Soluciones

Master en Economı́a
Macroeconomı́a II 2013
Profesor: Danilo Trupkin
Set de Problemas 1 - Soluciones
1
Modelo de Solow con Capital Humano
Asuma que la función de producción está dada por:
Y = K α H λ (AL)1−α−λ ,
donde Y es el producto, K es el capital fı́sico, H es el capital humano, A es el nivel de la
tecnologı́a, y L es el trabajo. Asuma que α > 0, λ > 0, y α+ λ < 1. Las variables L y A
crecen a tasas constantes n y g, respectivamente. El producto puede ser usado uno a uno
para consumo o inversión en cualquier tipo de capital. Ambos tipos de capital se deprecian
a un tasa constante, δ. Asuma que la inversión bruta en capital fı́sico es una fracción sK
del producto, en tanto que la inversión bruta en capital humano es una fracción sH del
producto.
1. Sea k ≡ K/AL, y h ≡ H/AL. Obtenga las leyes de movimiento para k y h (k̇ y ḣ).
Respuesta: Primero, expresamos k̇ explı́citamente:
k̇ =
k̇ =
k̇ =
K̇(AL) − K(ȦL + AL̇)
(AL)2
!
Ȧ L̇
K̇
−
+
k
AL
A L
K̇
− (g + n) k
AL
Operando sobre el movimiento del capital, K̇ = IK − δK, donde IK es la inversión
bruta en capital fı́sico, tenemos:
K̇ = sK Y − δK
K̇
Y
K
= sK
−δ
AL
AL
AL
K̇
= sK y − δk
AL
donde y ≡ Y /AL = k α hλ .
1
Introduciendo esto en nuestra ecuación para k̇, tenemos nuestra ecuación de movimiento
par k:
k̇ = sK k α hλ − (g + n + δ)k
Por simetrı́a, también podemos mostrar que nuestra ley de movimiento para h está
dada por:
ḣ = sH k α hλ − (g + n + δ)h
2. Cuáles son los valores de steady state del capital fı́sico, del capital humano, y del
producto, todos en unidades de trabajo efectivo?
Respuesta: El steady state para k (el cual voy a llamar k ∗ ) ocurre cuando k̇ = 0.
Usando nuestra solución en la parrte anterior, sabemos que esto sucederá cuando:
sK k α hλ = (g + n + δ)k
Entonces,
∗
k =
s K hλ
g+n+δ
1
1−α
(1)
Por lógica similar,
∗
h =
sH k α
g+n+δ
1
1−λ
(2)
Con un poco dee álgebra, podemos usar (1) y (2) para resolver:
!
1
1−α−λ
=
λ
s1−λ
K sH
g+n+δ
!
1
1−α−λ
h∗ =
1−α
sαK sH
g+n+δ
k
∗
Finalmente, introduciendo k ∗ y h∗ en nuestra fórmula y = k α hλ , tenemos:
y
∗
y
∗
1−λ λ
sK
sH
g+n+δ
=
=
!
α
1−α−λ
sαK sλH
(g + n + δ)α+λ
sαK s1−α
H
g+n+δ
!
λ
1−α−λ
1
1−α−λ
3. Cuál es la tasa de crecimiento del producto per capita en steady state? Si pensamos
que todos los paı́ses se encuentran en su steady state, puede este modelo explicar por
2
qué el ingreso per capita crece a tasas diferentes entre paı́ses?
Respuesta: Tomando logaritmos a nuestra expresión para y ∗ , y diferenciando con
respecto al tiempo, vemos que:
Ẏ
L̇ Ȧ
− −
Y
L A
Ẏ
L̇
−
Y
L
= 0
=
Ȧ
=g
A
Luego, la tasa de crecimiento del producto per capita iguala la tasa de crecimiento
de la tecnologı́a en esta economı́a, g.
Si asumimos que todos los paı́ses están en su steady state, entonces todos deberı́an
crecer a la misma tasa g, asumiendo que el crecimiento de la tecnologı́a es el mismo
en todos los paı́ses. Ası́, esto estarı́a indicando que el modelo no puede predecir las
diferencias de crecimiento per capita entre paı́ses. En particular, porque el modelo de
Solow toma g como dado, y no explica de hecho por qué g podrı́a diferir entre paı́ses.
4. Este modelo de Solow aumentado puede ser testeado empı́ricamente con datos ‘crosscountry’ si asumimos que todos los paı́ses están en sus steady states.
(a) Derive una ecuación de regresión log-lineal para el producto por trabajador que
podrı́a estimar usando OLS (mı́nimos cuadrados ordinarios), asumiendo que
tiene medidas para si,K , si,H , δ i , ni para cada paı́s i, y que g y A0 son conocidos
y constantes entre paı́ses.
Respuesta: Notemos que Yt /Lt = At y ∗ = At
h
λ
sα
K sH
(g+n+δ)α+λ
1
i 1−α−λ
. Tomando
logaritmo de esta expresión, tenemos lo siguiente:
ln(Yt /Lt ) = ln At +
1
[α ln sk + λ ln sH − (α + λ) ln(g + n + δ)].
1−α−λ
Luego, sustituyendo para At = A0 egt , tenemos nuestra ecuación log lineal:
ln(Yt /Lt ) = ln A0 +gt+
α
λ
α+λ
ln sk +
ln sH −
ln(g+n+δ),
1−α−λ
1−α−λ
1−α−λ
la cual podemos estimar por OLS de la manera siguiente:
ln(Yi /Li ) = β 0 + β 1 ln si,k + β 2 ln si,H + β 3 ln(g + n + δ)i + i .
De hecho, podemos testear este modelo chequeando si β 1 + β 2 + β 3 = 0.
3
(b) Brinde 1 o 2 ejemplos breves de ciertos problemas que pudieran aparecer al
estimar esta ecuación por OLS.
Respuesta: Qué problemas podrı́an aparecer de esta estimación? Muchos.
Por ejemplo, podrı́amos tener un sesgo por variable omitida si tanto la inversión
como el ingreso per capita están correlacionados con variables no observables que
pudieran variar entre paı́ses, como las instituciones, los derechos de propiedad,
entre otras. También podrı́amos tener un problema de ‘reverse causality’ si las
tasas de crecimiento de la población y de los ahorros son funciones del ingreso.
Finalmente, en la práctica es muy difı́cil medir muchas de las variables del modelo, especialmente la tasa de inversión en capital humano.
2
Impuesto al Capital en el Modelo de Ramsey
Considere una economı́a à la Ramsey, tal cual fue descripta en clase, en su steady state.
Suponga que al momento 0 – llamémosle t0 –, el gobierno comienza a imponer un impuesto
τ al ingreso por inversión. Ahora, la tasa de interés real que enfrentan las familias es
0
rt = (1−τ )f (kt ).1 Asuma que el gobierno devuelve los ingresos de dicho impuesto en forma
de transferencias “lump-sum”. Asuma, finalmente, que este cambio no fue anticipado por
los agentes.
.
.
1. Cómo afecta este impuesto a las funciones c = 0 y k = 0?
Respuesta: La tasa real de retorno al capital, después de impuestos, es ahora
0
(1 − τ )f (kt ). Entonces, el problema de maximizacion de la familia tı́pica darı́a como
resultado la siguiente Euler condition:
.
1
c
0
=
ucc c [(1 − τ )f (k) − ρ]
c
(− uc )
.
La condición requerida para c = 0 está dada por (1 − τ )f 0 (k ∗ ) = ρ. Comparado con
el caso sin impuesto, f 0 (k), la tasa de retorno antes de impuesto, deberá ser mas alta
.
ahora y entonces k ∗ deberá ser mas bajo para satisfacer c = 0. Ası́, esta linea vertical
se desplazará hacia la izquierda. Por su parte, la ecuación que describe la dinámica
.
del stock de capital per capita, k = 0, está dada todavı́a por
.
k ≡ f (k) − c − nk.
Esta ecuación no cambia ya que el impuesto cobrado sobre el ingreso por inversión es
1
Para simplificar, suponga que la tasa de depreciación del capital es nula, i.e., δ = 0.
4
transferido de vuelta a las familias en forma de transferencia “lump-sum”.
2. Cómo responde la economı́a a la adopción del impuesto al momento t0 ? Cuáles son
las dinámicas luego de t0 ?
Respuesta: Al momento 0, cuando el impuesto es aplicado, el stock de capital per
capita está dado por la historia de la economı́a (recuerden que es una variable de
estado, y por tanto no puede “saltar”). La misma permanece igual a k ∗ , en el viejo
steady state.
Por el contrario, c, la variable de control de nuestro problema, puede cambiar discontinuamente al momento en que el impuesto es introducido. Noten que este salto en el
consumo no es inconsistente con el concepto de consumption smoothing, dado que el
impuesto fue “inesperado”. De esta manera, el consumo aumenta al momento de la
aplicación del impuesto, de modo que la economı́a se encuentra sobre el nuevo “saddle
path”. Dado que el retorno a la inversión es menor ahora, las familias reemplazan
ahorro por consumo; es decir, deciden óptimamente consumir más ahora, trasladando
consumo futuro hacia el presente. Después del momento 0, la economı́a se dirigirá
gradualmente a través del nuevo sendero de equilibrio hacia un menor consumo y un
menor capital en steady state (ver Figura 1).
c
⋅
c=0
⋅
k =0
k**
k*
k
Figure 1: El efecto del impuesto
3. Cómo se comparan los nuevos valores de c∗ y k ∗ con respecto a los viejos valores de
steady state?
5
Respuesta: En el nuevo steady state, el impuesto distorsivo sobre el ingreso por
inversión generó que la economı́a tuviera menores niveles per capita de consumo y
capital.
4. Suponga que hay varias economı́as como esta. Las preferencias son las mismas en
estas economı́as, pero las tasas impositivas sobre la inversión pueden diferir. Asuma
que cada paı́s se encuentra en su steady state.
(a) Muestre que la tasa de ahorro de steady state, (y ∗ − c∗ )/y ∗ , es decreciente en τ .
Respuesta: Del análisis anterior, sabemos que, a mayor impuesto, menores
serán los niveles per capita de capital y consumo, ceteris paribus. Recordemos
.
que a mayor τ , más se desplaza hacia la izquierda la vertical c = 0, entonces,
∂k ∗ /∂τ < 0.
En el steady state, la tasa de ahorro s se define como [f (k ∗ )−c∗ ]/f (k ∗ ). Dado que
.
en dicha posición se cumple k = 0, entonces podemos escribir f (k ∗ ) − c∗ = nk ∗ .
De aquı́, podemos re-escribir la tasa de ahorro como
s=
nk ∗
.
f (k ∗ )
Ahora, usemos esta ecuación para obtener la derivada de la tasa de ahorro respecto a τ , con k ∗ como función de dicho impuesto:
∂s
∂τ
=
=
=
=
∗
1
∂k ∗
∗
∗ 0 ∗ ∂k
n
f (k ) − nk f (k )
[f (k ∗ )]2
∂τ
∂τ
n
∂k ∗ f (k ∗ ) − k ∗ f 0 (k ∗ )
[f (k ∗ )]2 ∂τ
k ∗ f 0 (k ∗ )
n ∂k ∗
1−
f (k ∗ ) ∂τ
f (k ∗ )
∗
n ∂k
[1 − αk (k ∗ )] < 0,
f (k ∗ ) ∂τ
donde αk (k ∗ ) es el share de steady state del capital en el ingreso, antes de
impuesto, el cual debe ser menor a 1. De esta manera, la tasa de ahorro de
steady state es decreciente en el impuesto sobre la inversión.
(b) Es verdad que los ciudadanos del paı́s con menor τ , y mayor ahorro, tienen incentivos a invertir en los paı́ses con mayor τ y menor ahorro? Explique brevemente.
Respuesta: Quienes viven en el paı́s con menor τ , y por tanto mayor ahorro y
mayor k ∗ , no tienen incentivos a invertir en los paı́ses con mayor τ . Recordemos
.
del punto 1., que la condición de c = 0 se satisface en tanto (1 − τ )f 0 (k ∗ ) = ρ.
Esto es, la tasa de retorno luego de impuesto es igual a ρ. Dado que se asumen
6
economı́as iguales (excepto por sus tasas impositivas), entonces debemos tener
que las tasas de retorno también seran iguales en estos paı́ses (en realidad, son
los niveles de capital y consumo de steady state los que difieren). De este modo,
no hay incentivos para trasladar ahorro de un paı́s a otro.
(c) Implica su respuesta en el item 3, que una polı́tica de subsidio a la inversión
(esto es, hacer τ < 0) financiada con un impuesto “lump-sum” a las familias,
incrementa el bienestar? Explique brevemente.
Respuesta: Teniendo en cuenta los puntos anteriores, uno podrı́a pensar que los
gobiernos deberı́an entonces subsidiar la inversión y financiarla con un impuesto
lump-sum. Esto llevarı́a a mayores niveles per capita de capital y consumo en el
steady state. Pero la respuesta es que el gobierno no deberı́a llevar a cabo esta
polı́tica. Es que la solución original de mercado llevaba ya al mismo resultado
que puede obtenerse a través de un planificador central que maximiza la “lifetime
utility” de una familia representativa, sujeta a su restricción de recursos. Con
lo cual, aquel resultado sin subsidio llevaba al máximo de utilidad intertemporal
que puede obtenerse. El argumento es el mismo que se utiliza cuando se explica
la razón por la que los agentes no eligen el consumo de la golden rule. Notemos
.
que una baja en τ lleva a un desplazamiento de la función c = 0 hacia la derecha.
El ajuste en t0 conduce a una caı́da del consumo, el cual luego gradualmenbte
aumenta hacia su nuevo steady state de nivel superior. Ocurre que esta caı́da del
consumo en el impacto de la politica conlleva a un costo en términos de utilidad
que es mayor a la ganancia obtenida con el mayor consumo de largo plazo (todo
en términos de valor presente).
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