Focal de una lente

DETERMINACIÓN DE LA FOCAL DE UNA LENTE
OBJETIVOS
Estudio de la formación de imágenes y medida de la distancia focal de una lente delgada
convergente, empleando dos procedimientos: 1º) la ecuación de las lentes, y 2º) el
método de Bessel.
FUNDAMENTO
A) ECUACIÓN DE LAS LENTES
El parámetro característico de una lente es su distancia focal f’, que relaciona la
distancia s del objeto con la de su imagen s’ de acuerdo con la ecuación de las lentes
que aparece a continuación:
1
1 1
= ' +
'
f
s s
(1)
Ecuación de las lentes (forma de Gauss)
Esta fórmula ha sido escrita utilizando los criterios de signos expuestos en APENDICE.
En la figura 1 se presenta el trayecto de algunos rayos para explicar la formación de la
imagen; en particular han sido dibujados tres rayos (para situar la imagen formada
hubiese bastado con dos):
[1] Rayo paralelo al eje óptico, que se refracta pasando por el foco imagen F’.
[2] Rayo que pasa por el centro óptico de la lente y no se desvía.
[3] Rayo que incide sobre la lente pasando por el foco objeto y emerge paralelo.
Véase que la distancia s de la figura 1 es positiva por encontrarse el objeto en el lugar
del cual procede la luz, y que f’ y s’ son también positivas por encontrarse en el lado al
cual se dirige la luz. Los planos objeto e imagen se dicen planos conjugados, pues a
cada punto del primero corresponde un punto del segundo. La medida de f’ se basa en
determinar la distancia a la que aparece la imagen de un objeto situado a una distancia
dada.
Figura 1. Esquema de la formación de imagen a través de una lente convergente.
Lente
s’
[1]
f’
[2]
[3]
F’
F
O
Imagen
[3]
s
[2]
[1]
Distancia focal de una lente
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B) MÉTODO DE BESSEL
Considere un objeto situado a una distancia fija de una pantalla donde se va a recoger la
imagen formada por una lente convergente colocada entre ambos. Si la distancia fija L
entre el objeto y la pantalla es mayor que 4f’, existen dos posiciones de la lente que
forman imagen en la pantalla (véase figura 2), es decir, hay dos posiciones de la lente en
que los planos del objeto y de la imagen son conjugados (siempre que se cumpla el
requisito L > 4f’).
Figura 2. Ilustración del método de Bessel
L
Posición 1
Posición 2
Objeto
Imagen
d
Siendo L la distancia fija que separa el objeto de la pantalla donde recogemos la
imagen, y llamando d a la distancia que separa las dos posiciones de la lente en que se
forma imagen, puede demostrarse que la distancia focal es:
f' =
L2 − d 2
4L
(2)
PARTE EXPERIMENTAL
A) ECUACIÓN DE LAS LENTES
Sobre un banco óptico de longitud suficiente (entre 1,5 m y 2 m) debe disponerse el
montaje de la figura 3, empleando como fuente luminosa una bombilla común que
permite observar fácilmente la formación de imágenes. La lente se deja fija, y para cada
medida se coloca la bombilla a una distancia s de la lente (distancia objeto), y se
desplaza la pantalla sobre el banco óptico hasta conseguir enfocar la imagen del
filamento de la bombilla, obteniendo así s’ (distancia imagen). Para un buen ajuste se
recomienda hacer un mínimo de 5 medidas.
Observación: debe tenerse en cuenta que las distancias s y s’ han de ser medidas hasta el
plano central de la lente.
Figura 3. Medida de la focal usando la ecuación de las lentes
Pantalla
Lente
s
Distancia focal de una lente
s’
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B) MÉTODO DE BESSEL
Sobre un banco óptico de longitud suficiente (entre 1.5 m y 2 m) se dispone el montaje
de la figura 4, mediando una distancia L entre la fuente luminosa (la misma del
procedimiento anterior) y la pantalla. La distancia L debe ser mayor de 1.10 m. Se hará
una medida para cada valor de L, y la misma consistirá en desplazar a lo largo del banco
óptico la lente, observando las dos posiciones en que aparece una imagen bien enfocada
sobre la pantalla. Debe registrarse la distancia d entre las dos posiciones de la lente.
Luego se cambia el valor de L y mide el nuevo valor de d, un mínimo de cinco veces.
Obsérvese que ya que se mide el desplazamiento de la lente no es necesario medir de la
distancia entre los centros de las dos posiciones (véase figura 4).
Figura 4. Medida de la focal usando el método de Bessel
Posición 1
Posición 2
Pantalla
d
L
TRATAMIENTO DE DATOS
1º) De acuerdo con la ecuación de las lentes si se realiza el cambio de variable x =
1/s, y = 1/s’, la ecuación (1) se transforma en la siguiente: y = bx + a, donde la
pendiente b = -1 y la ordenada en el origen es la inversa de la focal de la lente (a =
1/f’). Por lo tanto, a partir de los valores medidos de s y s’ debe formarse una
tabla con sus valores inversos y ajustar por mínimos cuadrados una recta, que
tendrá una pendiente experimental muy próxima a la unidad y una ordenada en el
origen cuya inversa es la focal buscada.
2º) Método de Bessel. A partir de las distancias L y d medidas sobre el montaje de la
figura 4 (cada distancia debe ser expresada con su error correspondiente) se
aplicará la ecuación (2). Obténgase el valor medio de todas estas medidas de la
distancia focal f’ y aplíquense los criterios de la teoría de errores para la
determinación del valor aceptado.
Distancia focal de una lente
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EJEMPLO
A) ECUACIÓN DE LAS LENTES
s (cm)
x = 1/s
(cm-1)
s’ (cm)
y = 1/s’
(cm-1)
Ajuste: y = bx + a
33.9
0.029499
84.7
0.011806
y = (-0.994±0.013)x + (0.0410±0.0003)
39.0
0.025641
64.3
0.015552
41.9
0.023866
58.6
0.017065
49.3
0.020284
48.0
0.020833
59.9
0.016694
40.6
0.024631
68.6
0.014577
37.8
0.026455
Valor aceptado: f’ = 1/a = (24.37±0.18) cm
Coef. correlación r = 0.99964
Figura 5. Representación gráfica de los puntos experimentales.
0.030
0.025
1/s'
0.020
0.015
0.010
0.014
0.016
0.018
0.020
0.022
0.024
0.026
0.028
0.030
1/s
B) MÉTODO DE BESSEL1
L
Se han realizado 4 medidas empleando el montaje de
la figura 4. Todas las distancias se dan en centímetros.
Para la determinación de f’ se ha empleado la
ecuación (2), y para el tratamiento de errores se ha
utilizado la fórmula de propagación del error de
Gauss.
100.7
103.9
108.8
112.6
117.5
∆L
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
∆d
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
d
18.0
25.7
35.6
41.3
49.7
f’
24.37
24.39
24.29
24.36
24.12
∆f’
0.13
0.13
0.14
0.15
0.15
Valor aceptado: f’ = (24.31±0.06) cm
1
Friedrich Wilhelm Bessel, matemático y astrónomo alemán (1784-1846). Fué director del
observatorio de Königsberg. Entre otras contribuciones se le debe el cálculo de la órbita del cometa
Halley (1804), la primera determinación de una distancia estelar (61 Cygni, en 1838), el
descubrimiento de las irregularidades en el movimiento de Sirio (1844) y el estudio de las series de
2
potencias que llevan su nombre, soluciones de la ecuación diferencial x
d y
dx
Distancia focal de una lente
2
+
dy
+ xy = 0 .
dx
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PREGUNTAS
1º
¿Cuál de los dos métodos empleados para medir la focal es más preciso?
2º
Demuestre que la focal de la lente según el método de Bessel está dada por la
ecuación (2).
3º
Justifíquese el requisito L > 4f’ exigido por el método de Bessel.
4º
Determine la focal de la lente utilizada, empleando el ajuste de la ecuación de las
lentes, y obtenga el error correspondiente a partir de los parámetros de dicho
ajuste.
5º
Determine la expresión del error cometido en la medida de la focal cuando se
utiliza el método de Bessel, aplicando el criterio de propagación de errores de
Gauss a la ecuación (2).
6º
Determine la focal de la lente utilizada, empleando el método de Bessel, y obtenga
el error correspondiente según la serie de medidas realizadas.
7º
¿Qué es la potencia de una lente? Determine la potencia de la lente utilizada.
BIBLIOGRAFÍA
1
2
3
4
C. Carreras y M. Yuste. Prácticas de Óptica (Departamento de Física de Materiales). UNED.
W. H. Westphal. Prácticas de Física. Ed. Labor S.A. Barcelona 1952.
P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz y S.T. Thornton, Física para ciencias e ingeniería, Vol II, cap. 37
Diccionario Básico Espasa Quince. Ed. Espasa-Calpe. Madrid 1984.
APÉNDICE. CRITERIO DE SIGNOS PARA LAS DISTANCIAS
Distancia del objeto s: positiva si el objeto está situado en el lado donde se origina la
luz; negativa si el objeto está situado en el lado contrario.
Distancia de la imagen s’: positiva si la imagen está situada en el lado al cual pasa la
luz; negativa si la imagen está situada en el lado contrario.
Distancia focal imagen f’: positiva si la imagen está situada en el lado al cual pasa la
luz; negativa si la imagen está situada en el lado contrario.
Distancia focal de una lente
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