Introducción a los métodos de solución numérica de E.D.P.

Capı́tulo 5
Introducción a los métodos de solución
numérica de E.D.P.
5.1
Introducción.
En lo sucesivo consideramos las notaciones para E.D.P. siguientes: Supongamos una E.D.P. de orden 2 para
la función u(x, y) dada por:
∂2u
∂2u
∂2u
a 2 +b
+c 2 =e
(5.1)
∂x
∂x∂y
∂y
donde a, b, c, d, e son funciones dependientes de (x, y, ux , uy )
Notamos por R la región del plano sobre la que se define u(x, y), ∂R es la frontera de R, R̄ es la región
cerrada R ∪ ∂R.
Considerada una red o malla de puntos {(xi , yj ) : i = 0, 1, . . . , N + 1, j = 0, 1, . . . , M + 1}, para la región
R, llamaremos:
uij = u(xi , yj ) será el valor exacto de la solución de la E.D.P. (supuesta su existencia y unicidad)
vij al valor numérico proporcionado por un método de resolución aproximada de la E.D.P.;
Si la malla es rectangular y parcialmente uniforme, notaremos por h =paso en la dirección x, k =paso
en la dirección y de modo que: xi = x0 + ih, yj = y0 + jk
1
2
Problemas de V.F.
Ejemplo:
Para R = [a, b] × [c, d] una red de puntos para R es la de la figura:
!xi ,yj "
Figura 5.1: Malla rectangular
En muchas situaciones las funciones a, b, c son ctes, de forma que a partir del signo de b2 −4ac se clasifican
en tres tipos estándar; a saber:
Elı́pticas si b2 − 4ac < 0
Parabólicas si b2 − 4ac = 0
Hiperbólicas si b2 − 4ac > 0
Ası́ pues, en este capı́tulo nos centraremos en el análisis numérico de algunas E.D.P. clásicas como:
Elı́pticas:
Ec. de Poisson:
Ec. Laplace:
∂2u
∂x2
∂2u
∂x2
+
+
∂2u
∂y 2
∂2u
∂y 2
= f (x, y) (distribución de temperaturas en equilibrio)
=0
Parabólicas:
Ecuación del calor-difusión:
En dimensión m:
∂u
∂t
Hiperbólicas:
Ecuación de ondas:
5.2
5.2.1
∂u
∂t
2
= α2 ∂∂yu2 (en dimensión 1)
= ∇2 u donde ∇2 =Laplaciano para u (x1 , . . . , xm )
∂2u
∂t2
2
= α2 ∂∂yu2
Método de Diferencias Finitas (D.F.) para la ecuación de Poisson.
Problemas de Dirichlet y Neumann.
Ecuaciones elı́pticas: problemas de Dirichlet y Neuman.
Ahora nos ocupamos de resolver numéricamente dos problemas tı́picos para la ecuación de Poisson o de
Laplace como son los de Dirichlet y Neuman según sean las condiciones iniciales y/o frontera para la deter-
Apuntes de J. Lorente
3
minación de la solución. El problema de DIRICHLET en el plano es:
Hallar la función u(x, y) verifcando:
∂2u ∂2u
+ 2 = f (x, y)
∂x2
∂y
(x, y) ∈ R
u(x, y) = g(x, y), si (x, y) ∈ ∂R
(5.2)
u(x, y) es continua en R̄
donde R es un dominio abierto de R2 . En particular supongamos que R = ]0, 1[ × ]0, 1[ y tomamos una
red de M × M -nodos interiores uniformemente distribuidos; es decir, cada nodo es:
(xi , yj ) ≡ (ih, jh) con h =
1
M +1
e i, j = 0, 1, . . . , M + 1
Ahora las condiciones de frontera quedan en la forma siguiente:
u(x, 0) = f0 (x), u(x, 1) = f1 (x) 0 6 x 6 1
u(0, y) = g0 (y), u(1, y) = g1 (y) 0 6 y 6 1
MÉTODO DE DIFERENCAS FINITAS.
Para obtener una solución numérica del problema (5.2), procedemos como sigue: Es fácil obtener, en cada
nodo interior (xi , yj ), las estimaciones de derivadas siguientes (como en capı́tulos precedentes):
∂2u
1
' 2 (ui+1,j − 2uij + ui−1,j )
2
∂x
h
2
con error: Ex = − h12
∂ 4 u(θi ,yj )
∂x4
∂2u
1
' 2 (ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 )
2
∂y
h
2
con error: Ey = − h12
∂ 4 u(xi ,ηj )
∂y 4
Desde aquı́, la ecuación de Poisson tiene la discretización siguiente:
vi−1,j + vi+1,j − 4vij + vi,j−1 + vi,j+1 = h2 f (xi , yj )
para i, j = 1, . . . , M
que junto a las condiciones de frontera de Dirichlet:
v0j = f0 (0, yj ) , vM +1,j = f1 (1, yj )
vi0 = g0 (xi , 0) , vi,M +1 = g1 (xi , 1)
para i, j = 1, . . . , M
conduce a un sistema de M 2 ecuaciones con otras tantas incógnitas. ¿Tiene solución única el sistema
anterior?
Si observamos cada ecuación y las ordenamos en orden lexicográfico respecto de los ı́ndices de nodos
entonces podemos escribir el sistema completo como sigue:
4
Problemas de V.F.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
1
0.8
Figura 5.2: Distribución 3x3 nodos interiores.
Para cada j = 1, . . . , M formamos las ecuaciones:
vi−1,j + vi+1,j − 4vij + vi,j−1 + vi,j+1 = h2 f (xi , yj )
para i = 1, . . . , M que en forma matricial serı́a:
A.v = −b+h2 F
donde,

B

 I
A=

 0
0
I
B
..
.
0
0
..
.
0


−4



0 
 con B =  1


..
 0
. I 
0
I B
1
0
..
.
−4
.. ..
.
.
0
1
0


0 

e

1 
−4 M ×M
I = IM
v = (v11 , . . . , vM 1 , v12 , . . . , vM 2 , . . . , . . . , v1M , . . . , vM M )t
b = (b1 , . . . , bi , . . . , bM )r con
b1 = (v01 + v10 , v20 , . . . , vM −1,0 , vM 0 + vM +1,1 )
bj = (v0j , 0, . . . 0, vM +1,j ) si j = 2, . . . , M − 1
bM = (v0M + v1,M +1 , v2,M +1 , . . . , vM −1,M +1 , vM,M +1 + vM +1,M )
F = (f11 , . . . , fM 1 , f12 , . . . , fM 2 , . . . , . . . , f1M , . . . , fM M )t
Con estas notaciones se puede demostrar el resultado siguiente:
Proposición 5.1
El sistema anterior admite solución única
Dem
Apuntes de J. Lorente
5
Basta probar que los valores propios de la matriz de coeficientes, A, son no nulos.
Mediante el conocimiento de los valores propios de las matrices de la forma A y B puede probarse que
éstos son:
iπ
jπ
2
2
λij = −4 sen
+ sen
con i, j = 1, 2, . . . , M
2(M + 1)
2(M + 1)
como son no nulos, se tendrá que la matriz admite inversa y, por lo tanto, existe una única solución
numérica para el problema de Dirichlet.
5.3
Esquemas en D.F. para problemas parabólicos: explı́cito, implı́cito
y Crank-Nicolson.
El problema parablico estndar viene descrito por la Ecuación del calor:
∂u
∂t
2
= α2 ∂∂xu2 a ≤ x ≤ b, t > 0
u(a, t) = 0 = u(b, t)
u(x, 0) = g(x) a ≤ x ≤ b
(5.3)
Discretización del dominio.
Consideramos una malla rectangular de puntos
xi = a + ih, i = 0, . . . , N + 1
tj = jk, j = 0, 1, . . .
tj
a
xi
b
Figura 5.3: Red de discretización x,t.
Para esta discretización se obtienen distintos métodos de D.F. basados en aproximaciones numéricas de
las parciales con diferencias progresivas (P), regresivas(R) ó centradas(C) según el caso. Ası́, se tienen los
métodos siguientes (T indica variable temporal t y E indica variable espacial x):
6
Problemas de V.F.
1. Método explı́cito (PTCE):
(a) Forma Escalar (j = 0, 1, . . . ):
vi,j+1 = r (vi+1,j + vi−1,j ) + (1 − 2r)vij i = 1, . . . N
donde r = α2 hk2 .
(b) Forma Matricial:
Vj+1 = (I − rB)Vj

−1 . . . 0

..
 −1 2 . . .
.

B= .
.
.
..
. . −1
 ..
0 · · · −1 2
2






 , Vj = 




j = 0, 1, . . .
v1j
v2j
..
.






 con V0 = 




vN j
g(x1 )
g(x2 )
..
.






g(xN )
2. Método implı́cito (RTCE)
(a) Forma Escalar (j = 0, 1, . . . ):
−r (vi+1,j+1 + vi−1,j+1 ) + (1 + 2r)vij+1 =vi,j i = 1, . . . N
(b) Forma Matricial:
(I + rB)Vj+1 = Vj
j = 0, 1, . . .
3. Método Crank-Nicholson.
(a) Forma Escalar (j = 0, 1, . . . ):
1
1
− r (vi+1,j+1 + vi−1,j+1 ) + (1 + r)vij+1 = r (vi+1,j + vi−1,j ) + (1 − r) vij
2
2
(b) Forma Matricial:
r
r
(I + B)Vj+1 = (I − B)Vj j = 0, 1, . . .
2
2
(c) Generalización (0 ≤ θ ≤ 1)
[I + rθB] Vj+1 = [I − r(1 − θ)B] Vj j = 0, 1, . . .
Observación: Si las condiciones de frontera en x = a y/ó x = b fuesen no nulas, los métodos anteriores
se verı́an afectados por los correspondientes términos independientes. Por ejemplo, el método de C-N
generalizado serı́a:
[I + rθB] Vj+1 = [I − r(1 − θ)B] Vj + r [(1 − θ) cj + θ cj+1 ]
donde cj = (v0,j , 0, . . . , 0, vN +1,j )t
Apuntes de J. Lorente
5.3.1
7
SOBRE LA ESTABILIDAD.
¿Qué ocurre cuando j → ∞? ¿cuál es el efecto de los errores de redondeo?
• El método PTCE es estable sólo si 0 < r ≤ 1/2
• El método RTCE es incondicionalmente estable
• El método de Crank-Nicolson es incond. estable
• El método generalizado es incondicionalmente estable para 1/2 ≤ θ ≤ 1.
5.3.2
Técnicas de análisis de estabilidad: Matricial y Fourier o von Neumann.
• Método Matricial: ¿ρ(A) < 1?
• Método von Neumann:
• Supogamos que vn,j = eiβnh eαjk cumple la ec. D.F.
• Calcular desde la ecuación el Factor de von Neumann ξ = eαk
• El método es estable si |ξ| ≤ 1
5.3.3
ERRORES, CONSISTENCIA y ORDEN.
• Error de truncatura local: τij (u) = Lu − Lh,k (u)
• El método es consistente si τij (u) → 0 ∀i, j y h, k → 0
• Es de orden (p,q) si τij (u) = O (hp + k q )
5.4
5.4.1
Métodos de D.F para problemas hiperbólicos. Esquemas de LaxFriedrichs. y Lax-Wendroff. Convergencia y condición CFL . Método
de las caracterı́sticas.
Ecuación de orden 1.
Consideramos el problema siguiente:
ut + aux = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f (x)
(5.4)
cuya solución es: u(x, t) = f (x − at). Además, x − at = C son las curvas caracterı́sticas de la E.D.P. (es
decir, curvas para las que la solución de la E.D.P. es constante) como se muestra en las figuras siguientes:
5.4.2
Soluciones Numéricas de la E.D.P.
Para obtener soluciones numéricas basadas en Diferencias Finitas, usaremos según el caso aproximaciones
de las parciales respectivas con diferencias progresivas (P), regresivas (R) o centradas (C) respecto de las
variables t (T), x (E). A continuación describimos los más habituales junto con sus principales propiedades.
8
Problemas de V.F.
t
x
a<0
a>0
Figura 5.4: Curvas caracterı́sticas.
Método explı́cito PTPE.
Usando diferencias progresivas para ut y ux se obtiene el método:
vn,j+1 = vn,j − R (vn+1j − vn,j )
(5.5)
donde R = a hk .
Propiedades.
1. Caso a < 0: el método (5.5) es consistente y estable (−1 ≤ R ≤ 0).
2. Caso a > 0: (5.5) es consistente e inestable (no converge)
Método explı́cito tipo PTCE.
Usando diferencias progresivas para ut y centradas para ux se obtiene el método:
vn,j+1 = vn,j −
R
(vn+1j − vn−1,j )
2
(5.6)
Propiedades.
1. El método es consistente de orden (2,1) ; es decir, τ (u) = O(h2 + k)
2. El factor Neumann es: ξ(θ) = 1 − iRsen(θ) (aquı́ θ = βh)
3. El método es inestable ∀R 6= 0.
Método explı́cito de Lax-Wendroff
Este método es de gran interés por sus propiedades de orden y estabilidad. Se obtiene, usando el desarrollo
de Taylor de u(x, t) respecto de la variable t en (x, t) y teniendo en cuenta que, de la E.D.P. se tiene la
igualdad:
utt = a2 uxx
entonces, consideramos diferencias centradas para ux y uxx pero Diferencias progresivas para ut . Más
concretamente,
Apuntes de J. Lorente
9
k2
k2
utt + O(k 3 ) = {por la E.D.P.} = u + kaux + a2 uxx + O(k 3 ) =
2
2
u(x + h, t) − u(x − h, t)
2
+ O(h ) +
= u + ak
2h
k 2 2 u(x + h, t) − 2u(x, t) + u(x − h, t)
2
+ a
+ O(h ) + O(k 3 ) =
2
h2
u(x, t + k) = u + kut +
=u+
k 2 a2
ak
(u(x + h, t) − u(x − h, t)) +
(u(x + h, t) − 2u(x, t) + u(x − h, t)) + kO(k 2 + h2 )
2h
2 h2
de donde se puede escribir el método:
vn,j+1 = vn,j −
R
R2
(vn+1j − vn−1,j ) +
(vn+1j − 2vn,j + vn−1,j )
2
2
(5.7)
Propiedades:
1. El método es consistente de orden (2,2)
2. El factor Neumann es: ξ(θ) = 1 − 2R2 sen2
θ
2
− iRsen (θ)
3. El método es estable si |R| = |a| hk ≤ 1
Método implı́cito Lax-Wendroff.
−
R R2
+
2
2
vn−1,j+1 + 1 + R
2
vn,j+1 +
R R2
−
2
2
vn+1,j+1 = vn,j
(5.8)
Propiedades1 :
1. El método es consistente de orden (2,1)
2. El factor Neumann es: ξ(θ) =
1
1+2R2 sen2 ( θ2 )+iRsen(θ)
3. El método es estable.
1
El método (5.8) aparece en el libro, “Numerical partial differential equations: finite difference methods” ( J. W. Thomas),
sin más deducción del mismo. Si bién éste es válido para el problema hiperbólico la propiedad de orden no es la que aparece en
dicha referencia sino las corregida aquı́. Por otra parte si se procediera a deducir un método implı́cito siguiendo lo hecho en el
caso explı́cito, se obtiene otro resultado; a saber:
„
−
R2
R
−
2
2
«
`
´
vn−1,j+1 + 1 − R2 vn,j+1 +
cuyas propiedades son:
1. El método es consistente de orden (2,2)
2. El factor Neumann es: ξ(θ) =
1
1−2R2 sen2 ( θ
+iRsen(θ)
2)
3. El método es estable si |R| = |a| hk ≥ 1
„
R
R2
+
2
2
«
vn+1,j+1 = vn,j
(5.9)
10
Problemas de V.F.
5.4.3
ESTABILIDAD: condición CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)
Dominios de dependencia para la solución del problema hiperbólico
Analı́tica: es el conjunto de puntos para los que la solución exacta en (x, t) depende de ellos. Más
precisamente,
si (x, t) ∈ D(u) ⇒ Da = {x0 /x − at = x0 }
Numérica: es el asociado al método numérico en cuestión; y es, el conjunto de puntos necesarios para
llegar al punto (nh, (j + 1)k) para todos los refinamientos de red tales que R = a hk es fijo y (nh, (j + 1)k)
está en la red del refinamiento.
Ejemplo: dominio para PTRE.
vn,j+1 = vn,j − R (vnj − vn−1,j )
Como puede apreciarse en la figura se tiene: DN = [(n − j − 1)h, nh] .
t
t
x
x
Figura 5.5: Dominio de dependencia numérica: red inicial y refinamiento
Definición 5.1
Se dice que una E.D.P. y un método de D.F. satisfacen la condición C-F-L si Da ⊂ DN
Teorema 5.1
Se un método de D.F. para E.D.P. es convergente, entonces satisface la condición C-F-L.
¿Cuál es la condición CFL del método PTRE?
Da ⊂ DN ⇔ 0 ≤ R ≤ 1