué?, MQ = R − ρ ,
¿por qué? Ahora, con el triángulo MQN no podemos obtener alguna ecuación.
N
r
T
ρ
V
Q
M
R
Hagamos otro trazo. Tracemos una perpendicular a MN desde Q . Denotemos con U el
extremo de esta perpendicular sobre MN . Ahora UM = ρ ¿por qué?, NU = r − ρ , ¿por
qué?
N
U
r
T ρ
V
Q
M
R
Hemos formado dos triángulos rectángulos. Veamos que propiedad tienen. Comparten un
mismo cateto, el vertical. Sus hipotenusas y sus otros catetos, los verticales, están
expresados en términos de R, r y . ¿Qué ecuación podemos construir?
Usemos el teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos,
33
N
R+ρ
r− ρ
U
x
ρ
Q
R− ρ
M
(r + ρ ) 2 − (r − ρ ) 2 = x 2
( R − ρ )2 − ρ 2 = x 2
Igualando y despejando ρ nos queda,
ρ=
R2
4r + 2 R
Ahora debemos expresa r en términos de R . Observando el dibujo original tenemos que
r = R 2 . Por tanto, al sustituir obtenemos la respuesta al problema,
ρ=R 4
Observación. Aquí hemos igualado dos expresiones que representan el cuadrado de una
distancia. Esta es una de las estrategias de uso frecuente (ya la hemos usado en otros
problemas): Encontrar (si se puede) dos expresiones diferentes y adecuadas que representan
a una misma magnitud e igualarlas con propósitos de resolver el problema o avanzar en la
parte algebraica de la solución. Puede plantearse una igualdad de áreas, una igualdad de
volúmenes, etc.
Problemas propuestos
1. Dibuje a mano alzada, varias circunferencias de diferentes radios, trace tangentes a ellas
y el radio perpendicular a dicha tangente.
2. Dibuje a mano alzada, varias circunferencias de diferentes radios, trace radios y
segmentos tangentes perpendiculares a ellas de modo que tengan su extremo como punto
común.
3. Dos circunferencias, ambas de radio 2.5 pulgadas son tangentes exteriormente. ¿Cuál es
la distancia entre sus centros?, ¿por qué se puede resolver simplemente sumando
distancias?
4. Una circunferencia de radio 5 pies es tangente interiormente con una circunferencia de
radio 11.3 pies. ¿Cuál es la distancia entre sus centros?
34
5. Una circunferencia de radio 10.4 m es tangente exteriormente a otra de radio 0.2 m,
¿Cuál es la distancia entre sus centros?
6. a) Aproxime la altura h .
2
h
4
b) Los lados del cuadrado miden 10. Las circunferencias tienen sus centros en los lados de
cuadrado y pasan por los vértices indicados. Exprese la distancia entre los centros de las
circunferencias en términos del radio x .
x
7. Exprese el perímetro de la circunferencia y el área del círculo en términos de h y k .
h
k
35
8. Los segmentos son tangentes a las circunferencias. Exprese la distancia entre los centros
de las circunferencias en términos de sus radios.
r
R
9. En un triángulo de área A y perímetro P se inscribe una circunferencia. Exprese el
radio de dicha circunferencia en términos de A y P .
10. Un triángulo equilátero está circunscrito a una circunferencia de radio 1. Calcule el
área de la región dentro del triángulo y fuera de la circunferencia. Use la propiedad de
circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero.
11. Un triángulo equilátero está inscrito a una circunferencia de radio 1. Calcule el área de
la región dentro de la circunferencia y fuera del triángulo.
36
12. En la siguiente figura todos los triángulos son equiláteros. Las circunferencias están
circunscritas. El triángulo mayor tiene área A . Exprese el área de la región sombreada en
términos de A .
13. Una cadena de transmisión de torque une dos ruedas dentadas de radio R y r . Si la
distancia entre sus centros es de D > R + r , y se encuentran sobre la horizontal, exprese su
longitud en términos de sus radios, la distancia D y del ángulo α . (Use longitud de arco y
teorema de Pitágoras)
R
α
r
14. Considere el dibujo siguiente. Las dos circunferencias Ca y Cb tienen el mismo radio y
son tangentes en el punto O , el segmento AB es tangente a ambas. El segmento UV pasa
por los centros de Ca y Cb . Imaginemos la formación del conjunto infinito de
circunferencias tangentes según el enunciado siguiente. La circunferencia C1 es tangente a
Ca , Cb y AB . La circunferencia C2 es tangente a Ca , Cb y C1 . La circunferencia C3 es
tangente a Ca , Cb y C2 . Y así sucesivamente.
37
B
A
C1
Ca
Ca
C2
U
O
V
Muestre que la suma,
1
1
1
1
+
+
+K +
1(2) 2(3) 3(4)
n(n + 1)
tiende a 1 si n tiende a infinito.
15. El radio de la circunferencia interior es r . Halle el área de la región entre las tres
circunferencias exteriores y la interior
interior.
16. El radio de una circunferencia crece a partir de 5 milímetros con rapidez constante de
3 milímetros/segundo. ¿Con qué rapidez crecen los lados del triángulo equilátero
circunscrito?, ¿cuál es la longitud inicial de los lados del triángulo?
17.. La figura decrece de tamaño al trascurrir el tiempo manteniendo las mismas relaciones
representadass en el dibujo. Sabe que R decrece a partir de 20 cm a una velocidad de 4 cm/s
¿Con qué rapidez decrece ρ ?, ¿a los cuántos segundos el dibujo se transforma en un
punto? Use relaciones establecidas en el segundo
segundo problema resuelto de esta sección.
38
r
ρ
R
2.4.7.3 Segmentos tangentes
En el siguiente dibujo las rectas L y M son tangentes a la circunferencia en los puntos
B y C , y se intersecan en el punto A . Se puede visualizar que los segmentos BA y CA
tienen igual longitud.
A
L
B
A
r
O
r
C
M
La deducción de este hecho la dejamos al lector. Sugerencia construya dos triángulos
rectángulos iguales.
Problemas propuestos.
1. En la figura, si todos los segmentos son tangente a la circunferencia calcule las
longitudes desconocidas.
39
1.7
z
3
y
x
2
2. Exprese el área del círculo inscrito en el triángulo rectángulo en términos de x y y .
x
r
y
3. Calcule el perímetro del triángulo rectángulo circunscrito al circunferencia de radio 1.
4
1
4. Usando regla y compás o el CABRI, dibuje un triángulo cualquiera y traces sus
bisectrices y ubique su incentro. Use este punto como centro e inscriba una circunferencia.
Con este proceso verifique que el incentro del triángulo es el incentro de la circunferencia
inscrita.
5. El triángulo siguiente es isósceles con base 20. Determine la distancia entre lo puntos de
tangencia A y B . Visualice el problema realizando la Simulación Distancia AB.
40
A
B
8
12
6. En la siguiente figura los catetos del triángulo rectángulo crecen a partir de cero con una
rapidez de 4 y3 cm/s. (a) Determine la rapidez con que crece el radio de la circunferencia
inscrita, y (b) exprese el área del círculo en función del tiempo.
r
7. Considere un triángulo rectángulo de hipotenusa horizontal circunscrito a una
circunferencia de radio 1. Manteniendolo circunscrito, haga crecer o decrecer uno de sus
catetos. (a) ¿Varía su área?, ¿varía su perímetro?; (b) ¿su área toma a un valor mínimo?,
¿su perímetro toma un valor mínimo?; (c) cualitativamente, trace las gráficas del área y
perímetro en función de uno de sus catetos, (d) exprese el área y perímetro en función de
uno de sus catetos, (e) aproxime las dimensiones del triángulo cuando su área es la menor
posible, (f) aproxime las dimensiones del triángulo cuando su perímetro es el menor de
todos.
2.4.7.4 Ángulos inscritos de 90º
Consideremos los ángulo inscritos especiales que abarcan un semicircunferencia (imagine
otros más)
41
S
T
M
Se dice que todos estos ángulos subtienden la semicircunferencia TMS (o diámetro TS )
¿Cuánto mide cada uno de estos ángulos inscritos?, ¿todos tienen la misma medida?
Respondamos a estas preguntas. Selecciones uno cualquiera de estos ángulos. Nuestro
problema es determinar la medida de α .
α
S
T
M
Tracemos el radio OQ . El ángulo α queda dividido en dos ángulos β y γ .
Q
β
γ
S
O
T
M
Ahora nuestro problema lo hemos transformado en determinar β y γ . ¿Cuántos triángulos
vemos? Hay dos pequeños. Vemos que cada uno ellos es isósceles, ¿por qué?, ¿cuáles son
los lados iguales?, ¿cuáles son sus ángulos iguales? Recordando el hecho de que en un
triángulo isósceles a lados iguales se oponen ángulos iguales.
42
Q
β
γ
γ
β
S
O
T
M
Ahora usemos el hecho de que la suma de los tres ángulos internos de triángulo grande
TQS , mide 180°. De aquí 2 β + 2γ = 180 , lo que implica β + γ = 90° .
Por tanto, el ángulo inscrito que subtiende una semicircunferencia (o un diámetro) mide
90°.
De aquí vemos que el triángulo TQS debe ser rectángulo, su hipotenusa es el diámetro de la
circunferencia. Se dice que dicho triángulo está inscrito en la circunferencia (sus tres
vértices están sobre la circunferencia). De esto concluimos. Todos los triángulos inscritos
en una circunferencia que tengan como uno de sus lados su diámetro son rectángulos, y
tienen como hipotenusa al diámetro.
Problemas propuestos:
1. Calcule el área y el perímetro del triángulo inscrito en una circunferencia de radio 2.5, si
uno de sus lados es el diámetro de la circunferencia y otro de sus lados mide 2.
2. En la siguiente figura, los radios de las circunferencias son R y r , y AB es un diámetro.
Exprese el área del triángulo en términos de R y r .
R
A
B
r
3. Exprese la suma de las áreas de las dos lunas en términos de a .
43
a
2a
4. (a) Justifique por qué a través de la siguiente figura se puede aproximar geométricamente
la raíz cuadrada de un número r , y (b) Usando regla y compás construya un dibujo similar
para aproximar la raíz cuadrada de 7.
⌦r
r
1
5. Considere todos los triángulos inscritos en la semicircunferencia de radio 2 tales que uno
de sus lados coincida con el diámetro de dicha semicircunferencia. (a) Dibuje algunos de
ellos. ¿Qué clase de triángulos son?, (b) ¿sus áreas son diferentes?, ¿sus perímetros son
diferentes?, ¿entre todos ellos hay uno que tiene la mayor área?, ¿entre todos ellos hay uno
de mayor perímetro? (c) Considere a dichos triángulos inscritos como si tratara de un
triángulo inscrito cuya área y perímetro varían al desplazar uno de sus vértices sobre la
semicircunferencia. ¿Cuáles son sus magnitudes variables?, ¿cuáles son sus intervalos de
variación? (d) Seleccione una magnitud variable de modo que al hacerla variar tanto el
perímetro con el área de los triángulos varíen. Haga una gráfica cartesiana cualitativa de
estas variaciones. (e) Exprese el área y el perímetro del triángulo en función de la variable
seleccionada. (Sugerencia use los teoremas de las Alturas y de Pitágoras)
2.4.7.5 Propiedad, ángulos inscrito y central
Considere la siguiente figura,
A
α
O
R
44
Vemos que todos los ángulos inscritos subtienden o abarcan el mismo arco AR , el ángulo
central también abarca dicho arco. ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos
inscritos?, ¿Qué relación hay entre la medida de los ángulos inscritos y el ángulo central si
abarcan el mismo arco? Investiguemos esta relación.
Primeramente resolvamos el caso particular donde el diámetro es uno de los lados del
ángulo inscrito. Para ello veamos que se forma un triángulo isósceles. Identifiquemos los
dos ángulos iguales en este y usemos la propiedad de ángulo externo, para obtener α = 2 β .
A
β
β
α
O
R
Ahora considere el caso más general, donde ninguno de los lados coincide con el diámetro.
Tracemos un diámetro con un extremo coincidente con el vértice del ángulo inscrito,
simbolicemos los ángulos indicados,
A
α
β
γ
R
2γ
O
Apliquemos el caso particular anterior α + 2γ = 2( β + γ ) , de cual α = 2 β o β = α 2 .
Se pueden considerar otras variantes generales y obtener la misma relación. De todo esto
concluimos,
Si el ángulo inscrito β y el ángulo central α subtienden un mismo arco arcAR , entonces
el ángulo inscrito β mide la mitad del ángulo central α ,
45
A
α
β
R
O
β=
α
2
Como la medida del ángulo central α es igual a la medida angular del arcAR , en términos
de la medida angular del arco AR , tenemos,
Un ángulo inscrito mide la mitad de la medida angular del arco que subtiende,
β=
arcAR
2
De manera equivalente, si el ángulo inscrito β y el ángulo central α subtienden un mismo
arco, entonces, el ángulo central α es el doble del ángulo inscrito β ,
α = 2β
Lo anterior nos permite concluir también que, todos los ángulos inscritos que subtiendan
un mismo arco tienen la misma medida,
A
β1
α
R
β2
O
β3
β4
Los ángulos inscritos β1 , β 2 , etc. abarcan el mismo arcAR , entonces,
β1 = β 2 = K =
Problemas propuestos
α
2
=
arcAR
2
46
1. Para el ángulo central dado, determine la medida de los ángulos inscritos.
120o
2. Un arco sobre una circunferencia tiene una medida angular de 38.3º, ¿cuánto mide cada
uno de los ángulos inscritos a dicha circunferencia que subtienden dicho arco?
3. Un ángulo inscrito a una circunferencia de radio 5 cm mide π 4 radianes. (a) Determine
la medida angular del arco subtendido por dicho ángulo, (b) Determine la longitud del
arco.
4. Sobre una circunferencia de radio de 2 km, la longitud de arco varía entre 1.5 y 5 km. (a)
Determine el intervalo de variación de la medida angular de dicho arco, y (b) determine el
intervalo de variación de la medida de los ángulos inscritos que subtiende dicho arco.
5. Sobre una circunferencia de 14 m de diámetro, la longitud de un arco crece a partir de
cero con una rapidez constante de 0.25 m/s. (a) Determine la rapidez con que crece la
medida angular del arco, y (b) determine la rapidez con que crecen los ángulos inscritos a la
circunferencia que subtienden dicho arco.
6. Siguiendo el movimiento del punto P sobre el cuarto de circunferencia, α decrece a
partir de π 4 con una rapidez constante de 0.1 radianes/s. El radio de la circunferencia es
de 5 m. Determine la rapidez con que se mueve P sobre dicho cuarto de circunferencia.
P
α
π/4
2.4.7.6 Medida de ángulos especiales
Más arriba vimos que el ángulo entre una tangente a una circunferencia y su radio con
extremo en el punto de tangencia mide 90º. Estudiemos ahora, la medida de los ángulos que
se forman entre cuerdas, diámetros, tangentes y secantes a una circunferencia. Para la
deducción de sus fórmulas, usaremos la relación, la medida del ángulo inscrito es la mitad
de su ángulo central correspondiente.
47
2.4.7.6.1 Entre cuerda y tangente
Al mover sobre la circunferencia el punto P hacia Q se genera una infinidad de ángulos
inscritos con vértice en P sobre la circunferencia, cada uno de ellos mide α 2 .
Visualizamos que cuando P tiende a Q uno de los lados de los ángulos inscritos tiende a
ser la cuerda AQ y el otro tiende a ser una tangente en Q . Cuando P coincide con Q , uno
de los lados es la cuerda AQ y el otro una tangente en Q , y el ángulo inscrito se
transforma en un ángulo entre una cuerda y una tangente (con vértice en el punto de
tangencia) manteniendo su medida α 2 . De esto concluimos, que el ángulo entre una
cuerda y una tangente a una circunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo
central subtendido.
A
P
β
α
β
β
Q
β=
α
2
β=
,
arcAQ
2
2.4.7.6.2 Entre dos cuerdas
Los ángulos entre dos cuerdas que se intersecan se relacionan con las medidas angulares de
los arcos que se forman según las ecuaciones,
A
C
D
β
α
O
B
α=
arcAC + arcBD
2
β=
arcAD + arcCB
2
2.4.7.6.3 Entre diámetro y cuerda
Este es un caso particular de la propiedad anterior, donde una de las cuerdas es un diámetro,
48
A
C
D
β
O
α
B
α=
arcAC + arcBD
2
β=
arcAD + arcCB
2
2.4.7.6.3 Exterior entre dos secantes
El ángulo que forman dos secantes a una circunferencia que se intersecan exteriormente
A
C
α
O
D
B
α=
arcAB − arcCD
2
2.4.7.6.4 Entre secante y tangente
Manteniendo en su posición fija a la secante F y rotando a favor del giro de las ajugas del
reloj, con punto de pivote P , a la secante M , se generan ángulos entre la secante fija y la
móvil, cuya medida se determina según la relación entre secantes; cuando la secante M
toma la posición de la tangente T , visualizamos e inducimos, que la fórmula de ángulo
entre secantes debe cumplirse también para un ángulo entre secante y tangente. Esto es.
49
A
T
α
C
O
M
P
B
F
α=
arcAB − arcCD
2
2.4.7.6.5 Entre dos tangentes
Manteniendo en su posición fija a la tangente T y rotando en contra del giro de las ajugas
del reloj, con punto pivote P , a la secante M , se generan ángulos entre la tangente fija y
cada secante, cuya medida se determina según la fórmula entre secante y tangente; cuando
la secante M toma la posición de la tangente, F visualizamos e inducimos que la fórmula
de ángulo entre dos tangentes tiene la estructura de la fórmula del ángulo entre secante y
tangente. Esto es.
A
T
P
α
O
B
C
M
F
α=
arcABC − arcCD
2
Observaciones. (a) Aunque no lo hemos mencionado verbalmente, las fórmulas o
ecuaciones presentadas arriba, las cuales relacionan ángulos con medidas angulares de
arcos, se pueden considerar como funciones de una o dos variables. Por ejemplo, el ángulo
entre dos secantes no paralelas a una circunferencia que se intersecan exteriormente, se
puede considerar como una función de dos variables, estas variables son las medidas
50
angulares en radianes de los dos arcos que se forman, y (b) notemos que dichas relaciones
no hacen referencia al radio de la circunferencia.
Problemas propuestos
1. Utilice los dibujos siguientes; haga trazos para formar triángulos, introduzca variables
auxiliares para nombrar ángulos, plantee ecuaciones usando hechos y propiedades tales
como, la suma de los tres ángulos internos es 180º, la suma de ángulos suplementarios es
180º, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida, un arco tiene medida
angular igual a la medida de su ángulo central correspondiente, etc. Establezca las
relaciones que acompañan a dichos dibujos y diga el nombre asociado al ángulo.
(a)
T
α
M
M
O
P
O
N
α
N
Q
α = arcTMN/2
α = (arcPQ + arcMN)/2
(b)
T
α
P
M
P
α
O
N
O
M
Q
Q
α = (arcMN + arcPQ)/2
(c)
α = (arcTM - arcTP)/2
51
T
α
M
P
α
N
O
O
P
M
Q
α = (arcPQ - arcMN)/2
α = (arcTPM - arcTM)/2
2. En cada una de las figuras determine las medidas de los ángulos y las medidas angulares
de los arcos desconocidos.
94o
x
P
24o
β
y
z
O
α
α
Q
x
arcPQ = 47o
y
80o o
40
3. Determine los ángulos indicados sabiendo las medidas angulares de los arcos;
AB = 85°, BC = 15° y DE = 55°
E
χ
δ
α
A
ε
β
O
φ
D
O :centro
γ
B
C
4. En la siguiente figura, desplacemos la cuerda AB , desde su posición inicial,
paralelamente de tal manera que el ángulo entre la cuerda y el diámetro CD, α = 40 , se
mantenga constante hasta que su vértice coincida con el centro de la circunferencia. Si la
medida angular inicial del arco AD es de 10º, (a) Determine las medidas angulares que
52
inicialmente tenían los arcos, y (b) determine los intervalos de variación de las medidas
angulares de los arcos AD , CB, CA y BD.
A
D
C
B
5. En la figura siguiente el ángulo α = 60° se mantiene constante y se hace desplazar,
horizontalmente sin rotación, desde la posición inicial cuando su vértice esta en P hasta
que el mismo coincida con O centro de la circunferencia. (a) Determine las medidas
angulares que inicialmente tenían los arcos AB y CD , y (b) determine los intervalos de
variación de dichos arcos bajo dicho desplazamiento.
C
α = 60ο
O
A
P
B
D
6. Considere el dibujo y recuerde el problema del ángulo de mayor visión visto en el
Capítulo 1.
A
h
P
α
B
T
x
H
53
Imagine que el vértice del ángulo α (punto P ), lo desplazamos sobre la semirrecta
tangente (con punto de tangencia T ) entre O y puntos infinitamente alejados de O de tal
manera que las secantes intersequen a la circunferencia en los puntos fijos A y B . Entre las
secantes se forman dos arcos de la circunferencia. Usando la relación de la medida del
ángulo entre dos secantes a una circunferencia en función de las medidas angulares de los
arcos que se forman entre ellas, justifique sus respuestas a las siguientes preguntas. (a) Si x
tiende al infinito; ¿qué arco tiene medida angular constante, y qué arco tiene medida
angular variable?, ¿es cierto que la medida angular variable tiende a la medida angular
constante?, ¿a qué valor tiende la medida α ?, (b) Si x tiende a cero, ¿qué arcos se
forman?, ¿es cierto que sus medidas angulares tienden a cero?, ¿a qué valor tiende la
medida de α ?, (c) Con la información anterior, ¿visualiza que debe existir un valor de x
para el cual la medida de α toma un valor máximo?, ¿en qué punto debe ubicarse el vértice
de α para que alcance su valor máximo?, y (d) Basándose en estas ideas, usando regla
graduada, compás y transportador, explique y aproxime el valor máximo de α si
H = 10 y h = 5 cm. Este es un procedimiento geométrico para aproximar el ángulo de
mayor visión.
7. En la siguiente figura la medida angular del arco VI es de π 2 radianes y se mantiene
constante, la medida del arco KY decrece simétricamente respecto a la recta horizontal a
partir de π 3 con una rapidez de 0.1 radianes/s. Vemos que al decrecer el arco KY el
ángulo α también decrece. (a) Exprese la medida angular del arco KY en función del
tiempo que transcurre, ¿a los cuántos segundos dicho arco se transforma en un punto?, (b)
exprese el ángulo α en función del tiempo que transcurre y, (c) determine con qué rapidez
decrece dicho ángulo.
V
Y
α
K
I
2.4.7.7 Segmentos proporcionales
En la sección 2.4.7.3, vimos y resolvimos algunos problemas asociados a la relación de
igualdad entre segmentos tangentes concurrentes exteriormente en una circunferencia,
ahora estudiemos, y resolvamos algunos problemas asociados a relaciones entre cuerdas,
secantes y tangentes en una circunferencia.
Cuando se intersecan cuerdas, segmentos tangentes y secantes asociadas a una
circunferencia, las longitudes de los segmentos en que quedan divididos, forman
proporciones especiales. Distinguimos cuatro importantes.
54
2.4.7.7.1 Entre cuerdas
Los segmentos en que quedan divididas las cuerdas que se intersecan están relacionadas por
la proporción,
w
v
z
u
w u
=
v z
2.4.7.7.2 Entre secantes
Los segmentos en que quedan divididos por la circunferencia dos secantes que se intersecan
exteriormente están relacionados por,
z
u
w
v
u+z v+w
=
w
z
2.4.7.7.3 Entre secante y tangente
Manteniendo en su posición fija al segmento AP y rotando a favor del movimiento de las
agujas del reloj, alrededor del punto P , al segmento secante BP , hacia la posición de la
tangente CP , el segmento u tiende a cero y el segmento z tiende a t , y cuando finalmente
toma la posición de la tangente CP , tenemos que z = t y u = 0, por lo que la proporción
entre segmentos secantes se reduce a la proporción entre secante y tangente. La proporción
que queda es,
55
t
C
P
z
w
u
B
v
A
t v+w
=
w
t
2.4.7.7.4 Entre tangentes
Manteniendo en su posición fija al segmento tangente CP y rotando al segmento secante
AP alrededor del punto P en contra del giro de las agujas del reloj, hacia la posición de la
tangente DP ; el segmento v tiende a cero y el segmento w tiende a s , cuando finalmente
toma la posición de la tangente DP , tenemos que w = s y v = 0 , por lo que la proporción
entre segmentos tangente y secante se reduce a proporción entre dos segmentos tangentes.
Tenemos la relación presentada en 2.4.7.3,
t
C
P
w
s
v
A
D
t=s
Problemas propuestos
1. Haga trazos para formar pares de triángulos semejantes, construya relaciones entre
triángulos semejantes y deduzca las relaciones entre las longitudes de los segmentos que se
mencionan arriba. Recuerde, en una circunferencia dos ángulos inscritos que subtienden un
mismo arco son iguales y dos triángulos que tienen dos ángulos iguales son semejantes.
2. En cada una de las siguientes figuras determine las longitudes desconocidas,
56
20
a)
13
8
y
25
b)
18
y
x
c)
d)
10 x
12
x
16
13
y
6
y
y+4
x
14
x+5
5
8
20
19
3. (a) Con un dibujo a escala similar, midiendo directamente, ¿se puede aproximar el
recíproco de 7? Explique. (b) Proponga un procedimiento en el que usando regla graduada
y compás se pueda aproximar geométricamente el reciproco de un número real.
3
1
1
4. En la siguiente figura el radio de la circunferencia crece en el tiempo. La circunferencia
siempre interseca a las sus secantes en P y Q . Si x crece a partir de 1 cm con rapidez
constante de 2 cm/s. (a) Determine con qué rapidez crece y , (b) determine el valor de y a
los 4.5 s.
O
4
P
x
3.8
Q
y
57
5. En la siguiente figura, el diámetro de la circunferencia mide 4, la secante se hace girar
alrededor del punto O , desde posición inicial cuando pasa por el centro, hasta que tome la
posición de la tangente. Al realizar esta rotación las distancias x y y varían. (a) Escriba y
en función de x , (b) determine los intervalos de variación de x y y , (c) trace la gráfica
cartesiana de dicha función.
4
O
x
y
Q
diámetro: PQ = 4
posición incial de la secante
P
2.4.8 Regiones circulares
Son regiones del plano contenidas entre un arco de una circunferencia y radios, cuerdas o
diámetros, o bien con otra circunferencia. Por ejemplo, una región limitada por un arco y
dos radios no alienados, una región limitada por un arco y una cuerda, etc.
2.4.8.1 Sector circular. Consideremos una circunferencia de radio r > 0 , rotemos en el
plano el segmento OA = r alrededor del punto O , cierto ángulo α , con 0 < α < 2π o
0° < α < 360° . La región barrida por de dicho segmento se llama sector circular, región de
un círculo limitada por un arco y dos radios que lo subtienden.
s
A
α
A
r
O
s
α
O
r
sector circular convexo
0 < α <180o
sector circular no convexo
180o < α < 360o
Notemos que todo sector tiene su complemento, el complemento de sector circular convexo
es no convexo, y recíprocamente.
Hemos supuesto que r > 0 y 0 < α < 360° . Sin embargo si aceptamos, r = 0 el segmento
se reduce a un punto, y si r > 0 y α = 0° , el sector se reduce a un segmento igual al radio.
Si r > 0 y α = 360° el sector es un círculo.
58
Perímetro. Está constituida por los dos radios y el arco que lo limitan, por lo que su
perímetro depende del radio r del círculo y ángulo central α (en radianes) entre los radios,
P = P ( r , α ) = 2r + rα
Área. Consideremos un círculo de radio r , seleccionemos de él un sector circular de radio
r con ángulo central α variable.
Si α = 0 , el sector se reduce a un segmento, el radio de la circunferencia, el sector de área
A = 0 ; si α = π radianes, el sector es medio círculo y su área es A = π r 2 2 = (r 2 2)π , si
α = 2π radianes, el sector se transforma en un círculo y su área es A = π r 2 = (r 2 2)(2π ) .
Vemos así que el área A del sector (para un radio fijo) es directamente proporcional a su
ángulo central α , la constante de proporcionalidad es r 2 2 . Esto quiere decir, que A y α
están relacionadas por A = (r 2 2)α , la cual se puede considerar como una función de dos
variables r y α , y escribimos,
A = A(r , α ) =
r 2α
2
Problemas propuestos
1. Un sector tiene área de 10.7 pulgadas cuadradas y perímetro de 58.89 pulgadas. Calcule
su radio y la longitud del arco.
2. Un triángulo equilátero tiene vértice coincidente con el centro de una circunferencia de
radio 7 y sus otros dos vértices sobre la circunferencia. Calcule el área de la región fuera
del triángulo y dentro de la circunferencia.
3. Existe una infinidad de sectores circulares que tienen una misma área, digamos de 20.4
cm². Haga dibujos, imagínese y conteste. (a) Si el ángulo es muy pequeño, ¿cómo es el
radio?, (b) ¿cuál es el mayor valor que puede tomar ángulo?, (c) ¿sus perímetros son
diferentes?, (d) ¿entre todos ellos existe uno que tiene el menor perímetro?, (e) considere a
todos estos sectores como si se tratara de un sector cuyo perímetro se hace variar variando
continuamente su ángulo y manteniendo constante su área. Explique la variación del
perímetro al variar el ángulo, y (f) exprese el perímetro en función de ángulo.
4. Existe una infinidad de sectores circulares que tienen un mismo perímetro, digamos 50
cm. Haga dibujos, imagínese y conteste. (a) ¿Sus áreas son diferentes?, (b) ¿cuál es
intervalo de variación de los ángulos?, ¿cuál es el intervalo de variación de los radios?, (c)
¿entre todos ellos existe uno de mayor área?, (d) considere el problema como de un sector
cuya área varía al hacer variar continuamente su radio, manteniendo constante su perímetro.
Haga la gráfica cartesiana cualitativa de su área en función del radio, (e) exprese el área del
sector en función del radio y, (f) determine el radio para el cual el sector tiene su mayor
área y determínese dicha área.
59
2.4.8.2 Segmento circular
Es la región de un círculo limitada por una cuerda c y un arco s . El segmento
perpendicular h a la cuerda que une el punto medio de la cuerda con el punto medio del
arco se llama flecha del segmento circular, ella puede ser menor o mayor que el radio del
círculo. Al segmento circular se le asocia también un ángulo central que subtiende a la
cuerda.
s
s
c
α
h
h
α
r
r
c
Perímetro. Está constituida por la cuerda y del arco que lo limitan, así P = c + s ,
P = P ( c, α , r ) = c + α r
Donde α se mide en radianes.
Área. Si la flecha es menor que el radio se puede calcular por la resta de áreas: Área del
sector circular conformado por el arco del segmento menos el área del triángulo
conformado por dos radios y la cuerda del segmento,
A = A(r , h, α , c) = α r 2 − c(r − h) 2
Si la flecha es mayor que el radio, el área del segmento se puede calcular sumando el área
de un sector no convexo que subtiende la cuerda y el área de un triángulo formado por la
cuerda y dos radios.
2.4.8.3 Anillo o corona circular
Imagine hacer crecer concéntricamente una circunferencia a partir de cierto valor de su
radio r hasta que el mismo tome el valor R > r . La región barrida por la circunferencia al
crecer, de la manera indicada, se llama anillo o corona circular. Región limitada entre dos
circunferencias concéntricas (que comparten el mismo centro),
60
r
R
Perímetro. Está constituida por la circunferencia interior y la circunferencia exterior,
P = P ( r , R ) = 2π ( r + r )
Área. Se calcula restando, el área del círculo exterior menos el área del círculo interior,
A = π (R2 − r 2 )
2.4.8.4 Trapecio circular
Es la región que tiene en común un anillo circular y un sector circular de la circunferencia
de radio mayor,
α
r
R
Perímetro. Está constituido por dos segmentos de igual longitud y dos arcos,
P ( R, r , α ) = 2( R − r ) + α ( R + r )
(Con α en radianes)
Área. Se puede calcular restando las áreas de dos sectores circulares,
(Con α en radianes)
A = α ( R2 − r 2 ) 2
2.4.8.5 Faja circular. Es la región de un círculo entre dos cuerdas paralelas,
61
Perímetro. Está constituida por dos cuerdas y dos arcos.
Área. Se puede calcular restando las áreas de dos segmentos circulares.
Problemas propuestos.
1. Calcule el área del anillo circular limitado entre las circunferencia de radio 3.5 y 7.5 cm.
2. Deduzca la relación correspondiente al perímetro del trapecio circular.
3. Calcule el área del trapecio circular si el sector circular tiene un ángulo central de 47.6°,
y las circunferencias concéntricas tienen radios de 67.32 y 59.1 pg.
4. Si el ancho de la corona circular es muy pequeña, es decir si el radio de la circunferencia
exterior es casi igual al radio de la circunferencia interior. Justifique por qué el área de
dicha corona se puede aproximar calculando, 2 π (radio interior)(ancho de la corona).
5. Si el ángulo central es muy pequeño y los radios de las circunferencias concéntricas son
casi iguales, justifique por qué el área del trapecio circular se puede aproximar calculando,
(radio de la circunferencia menor)(resta de radios)(ángulo central en radianes). En
cálculo diferencial a esta región se le llama diferencial de área polar.
6. Un diferencial polar está conformado por dos circunferencias concéntricas de radios 5 y
5.001 cm, y un ángulo central de 0.002 radianes. Aproxime su área usando la relación para
calcular el área del trapecio circular y la relación sugerida en el problema anterior.
Compare sus valores.
7. Dos circunferencia son concéntricas, el radio de la circunferencia exterior crece a partir
de 23.2 cm a una velocidad de 1.2 cm/s, el radio de la interior decrece a partir de 20.4 cm a
con la misma velocidad. (a) Escribas sus áreas en función del tiempo. (b) Determine el área
de la corona circular a los 3.7 s.
8. Determine el área de la faja circular entre una cuerda y el diámetro de una circunferencia
de radio 89 cm. sabiendo que dicha cuerda es igual al radio de la circunferencia.
9. El área de una corana circular es de 300π y su perímetro es de 60π . Determine sus
radios interior y exterior.
62
10. Proponga los radios de una corana circular que tenga un perímetro de 200π cm y
determine su área.
11. Proponga los radios de una corona circular que tenga un área de π cm2.
12. Un señor piensa construir y circular, un jardín que tenga la forma de un trapecio
circular. Él desea que su terreno tenga un área de 100 m2, un radio interior de 10 metros y
gastar la menor cantidad posible en su circulación. Se plantea las preguntas, ¿se pueden
construir pueden construir diferentes jardines que la forma deseada con la misma área y
radio interior?, ¿son diferentes los perímetros de los jardines?, ¿entre todos ellos existe un
de menor perímetro? Ayude al señor contestando sus preguntas, dígale cuáles deben ser,
aproximadamente, las dimensiones del trapecio circular para que su perímetro sea el
mínimo posible, dígale también cual perímetro mínimo. Preséntele una gráfica cartesiana
de la variación del perímetro del jardín en función de alguna magnitud variable del jardín y
explíquele dicha variación.
2.5 Rombo
Consideremos el cuadrado de lados l y diagonales D . Realice la Simulación rombo, o
imagine hacer crecer o decrece una de sus diagonales de manera que tome una longitud
cualquiera pero fija en el intervalo [ 0, 2l ] , a condición de que la longitud de cada uno de
los cuatro segmentos se mantenga constante formando una región cerrada. Observamos que
bajo tal transformación los segmentos opuestos se mantienen paralelos. A cada una de estas
figuras se les llama rombo, figura plana limitada por cuatro segmentos de igual longitud,
en la que los segmentos opuestos son paralelos dos a dos.
A partir del cuadrado original de lados l , si hacemos variar su diagonal D vemos,
l
g
D
g
l
l
l
l
l
Cuadrado
original
g<D
g=D
Rombos generados
l
g
l
g>D
A cada uno de los segmentos que limitan al rombo se llama lados. A los segmentos que
unen a vértices opuestos se les llama diagonales. Note además que las diagonales del rombo
se intersecan perpendicularmente en el centro del rombo.
Perímetro. Está conformado por sus cuatro lados,
63
P = P (l ) = 4l
Área. Se puede deducir que el área del rombo es igual a un medio del producto de sus
diagonales. Si denotamos con d y D sus diagonales, d ≤ D su área está dada por,
A = A(d , D) = Dd 2
Problemas propuestos
1. ¿Todo cuadrado es rombo? Explique.
2. Un conjunto de rombos tiene perímetro 40 cm. Diga quién tiene mayor área en todos
ellos, y diga cuál es el área máxima.
3. Dado un rombo, esplique un procedimiento para transformarlo en un rectángulo no
cuadrado de igual área.
4. Las diagonales de un rombo miden 10 y 4, calcule su área y su perímetro.
5. Muestre que el área del rombo es igual a un medio del producto de sus dos diagonales.
6. Un rombo tiene diagonales de longitudes D y d , y lados de longitud l . Deduzca que
D 2 + d 2 = 4l 2 .
7. Las diagonales de un rombo se hallan en relación 3:4. Encuentre el área del rombo si su
perímetro mide 280 cm.
8. ¿En qué se transforma un rombo su una de sus diagonales decrece y se hace finalmente
cero?
9. Las diagonales de un rombo crecen a partir de cero con una rapidez constante de 6 y 8
pulgadas, por cada minuto que transcurre. (a) Determine con qué rapidez crece su
perímetro y, (b) determine a los cuántos minutos se área es de 400 pulgadas cuadradas.
2.6. Paralelogramo
Consideremos el rombo de lados l ,
D
A
l
B
l
C
Mantengamos fijo uno de sus lados AB , hagamos crecer o decrecer sus lados adyacentes
AD y BC sin rotación, a condición de que el lado opuesto DC se mantenga paralelo al fijo
64
AD . Permitamos que los lados adyacentes AD y BC tomen ambos cualquier longitud
m > 0,
A
D
A
l
l
B
m
l
B
C
D
A
D
m
m<l
C
B
m=l
m
C
m>l
A cada una de las regiones así generadas se llama paralelogramo, figura plana limitada por
cuatro segmentos con lados opuestos paralelos.
Desde luego, usted puede imaginar otros procedimientos para generar paralelogramos a
partir de rombos o cuadrados, proponga un procedimiento diferente al expuesto.
Notemos que en un paralelogramo, los lados opuestos son iguales, pero dos lados
adyacentes no necesariamente tienen que ser iguales entre sí.
En un paralelogramo la distancia más corta entre dos lados opuestos se le llama altura
¿Cuántas alturas diferentes tiene un paralelogramo? Dibújelas.
E
A
D
l
B
m
C
AC//BD, AB//CD
AC=BD, AB = CD
AD diagonal mayor
BC diagonal menor
BE altura
Perímetro. Si denotamos como l y m las longitudes adyacentes de un paralelogramo,
entonces su perímetro es,
P = P (l , m) = 2(l + m)
Área. Se puede deducir que el área de un paralelogramo es igual a uno de sus lados por su
altura correspondiente,
A = A(l , h) = lh
Problemas propuestos
1. (a) ¿Es todo cuadrado un paralelogramo?, (b) ¿es todo rectángulo un paralelogramo?, (c)
¿es todo rombo un paralelogramo? , y (d) ¿es todo paralelogramo rectángulo?
2. ¿Cuándo las diagonales de un paralelogramo son iguales entre sí?
65
3. ¿Hay paralelogramos que tienen una diagonal perpendicular a dos lados opuestos?
4.. La diagonal menor de un paralelogramo mide 4.1 cm y es perpendicular a un lado que
mide 2.5 cm. Determine el área del paralelogramo.
5. Usando dibujos, explique por qué el área de un paralelogramo se puede calcular
multiplicando uno de sus lados por la altura correspondiente.
6.. Un paralelogramo tiene como diagonales D y d , y lados a y b . Deduzca la relación
D 2 + d 2 = 2(a 2 + b 2 ) .
7.. Un terreno tiene aproximadamente la forma de un paralelogramo. Sus diagonales miden
55 y 34 m y uno de sus lados mide 30 m. Aproxime su perímetro y su área.
8.. Proponga las dimensiones de un paralelogramo que tenga 40 m de perímetro.
alelogramo de una familia de paralelogramos tiene un área de 10 km2. Proponga
9. Cada paralelogramo
las longitudes de los lados de dos ellos.
10.. Considere la transformación del rectángulo en un paralelogramo no rectángulo de la
misma base y altura,
¿Por qué tienen la misma área?, Explique usando argumentos visuales.
11.. Un par de lados opuestos de un paralelogramo crece a partir de 5 pies con una rapidez
de 5 pies/s. El otro par de lados opuestos decrece a partir de 30 pies con un rapidez de 2
pies/s. (a)) ¿Su perímetro crece
crec o decrece?, y (b)) ¿a los cuantos segundos su área es cero?
12.. Entre todos los paralelogramos de igual base y altura. ¿Cuál de ellos tiene menor
perímetro? Haga dibujos.
2.7 Trapecio
Consideremos el paralelogramo ACDE y lados a y b ,
E
A
b
a
a
C
b
D
Imaginemos desplazar el vértice A sobre la semirrecta que contiene A y E con extremo en
E , a condición de mantener fijos los lados CD y DE . Es decir, mantengamos los lados
66
AE y CD paralelos y el lado DE constante, permitiendo que el lado AE tome cualquier
longitud b > 0 pero fija.
E
A
b
E
A b E
A
b
a
a
C
B
b>B
D
C
B
b=B
a
D
C
B
D
b<B
A cada una de las figuras así generadas se le llama, trapecio, región en el plano limitada
por cuatro segmentos con 2 lados opuestos paralelos.
Naturalmente, usted puede generar trapecios a partir de otras figuras y/o procedimientos.
Proponga un procedimiento.
Notemos que un trapecio tiene un par de lados paralelos, el otro par de lados pueden o no
serlos.
Generalmente, los lados paralelos se dibujan horizontalmente, a los lados paralelos se les
llaman bases. La distancia (más corta) que separa a las bases (lados paralelos) se le llama
altura.
b
A
E
AE // CD
CD
= B, base mayor
h
AE = b, base menor
h, altura
C
D
B
Problemas propuestos
1. Dibuje un trapecio que tenga lados paralelos con diferente longitud y lados no paralelos
de igual longitud. A este trapecio se le llama trapecio isósceles.
2. Dibuje un trapecio que tenga lados paralelos de diferente longitud y lados no paralelos
también con diferente longitud.
3. Dibuje un trapecio que tenga dos ángulos opuestos que obtusos.
4. Dibuje un trapecio que tenga dos pares de lados paralelos pero con longitudes diferentes
dos a dos. ¿Cómo se llama en particular este trapecio?
5. Dibuje un trapecio que tenga dos pares de lados paralelos y todos sus lados con igual
longitud. ¿Cómo se llama este tipo de trapecio?.
6. Dibuje un trapecio que tenga sus cuatro ángulos rectos, ¿Todo cuadrado es un trapecio?
67
7. Piense en la manera en que generamos el trapecio a partir del paralelogramo, ¿en qué se
degenera el trapecio si el punto A coincide con E ?
Perímetro. Está conformada por sus cuatro lados,
P = P ( B , b, m , n ) = B + b + m + n
El perímetro del trapecio es una función de cuatro variables reales positivas, si variamos una
cualquiera de ellas el perímetro variará, si variamos dos, tres o las cuatro simultáneamente, en
general el perímetro también variará.
Área del trapecio. Consideremos el trapecio,
b
h
x
y
b
B
Vemos que el área del trapecio se puede calcular sumando las áreas de los dos triángulos
rectángulos y del rectángulo del centro. Así,
A = xh 2 + yh 2 + bh
A = ( x + y )h 2 + bh
pero como,
B = x+ y +b o x+ y = B−b
Sustituyendo y simplificando en el área, tenemos,
A = A( B, b, h) =
( B + b) h
2
Usualmente se dice: El área del trapecio es igual a la semisuma de sus bases por su altura.
En un trapecio, si hacemos variar las longitudes, B, b o h de manera independiente, variará
su área, si hacemos variar dos de ellas su área puede cambiar o puede permanecer
constante, si hacemos variar conjuntamente las tres, también su área puede variar o puede
permanecer constante. En este sentido el área del trapecio es una función de tres variables.
68
2.7.1 Trapecio de mayor área. Consideremos el trapecio isósceles con base menor y lados
no paralelos iguales a L ,
x
L
L
h
L
Es claro que, su base mayor, su altura y por tanto su área dependen de la abertura de sus
lados no paralelos, haciendo variar x en el intervalo [0, L ] , vemos que el área del trapecio
varía. Estudiemos dicha variación, mediante la discusión siguiente o realizando la
Simulación trapecio.
Cuando x = 0 , el trapecio es un cuadrado de lados L y su área es L2 . Si hacemos crecer a
x , en principio el área del trapecio crece (mayor que el área del cuadrado inicial). Esto se
puede apreciar en los dibujos.
Area que
se pierde
Area que
se gana
Puesto que los vértices superiores se ubican sobre un arco de circunferencia de radio L , un
incremento en x le corresponde una disminución en la altura, pero esta disminución es más
pequeña que el incremento en x , entonces el área que se gana es mayor al área que se
pierde.
Por otro lado, cuando x toma valores cercanos a L , sucede lo contrario, el área que se
gana es menor que lo que se pierde. Entonces, para estos valores de x , al crecer ésta
decrece el área. Se ve también que la altura tiende a cero y el área de los trapecios tiende
también a cero. Finalmente, cuando x = L el área del trapecio es cero.
Las argumentaciones visuales nos llevan a concluir que para valores pequeños de x , al
hacer crecer x el área que se gana es mayor que lo que se pierde, por lo que el área de los
trapecios crece. Mientras que para valores de x cercanos a L , al hacer crecer x el área que
se gana es menor que lo se pierde, el área de los trapecios decrece. Esto nos sugiere que
debe existir un valor de x para el cual deje de ganar e inicia a perder área, en este valor el
trapecio alcanza su área máxima.
Por tanto, vemos que el área variable A del trapecio depende de la magnitud variable x , el
área es función de x . Puesto que podemos pensarlo como una variación continua, nos
imaginamos la gráfica cartesiana cualitativa de esta función así,
69
A
L2
0
L
x
Determinemos ahora la expresión analítica de A = A( x) . Dibujemos uno de los trapecios,
x
x
L
L
L
L
Podemos considerarla como formada por un rectángulo cuya área es Lh y dos triángulos
rectángulos iguales cuya área es xh 2 . Pero h = L2 − x 2 Por tanto el área del trapecio en
función de x es,
A( x) = ( L + x) L2 − x 2 , 0 ≤ x ≤ L
Para observar su gráfica y determinar el área máxima dividamos ambos lados entre L y
definamos las variables, B = A L y y = x L , tenemos,
B = (1 + y ) 1 − y 2 , 0 ≤ y ≤ 1
Su gráfica cartesiana con el Mathematica es,
A L2
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xL
70
A L2
1.295
1.290
1.285
0.45
0.50
0.55
0.60
xL
De ellas concluimos que cuando x = L 2 , se tiene el área máxima igual a A = 1.3L2
aproximadamente.
Con la metodología del cálculo diferencial se puede determinar con mejor precisión el área
máxima.
Problemas propuestos.
1. Dibuje 5 trapecios de diferente forma que tengan la misma área pero con diferente forma,
¿sus perímetros son iguales.
2. Determine las dimensiones de un trapecio que tenga la misma área que un cuadrado con
lados de 23.7 cm.
3. Determine las dimensiones de dos rectángulos diferentes que tenga la misma área que un
trapecio de base mayor 7 base menor 3 y altura 7.
4. Una pieza de vidrio de grosor homogéneo tiene la forma del triángulo siguiente. Se desea
cortarlo paralelamente a uno de los lados de manera que el peso del triángulo ABE sea
igual al peso del trapecio CDBE , ¿a qué distancia de dicha base debe realizarse el corte
para que sus pesos sean igual?
E
h
A
C
B
D
5. El área de un trapecio crece con una rapidez de 5 cm/s. Sus bases de 10 y 40 cm
permanecen constantes. Si el área inicial del trapecio era de 50 cm2. (a) Exprese su altura
71
en función del tiempo, (b) ¿a qué velocidad crece su altura?, y (c) ¿cuál era su altura
inicial?
6. Considere un trapecio isósceles de altura 4 cm. Llamemos diagonal al segmento que une
dos vértices opuestos. Imagine la diagonal como magnitud que se puede hacer variar. (a)
Haga dibujos. Si la diagonal es igual a 4 cm, ¿a qué se reduce el trapecio, cuál es su área?
Si se hace crecer la diagonal, ¿su área varía?, ¿puede hacerse depender dicha área de la
diagonal variable?, (b) determine el intervalo de variación de la diagonal, (c) exprese el
área del trapecio en función de la diagonal, y (d) Grafique dicha función.
7. Al hacer variar el ángulo α , la altura h , el lado x , el área y el perímetro del trapecio
varían, (a) ¿Cuál es el valor α para que el área del trapecio sea máxima?, (b) ¿cuál es el
valor α para que el perímetro del trapecio se máxima?, y (c) ¿cuál es el valor x que
corresponde al área máxima?
2
x
3
h
α
5
8. Imagine todos los trapecios sujetos a las condiciones que se muestran en el dibujo. Ud.
debe de dibujar otros más.
2
2
2
2
3
3
(a) ¿Tienen la misma área?, ¿por qué?, (b) ¿tienen diferente perímetro?, explique, (c)
¿Siempre se pueden encontrar dos diferentes que tienen el mismo perímetro?, dibújelos, (d)
si la base superior se ubica infinitamente alejada a la izquierda de la base inferior ¿cómo es
su perímetro?, explique, (e) ¿si la base superior se ubica infinitamente alejada a la derecha
de la base inferior, ¿cómo es su perímetro?, (f) entre todos esos trapecios existe un único
trapecio que tiene menor perímetro?, ¿qué tipo de trapecio es?, (g) determine el perímetro
de dicho trapecio.
2.8 Cuadrilátero convexo
Consideremos el trapecio ABCD ,
72
A
D
α
C
B
Seleccionemos uno de sus ángulos, digamos α , manteniendo fijos los lados BC y DC
desplacemos el vértice A a fin de que tome la posición de cualquier punto interior al
ángulo α y fuera del triángulo BCD ,
A
A
D
D
α
α
B
C
B
C
A cada una de las figuras así generadas se les llama cuadrilátero convexo o simplemente
cuadrilátero, figura plana limitada por cuatro segmentos, (solamente consideraremos
cuadriláteros convexos)
Por supuesto se pueden proponer otros procedimientos para generar cuadriláteros a partir de
cuadrados, rectángulos, rombos o trapecios, proponga un procedimiento.
Los segmentos que unen dos vértices opuestos se llaman diagonales del cuadrilátero.
Propiedades
1. La suma de sus cuatro ángulos internos es 360o,
2. La suma de tres lados cualesquiera es mayor que el cuarto.
Perímetro
Si las longitudes de sus lados los denotamos con m, n, r y s , entonces su perímetro está
dado por la relación,
P = P ( m , n, r , s ) = m + n + r + s
Rectángulo circunscrito
A cualquier cuadrilátero se puede circunscribir un rectángulo de tal manera que por lo
menos unos de sus lados este alineado con un lado de un rectángulo y tenga por lo menos
73
un vértice en común. Si el cuadrilátero no es cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo o
trapecio, el rectángulo circunscrito queda conformado por el cuadrilátero y tres triángulos
rectángulos,
Área
Si tenemos la figura de un cuadrilátero, conocemos las longitudes de sus cuatro lados y las
longitudes de sus diagonales, podemos calcular su área con la ecuación,
Área del cuadrilátero = Área del rectángulo circunscrito – Área de tres triángulos
Para ello debemos expresar los lados del rectángulo y los catetos de los tres triángulos en
términos de los lados y diagonales del cuadrilátero. Allí tendremos necesidad de emplear el
teorema de Pitágoras, y procesos algebraicos y aritméticos.
Por su puesto, el proceso anterior no es el único ni el más efectivo o apropiado para
aproximar el área de un cuadrilátero. De hecho, en la práctica, para aproximar el área de
una superficie plana la cual tiene la forma de un cuadrilátero, se usan otros procedimientos.
Por ejemplo, basados en nociones y procesos de (a) geometría y/o trigonometría, (b)
cálculo integral o (c) procedimientos utilizados en topografía.
Problemas propuestos
1. Sistematización de cuadriláteros. Considere las figuras y responda cada una de las
preguntas siguientes,
(a) ¿Qué característica tienen en común?
(i) todos los cuadriláteros,
(ii) el rectángulo y el rombo,
(iii) el cuadrado y el rectángulo,
(iv) el cuadrado y el rombo,
(v) el paralelogramo y el rectángulo,
(vi) el rombo y el paralelogramo,
(vii) el trapecio y el paralelogramo,
(viii) el trapecio y el cuadrilátero,
(b) ¿Qué cuadrilátero tiene todas las características que poseen las demás?,
(c) ¿Qué cuadrilátero posee la menor cantidad de características?,
(d) Defina con sus propias palabras cada uno de los cuadriláteros,
74
(e) ¿Todo cuadrado es rombo, todo cuadrado es trapecio, todo rectángulo es trapecio?
(f) ¿Todo cuadrado es cuadrilátero?, ¿todo cuadrilátero es cuadrado?,
(g) ¿Qué características tienen en común el cuadrado y el cuadrilátero?, ¿en qué se
diferencian?
Ct
T
Rm
Co
Rt
P
Co: cuadrado, Rt: rectángulo, Rm: rombo, P: paralelogramo
T: trapecio, Ct: cuadrilátero
2. Recordando el procedimiento para generar cuadriláteros. (a) Si el vértice A se ubica en
cualquier punto sobre la diagonal BD , ¿en qué se transforma el cuadrilátero?, (b) si el
vértice A se ubica en cualquier punto sobre cualquiera de los lados del ángulo α pero
exterior al triángulo BCD , ¿en qué transforma el cuadrilátero?, (c) si el vértice A se ubica
en un punto fuera del triángulo α , ¿qué tipo de figura se obtiene?, y (d) si el vértice A se
ubica sobre cualquier punto interior del triángulo BCD , ¿en qué se genera?
3. (a) Dibuje tres cuadriláteros convexos cualesquiera y diferentes, (b) circunscriba a cada
uno de ellos un rectángulo según lo especificado más arriba.
4. Dibuje un cuadrilátero convexo cualquiera, trace un segmento que junte dos vértices
opuestos. Usando este dibujo explique por qué la suma de sus ángulos internos en cualquier
cuadrilátero convexo es igual a 360°.
5. Un cuadrilátero tiene lados de 1, 2 y 3 m. El cuarto lado usted lo puede hacer variar, diga
el intervalo de valores que puede tomar dicho lado.
6. ¿Se puede construir un cuadrilátero que tenga lados 4, 17.5, 8 y 7 cm? Explique.
7. Un cuadrilátero tiene lados opuestos de 1 y 2 m. Los otros dos lados usted los puede
hacer variar, diga el intervalo de valores que pueden tomar cada uno de dichos lados.
75
8. (a) ¿Cuántos cuadriláteros de perímetro ½ cm existen?, (b) Proponga las dimensiones de
dos cuadriláteros que tengan un perímetro de ½ cm.
9. Un cuadrilátero tiene dos ángulos internos que miden 20º y 160º. Las medidas de los
otros dos pueden variar. Determinen los intervalos de variación de dichos ángulos.
10. En el siguiente cuadrilátero los ángulos α , β y γ son variables. Determine los
intervalos de valores que pueden tomar,
β
k
α
60o
γ
k
11. Un terreno plano tiene aproximadamente la forma del cuadrilátero ABCD , sus
diagonales miden BD = 25 m y AC = 31.4 m,
D
D
y
z
17.5
17.5
25
A
30
30
A
31.4
15
15
B
20
C
x
B
20
C
Aproxime el área del terreno. Sugerencia, use el esquema de la derecha, determine los
valores de x, y y z , plantee igualdades con el teorema de Pitágoras, sume y reste áreas.
12. Considera la figura,
76
a
b
c
c
b
b
a
a
Identifique dos pares de cuadriláteros de igual área. De allí establezca el teorema de
Pitágoras.
2.9 Polígonos regulares
Cualquier figura plana limitada por n > 2 segmentos (lados) de igual longitud y que tenga
todos sus ángulos internos iguales se llama polígono regular o sencillamente polígono. En
la tabla que sigue nombramos algunos. Un polígono no regular se le llama polígono
irregular.
Número de lados
3
4
5
6
7
8
--n
Nombre
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
------------n − ágono
Los segmentos que forman el polígono se llaman lados. Los puntos en común de los lados
se llaman vértices. El ángulo que forman dos lados que se intersecan se llama ángulo
interno. El centro de la circunferencia circunscrita o inscrita a polígono regular se llama
centro del polígono. El segmento que une el punto medio de un lado con el centro del
polígono se llama apotema. Veamos estos elementos en un pentágono.
77
α
L
C
P
α
L
C
A
P
A
C, centro; CP, apotema; AL, lado, α, ángulo interno
Perímetro. El perímetro de un polígono de n lados con longitud L , está dado por,
P = P ( n, L) = nL
Área. El área de un polígono de n lados con longitud L , con perímetro P y apotema a ,
está dada por,
A = A(n, L, a) = nLa 2
A = A( P, a) = Pa 2
2.9.1 Aproximación de π
Veamos un procedimiento que nos permite aproximar el valor del número irracional π . El
procedimiento consiste en construir una fórmula que exprese el perímetro del polígono de
2n lados en función del perímetro del polígono de n = 2k , k ≥ 2 lados, ambos inscritos en
una circunferencia de radio R . Se parte con la aproximación del perímetro del cuadrado, se
usa este valor para aproximar perímetro del octógono, se usa es último valor para
aproximar el perímetro del polígono de 16 lados y así sucesivamente, observando el valor a
que tiende el perímetro cuando n toma valores cada vez más grandes. Visualizamos que
dicho sucesión de perímetros no pueden crecer sin límite pues esta acotada por la
circunferencia de longitud finita. Así vemos que cuando n tiende al infinito, la sucesión de
perímetros tiende a la circunferencia de radio R o al perímetro del círculo.
Consideremos dos polígonos regulares de n = 2k , k ≥ 2 y de 2n lados inscritos en una
circunferencia de radio R , de tal manera que n vértices del primero coincidan con n
vértices del segundo (esto siempre se puede hacer). Fijémonos en una parte de ellos,
78
P
R
y/2
x
O
y
S
Q
x
y/2
OP = OQ = OT = R, radio
de la circunferenica
PT = y, lado del polígono
de n lados
PQ = QT = x, lado del
polígono de 2n lados
R
T
R-h
h
R
Relacionemos el perímetro Pn del polígono de n lados con el perímetro de polígono P2n de
lados 2n .
Primeramente, tenemos que P2 n = 2nx y Pn = ny .
De los triángulos rectángulos tenemos R 2 = h 2 + y 2 4 y x 2 = y 2 4 + ( R − h) 2 . De estas
ecuaciones tenemos,
2
y2 
y2 
x=
+  R − R2 −

4 
4 
Multiplicando por 2n en ambos lados, sustituyendo y = Pn n y simplificando obtenemos,
2
2
2
P  
P  
(1)
P2 n = 2n  n  +  R 2 − R 2 −  n  
 2n  
 2n  
Esta fórmula nos permite determinar el perímetro P2 n de un polígono 2n de
lados
sabiendo el perímetro Pn de un polígono de n lados. Para el caso particular, si conocemos
el perímetro P4 del polígono de 4 lados, con ella podemos conocer el perímetro P8 del
polígono de 2(4) = 8 lados; luego si ya conocemos el perímetro P8 del polígono de 8 lados,
con esa misma fórmula podemos determinar el perímetro P16 del polígono de 2(8) = 16
lados, y así sucesivamente determinar los perímetros de polígonos de 32, 64, 128, 256,
etc., número de lados.
Iniciemos determinando el perímetro del polígono de 4 lados (el cuadrado)
79
y
R
R
Donde n = 4, y = 2 R y P4 = 4 2 R ≈ 2(2.82842712474619) R
Podemos sustituir en la ecuación (1) el valor de P4 , y determinar P8 . Por supuesto esto
involucra un cálculo numérico tedioso. Se puede usar algún programa de cómputo con el
cual realizar más cómodamente dichos cálculos. Para ello hay que modificar previamente la
fórmula (1).
Notamos que los perímetros de los polígonos se pueden expresar en la forma Pn = 2kn R .
Por lo que al sustituir esta expresión en la fórmula (1) y luego simplificarla queda,
2
2
k  
k  
P2 n = 2n  n  + 1 − 1 −  n   R
 n  
 n  
En esta fórmula, puesto que, los factores 2 y R se mantienen constantes, y P2n tiende a un
valor finito, la longitud de la circunferencia, entonces lo necesitamos es ver a qué valor se
aproxima,
2
 kn  
 kn 
k2 n = n   + 1 − 1 −  
 n  
n




2
Cuando n toma los valores 2, 4,8,K , al infinito, escrito en potencias de 2
Proponemos el cálculo de dichos valores con comandos del Mathematica,
2m , con m ≥ 2
80
In[1]:=
For n 2; t
N 2
Print "Si n
2 , 15 , n 18, n
", 2n 1, ", kn
,t
n
N 2
t
2n
2
1
1
t
2n
2
2
, 15 ;
", t
Si n
8, kn
3.06146745892072
Si n
16, kn
3.12144515225805
Si n
32, kn
3.13654849054594
Si n
64, kn
3.14033115695475
Si n
128, kn
3.14127725093277
Si n
256, kn
3.14151380114430
Si n
512, kn
3.14157294036709
Si n
1024, kn
3.14158772527716
Si n
2048, kn
3.14159142151120
Si n
4096, kn
3.14159234557012
Si n
8192, kn
3.14159257658487
Si n
16 384, kn
3.14159263433856
Si n
32 768, kn
3.14159264877699
Si n
65 536, kn
3.14159265238659
Si n
131 072, kn
3.14159265328899
Si n
262 144, kn
3.14159265351459
P4
= 2 2 , finaliza calculado la
2
mitad de perímetro de un polígono regular de 262,144 lados. El número de lados se
representa como potencias de 2. Permitiendo en el programa que n tome valores mayores se
puede obtener mayor número de cifras decimales de kn .
En cálculo inicia con la mitad del perímetro del cuadrado
De los resultados de la tabla vemos que cuando el número de lados n crece, kn tiende al
número irracional: 3.141592653... simbolizado con π . Esto es kn → π . Pero cómo el
polígono regular tiende a la circunferencia, concluimos que el perímetro P del círculo o
circunferencia de radio R debe ser, como ya lo mencionamos anteriormente,
P = 2π R
De ella obtenemos,
P R = 2π ó P D = π
Esto es, el cociente de dividir el perímetro de un círculo o circunferencia entre su diámetro
es igual a el número irracional π .
81
Observación. (a) Se puede considerar a la circunferencia como la curva límite a que tiende
un polígono regular inscrito en ella cuando su número de lados tiende a infinito. Se puede
considerar a la circunferencia como formada por una infinidad de segmentos rectos
infinitamente pequeños e iguales. (b) Se puede probar también para el caso de polígonos
regulares circunscritos a una circunferencia, que cuando su número de lados tiende a
infinito, su perímetro tiende a la circunferencia, y concluir que cumple la fórmula del
perímetro del círculo.
Problemas propuestos.
1. Es claro que el perímetro P del polígono de n lados con longitud L , está dada por la
relación, P = nL ¿Qué polígono tiene mayor perímetro, un con n = 1000 y L = 20 u otro
con n = 1005 y L = 19 ?
2. Muestre que el área de un polígono regular (llamada región poligonal) de perímetro P y
apotema a , se puede expresar como,
A = A( p, a) = Pa 2
3. En un cuadrado de lado 4.3 cm, ¿cuánto mide su apotema?
4. Un polígono tiene un perímetro de 500 y cada uno de sus lados mide 100, ¿Cómo se
llama el polígono?
5. Calcule el área y perímetro de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio 1.
Considere la formación del hexágono con triángulos equiláteros.
6. ABCD es un cuadrado. El octógono regular tiene un área de 8 m2. (a) Determine el valor
de x , (b) Determine el área y el perímetro del cuadrado.
A x
x D
x
x
x
x
B
x
x
C
7. Usando la fórmula (1) deducida en la sección sobre aproximación de π , muestre que el
perímetro de un polígono regular de 8 lados inscrito en una circunferencia de radio R es:
P8 = 2(4 2 − 2 ) R
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8. Determine el área y perímetro de un hexágono circunscrito en una circunferencia de
radio R .
9. Un triángulo equilátero, un cuadrado, un rectángulo, un hexágono y una circunferencia
tienen un perímetro de 120 cm. Calcule el área de cada uno de ellos y determine cuál de
ellos tiene la mayor área.
10. Un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono y una circunferencia tienen un área
de 100 plg². Determine cuál de ellos tiene el menor perímetro.
11. Determine los lados de tres polígonos regulares que tengan un perímetro de 26 cm, y
cuyo número de lados sea mayor que 456.
12. ¿Cuántos polígonos diferentes con área 4.3 cms² existen?
13. ¿Se puede incrementar el número de lados de un polígono sin que su perímetro cambie?
Explique.
14. Cierto polígono regular tiene un área de 100 cm² y un perímetro de 20 cm. ¿Cuánto
mide su apotema?
15. Se tienen dos polígonos, uno con m lados y otro con n lados, donde m > n ,
¿necesariamente el de mayor número de lados tiene mayor perímetro? Explique.
16. Dibuje polígonos convexos no necesariamente regulares de 4, 5, 6, y 7 lados. Una con
segmentos a un único vértice con los demás que no le sean adyacentes. (a) ¿Cuántos
triángulos se forman en cada uno de ellos? Llene la tabla siguiente.
n
número de triángulos
4 5 6 7
(b) ¿Cuántos triángulos se formarán para polígonos de 8 lados?, ¿para 9 lados?, ¿qué
relación existe entre el número de lados del polígono y el número de triángulos que se
forman?, ¿Cuántos triángulos se formarán para n lados? (c) Note que la suma de los
ángulos internos del polígono es igual a la suma de los ángulos internos de todos los
triángulos que se forman. De esta observación deduzca que la suma de los ángulos internos
de un polígono de n lados se puede calcular con, 180°( n − 2), n > 2 ó π ( n − 2) radianes.
17. Existen polígonos cuya suma de sus ángulos internos es de (a) 36,000°, (b) 17,507°.
18. Si el número de lados de un polígono tiende a infinito, ¿cómo es la suma de sus ángulos
internos?
83
19. El lado de un hexágono crece con una rapidez de 3 cm/s a partir de 2.5 cm. (a)
Determine la rapidez con que crece su perímetro a los 4 s, (b) Exprese su área en función
del tiempo.
20. El lado de un polígono regular de n lados crece a partir de 5 cm con una rapidez
constante de 5 cm/s. Determine con qué rapidez crece su perímetro.