1. La Geometría en la Edad Contemporánea.

1. La Geometría en la Edad Contemporánea.
La aparición de la Geometría Analítica trajo consigo una nueva forma de entender la
Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituyó al antiguo, el sintético, consistente
en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El
método sintético estaba a esas alturas casi agotado. Aunque aun dará algunos
resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos
resultados no era ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente
importantes que se harían más adelante en el campo de la Geometría vendrán de la
mano de métodos algebraicos o diferenciales. Este método sintético dio paso al
algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio
de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raíces de
polinomios. Sólo volvió a abordarse cuando aparecieron las geometrías no
euclidianas, y definitivamente dejó de ser un instrumento de investigación geométrica
a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y
herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.
El método algebraico se desarrolló gracias al avance en Álgebra hecho durante el
siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permitió generalizar la
Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y
que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a
la circunferencia, claro-. Este método cimentó la Geometría Algebraica, aunque hasta
el siglo XX no salió de las nociones iniciales descritas por Descartes, Fermat y
Newton. El motivo fue la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto
grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, cuando se desarrollaron la Teoría de
Anillos y el Álgebra Conmutativa.
El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una
curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la
que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de
todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace
de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya
considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z). Éste fue el origen del Cálculo
Infinitesimal.
Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la
tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados
en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada
uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y
la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas
geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo
Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural
que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre
los conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los
ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la
diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies
(como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres
variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría quedó supeditada a sus
aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de
Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las
ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas,
como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será el
caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de la Función Implícita.
Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece
que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.
Los matemáticos más importantes de la época de la Revolución Francesa fueron, casi
sin excepción, franceses, pero coincidiendo con los comienzos del siglo XIX Francia
tuvo que compartir de nuevo los honores del liderazgo con otros países. El matemático
más grande de la primera mitad del siglo XIX, y quizá de todos los tiempos, fue un
alemán que nunca viajó fuera de Alemania, Carl Friedrich Gauss, a quien
dedicaremos especial interés más adelante.
No obstante, uno de los precursores del avance de las matemáticas, y de la geometría
en particular, en aquella época fue el suizo Leonhard Euler. A él dedicaremos unas
líneas.
1.1. Leonhard Euler.
Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18
de septiembre de 1783), fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal
matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Vivió en
Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en
áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte
de la moderna terminología y notación matemática, particularmente en el área del
análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se
le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras
completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Laplace dijo de él: «Lean
a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»
Su padre, Paul Euler, pastor calvinista, era amigo de la familia Bernoulli, famosa
familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese
momento era ya considerado el principal matemático europeo. Este hecho condicionó
decisivamente la vida de Euler.
Euler se formó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de
Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac
Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos
los sábados por la tarde, quien ya descubrió su increíble talento para las
matemáticas.En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la propagación
del sonido bajo el título De Sono.
Gracias a la influencia de la familia Bernoulli, Euler consiguió en el año 1726 un puesto
en la Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo, donde trabajó
estrechamente con Daniel Bernoulli. La Academia de San Petersburgo, creada por
Pedro I de Rusia, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir
la diferencia científica existente entre ese país y la Europa Occidental. Como
resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros,
como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy
extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza.
La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor
de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la
facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.
Abandonó Rusia en el año 1741, muy preocupado por los acontecimientos políticos
que estaban teniendo lugar en Rusia, para recalar en la Academia de Berlín, cargo
que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco
años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. Con posterioridad retornó a
Rusia donde murió en el año 1783.
1.1.1.
Contribución de Euler a las Matemáticas.
Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo,
trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y
otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia.
Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al
año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su
obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de
sus trabajos, llamados Opera Omnia comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a
publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72
volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos
en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Por todo ello, el nombre de
Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los
escritos matemáticos. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto
de función, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f
aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad
frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha,
iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del
último. Introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas (seno,
coseno, tangente,…), la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el
número e es conocido también como el número de Euler),
la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios, o la letra i para hacer referencia a
la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente
entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue
popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.
El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación
matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte
del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo
se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler, que fue muy
conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la
expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:
Descubrió la expansión de series de potencias de la función arcotangente, y resolvió el
problema Basilea en 1735, que probaba la siguiente identidad:
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las
demostraciones analíticas, y definió con éxito logaritmos para números negativos y
complejos. También definió la función exponencial para números complejos, y
descubrió su relación con las funciones trigonométricas:
Como caso particular, la conocida identidad de Euler:
Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en
matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las
importantes constantes 0, 1,e,i y π.
Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que
no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función
Gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado.
También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que
sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones
incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de EulerLagrange.
En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de
Königsberg. La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado,
en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban
conectadas entre ellas y con las dos riberas del río mediante siete puentes. El
problema consistía en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todos los
puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler
logró probarlo matemáticamente demostrando que no existía un ciclo euleriano debido
a que el número de puentes en más de dos bloques era impar.
A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos
planos. Euler también introdujo la característica de Euler de una superficie poliédrica,
que relacionaba el número de lados, vértices y caras de la misma. Utilizó esta idea
para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos
conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula,
especialmente por Cauchy y L'Huillier, supuso el origen de la Topología.
Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos
notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a
una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el
baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.
1.2. K. F. Gauss: El príncipe de las Matemáticas.
Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, al norte de Alemania, el 30 de
abril de 1777 y murió el 23 de febrero de 1855 en Götingen. Nació en una familia muy
humilde. Su padre, Gerhard Diedrich Gauss, se dedicaba a la jardinería, la albañilería
y a la construcción de canales. Todo parece indicar que el genio de Gauss y sus
primeros estímulos intelectuales provienen de la familia materna. Desde el momento
de su nacimiento, Gauss fue el orgullo de su madre Dorothea Benz, mujer alegre y
optimista, de aguda inteligencia, que notó muy pronto que su hijo era algo especial y lo
protegió hábilmente de las intenciones del padre de hacerlo jardinero y albañil. Cuidó
de ella hasta su muerte, cuando Gauss tenía ya 62 años. Gauss se casó en dos
ocasiones y tuvo varios hijos.
Gauss fue un verdadero niño prodigio, corrigió un error en las cuentas salariales de su
padre a la edad de tres años. De niño asistió a la escuela local, dirigida por un
maestro de costumbres rutinarias. Un día, con el fin de mantener la clase atareada y
en silencio durante un buen rato, el maestro tuvo la idea de hacer sumar a sus
alumnos todos los números del 1 al 100. No sólo acabó en unos segundos, sino que
su pizarra fue la única que tenía el resultado correcto: 5.050 sin ningún cálculo
accesorio. Había hecho evidente el cálculo mental de sumar la progresión aritmética
1+ 2+ 3+ ...+ 98+ 99+ 100 asociando parejas de términos igualmente alejados de los
extremos, es decir, esencialmente utilizando la fórmula (m+1) m/2.
A los quince años comenzó en Brunswick su enseñanza media gracias al mecenazgo
del duque de Brunswick. Muy impresionado por el muchacho, sufragó sus estudios en
el Colegio Carolino en Brunswick (1792-1795) y más tarde en la Universidad de
Götingen (1795-1798). En el Colegio Carolino había inventado ya, y justificado, el
método de mínimos cuadrados, una década antes de que Legendre publicara el
mismo artificio.
A los 19 años construyó con regla y compás el polígono regular de 17 lados.
Pensemos que desde hacía más de 2.000 años se sabía cómo construir con regla y
compás el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular (así como algunos
otros polígonos regulares cuyos números de lados son múltiplos de dos, de tres o de
cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados.
Desde entonces mantuvo un diario (el diario de Gauss) en el que fue apuntando,
durante los 18 años siguientes, algunos de sus más grandes descubrimientos. Ese
diario consta de 19 páginas solamente y contiene 146 resultados, es probablemente
el más precioso documento de toda la historia de las matemáticas. Por medio de este
diario es posible comprobar que Gauss fue el primero en obtener algunos resultados
sobre los que más tarde hubo disputas de prioridad, así como, y esto es mucho más
importante, seguirle la pista al desarrollo de su genio, dado que algunos de sus
pensamientos más originales no se publicaron durante su vida. Dicho sea de paso, su
escasa disposición a publicar es comparable únicamente a la de uno de sus rivales
modernos en cuanto a la fama matemática, Isaac Newton. (El otro, Leonhard Euler, no
se le parece en absoluto en este aspecto, pues ha sido el matemático más prolífico.)
El diario de Gauss no fue publicado hasta 1901, por Felix Klein.
A principios de 1855 empezó a sufrir de dilatación cardiaca, disnea y algunos síntomas
de hidropesía. Después de una intensa lucha por la vida, murió pacíficamente en la
madrugada del 23 de febrero de 1855, sin haber cumplido los 78 años de edad. Gauss
está enterrado en Götingen, donde vivió la mayor parte de su vida. El cerebro de
Gauss, con sus numerosas y profundas circunvoluciones, se encuentra en una
colección anatómica en la Universidad de Götingen. La mayor parte de sus biógrafos y
muchos científicos coinciden en aseverar que Arquímedes, Newton y Gauss han sido
los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Como tributo a la monumental
obra de Gauss, se le conoce como el príncipe de las matemáticas.
1.2.1.
Gauss y la representación gráfica de los números complejos.
.Durante breves períodos de tiempo Gauss abandonaba Götingen para asistir a la
Universidad de Helmstädt, y fue en esta última en la que recibió su doctorado en 1798.
La tesis, publicada en Helmstädt en 1799, llevaba en latín el aplastante título:
“Nueva Demostración del Teorema que Afirma que toda Función Algebraica Racional
y Entera de una variable puede resolverse en Factores Reales de Primero o de
Segundo Grado”.
Este teorema, al que se refería Gauss más tarde con el nombre de “teorema
fundamental del álgebra”, es esencialmente la proposición conocida en Francia como
el “teorema de
d’Alembert”, pero Gauss demostró que todos los intentos de demostración anteriores,
incluyendo algunos de Euler y de Lagrange, eran incorrectos.
La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya en
1797 por Caspar Wessel (1745-1818) y publicada en la revista de la Academia de
Ciencias danesa en 1798, pero lo cierto es que la obra de Wessel pasó desapercibida
prácticamente, y así el plano de los números complejos se suele denominar hoy como
“plano de Gauss”, a pesar de que Gauss no publicó sus ideas al respecto hasta 30
años más tarde. Desde la época de Girard era bien conocido que los números reales,
positivos, cero y negativos se pueden representar en correspondencia con los puntos
de una recta. Wallis había llegado a sugerir incluso que los números imaginarios puros
se podrían representar por los puntos de una recta perpendicular al eje de los
números reales. Y, sin embargo, sorprendentemente nadie antes que Wessel y Gauss
pensó en franquear la obvia etapa de considerar las partes real e imaginaria pura de
un número complejo a+bi como las dos coordenadas rectangulares de un punto en el
plano, al cual estaría asociado dicho número complejo. El cubrir esta simple etapa hizo
sentirse a los matemáticos mucho más cómodos con los números imaginarios, ya que
ahora podían visualizarse en el sentido de que todo punto del plano correspondía a un
número complejo y viceversa. Lo cierto es que ver es creer, y las viejas ideas acerca
de la no existencia de los números imaginarios fueron abandonadas por casi todos los
matemáticos.
1.2.2.
El Teorema fundamental del Álgebra
La tesis doctoral de Gauss venía a demostrar que toda ecuación polinómica f(x)=0
tiene al menos una raíz, ya sean los coeficientes reales o complejos. No podemos
entrar aquí en los detalles de la demostración, pero una ilustración indicará por lo
menos las líneas generales que seguían las ideas de Gauss. Vamos a resolver la
ecuación z2-4i=0 gráficamente, demostrando para ello que hay un valor complejo
z=a+bi que satisface la ecuación. Sustituyendo en ella z por a+bi y separando las
partes real e imaginaria, nos queda que ha de ser a2-b2=0 y ab-2=0.
Interpretando a y b como variables y representando estas dos ecuaciones en un
mismo sistema de coordenadas, en las abscisas la parte real a y en las ordenadas la
parte imaginaria pura b, obtenemos dos curvas: la primera consiste en el par de rectas
a+ b= 0 y a- b= 0 , y la segunda es la hipérbola equilátera ab=2. Está claro, por la
representación gráfica, que las dos curvas se cortan en un punto P en el primer
cuadrante (e, incidentalmente, en otro P’ en el tercero).
Obsérvese en particular que una rama de la primera curva se aleja del origen en las
direcciones 2=Β//4 y 2=3Β/ 4 (y la segunda en las direcciones 2=-3Β//4 y 2=-Β/ 4),
mientras que una rama de la segunda curva se acerca asintóticamente a las
direcciones 2=0 y 2=2Β/4=Β/2 (y la segunda en las direcciones 2=Β y 2=-Β/2). El
punto P de intersección está entre las dos direcciones 2=0 y 2=Β/2 (el P’ lo estará
entre 2=Β y 2=-Β/2). Las coordenadas a y b de este punto de intersección son la parte
real e imaginaria del número complejo que es solución de la ecuación z2-4i=0.
Si nuestra ecuación polinómica original hubiera sido de tercer grado, habría habido
una rama de una de las dos curvas que se aproximase a las direcciones 2=Β/6 y
2=3Β/6 , y la otra curva se aproximaría a las direcciones 2=0 y 2=2Β/6=Β/3. Las ramas
son continuas en todos los casos, por lo tanto tienen que cortarse en algún punto en el
ángulo que va de 2=0 y 2=Β/3. Para una ecuación de grado n habrá una rama de una
de las dos curvas con direcciones asintóticas 2=Β/2n y 2=3Β/2n, mientras que una
rama de la otra curva tendrá las direcciones asintóticas 2=0 y 2=2Β/2n=Β/n, y estas
dos ramas tienen que cortarse necesariamente en un punto entre 2=0 y 2=Β/n y las
coordenadas a y b del punto de intersección serán de nuevo las partes real e
imaginaria de un número complejo, que es una raíz de la ecuación. Vemos pues así
que, sea cual sea el grado de la ecuación polinómica, tiene que haber al menos una
raíz compleja. A partir de este resultado se puede demostrar ya fácilmente el teorema
de la tesis de Gauss de que un polinomio cualquiera se puede factorizar en factores
reales lineales y cuadráticos.
La demostración del teorema fundamental del álgebra dada por Gauss en su tesis se
basa en parte en consideraciones geométricas, lo que no resultaba del todo
satisfactorio. Años más tarde, en 1816, publicó Gauss dos nuevas demostraciones, así
como otra en 1850, pugnando siempre por encontrar una demostración puramente
algebraica.
1.2.3.
Los polígonos regulares constructibles.
Gauss en su libro más conocido, Disquisitiones arithmeticae, estudió la sorprendente
interconexión entre la teoría de números, y los números primos en particular, con la
Geometría.
Hacia el final de las Disquisitiones incluye Gauss el primer descubrimiento matemático
relevante de su vida, la construcción del polígono regular de 17 lados, llevando el
tema a su final lógico al demostrar cuáles de los infinitos polígonos regulares posibles
se pueden construir con regla y compás y cuáles no. Los teoremas generales, tales
como el que demuestra aquí Gauss, son siempre de una importancia teórica mucho
mayor
que el de un caso particular, por muy espectacular que éste pueda ser.
Recordemos que Fermat creía que todos los números de forma fn=2^(2n)+ 1 eran
primos (primos de Fermat), conjetura incorrecta, según demostró Euler (f5 no es
primo). El número f2=17 sí es primo, lo mismo que lo son f0=3,f1=5, f3=257 y f4=65.537.
Gauss había demostrado ya que el polígono de 17 lados es constructible, y por lo
tanto se planteaba también de una manera natural la cuestión de si el polígono regular
de 257 o de lados se pueden construir por métodos euclídeos. Gauss contesta a esta
pregunta en sentido afirmativo en las Disquisitiones, al demostrar que un polígono
regular de N lados puede construirse con regla y compás si y sólo si el número N es
de la forma N=2m.p1 .p2 ... pr , con m un número entero no negativo y p1, p2, ... pr
primos de Fermat distintos (en particular, N puede ser cualquier primo de Fermat).
Queda aún hoy abierto el problema de saber si el conjunto de primos de Fermat es
infinito. Para n=0, 1, 2, 3 y 4 los números de Fermat son primos, mientras que para n=
5, 6, 7, 8 y 9 se sabe que no son primos, y parece posible que haya cinco y sólo cinco
polígonos regulares constructibles de un número primo de lados, dos de ellos
conocidos ya en la antigüedad y los tres que descubrió Gauss.
1.2.4.
La Astronomía y la ley de mínimos cuadrados.
Gauss había planeado las Disquisitiones como una obra en dos volúmenes, pero lo
cierto es que nunca llegó a escribir el segundo volumen. Aunque en una ocasión se
refirió a la matemática como la reina de las ciencias y a la aritmética (es decir, la teoría
de números) como la reina de las Matemáticas, durante los primeros años del siglo
XIX, fue reclamada su atención por tantos otros temas interesantes. Entre los otros
campos que cautivaron su atención tuvo un papel destacado la astronomía, a la que
se vio conducido de una manera casi accidental. En las dos primeras décadas del
siglo XIX, Gauss produjo un flujo permanente de trabajos sobre temas astronómicos,
de los que destaca el tratado “Theoria Motus Corporum Coelestium” (1809), fue la
biblia de los astrónomos planetarios durante un siglo. Más tarde se lamentaba de
haber abandonado su “primer amor”. Exactamente el primer día del siglo XIX se
descubrió un nuevo planeta o asteroide, al que se le puso por nombre Ceres, y que al
cabo de unas semanas se perdió de vista de nuevo, debido a su tamaño pequeño.
Gauss gozaba de una facilidad excepcional para el cálculo numérico, a la que venía a
unirse la ventaja de su método de los mínimos cuadrados, y con estas armas se
encontró al verdadero desafío que suponía el calcular, a partir de las pocas
observaciones registradas del asteroide, la órbita que recorría en su movimiento.
Gauss inventó un método para el cálculo de órbitas de cuerpos celestes a partir de un
número limitado de observaciones, conocido como “método de Gauss”, que aún se
utiliza para seguir la trayectoria de los satélites artificiales. El resultado de los cálculos
de Gauss fue un éxito resonante: a finales del año volvió a encontrarse el asteroide
casi exactamente en la posición que indicaban dichos cálculos. Desde este momento
la astronomía y la estadística contaron entre los intereses más serios de Gauss, que
dedicó gran parte de los siguientes 20 años a cálculos astronómicos. Esta actividad
está en contraste con la opinión expresada por Gauss de que “todas las medidas del
mundo no equivalen a un solo teorema que produzca un avance importante en nuestra
ciencia, la más grande de todas”. Sin embargo, a partir de entonces su fama en
astronomía quedó tan sólidamente establecida como en matemáticas; como
consecuencia de ello fue nombrado director del Observatorio Astronómico de Götingen
en 1807, puesto que ocupó durante unos 40 años. Gauss podría muy bien haber
ocupado una cátedra universitaria de matemáticas, pero es probable que eligiera su
cargo en el observatorio, no por preferencia por la astronomía sino por aversión a la
enseñanza. Gauss disfrutaba ayudando a unos pocos discípulos brillantes y
entusiastas, pero la enseñanza rutinaria y elemental de la clase parece haberle
desagradado.
1.2.5.
Funciones elípticas.
El puesto de Gauss en el observatorio no le impidió, sin embargo, continuar haciendo
importantes contribuciones a la matemática. En 1811 informaba a un astrónomo
amigo, F. W. Bessel (1784-1846), de un descubrimiento que había hecho a lo que
pronto se iba a convertir en un campo de investigación nuevo en las manos del
matemático francés más importante de la época, Augustin-Louis Cauchy (1789-1857),
y que hoy lleva su nombre. La teoría de funciones de una variable real la había
desarrollado Lagrange, pero la teoría de funciones de una variable compleja esperaba
aún los trabajos de Cauchy. Sin embargo, Gauss se dio cuenta de un teorema de una
importancia fundamental en este territorio aún no explorado. Se trata del hecho
siguiente: si en el plano complejo o de Guass dibujamos una curva cerrada simple, y si
la función f(z) de la variable compleja z=x+iy es analítica (es decir, tiene derivada) en
todo punto de la curva y en todo punto interior, entonces la integral de línea de f(z)
tomada a lo largo de la curva es cero.
Los resultados no publicados de Gauss pendían como una auténtica espada de
Damocles sobre la matemática de la primera mitad del siglo XIX. Cuando algún otro
matemático anunciaba un nuevo resultado importante, ocurría muy a menudo que
Gauss había tenido ya la idea anteriormente, pero no se había molestado en
publicarla. Entre los ejemplos más sorprendentes de esta situación está el del
descubrimiento de las funciones elípticas, esto es, funciones meromorfas doblemente
periódicas en el plano complejo o plano de Gauss. Surgen de forma natural como
funciones inversas de las integrales elípticas, y en ese sentido generalizan a las
funciones trigonométricas simplemente periódicas sobre la recta real.
En este descubrimiento estuvieron mezclados cuatro matemáticos de primera fila. Uno
de ellos era Legendre, desde luego, que había estado casi 40 años estudiando las
integrales elípticas de una manera casi aislada. Legendre desarrolló una gran cantidad
de fórmulas en este contexto, algunas de las cuales recordaban en cierto sentido las
relaciones entre las funciones trigonométricas inversas, algunas de las cuales ya eran
conocidas desde mucho antes por Euler. Este hecho no es sorprendente, dado que la
integral elíptica
incluye la integral
como caso particular para K=0.
1.2.6.
Gauss: el padre de la Geometría Diferencial.
Alrededor de 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, y
varios aspectos de su labor, incluyendo un extensivo trabajo de campo y muchas
triangulaciones tediosas, le ocuparon durante algunos años. Es natural suponer que
una mente como la suya se hubiera sentido asfixiada por tales cometidos, pero las
grandes ideas científicas surgen por extraños caminos. Esta labor aparentemente
carente de interés desembocó en una de las aportaciones más profundas y de mayor
alcance a la matemática pura, sin la cual la teoría de la relatividad general de Einstein
hubiese sido imposible. La tarea encomendada a Gauss se refería a la medición
precisa de grandes triángulos sobre la superficie terrestre. Esto proporcionó el
estímulo que le condujo a las ideas de su artículo Disquisitiones generales circa
superficies curvas (1827), en él desarrolló la geometría diferencial intrínseca de
superficies curvadas arbitrarias.
La orientación de su teoría en una forma eminentemente distinta de la de Monge.
Monge era ingeniero y veía una superficie como la frontera de un cuerpo sólido y, en
consecuencia, hacía hincapié en las propiedades de la superficie relacionadas con el
espacio circundante [3]. Pero Gauss trabajó sobre la superficie de la Tierra a través de
su proyección cartográfica sobre un plano, que como tal no era preciso entenderlo
dentro del espacio tridimensional. Las coordenadas del plano nos proporcionan las
coordenadas geográficas de cada mapa de la Tierra, que podía ser así estudiada de
forma intrínseca al margen de su espacio ambiente. No era difícil por tanto pensar
para una superficie en general unas coordenadas curvilíneas (p,q), trasladadas a ella
desde las cartesianas del plano, tal como Euler había establecido con anterioridad, y
estudiar las superficies en general respecto de esas coordenadas planas obviando el
espacio que las contiene.
La diferencia entre las coordenadas cartesianas del plano y las curvilíneas en una
superficie estriba fundamentalmente en que las primeras componen dos familias de
rectas paralelas entre sí mientras que las segundas son dos familias de curvas cuyas
"separaciones" y el ángulo que cada dos de ellas forman en un punto van variando al
pasar por continuidad de un punto a otro. Esto obliga a corregir la expresión pitagórica
de la distancia en el plano por una expresión más general que Gauss expone así: el
cuadrado de la distancia entre dos puntos próximos de coordenadas (u,v ) y (u+du,
v+dv ) es
ds2 = Edu2+2Fdudv + Gdv2,
donde E , F y G son funciones de u y v. La expresión ds2= Edu2+ 2Fdudv+ Gdv2 es la
forma diferencial cuadrática para el elemento de longitud de arco ds en las
coordinadas curvilíneas (u,v). En otras palabras, es la métrica plana sobre la superficie
vista infinitesimalmente en el punto de coordenadas (u,v), ya que localmente la
superficie se parece a un plano. A partir de ella, como comentaremos más adelante,
se pueden determinar las curvas geodésicas, y se pueden formular los conceptos de
curvatura gaussiana y curvatura total. Esta expresión rige las propiedades
intrínsecas de la superficie que se conservan por transformaciones isométricas o que
mantengan distancias (por ejemplo, curvando una superficie sin someterla a
estiramientos, como cuando se pasa de una hoja de papel a un cilindro). Así, el
camino de mínima distancia entre dos puntos o geodésico, medido sobre la superficie,
o el ángulo de dos direcciones en uno de sus puntos.
Inspirado por sus trabajos de astronomía, Gauss definió la curvatura de Gauss
mediante la aplicación esférica, la hoy llamada aplicación de Gaus. Si se toma en cada
punto de una región acotada A de la superficie el vector unitario normal a ella y se
trasladan todos esos vectores a un mismo origen, sus extremos definen una región
n (A) de la superficie esférica de radio unidad. El área
es lo que inicialmente llamó Gauss curvatura total de A, noción aún no muy precisa
ya conocida por la escuela de Monge (introducida por Rodrigues), aunque sin
relacionarla con la geometría intrínseca. Dado un punto a de A, la curvatura d Gauss
en a venía dada por
por analogía a la curvatura de curvas planas. Estos conceptos, preliminares y no muy
rigurosos, dieron lugar con posterioridad a los homólogos modernos. Gauss obtuvo
una fórmula para la curvatura de Gauss en términos de las funciones E,F y G
anteriores, probando su famoso
Theorema Egregium: “la curvatura de Gauss es una propiedad intrínseca de la
superficie.”
Este resultado, por ejemplo, nos dice que para saber que la Tierra es curva no es
necesaria observarla desde un satélite exterior, basta con que midamos longitudes
sobre ella y por tanto determinar los caminos más cortos o geodésicos (esto es,
conocer la primera forma fundamental). Si fuéramos seres bidimensionales incapaces
de concebir el espacio exterior, y nuestro universo fuese la Tierra, podríamos a pesar
de todo deducir que ésta se curva y no es un plano. Otra consecuencia interesante es
que si una superficie se transforma isométricamente (un papel que se arrugue, por
ejemplo), la curvatura en cada punto de la misma permanece invariable.
De lo anterior se desprende que una superficie esférica no es localmente
isométrica a un plano. Geométricamente era presumible: la suma de los triángulos
geodésicos en una y otra superficie es siempre distinta. Este fenómeno condujo a
Gauss a intuir la existencia de geometrías no euclídeas.
Por otra parte, Gauss consiguió probar que la curvatura total de un triángulo geodésico
suficientemente pequeño es igual a la suma de sus ángulos menos Β, fórmula que
posteriormente extendió al caso de polígonos geodésicos. Este resultado ha sido
objeto de importantes generalizaciones, como la de Pierre Ossian Bonnet (1819-92),
quien obtuvo la una expresión que todos los manuales recogen como la fórmula de
Gauss-Bonnet, que expresa la curvatura total de un polígono de lados no
necesariamente geodésicos en función de la curvatura geodésica a lo largo del
borde del polígono y los ángulos en sus vértices.
Si c(s) es un curva parametrizada por el arco en una superficie S, c’’(s)=kc(s) nc(s), donde nc(s)
3
es el normal a la curva en R y kc(s) la curvatura de la curva. La curvatura normal viene dada
por kn(s) =<c’’(s),N(s)> y la geodésica como kg(s)= =<c’’(s),nc(s)>,
donde N(s) y nc(s) son respectivamente el normal a la superficie en c(s) y el conormal en S a lo
largo de c en el punto c(s). Como c’’(s) es ortogonal a c’(s), obviamente
2
2
2
c’’(s)= kg(s) )nc(s) + kn(s) )N(s), de donde kc(s) = kn(s) + kg(s) .
La curvatura geodésica de una curva sobre una superficie, ya conocida por Gauss,
fue considerada por vez primera por F. Minding, quien la definió como la curvatura de
la proyección de la curva dada sobre el plano tangente. Por su mediación se definen
también las geodésicas de una superficie como aquéllas cuya curvatura geodésica es
nula.
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que la ecuación de la primera forma
fundamental es una de las cumbres de todo el edificio de la Geometría y de la Física,
como posteriormente pusieron de manifiesto Riemann y Albert Einstein. En otro orden
de cosas, Gauss aportó también grandes contribuciones en diferentes campos de la
física además de la astronomía, como ya se comentó, principalmente en electricidad y
magnetismo. Tras una visita de una semana a Gauss, Jacobi escribió a su hermano:
“Las matemáticas estarían en una posición bien diferente si la astronomía aplicada no
hubiese desviado a este genio colosal de su carrera”.
1.3. Geometrías no euclidianas.
Como ya comentamos, los conceptos más elementales de punto, recta, plano, y las
relaciones que se establecen entre ellos, desde las más sencillas hasta las más
complejas, fueron sistematizadas y ordenadas en los trece libros de Los Elementos de
Euclides. Ya explicamos que Euclides construyó la geometría utilizando tres
herramientas conceptuales claves: los axiomas, los postulados y los teoremas. Los
teoremas hacen referencia a proposiciones que no son evidentes y que se
demuestran, mediante un proceso lógico de razonamiento, a partir de los axiomas y
los postulados. Euclides partió de 23 axiomas y cinco postulados, a partir de los cuales
demostró todos los teoremas. La diferencia filosófica que hay entre un axioma y un
postulado, recordemos, es importante para comprender la naturaleza de la geometría
euclidiana. Un axioma no necesita demostración, ya que se trata de una proposición
clara y evidente. Por ejemplo, el primer axioma de Los Elementos dice: “un punto es lo
que no tiene partes”. En cambio, un postulado es una proposición que, no siendo tan
evidente como un axioma, se admite como verdadera sin demostrarla. Los 4 primeros
postulados de Euclides son:
Postulado I. Por dos puntos distintos pasa una única recta.
Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.
Postulado 3. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados.
Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
El quinto postulado de Los Elementos de Euclides, que no tiene la nitidez de los
otros cuatro, afirma que “si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos
internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que
dos rectos”.
Supongamos una recta R3 que corta a otras dos R1, R2. Los ángulos internos,
menores que dos rectos, a que hace referencia el postulado, serían los señalados
como a y b. El quinto postulado afirma que si prolongamos las rectas R1 y R2 éstas se
encontrarán en la parte de la derecha de la figura.
Desde siempre llamó la atención de los geómetras que el quinto postulado no tuviera
la simplicidad y, sobretodo, el carácter de evidencia de los cuatro anteriores. Hasta el
mismo Euclides, consciente de ello, trató de evitarlo y, de hecho, no lo utiliza hasta la
demostración de la proposición 29 del libro I. Este intento de construir toda su
geometría tratando de evitar el uso del quinto postulado ha conducido a que, en
ocasiones, se afirmara que ”Euclides fue el primer geómetra no euclidiano”. Desde su
mismo nacimiento, el quinto postulado de Euclides planteó algunos interrogantes.
¿Era cierto? Y en caso afirmativo, ¿era realmente un postulado independiente o era
un teorema que podía ser demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores?
1.3.1.
Enunciados alternativos al quinto postulado.
Uno de los objetivos en las investigaciones sobre el quinto postulado fue la ardua
tarea de encontrar otra versión del mismo que fuera más clara, más intuitiva y que, a
su vez, fuera totalmente equivalente al propuesto por Euclides. Entre los enunciados
alternativos más importantes cabe destacar:
• Una paralela a una recta dada dista de ella una longitud constante (Proclo de
Alejandría 410-485).
• Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir, triángulos cuyos
ángulos son iguales pero de lados desiguales (J. Wallis 1616-1703).
• Existe al menos un rectángulo, esto es, un cuadrilátero cuyos ángulos son
rectos (Saccheri 1667-1733).
• Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al otro
lado (Legendre 1752-1833).
• La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos (Legendre).
• Existen triángulos de área arbitrariamente grande (Gauss 1777-1855).
•
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a
dicha recta.
La última de estas versiones, aparecida en 1795 y debida al matemático escocés John
Playfair (1748-1819), es la más conocida de todas y la que se suele utilizar en los
libros de texto. Es frecuente referirse al quinto postulado como al Postulado de las
Paralelas.
La descripción detallada de los intentos por demostrar la independencia del quinto
postulado podría llenar un grueso volumen en el que figurarían los nombres más
destacados de la historia de las Matemáticas. Todos ellos fueron intentos elogiables,
algunos más audaces que otros, pero todos marcados por el más absoluto de los
fracasos. En muchos casos, la demostración que se conseguía se basaba en alguna
propiedad que se consideraba evidente pero que en realidad era equivalente al quinto
postulado. Hubo hasta quien, como Legendre, murió convencido de haber conseguido
la tan ansiada demostración. Sus errores fueron de una enorme sutileza y dieron lugar
a un gran número controversias.
1.3.2.
Por qué la necesidad de otras geometrías no euclidianas.
Observemos la siguiente figura
en la que hemos representado algo que “parece” un rectángulo. Decimos “parece”
porque, en principio, el lado CD que hemos dibujado mediante una línea de puntos, no
sabemos qué forma exacta acabará teniendo. Lo que sí sabemos con certeza es que
los ángulos correspondientes a los vértices A y B son rectos (ángulos de 90º) y que los
lados AC y BD son iguales. También admitiremos que los ángulos correspondientes a
los vértices C y D son iguales, algo que puede deducirse del resto de axiomas y
postulados sin utilizar el quinto postulado. Y ahora viene lo más importante: si
aceptamos como cierto el quinto postulado, podremos demostrar que dichos ángulos
C y D son rectos y, recíprocamente, si damos por cierto que estos ángulos son rectos,
podremos demostrar el quinto postulado. De esta manera, la hipótesis de que los
ángulos C y D son rectos es equivalente al quinto postulado. Esta hipótesis es
conocida como la Hipótesis del Ángulo Recto.
Aceptar la Hipótesis del Ángulo Recto nos conduce a la Geometría Euclídea que
todos conocemos, pero quedan todavía dos posibilidades más a considerar. Los dos
ángulos en cuestión sabemos que han de ser iguales, pero podrían medir menos de
90º
lo que nos llevaría a la Hipótesis del Ángulo Agudo; o bien, podrían ser mayores
que un ángulo recto, lo que nos conduciría a la Hipótesis del Ángulo Obtuso
La aceptación de estas tres hipótesis plantea existencia de tres geometrías diferentes,
la hiperbólica, la elíptica y la de Euclides, de las cuales, como veremos, la de Euclides
no es necesariamente la más “realista”.
Para intuir cómo puede ser una geometría basada en la Hipótesis del Ángulo Agudo
situemos el rectángulo anterior sobre una esfera, que podría ser la esfera del globo
terráqueo si éste fuera una esfera perfecta, de manera que la base AB estuviera
situada sobre el círculo máximo que determina el ecuador
Pensemos que, en el plano, cuando unimos los puntos A y B mediante un segmento
de recta, lo que hacemos es trazar la línea más corta que une dichos puntos. En una
esfera dicha línea geodésica es un arco de círculo máximo (obviamente, el más
pequeño de los dos que unen ambos puntos).
Tracemos ahora dos círculos máximos que pasen por el polo Norte y por cada uno de
los puntos A y B. Estos círculos máximos formarán ángulos rectos con el ecuador.
Habremos construido así un triángulo curvilíneo ANB. Tracemos ahora otro círculo
máximo que corte a ambos meridianos en C y D, y de forma que las distancias AC y
BD sean iguales. Tendremos ahora dibujado el rectángulo anterior, pero sobre la
esfera. Los ángulos en C y D son iguales, pero mayores de 90º, con lo que se cumplirá
la Hipótesis del Ángulo Obtuso.
En esta Geometría no Euclidiana dos rectas (dos geodésicas) se cortan siempre en
dos puntos. Para un navegante, el plano en el que Euclides representa las rectas es
una pura idealización, ya que la superficie en que se mueve se aproxima mucho más a
una esfera y cuando quiere recorrer el camino más corto que separa dos puntos lo
hace a través de un círculo máximo. En este sentido decíamos antes que una
Geometría no Euclidiana podría ser más realista.
El cuadrilátero con el que hemos estado trabajando se llama “cuadrilátero de
Saccheri”. Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), un jesuita que llegó a ser
catedrático de Matemáticas en la Universidad de Pavía, fue el primero en plantearse la
posibilidad de que el quinto postulado de Euclides fuera falso, para así intentar llegar
a una contradicción. Los resultados que obtuvo podrían haber tenido una enorme
importancia y, de hecho, la tendrían tiempo después, pero él los rechazó por
considerarlos descabellados. Sin embargo, sus trabajos fueron el punto de partida
para una de las investigaciones más fascinantes y revolucionarias de la historia de las
Matemáticas: la creación de las Geometrías no Euclidianas.
1.3.3.
El nacimiento de las geometrías no euclidianas.
El proceso histórico mediante el cual las geometrías no euclidianas llegaron a ser lo
que son hoy en día es realmente complejo y sólo podemos bosquejarlo a grandes
rasgos. El primer matemático que se dio cuenta de que el quinto postulado era
independiente y que de su negación podía surgir una nueva geometría fue F. Gauss
(1777-1855). Pero no llegó nunca a publicar sus resultados, como él manifestó en una
ocasión, por miedo a no ser bien comprendido.
Como el V axioma es equivalente a la afirmación de que la suma de los ángulos de un
triángulo es igual a dos rectos, Gauss hizo medidas de los ángulos de triángulos con
lados enormes (llegó a subirse a la cima de tres montañas con un teodolito para hacer
mediciones), pero no llegó a resolver sus dudas, debido a la falta de precisión de los
instrumentos de medida (la Tierra es una esfera, y Gauss probablemente quería
aprovechar ese dato). Éste es el motivo por el que a la nueva geometría, a la que en
un principio llamó anti-euclidiana, la bautizara con el nombre de geometría astral, la
que serviría para medir las estrellas. Aunque finalmente se decidió por referirse a ella
como Geometría no Euclidiana.
Farkas Wolfgang Bolyai (1775-1856) fue un matemático húngaro, amigo íntimo de
Gauss, que dedicó muchos esfuerzos al estudio del axioma de las paralelas, pero que
no consiguió alcanzar ningún resultado decisivo. Después de batallar inútilmente
contra el quinto postulado, le escribió una carta a su hijo Janos, en la que le decía:
“detéstalo como una pérdida de tiempo; puede privarte de todo tu esparcimiento, tu
salud, tu descanso y toda la felicidad de su vida”. Luego se dedicó a escribir poesía,
música y drama.
Sería precisamente su hijo Janos Bolyai (1802-1860) quien, desoyendo los consejos
de su padre que le rogaba que abandonara tan arduo tema, dedicó 20 años de su vida
hasta conseguir lo que muchos matemáticos consideran una pequeña obra maestra.
Le envió a su padre los resultados, que apenas ocupaban 26 páginas, quien le pidió
autorización para publicarlos como apéndice en uno de sus tratados.
En una carta a un amigo, Gauss dice, refiriéndose a Janos y a su trabajo: “Considero
al joven geómetra Bolyai un genio de primera fila, porque todos estos resultados
coinciden con los que obtuve hace mucho tiempo”. Janos, en parte decepcionado por
esta actitud y en parte porque tuvo noticia de que sus resultados ya habían sido
publicados antes por un matemático ruso, Lobachevsky, abandonó las Matemáticas
definitivamente.
Lobachevski partió de la hipótesis de que el quinto postulado no podía ser demostrado
y construyó una nueva geometría a partir de un postulado diferente en el que se
afirmaba que “dados una recta r y un punto P exterior a ella, se pueden trazar al
menos dos paralelas a r que pasen por el punto P”.
Trabajando sobre esta hipótesis llegó a un resultado sorprendente: el conjunto de
rectas que pasan por P se divide en dos clases, la de las rectas que cortan a r y la de
las que no la cortan.
Estas dos clases de rectas no están entremezcladas en el plano. El conjunto de las
que no cortan a r se encuentran todas formando un haz delimitado por dos rectas p y q
(que reciben el nombre de paralelas), que tampoco cortan a r y que hacen de frontera
de este conjunto.
El esquema queda entonces de la siguiente forma: si se traza desde P una
perpendicular a r, la distancia d y el ángulo α determinan geométricamente a las dos
clases de rectas: las que forman un ángulo menor que α , que es la de la clase de
rectas que cortan a r, y las que forman un ángulo mayor que α, que no la cortan. En la
Geometría de Lobachevsky por un punto exterior a una recta dada pasan infinitas
rectas paralelas a ésta. Un modelo moderno de esta geometría es el disco hiperbólico
(o el plano hiperbólico).
A partir de esta construcción, Lobachevsky estableció una Trigonometría no
Euclidiana con resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Uno de los
aspectos más interesantes de este desarrollo es que cuanto más pequeñas eran las
magnitudes con las que trabajaba, más coincidencia había con las funciones
trigonométricas habituales. Dicho en otras palabras, que la Geometría Euclidiana
podía ser considerada como una caso límite de la Geometría de Lobachevsky.
Como decíamos al principio, la Geometría no Euclídea hubiera quedado en un puro
diletantismo matemático si no hubiera sido por otras investigaciones posteriores que la
sacaron de su mundo virtual y la aproximaron a un escenario físico concreto. En 1868
el matemático italiano E. Beltrami (1835-1900) construyó un modelo físico, la
pseudoesfera, para albergar, aunque fuera de forma local, la Geometría de
Lobachevsky. Posteriormente F. Klein (1849-1952) la generalizó a todo el espacio,
dando también una interpretación proyectiva.
La pseudoesfera es una superficie de revolución que tiene una forma parecida a una trompeta
alargada
Se construye a partir de una curva llamada tractriz (o curva del perro), y que tiene la propiedad
de que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el
punto de corte con el eje OY es constante (motivo por el que a esta curva también se la llama
“equitangencial”). Si se hace girar la curva alrededor del eje OY se obtiene, pues, la
pseudoesfera.
Tabla resumen
Por un punto exterior a
una recta se puede
trazar una única
paralela
Por un punto exterior a
una recta se pueden
trazar infinitas
paralelas
Por un punto exterior a
una recta no se puede
trazar ninguna paralela
La suma de los
Euclidiana
ángulos de un triángulo
es 180º
Euclides
La suma de los
Hiperbólica
ángulos de un triángulo
es menor que 180º
Gauss, Bolyai,
Lobachevsky
La suma de los
Elíptica
ángulos de un triángulo
es mayor que 180º
Riemann
Para distancias relativamente pequeñas, la Geometría Euclídea y la no Euclídea son
prácticamente equivalentes. Sin embargo, cuando se trata de distancias astronómicas
o en ciertos ámbitos de la física moderna (Relatividad o Teoría de Propagación de
Ondas), la Geometría no Euclidiana resulta ser una herramienta más precisa.
La conclusión final a la que se llegaron los matemáticos de la época es que la
Geometría Hiperbólica es tan consistente como la Geometría Euclidiana (es decir,
si la Geometría Hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la Geometría
Euclidiana también). Todos estos trabajos fueron precursores de la labor posterior de
B. Riemann, que fue capaz de dar un enfoque mucho más analítico al estudio de estas
geometrías. Esto le permitió por un lado evitar el método sintético de la geometría
griega (que en gran medida inspiraba la construcción de estas geometrías no
euclidianas), y por otro ofrecer demostraciones rigurosas de la existencia de modelos
geométricos para todas estas nuevas geometrías. Como explicaremos más adelante,
la Geometría Riemanniana habría de ser fundamental años después para la
comprensión de la estructura geométrica del Universo. Einstein en su Teoría de la
Relatividad General construyó un modelo geométrico para el universo, y explicó que
bajo la acción de la gravedad los cuerpos siguen las líneas rectas (geodésicas) dentro
dicho modelo.
1.4. Georg Friederich Bernhard Riemann.
G. B. Riemann nació en 1826, en Breselenz, en el seno de la familia perfecta para
apreciar su precoz genialidad. Su padre provenía de una larga línea de ministros
luteranos y su abuelo materno fue consejero de la corte de Hannover. Era un niño
tímido pero destacó tanto en matemáticas que el director de su escuela en Quickborn
le asignó un tutor individual para enseñarle aritmética y geometría avanzada. Al cabo
de un tiempo el tutor se dio cuenta que él mismo estaba aprendiendo de las
sofisticadas soluciones que le planteaba el pequeño Riemann. Su padre insistió en
que ingresara en el prestigioso Gymnasium de Hannover al cumplir 14 años, pero era
alejado de su familia. La cosa no hubiera ido bien, dado su carácter tímido y solitario,
de no ser por su abuela materna. Dos años después, moría ésta y el joven Riemann
se trasladó al Gymnasium de Lüneberg, no tan prestigioso como el anterior.
El director pronto se dio cuenta del potencial de Riemann y le permitió entrar en su
biblioteca privada que estaba plagada de libros de matemáticas avanzadas, donde
entre otras obras pudo leer el tratado “Teoría de Números”, de Legendre. Era un libro
densísimo de 859 páginas que Riemann asimiló en una semana. En ese libro
encontró uno de los temas que le apasionaría el resto de su vida: la distribución de los
números primos. Solicitó evaluarse sobre ese mismo libro como parte de su
graduación, que completó con éxito.
Se matriculó en la Universidad de Gottingen (o Gotinga en castellano) para estudiar
teología y filosofía como habían querido sus padres, pero allí se vio atraído por la
figura de Gauss. El maestro contaba ya con 70 años, pero Riemann quedó asombrado
por el método de los mínimos cuadrados y decidió profesionalizarse en matemáticas.
Gauss le sugirió que se fuera a Berlin y trabajara con la generación de matemáticos de
aquel momento: Steiner, Jacobi, Eisenstein y Dirichlet. En 1849 volvió a Gotinga para
desarrollar su tesis doctoral bajo la tutela de Gauss. En 1851 le enviaba su trabajo:
“Bases de una Teoría general de funciones de variable compleja”, sobre el que se
fundó la teoría moderna de Superficies de Riemann. Gauss alabó ese trabajo como
una disertación propia de una mente creativa, activa y genuinamente matemática y de
una fértil y gloriosa originalidad.
Sin embargo, debido a la escasez de plazas en las universidades alemanas, los
doctores debían superar una prueba llamada “habilitación” para consolidarse
profesionalmente. Para ello, preparó un trabajo con importantísimos avances en teoría
de integración y de la medida (la integral de Riemann), que con posterioridad otros
continuarían hasta culminar con la Integral de Lebesgue en 1904. Nunca se interesó
en publicar ese trabajo, hasta el punto de que fue Richard Dedekind quien lo hizo dos
años después de su muerte. En relación a su proceso de habilitación, ocurrió un hecho
anecdótico que probablemente haya marcado el desarrollo de la Geometría moderna.
Riemann debía defender su trabajo para la habilitación oralmente ante un tribunal. El
procedimiento exigía proponer tres temas, y el jurado escogía cuál de los temas era el
que debía defender el ponente. Normalmente, así rezaba la tradición, y por
consideración hacia el ponente el jurado elegía el primer tema, muy pocas veces el
segundo y prácticamente nunca el tercero. Riemann había preparado un primer tema
sobre series trigonométricas y fundamentos del análisis, un segundo sobre discusión
del número de primos menores que un número dado y un tercero sobre las hipótesis
en que se basa la geometría. "Los dos primeros los había preparado bien pero Gauss
ha escogido el tercero y ahora estoy en apuros", escribió Riemann durante el plazo de
dos meses dado para su preparación.
Gauss había estado interesado por cuestiones geométricas durante años y sabía la
complejidad que encerraban, por lo que no dudó un instante en elegir el tercer tema.
Un observador de la época dijo: contra la tradición eligió el tercero de los tres temas
presentados por el candidato deseando ver cómo esa difícil cuestión era tratada por
un hombre tan joven. A pesar de la sorpresa que supuso para Riemann esa elección,
y de trabajar con cierta improvisación y premura de tiempo, fue una de las
presentaciones más brillantes de toda la historia de las Matemáticas, y por supuesto
de la Geometría. Gauss quedó entusiasmado, su sorpresa fue más allá de todas sus
esperanzas, y al volver de la reunión de la Facultad manifestó a Wilhelm Weber su
más alta estima por las ideas presentadas por Riemann, hablando con un entusiasmo
que era raro en Gauss.
Las ideas de Riemann fueron el germen de la Geometría Riemanniana moderna,
sobre la que con posterioridad se cimento la Teoría de la Relatividad de Albert
Einstein. Tras pasar por varias vicisitudes personales y penurias económicas,
Riemann murió en Italia recuperándose de una neumonía a la edad de 40 años.
1.4.1.
La hipótesis de Riemann.
La única publicación en vida de Riemann no fue sobre geometría curiosamente, sino
sobre los números primos. En su artículo de 1859 Sobre los números primos menores
que una magnitud dada aparece la famosa Hipótesis de Riemann, aún hoy no
resuelta. Comentemos brevemente en qué consiste.
La función zeta de Riemann viene dada por la expresión:
Se extiende analíticamente para valores s del plano complejo de acuerdo con la
expresión:
Ésta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales" para los cuales la función zeta se
anula: s= −2, s = −4, s = −6, ... son ceros triviales. Existen otros valores complejos s
comprendidos entre 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también se anula,
llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann afirma:
“La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½.”
Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t
donde t es un número real e i es la unidad imaginaria.
1.4.2.
La disertación de Riemann: la Geometría Riemanniana.
Como ya hemos indicado antes, el texto Über die Hypothesen welche der Géométrie
zu Grande liegen (Sobre los fundamentos de la Geometría) ha sido probablemente el
de mayor proyección e influencia en la Geometría moderna. Gauss, el casi
octogenario presidente de aquel tribunal que juzgó la disertación de Riemannn, quedó
auténticamente entusiasmado y acaso fue el único que pudo seguir la exposición de
las nuevas y profundas ideas. El discurso de Riemann tenía un marcado carácter
divulgativo, no contenía fórmulas ni cálculos, ni formalizaba analíticamente lo que
enunciaba. Al parecer el autor pensaba formalizarlo con posterioridad aunque su
prematura muerte lo impidió (fue Dedekind quien publicó el original tras la muerte de
Riemann). En su discurso Riemann nos guió a través de generalizaciones sobre lo
previamente conocido gracias a su maestro Gauss. Muchas de estas ideas chocaban
frontalmente con la geometría vigente en aquel tiempo, e incluso con algunas
concepciones filosóficas kantianas y religiosas.
Gauss había estudiado la geometría intrínseca de curvas y superficies, desgajadas de
toda adherencia exterior. La métrica definida sobre una superficie proporciona toda la
información intrínseca de la misma y, en particular, la curvatura, que nos mide en cada
punto el grado de desviación de la superficie con respecto a una superficie plana.
Riemann se cuestionó si esta teoría de superficies era una etapa final en el desarrollo
de la geometría, y en particular, sobre la posibilidad de definir más de una métrica
sobre una superficie dada. Riemann encontró motivación en los modelos del plano
hiperbólico ya conocidos por la época (Gauss, Bolyai, Lovachevski), esencialmente
distinto al euclidiano, y también en algunos problemas físicos (como por ejemplo,
fenómenos en la mecánica) que requerían para su formulación de espacios más
complejos que una superficie. El camino no fue sencillo “... estoy menos ejercitado en
estas tareas de naturaleza filosófica donde las dificultades residen más en los
conceptos que en la construcción, y no he podido además hacer uso de ningún
estudio previo, excepto de algunos breves apuntes sobre el tema que el Consejero
Privado Gauss ha dado en su segunda memoria sobre residuos bicuadráticos ... y de
algunas investigaciones filosóficas de Herbart."
Riemann pensó que el mismo espacio físico en el que nos movemos, que se suponía
tridimensional euclidiano, debería ser susceptible de un estudio similar al de las
superficies, y que por tanto podría ser curvo a la manera de una superficie (sumergido
o no en un espacio euclidiano de dimensión superior). Y nada le impedía pensar que
otros fenómenos físicos, como el del color, podrían requerir para su formulación de
espacios de dimensión superior (entendiendo como espacio una colección continua de
fenómenos homogéneos).
Por estos motivos, inició su discurso con la introducción, todavía no muy formalizada,
de lo que llamó "continuo" o "cantidad n veces extensa" y que podemos hoy entender
como variedad n-dimensional. Particularizó a los casos conocidos de dimensiones uno
y dos y propuso, ya en abstracto, el tratamiento del caso de dimensión arbitraria n, en
el que cada punto viene determinado por n números o coordenadas (x1,…,xn), lo
mismo que en la superficie individualizaba Gauss al punto por el par (u,v). Razonando
como Gauss, que encontraba para la métrica en la superficie una forma diferencial
cuadrática coincidente con la del plano en una proximidad suficiente del punto,
Riemann estableció una métrica local para medir longitudes en pasos infinitamente
pequeños. Introdujo también una forma cuadrática que hoy llamamos métrica
riemanniana y que no llegó a escribir pero que nosotros traducimos por
donde las gij son funciones de las coordenadas (x1,…,xn) como ocurría con las E ,F y G
de la fórmula de Gauss.
Para tratar el concepto de curvatura, se vale de las geodésicas o líneas que minimizan
la distancia. Las geodésicas que parten de un punto están unívocamente
determinadas por su velocidad o dirección inicial. Cada dos de estas direcciones
definen un plano y las geodésicas tangentes en ese punto a ese plano forman una
superficie, que a su vez tendrá una cierta curvatura de Gauss. Riemann aprovechaba
ese concepto de curvatura gaussiana para definir lo que hoy llamamos curvatura
seccional asociada al plano anterior. Puesto que hay n(n-1)/2 direcciones superficiales
independientes, con ese número de curvaturas seccionales se lograría determinar
localmente la curvatura de la variedad.
Cuando las curvaturas seccionales sean todas nulas, la variedad sería isométrica al
espacio euclidiano, que no es sino un caso particular de las variedades de curvatura
constante en las que las figuras pueden moverse sin sufrir extensión ni contracción, ya
que las relaciones métricas están totalmente determinadas por la curvatura (el caso de
curvatura seccional constante positiva nos lleva a la esfera). Esto no ocurrirá,
naturalmente, si la curvatura varía de un punto a otro. E.B. Christoffel (1829-1900),
Ricci y Levi-Cività con posterioridad profundizaron en la naturaleza de las curvaturas
seccionales, introduciendo el tensor de curvatura y la derivación covariante.
La parte final de su memoria de habilitación la dedicó a la aplicación de sus anteriores
especulaciones a nuestro espacio. La geometría griega supone que los cuerpos tienen
una existencia independiente de su posición, lo que traducido al lenguaje de Riemann
quiere decir que la curvatura del espacio es constante. Además el espacio euclidiano
tiene curvatura cero en cada punto según las tres direcciones. En el espacio que nos
rodea, por tanto, podemos extender una geodésica tanto como queramos
aumentando en ese proceso (al menos en la medida que concibe nuestra capacidad
de observación) la distancia, y además en todas las direcciones. Aparece pues una
clara dicotomía entre propiedades de extensión o regionalidad (completitud geodésica)
y otras métricas (diámetro y distancia). Debemos distinguir entre unas y otras ya que
para unas mismas relaciones de extensión se pueden concebir distintas relaciones
métricas, por ejemplo en la esfera si extendemos una geodésica llegará un momento
en que volvamos al punto inicial y por tanto no nos alejemos en distancia. Esto se
traduce en marcar una diferencia entre ilimitado, que habla de las relaciones de
extensión, e infinito, referido a las relaciones métricas. Y así, a través de la experiencia
u observación física podemos asignar a nuestro espacio la condición de variedad
ilimitada de tres dimensiones pero de ahí no se deriva su infinitud (nuestro espacio
podría ser parte de una variedad curvada, o simplemente podríamos tener sólo una
visión local de un universo que podría ser compacto, de hecho hay toros de curvatura
cero). "Por el contrario -dice-, si se suponen los cuerpos independientes de la posición
y se atribuye al espacio una curvatura constante, el espacio será necesariamente finito
si esta curvatura tiene un valor positivo, por pequeño que sea". Las geodésicas
correspondientes a una dirección superficial formarán una superficie ilimitada de
curvatura constante, es decir, una superficie que en una variedad "plana", o lineal, de
tres dimensiones toma la forma de una superficie esférica y será, en consecuencia,
finita.
Abandonada así la idea de la infinitud de las rectas, que no por eso dejan de ser
ilimitadas, aparece un modelo (sobre la esfera) de una geometría distinta de la
euclídea y de la hiperbólica, que satisface la hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri.
Es un ejemplo de espacio elíptico, que a veces se ha llamado también "de Riemann".
¿Y cómo es, finalmente, nuestro espacio? ¿Es de curvatura constante, positiva,
negativa o nula? Podremos conocerla, siguiendo la idea de Gauss, sin salimos del
espacio mismo. ¿Cómo? La postura con que termina Riemann es para entonces
bastante revolucionaria: "La respuesta a estas cuestiones no se puede obtener más
que partiendo de los fenómenos verificados hasta ahora por la experiencia (...) Esto
nos conduce a los dominios de otra ciencia, a los dominios de la física, en donde el
objeto al que está destinado este trabajo no nos permite penetrar hoy".
Tiempo más tarde, Albert Einstein estableció un modelo de gravitación para el
universo con variaciones locales, discordante con la hipótesis provisional de Riemann
de un espacio de curvatura constante. La gravedad, desde el punto de vista de
Einstein, no es sino una manifestación de la curvatura del universo.
La afirmación de Riemann de que la geometría del Universo era solamente un capítulo
de la física y que debería ser estudiado, como cualquier otro, mediante la cooperación
íntima de teoría y experimento, resultó así completamente justificada. También lo fue
la fe de Riemann en su maestro Gauss. Cuanto más levantamos nuestra mirada
asombrada hasta las pirámides del pensamiento verdaderamente gigantescas de
Riemann y Einstein, tanto más admiramos lo mucho que estaba contenido
invisiblemente en la forma breve, sin pretensiones, escrita por Gauss en 1827.