Variables inversamente proporcionales.

Presión y volumen, cantidades
inversamente proporcionales
Si la temperatura permanece constante, la presión de un gas
confinado es inversamente proporcional a su volumen. La presión
de determinado gas en un recipiente esférico de 9 pulg de radio, es
20 lb/pulg2. Si el radio del recipiente aumenta a 12 pulg calcule,
aproximadamente, la nueva presión del gas.
Solución
Recomendación 1.- Sea P la presión, en lb/pulg2, y V el volumen,
en pulg3, entonces, como P es inversamente proporcional a V,
P=
k
V
donde k es la constante de proporcionalidad.
Recomendación 2.- Se calcula la constante de proporcionalidad,
k, de la recomendación 1. Como el volumen V de una esfera de
radio r es V = 4/3 π r3, el volumen de la esfera inicial es V = 4/3
π(9)3= 972π pulg3. Esto lleva a lo siguiente:
20 =
k
972π
P = 20 cuando V = 972π
se despeja k
k = 20(972π )
= 19,440π
Recomendación 3.- Se sustituye k = 19,440π en P = k/V; se ve
que la presión que corresponde a cualquier volumen V es
P=
19,440π
V
Recomendación 4.- Si el radio nuevo es 12 pulg, entonces
3
3
V = π (12) = 2304π pulg 3
4
Al sustituir este número en lugar de V en la fórmula que se obtuvo
en la recomendación 3, se tiene
P=
19,440π 135
=
= 8.4375
2304π
16
Así, la presión disminuye a unas 8.4 lb/pulg2 cuando el radio
aumenta a 12 pulg.
Hay otros tipos de variación. Si x, y y z son variables, y y = kxz
para determinado número real k, se dice que y varía directamente
respecto al producto de x y z, o que y varía en conjunto con x y z.
Si y = k(x/z), entonces y varía directamente con respecto a x, e
inversamente respecto a z. Como ejemplo final, si una variable w
varía directamente respecto al producto de x y el cubo de y, e
inversamente respecto al cuadrado de z, entonces
w=k
xy 3
z2
donde k es una constante de proporcionalidad.