15.- Una empresa fabrica dos tipos de productos A y B. La

15.- Una empresa fabrica dos tipos de productos A y B. La producción de cada
kilogramo de producto A precisa 3 horas de fabricación y 2 horas de control, generando
un beneficio de 1 unidad monetaria, mientras que la producción de cada kilogramo de B
precisa 5 horas de fabricación y 1 hora de control. La maquinaria necesaria para el
proceso de fabricación está disponible no más de 40 horas, mientras que para el proceso
de control no lo está más de 20 horas. El beneficio de cada unidad de producto B es el
doble del beneficio por unidad de producto A. La empresa desea maximizar el beneficio
y maximizar la producción total.
a) Plantee el problema de programación multiobjetivo y el problema ponderado
asociado. ¿Qué tipo de soluciones del problema multiobjetivo obtenemos al resolver
el ponderado?
b) Suponga que la empresa establece las siguientes metas con el siguiente orden de
importancia:
Primer nivel de prioridad: El beneficio total debe ser, como mínimo, de 5 unidades
monetarias.
Segundo nivel de prioridad: La producción total ha de ser, como mínimo, de 12
unidades.
Plantee el problema de programación por metas lexicográficas que responda a los
deseos de la empresa e indique el problema a resolver en cada nivel.
Resuelva el problema gráficamente indicando, si hay o no, soluciones satisfactorias.
Ante la gráfica obtenida, ¿qué le diría a la empresa?
Solución:
a) Denominemos xA a los kg. del producto A y xB a los kg. del producto B. Como
restricciones tenemos que la maquinaria necesaria para el proceso de fabricación
está disponible no más de 40 horas, mientras que para el proceso de control no lo
está más de 20 horas:
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
Como objetivos de la empresa tenemos los siguientes: maximizar el beneficio y
maximizar la producción total:
Max xA + 2xB
Max xA + xB
Por tanto el problema biobjetivo será:
Max xA + 2xB
Max xA + xB
s.a.
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
xA, xB ≥ 0
Para la aplicación del método de las ponderaciones tenemos que resolver un
problema de la forma:
Max λ (xA + 2xB ) + (1 - λ ) (xA + xB)
s.a.
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
xA, xB , λ ≥ 0
Con este método lo que vamos a obtener son puntos extremos eficientes o todo
un tramo de la frontera si el correspondiente problema ponderado tiene óptimos
múltiples.
b) Primer nivel de prioridad: El beneficio total debe ser, como mínimo, de 5 unidades
monetarias. La meta será:
xA + 2xB ≥ 5
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
xA + 2xB + n1 – p1 = 5
la variable no deseada es n1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = n1
Segundo nivel de prioridad: La producción total ha de ser, como mínimo, de 12
unidades. La meta será:
xA + xB ≥ 12
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
xA + xB + n2 – p2 = 12
la variable no deseada es n2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = n2
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { n1, n2 }
s.a.
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
xA + 2xB + n1 – p1 = 5
xA + xB + n2 – p2 = 12
xA, xB, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2
Nivel 1:
Min n1
s.a.
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
xA + 2xB + n1 – p1 = 5
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min n2
s.a.
3xA + 5xB ≤ 40
2xA + 1xB ≤ 20
xA + 2xB + n1 – p1 = 5
n1 = 0
xA + xB + n2 – p2 = 12
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
Si resolvemos gráficamente podemos comprobar que no hay puntos en el
conjunto factible que verifiquen la meta del segundo nivel de prioridad. El conjunto de
oportunidades viene delimitado, en el dibujo inferior, por las líneas de color rojo y de
color verde y los ejes de abscisa. Hay puntos factibles en los que el beneficio es, como
mínimo, de 5 unidades pero al incorporar que la producción total sea al menos de 12
unidades, podemos observar que no hay puntos factibles en los que este nivel se pueda
alcanzar.
xB
20
15
Meta 2
10
5
Meta 1
2
4
6
8
10
12
xA
Ante la gráfica, le diría a la empresa que relajara el nivel de aspiración de la
producción total, reduciendo el valor de 12.