Problema de Lewis Carroll

Matemáticas II
Departamento de Matemáticas
Lewis Carroll, autor de Alicia en el
País de las maravillas, propone un
problema que puede enunciarse
así: El consumo en una cafetería de
un vaso de limonada, tres
sandwiches y siete bizcochos ha
costado 1 chelín y dos peniques,
mientras que un vaso de limonada,
cuatro sandwiches y diez bizcochos
vale 1 chelín y cinco peniques.
Hallar cuál es el precio:
1º De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.
2º De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.
Resolver el problema, recordando que 1 chelín vale 12 peniques.
Si llamamos x, y, z al precio unitario en peniques de la limonada, el sándwich y el
bizcocho respectivamente, de la parte inicial sólo podemos deducir dos ecuaciones con
tres incógnitas. El sistema será compatible pero indeterminado.
 x + 3 y + 7 z = 14

 x + 4 z +10 z = 17
Sin embargo no se trata de hallar el importe de cada limonada, cada sandwich y cada
bizcocho (los valores de x, y z), sino del valor total de x + y + z.
Esto lo podemos abordar de tres maneras diferentes:
1ª
Tratamos de expresar el pedido del que queremos saber el precio (x + y + z) como
combinación lineal del los dos pedidos de los que conocemos el precio.
x + y + z = a ( x + 3 y + 7 z ) + b ( x + 4 y + 10 z )
Basta, por tanto resolver el sistema
=1
 a+b

 3a + 4b = 1
7a + 10b = 1

Comprobamos (hazlo tú) que el sistema es compatible determinado y las soluciones son a
= 3 y b = -2
Finalmente, ya que x + y + z = 3 ( x + 3 y + 7 z ) − 2 ( x + 4 y + 10 z ) entonces el precio de x +
y + z es 3.14 – 2.17 = 8
Una limonada, un sándwich y un bizcocho cuestan 8 peniques.
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2ª Resolvemos el sistema compatible indeterminado
 x + 3 y + 7 z = 14
 x + 3 y = 14 − 7 z
⇔

 x + 4 z +10 z = 17
 x + 4 z = 17 − 10 z
1 3
=1≠ 0
1 4
Consideradas como incógnitas sólo la x y la y, el sistema es compatible determinado
1 14 − 7 z 3
x= ⋅
= 56 − 28 z − 51 + 30 z = 5 + 2 z
1 17 − 10 z 4
1 1 14 − 7 z
y= ⋅
= 17 − 10 z − 14 + 7 z = 3 − 3 z
1 1 17 − 10 z
Y así podemos calcular x + y + z = ( 5 + 2 z ) + ( 3 − 3 z ) + z = 8 peniques
3ª Se trata de encontrar el valor del parámetro k para que el sistema
 x + 3 y + 7 z = 14

 x + 4 z +10 z = 17 sea compatible determinado (que la limonada, los sándwiches y los
 x+ y+ z = k

bizcochos tengan asignado un precio unitario, aunque no seamos capaces de calcularlo).
1 3 7 


Puesto que la matriz de coeficientes del sistema A = 1 4 10  tiene rango 2
1 1 1 


1 3
= 1 ≠ 0 ) se trata de hallar el valor de k para que el rango de la matriz
1 4
ampliada también tenga rango 2 (que la tercera ecuación no contradiga a lo que dicen las
dos primeras). Para ello, tiene que ser
( A =0 y
1 3 14
1 4 17 = 0 ⇔ 4k + 14 + 51 − 56 − 3k − 17 = 0 ⇔ k − 8 = 0 ⇔ k = 8
1 1 k
Por una limonada, un sándwich y un bizcocho “nos tienen que cobrar” 8 peniques.
Cualquier otro precio que nos cobrasen, haría que el sistema fuese incompatible: no habría
un valor de x, uno de y y uno de z que justificasen simultáneamente los precios de los tres
pedidos.
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Resuelve el apartado 2º de cualquiera del las tres maneras: a mi modo de ver, la 1ª es muy
rebuscada y larga; la 2ª es sencilla de entender pero cuestan un poco las cuentas; la 3ª
supone un planteamiento un poco elaborado pero las cuentas son muy sencillas.
Prueba también (no lo propuso Lewis Carroll) a averiguar el precio de 1 limonada, 2
sandwiches y 3 bizcochos.
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