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 CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Triángulos Ricardo Villafaña Figueroa 2 Contenido Definición de un triángulo a partir de tres puntos ................................................................. 3 Definición de un triángulo a partir de líneas rectas ............................................................... 5 Definición de un triángulo a partir de sus lados ..................................................................... 7 Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos .................... 8 Medianas de un triángulo y centroide ................................................................................... 9 Alturas de un triángulo ......................................................................................................... 11 Alturas de un triángulo y su ortocentro ............................................................................... 13 Bisectrices de un triángulo ................................................................................................... 15 Bisectrices de un triángulo e incentro .................................................................................. 17 Circunferencia inscrita a un triángulo .................................................................................. 20 Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo .................................................. 22 Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo ............................... 24 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 3 Definición de un triángulo a partir de tres puntos Ejemplo Definir el triángulo que tiene como vértices los tres siguientes puntos: 3, 1 , 1, 3 , 2, 1 Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo con la función triangle: Detalle de la figura definida: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 4 Dibujando el triángulo con la función draw: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 5 Definición de un triángulo a partir de líneas rectas Ejemplo Definir el triángulo cuyos vértices lo forman la intercepción de las siguientes rectas: 0,
,
2
0. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir las tres líneas rectas: Dibujar las tres líneas para observar el triángulo formado: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 6 Definir el triángulo con las tres líneas dadas: Dibujar el triángulo definido: Detalles del triángulo: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 7 Definición de un triángulo a partir de sus lados Ejemplo Cada uno de los lados de un triángulo mide cinco unidades. Definir el triángulo. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo a partir de tres de sus lados: Detalle de la figura obtenida:
Comprobar si es equilátero a través de la función IsEquilateral: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 8 Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos Ejemplo Definir el triángulo cuyos dos de sus lados miden dos y cuatro unidades respectivamente y el ángulo entre ellos de de 90 grados. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo dado dos de sus lados y el ángulo entre ellos: ¿Es recto el triángulo formado? Uso de la función IsRightTriangle. Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 9 Medianas de un triángulo y centroide Ejemplo Los vértices de un triángulo son: . Encontrar la ecuación de sus medianas y su punto de intersección (centroide). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los tres puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo T con los puntos dados y la función triangle: Encontramos la mediana medA que pasa por el punto A y su ecuación correspondiente con las funciones median y Equation: Encontramos la mediana medB que pasa por el punto B y su ecuación correspondiente Encontramos la mediana medC que pasa por el punto C y su ecuación correspondiente: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 10 Encontramos el punto de intersección, al que llamaremos interseccion, de las tres medianas con la función centroid: Calculamos las coordinadas de la intersección con la función coordinates: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 11 Alturas de un triángulo Ejemplo Los vértices de un tríangulos ABC son los siguientes: A (0,0), B (2, 1) y C (1, 3). Encuentre la ecuación de la altura que va del vértice A al lado opuesto. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triangulo ABC a partir de los puntos dados: Definiendo la altura que se desprende del vértice A: Definiendo la ecuación de la altura:
Detalles de los objetos geométricos definidos: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 12 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 13 Alturas de un triángulo y su ortocentro Ejemplo El ortocentro de un triángulo está formado por la intercepción de sus tres alturas. Encontrar el ortocentro del triángulo formado por los puntos A (‐2, 0), B (1, 3) y C (3, ‐1). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los puntos que formarán el triángulo; Definiendo el triángulo: Obteniendo el ortocentro con la función orthocenter: Obteniendo las coordenadas del ortocentro: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 14 Dibujando el triángulo y el ortocentro: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 15 Bisectrices de un triángulo Ejemplo Dado el triángulo ABC definido por los puntos A (0, O), B (0, 3), C (3, 0), encontrar la bisectriz del vértice A. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo ABC: Encontrar la bisectriz del ángulo formado por el vértice A: Detalles del triángulo ABC:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 16 Detalles de la bisectriz: assume that the names of the horizontal and vertical axes are
_x and _y, respectively
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 17 Bisectrices de un triángulo e incentro Ejemplo El incentro es punto donde se cruzan las bisectrices de un triángulo. Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus bisectrices y el punto de intercepción de sus bisectrices (incentro). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triángulo ABC: Definiendo las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo. Lado AB: Lado AC: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 18 Lado BC: Definiendo cada una de las bisectrices del triángulo y sus respectivas ecuaciones. Bisectriz A:
Bisectriz B: Bisectriz C: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 19 Cargando el paquete de gráficas que permite dibujar ecuaciones implícitas: Dibujando cada uno de los elementos del triángulo: El incentro queda en el punto:
Valor aproximado del valor de y: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 20 Circunferencia inscrita a un triángulo Ejemplo Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo, las coordenadas de su centro y su radio. Dibuje el triángulo y la circunferencia encontrada. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triángulo ABC: Definiendo el incentro: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 21 Detalle del incentro encontrado: assume that the names of the horizontal and vertical axes are
_x and _y, respectively
Dibujando el triángulo y la circunferencia inscrita: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 22 Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo Ejemplo Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son las siguientes: A (0, 0), B (‐2, 4), C(4, ‐2). a) Dibujar el triángulo. b) Calcular su área y la longitud de cada uno de sus lados. Solución Cargando la biblioteca de geometría: a) Definiendo los puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo con la función triangle: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 23 Dibujando el triángulo: b) Calculando la longitud de los lados con la función sides: Calculando el área del triángulo con la función area: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 24 Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo Ejemplo Un triángulo está formado por los vértices A (‐2, 1), B (2, 1) y C (0, 4). Encontrar las ecuaciones de las circunferencias externas a cada uno de sus lados. Graficar el triángulo y las circunferencias. Solución En un triángulo ABC, una circunferencia k tangente a un lado c del triángulo y tangente a las extensiones de los lados a y b es conocida como circunferencia externa. La circunferencia forma su centro con las intersecciones de las bisectrices externas de los vértices A y B. Cargar el paquete geometría: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 25 Definir los tres vértices del triángulo:
Definir el triángulo T sobre el que se calcularán las ecuaciones:
Utilizar el comando excircle para el cálculo de las tres circunferencias externas:
Detalles de cada una de las circunferencias encontradas: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 26 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 27 Dibujo del triángulo y las circunferencias: Cálculo y dibujo de cada una de las ecuaciones de los lados del triángulo:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 28 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 29 Solución dada con Geogebra a la circunferencia 3: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple