Propuesta Solucin Prctico no 8

Propuesta Solución – Práctico no 8
Ejercicio 1:
Zt = Xt – 10/4 Xt-1
Yt = Xt – 4/10 Xt-1 ⇒ (sacando de factor común 4/10) ⇒ Yt = 4/10 (10/4 Xt – Xt-1)
Entonces, los momentos de primer orden de ambos procesos son:
E(Yt) = 4/10 [ 10/4 E(Xt) – E(Xt-1)] = 4/10 ( 10/4 – 1 ) E(Xt) = 4/10 3/2 µX = E(Yt)
E(Zt) = E(Xt) – 10/4 E(Xt-1) = ( 1 – 10/4 ) E(Xt) = - 3/2 µX = E(Zt)
Los momentos de segundo orden son:
E(Yt Yt+h) = E[ 42/102 (10/4 Xt – Xt-1) (10/4 Xt+h – Xt+h-1)] =
= 42/102 [102/42 E(Xt Xt+h) – 10/4 E(Xt-1 Xt+h) – 10/4 E(Xt Xt+h-1) + E(Xt-1 Xt+h-1 )]
Haciendo uso de la hipótesis de estacionariedad del proceso Xt1:
E(Yt Yt+h) = 42/102 [102/42 E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h) + E(Xt-1 Xt+h-1 )] =
= 42/102 [(1 + 102/42) E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h)]
E(Zt Zt+h) = E[ (Xt – 10/4 Xt-1))(Xt+h – 10/4 Xt+h-1)] =
= E(Xt Xt+h) – 10/4 E(Xt-1 Xt+h) – 10/4 E(Xt Xt+h-1) + 102/42 E(Xt-1 Xt+h-1 )] =
= E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h) + 102/42 E(Xt-1 Xt+h-1 )] =
= (1 + 102/42) E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h)
Las varianzas se obtienen sustituyendo por h = 0 en los momentos cruzados y utilizando las
expresiones obtenidas para las medias de ambos procesos. Se tiene entonces que:
Var(Yt) = E[ 42/102 (10/4 Xt – Xt-1) (10/4 Xt – Xt-1)] – (4/10 3/2 µX )2 =
= 42/102 [(1 + 102/42) E( Xt2) - (3/2 µX )2]
Var(Zt) = (1 + 102/42) E( Xt2) - (-3/2 µX )2
Vemos entonces que Var(Yt) = 42/102 Var(Zt)
Las covarianzas se obtienen juntando todos los resultados obtenidos en la siguiente expresión:
Cov(Xt, Xt+h) = E(Xt Xt+h) – E(Xt) E(Xt+h)
γY(h) = Cov(Yt, Yt+h) = E(Yt Yt+h) – E2(Yt) =
= 42/102 [(1 + 102/42) E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h)] – (4/10 3/2 µX )2 =
= 42/102 [(1 + 102/42) E( Xt Xt+h) – 2 10/4 E(Xt-1 Xt+h) – (3/2 µX )2] =
= 42/102 Cov(Zt,Zt+h) = 42/102 γZ(h)
Dado que para hallar las correlaciones se dividirá por el valor de la varianza del proceso, el
coeficiente 42/102 desaparecerá de la expresión para el proceso Yt:
ρY(h) = Cov(Yt, Yt+h) / Var(Yt) = [42/102 Cov(Zt,Zt+h)] / 42/102 Var(Zt) = ρZ(h)
1
La “estructura” de los momentos de segundo orden del proceso se mantiene: las corelaciones y covarianzas dependen
de la “distancia” entre los dos instantes considerados. Así, γ(0,h) = γ(1,h+1) = γ(t,h+t) = .... = γ(h) = γ(-h) = γ(-t,-t+h) ...