Capítulo 19 Resonancia magnética nuclear

Capítulo 19
Resonancia magnética nuclear
1
Momento magnético
El momento magnético de una partícula que gira en una circunferencia
es:
Qvr
µ = IA = Iπr2 =
2
El momento magnético y el angular están relacionados por:
µ=
Q
L = γL
2m
La constante γ se denomina, en general, razón giromagnética.
El momento angular intrínseco o espín de una partícula es un número
semientero de veces la constante reducida de Planck, h̄ = 1.055 · 10−34 J
s.
Momento magnético en un campo magnético
La ecuación de movimiento de una partícula con momento magnético en
presencia de un campo magnético es:
dµ
= γ(µ × B)
dt
La solución de esta ecuación es un movimiento de precesión. Si el campo
señala en la dirección z tenemos:
µx = µ0 cos(−ω0 t)
µy = µ0 sen(−ω0 t)
µz = constante
en donde ω0 = γB se denomina frecuencia angular de precesión de Larmor.
La energía potencial de un momento magnético en un campo es:
E = −µ · B
Relajación
La magnetización M es el momento magnético por unidad de volumen.
En equilibrio es proporcional al campo magnético.
Las ecuaciones de Bloch nos dicen como relaja la magnetización en presencia de un campo:
dMx
Mx
= −
+ γMy Bz
dt
T2
My
dMy
= −
+ γ(Mz Bx − Mx Bz )
dt
T2
dMz
M0 − Mz
=
− γMy Bx
dt
T1
Hemos supuesto que hay campo magnético en las direcciones Z y X.
T1 se denomina tiempo de relajación longitudinal o de espín–red, y T2
tiempo de relajación transversal o de espín-espín.
La solución cuando sólo hay componente Bz y que para t = 0 vale M =
(M0 , 0, 0) es:
Mx = M0 e−t/T2 cos(−ω0 t)
My = M0 e−t/T2 sen(−ω0 t)
Mz = M0 (1 − e−t/T1 )
Problema 19.1
Calcula el momento angular y el momento magnético asociados al espín del protón y del núcleo 23 Na.
Problema 19.2
Determina el momento magnético y el momento angular
debidos al giro de un protón que entra en una zona con un
campo magnético de 2 T con una velocidad de 10000 m/s
perpendicular al campo magnético.
Problema 19.3
¿Qué campo magnético es necesario aplicar a un átomo
de hidrógeno clásico para que la energía magnética del
momento magnético del electrón sea igual a la energía potencial eléctrica entre el electrón y el protón?
Problema 19.4
Encuentra la frecuencia angular de Larmor del espín del
electrón en un campo magnético de 2 T, y la diferencia
energética entre un electrón paralelo y otro antiparalelo al
campo.
Problema 19.5
Demuestra por sustitución que las expresiones dadas por
(19.8) sobre la variación del momento magnético son solución de las ecuaciones (19.7).
Problema 19.6
Demuestra por sustitución que las expresiones de la relajación de la magnetización dadas por (19.15) son solución
de las ecuaciones de Bloch (19.14).
19.1 Calcula el momento angular y el momento magnético asociados al espín
del protón y del núcleo 23 Na.
Del cuadro 19.1 deducimos que el momento angular asociado al espín de
un protón vale:
1
1
L = h̄ = 1.0555 · 10−34 = 0.5277 · 10−34 J s,
2
2
y el asociado a un núcleo de 23 Na vale:
3
3
L = h̄ = 1.0555 · 10−34 = 1.5832 · 10−34 J s.
2
2
Los momentos magnéticos los obtenemos multiplicando L por la razón
giromagnética. Para el protón tenemos:
µ = γL = 2.68 · 108 0.5277 · 10−34 = 1.4144 · 10−26 A m2 ,
y para el núcleo de 23 Na:
µ = γL = 0.71 · 108 1.5832 · 10−34 = 1.1241 · 10−26 A m2 .
19.2 Determina el momento magnético y el momento angular debidos al giro
de un protón que entra en una zona con un campo magnético de 2 T con una
velocidad de 10000 m/s perpendicular al campo magnético.
El radio de giro del protón del problema será:
1.67 · 10−27 10000
mv
=
= 5.22 · 10−5 m.
R=
−19
QB
1.6 · 10 2
El momento magnético vale:
Qv
πR2 = 12 1.6 · 10−19 10000 · 5.22 · 10−5
2πR
= 4.17 · 10−20 A m2 .
µ = IA =
El momento angular correspondiente es:
L = mRv = 1.67 · 10−27 5.22 · 10−5 10000 = 8.72 · 10−28 J s.
19.3 ¿Qué campo magnético es necesario aplicar a un átomo de hidrógeno
clásico para que la energía magnética del momento magnético del electrón sea
igual a la energía potencial eléctrica entre el electrón y el protón?
Como se obtiene en el problema 18.9, el momento magnético del electrón
en un átomo de hidrógeno clásico vale µ = 9.3·10−24 A m2 . Las energías
potenciales eléctrica y magnética viene dadas por:
1 −e2
= −µB.
4π0 r
El campo magnético que hace que se satisfaga esta igualdad es:
1 e2
1.62 10−38
9
B=
= 9 · 10
= 4.7 · 105 T.
−10
−24
4π0 rµ
0.53 · 10 9.3 · 10
Se trata de un campo magnético grandísimo, inalcanzable técnicamente
en la actualidad.
19.4 Encuentra la frecuencia angular de Larmor del espín del electrón en un
campo magnético de 2 T, y la diferencia energética entre un electrón paralelo y
otro antiparalelo al campo.
La frecuencia angular de Larmor viene dada por:
ω0 = γB = 1761 · 108 2 = 3.52 · 1011 rad/s.
La diferencia energética entre un electrón con espín paralelo y otro con
espín antiparalelo al campo es:
∆E = µB − (−µB) = 2γLB = 2ω0h̄ 21
= 3.52 · 1011 1.0555 · 10−34 = 3.72 · 10−23 J.
19.5 Demuestra por sustitución que las expresiones dadas por (19.8) sobre la
variación del momento magnético son solución de las ecuaciones (19.7).
Sustituimos las expresiones (19.8) en la primera de las ecuaciones (19.7):
dµx
d
= (µ0 cos(−ω0 t)) = µ0 ω0 sen(−ω0 t) = ω0 µy = γµy B.
dt
dt
Vemos que efectivamente se verifica esta ecuación. Hacemos lo mismo
con la segunda ecuación:
dµy
d
=
(µ0 sen(−ω0 t)) = −µ0 ω0 cos(−ω0 t)
dt
dt
= −ω0 µx = −γµx B.
La segunda ecuación también se verifica.
19.6 Demuestra por sustitución que las expresiones de la relajación de la magnetización dadas por (19.15) son solución de las ecuaciones de Bloch (19.14).
Sustituimos M dado por (19.15) en la primera de las ecuaciones (19.14):
dMx
d =
M0 e−t/T2 cos(−ω0 t)
dt
dt
M0
= − e−t/T2 cos(−ω0 t) + M0 ω0 e−t/T2 sen(−ω0 t)
T2
Mx
+ γMy Bz .
= −
T2
La segunda de las ecuaciones (19.14) queda como:
dMy
d =
M0 e−t/T2 sen(−ω0 t)
dt
dt
M0
= − e−t/T2 sen(−ω0 t) − M0 ω0 e−t/T2 cos(−ω0 t)
T2
My
= −
− γMx Bz .
T2
Hemos supuesto que sólo hay componente z del campo, Bz , por lo que
estas ecuaciones se verifican. La tercera ecuación nos dice:
dMz
d M0 −t/T1
=
M0 (1 − e−t/T1 ) =
e
dt
dt
T1
M0 e−t/T1 M0 M0
M0 − Mz
=
+
−
=
.
T1
T1
T1
T1
Esta ecuación también se satisface.