Origen y fundamentos de la física cuántica

L1 (parte 1). Origen y fundamentos
Oscar Rosas-Ortiz
Departamento de Fı́sica
Cinvestav
México
(CADI 2012, ITESM Edo Méx.)
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 1
Un giro inesperado
Heisenberg, Sommerfeld, Pauli, Wien
• 1920. Universidad de Munich. Werner Heisenberg (19 años)
–Sommerfeld (problema propuesto): Explicar las líneas espectrales
del efecto Zeeman anómalo usando la formulación Bohr-Sommerfeld
–Heisenberg (solución hallada): Números cuánticos semienteros
–Sommerfeld: ¡Imposible!
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–Pauli a Heisenberg:
“Ahora introduces números cuánticos semienteros, después también
usarás cuartos e incluso octavos de cuántos hasta que finalmente, en
tus hábiles manos, toda la teoría cuántica se reduzca a polvo”
–Años después: “Los cuántos semienteros describen algo «real» pero
imposible de visualizar. Los electrones parecen «girar» de forma
nunca antes vista: Lo que debería ser una rotación completa es sólo
la mitad de una vuelta para el electrón”
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• 1923. Heisenberg, examen de grado. Wien sinodal.
–¿Cómo funciona una bateria?
–¿Cuál es el poder de resolución de un microscopio, un telescopio y
un interferómetro de Fabry-Perot?
–Dictamen (Wien): NO APROBADO (interviene Sommerfeld)
–Años después: Rayos γ, principio de incertidumbre (1927)
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Un giro inesperado II
Born to Einstein (Feb 12, 1921)
–El artículo de Pauli para la Enciclopedia parece acabado, y creo que pesa 2.5 Kg de papel, por
donde puede colegirse su peso intelectual. Este amiguito no sólo es listo, también es aplicado.
B-E (Oct 21, 1921)
–... es de una inteligencia prodigiosa y sabe mucho, además es humano, para sus 21 años,
perfectamente normal, alegre e infantíl.
B-E (Oct 21, 1921)
–El joven Pauli es muy estimulante y creo que ya nunca volveré a tener un ayudante tan bueno.
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... y unos años más tarde:
“El informe acerca del «joven Pauli» no es completo. Recuerdo que
era muy dormilón y más de una vez faltó a su clase de las 11.
Habíamos tomado la costumbre de enviar a nuestra criada a las diez y
media para estar seguros de que se había levantado ya. Sin ninguna
duda era un genio de primera, pero mi temor de no volver a tener un
ayudante tan bueno como él resultó infundado. Su sucesor,
Heisenberg, también era bueno, y hasta concienzudo. A él no
teníamos que mandarlo despertar ni recordarle sus obligaciones”
(B-E letters)
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... todavía más tarde (B-E, Marzo 31, 1948):
“En el caso de la mecánica cuántica, que en tan poco tienes, las
alabanzas y lisonjas han sido todas para Heisenberg y Schrödinger. Y
Heisenberg que estaba in albis y ni siquiera sabía entonces lo que
eran matrices (me consta porque fue mi ayudante)...”
Born insiste (Nov 8, 1953):
“El que las matrices de Heisenberg lleven ese nombre no está muy
justificado, ya que Heisenberg no tenía idea en aquellos días de lo
que era una matriz. Él cosechó el fruto del trabajo común: la fama, el
Premio Nóbel y esas cosas. No es que me duela, pero en los últimos
veinte años no he podido dejar de sentir que era en cierto modo una
injusticia”... (Born gana el Nóbel en 1954).
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Alea iacta est
• Mecánica Cuántica
Heisenberg, Born, Jordan, Dirac,Pauli
La mecánica cuántica surge en 1925, con un artículo firmado por
Werner Heisenberg (entonces de 24 años) donde, por primera vez, se
atacan los nuevos fenómenos (∼principios del siglo XX) en un
esquema formal y sistemático, muy lejos de las formulaciones de
Maxwell y Newton.
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1925
• W. Heisenberg, Quantum-theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations, Z. Phys. 33 (1925) 879-893
«The present paper seeks to establish a basis for theoretical quantum mechanics founded
exclusively upon relationships between quantities which in principle are observable»
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• Heisenberg introduce el concepto de «observable» en física cuántica:
«One ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies
and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes. In any case,
these magnitudes could be observed directly» [phys & beyond]
«No concept enter a theory which has not been experimentally verified at least to the same
degree of accuracy as the experiments to be explained by the theory» [physical principles]
«It is necessary to bear in mind that in quantum theory it has not been possible to associate the
electron with a point in space, considered as a function of time, by means of observable
quantities. However, even in quantum theory it is possible to ascribe to an electron the emission
radiation»
• De acuerdo con Heisenberg, las variables físicas deben representarse por arreglos
específicos de números (¡matrices!... sólo que Heisenberg –y la mayoría de los físicos de la
época– desconocía que existiese una teoría matemática para estos objetos). Una conclusión
que, a su vez, le llevó a un resultado inesperado:
«Whereas in classical theory x(t)y(t) is always equal to y(t)x(t), this is not necessarily the case
in quantum theory»
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• Julio 19, 1925. Born in a train to Hannover:
«After having sent the Heisenberg’s paper to the Zeitschrift für Physik for publication... I
suddenly saw light: Geisenberg’s symbolic multiplication was nothing but the matrix calculus... I
was familiar with the fact that matrix multiplication is not commutative: therefore I was not too
much puzzled by [the result that p̂q̂ and q̂ p̂ are not identical]. Closer inspection showed that... the
diagonal elements of the matrix p̂q̂ − q̂ p̂ had the value h/2πi... I soon convinced myself that the
only reasonable value of the non-diagonal elements should be zero, and I wrote down the
strange equation
h ˆ
I
p̂q̂ − q̂ p̂ =
2πi
where Iˆ is the unit matrix. But this is only a guess, and my attempts to prove it failed.»[sources]
• Born le propuso el problema a Pauli y éste lo rechazo sarcásticamente... Después le propuso
el problema a otro de sus estudiantes:
«Jordan accepted and after only a few days brought me the solution to the problem: He showed
that the canonical equations of motion, applied to the matrices p̂ and q̂, led to the result that time
derivative of p̂q̂ − q̂ p̂ must vanish, hence the matrix itself must be diagonal. Then we began to
write a joint paper...»
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• M. Born and P. Jordan, On Quantum Mechanics, Z. Phys. 34 (1925) 858-888
«The recently published theoretical approach of Heisenberg is here developed into a systemtic theory of quantum mechanics (in first place for systems having one degree of freedom)
with the aid of mathematical matrix methods...»
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... un poco antes:
• Julio 28 de 1925, Heisenberg visita a R.H. Fowler en Cambridge y dicta la charla “Term
Zoology and Zeeman Botany” en el Club Capitza. Un mes después, Heisenberg le hace llegar
las pruebas de galera de su artículo sobre la mecánica cuántica a Fowler.
–Fowler le entrega el artículo a su estudiante Dirac
• Dos semanas después, Dirac concluye que el artículo de Heisenberg proporciona la clave de
“todo el misterio”:
«non-commutation was really the dominant characteristic of Heisenberg’s new theory» [dev]
• De acuerdo con Dirac, la mecánica cuántica podría ser inferida de la formulación Hamiltoniana
de la dinámica clásica considerando que las nuevas «variables dinámicas» obedecen un
«álgebra cuántica» no-conmutativa. Sus resultados son publicados entre 1925 y 1927.
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• P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 109 (1926) 642-653
(*) W. Heisenberg, Z Phys 33 (1925) 879
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• Dirac refina la noción de observable en mecánica cuántica:
«When we make an observation we measure some dynamical
variable. . . the result of such a measurement must always be a real
number. . . so we should expect a real dynamical variable. . .Not every
real dynamical variable can be measured, however. A further
restriction is needed» [Dbook]
• Dirac termina por formalizar el concepto de «observable» como una
variable dinámica real (i.e., un operador Hermitiano) cuyos
eigenestados forman un conjunto completo y establece que, al menos
en teoría, cualquier observable es mensurable experimentalmente.
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• M. Born, W. Heisenberg and P. Jordan, On Quantum Mechanics II, Z. Phys 35 (1926) 557615
«The quantum mechanics developed in Part I of this paper from Heisenberg’s approach is
here extended to systems having arbitrarily many degrees of freedom...»
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• Las reacciones de la comunidad científica fueron de desconcierto ya
que ni las matrices ni la forma de trabajar con ellas formaban parte del
entrenamiento matemático de los físicos en aquél entonces.
• Heisenberg mismo, a pesar de haber introducido el uso de matrices
en física y de haber «redescubierto» la ley de multiplicación matricial,
consideraba la aplicación en física del cálculo matricial demasiado
complicado de entender desde el punto de vista físico.
• El 16 de noviembre, 1925, Hesienberg le escribe a Pauli
expresándole sus dudas. Ambos deseaban hacer «más física» la
nueva teoría.
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• W. Pauli, On the hydrogen spectrum from the standpoint of the new quantum mechanics, Z
Phys 36 (1926) 336-363
Ǥ1. The fundamentals of the new quantum mechanics. Heisenberg 1 ) has recently published a
formulation of the principles of quantum theory which represents a considerable advance over
the previous theory of multiply-periodic systems. Heisenberg’s form of quantum theory
completely avoids a mechanical-kinematic visualization of the motion of electrons in the
stationary states in an atom. Apart from time averages of classical kinematic quantities, only
harmonic partial vibrations are introduced, which are associated with each transition between
two stationary states and which are directly related to the spontaneous transition probabilities of
the system...
... and hence
RhZ 2
|E| = . . . =
n2
(68)
... This demonstrates that the Balmer terms result correctly from the new quantum mechanics
and that the weight n2 is associated with the nth quantum state in the new theory.»
(1 ) W. Heisenberg, Z Phys 33 (1925) 879
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El azar de una probabilidad
• Mecánica Ondulatoria
Einstein, de Broglie, Schrödinger
–Einstein a Besso (dic 25, 1925):
«La cosa más interesante suministrada últimamente por la teoría es la
de Heisenberg-Born-Jordan de los estados cuánticos. Un verdadero
cálculo de hechicería, donde aparecen determinantes infinitos
(matrices) en lugar de las coordenadas cartesianas. Esto es
eminentemente ingenioso y, a causa de su complicación, está
suficientemente protegido contra toda demostración de falsedad»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 20
–Para muchos físicos de la época la nueva teoría debería sustentarse
en una ecuación del tipo ondulatorio:
1) de Broglie. Hipótesis sobre las ondas de materia.
E = hν = ~ω,
p~ = ~~k
(Planck-Einstein),
h
2π
=
λ=
|~
p|
|~k|
2) Una formulación ondulatoria encajaba perfectamente con el
entrenamiento matemático de cualquier físico de ese entonces,
acostumbrados a resolver –por ejemplo– las ecuaciones de Maxwell y
al estudio de las vibraciones de los sólidos.
–1926. Schrödinger presenta su contrapropuesta a la mecánica
cuántica en una serie de 6 artículos.
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• E. Schrödinger, Quantisation as a Problem of Proper Values, Ann. Phys. 79 (1926) 361-376
«§1. In this paper I wish to consider, first, the simple case of the hydrogen atom (nonrelativistic and unperturbed), and show that the customary quantum conditions can be replaced by another postulate, in which the notion of “whole numbers”, merely as much, is not
introduced. Rather when integralness does appear, it arises in the same natural way as it
does in the case of node-dumbers of a vibrating string...»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 22
–En este primer artículo Schrödinger deriva la ecuación que gobierna
el comportamiento ondulatorio de los electrones «a la de Broglie».
Las soluciones ψ de esta ecuación dieron lugar a disputas de
interpretación que hoy día siguen vigentes.
–Schrödinger proporciona una cuidadosa (¿tímida?) interpretación de
sus soluciones:
«Por supuesto, queda la fuerte impresión de que deberíamos intentar
relacionar a la función ψ con algún proceso de vibración en el átomo,
el cual podría aproximarse a la realidad mejor que las órbitas
electrónicas, cuya verdadera existencia está siendo muy cuestionada
hoy en día.»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 23
–Einstein a Schrödinger (abril 6, 1926)
« Estoy convencido de que con tu trabajo has logrado un avance
decisivo en la formulación cuántica, igual que estoy convencido de
que el método de Heisenberg-Born es erróneo»
–Einstein a Besso (feberero 1, 1926)
«Schrödinger ha sacado dos trabajos excelentes sobre la regla de los
cuantos que sí hacen presentir profundas verdades»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 24
Con la mecánica ondulatoria, Schrödinger estaba convencido de
haber exorcizado todos aquellos fantasmas tan inaceptables como las
matrices o los saltos cuánticos, al tiempo que se regresaba a un
terreno conocido (similar al de la mecánica clásica), con resortes que
oscilan y donde no hay cambios abruptos de estado en los sistemas
físicos.
«My theory was inspired by L. de Broglie, and by brief, yet infinitely far-seeing remarks of A.
Einstein. I did not at all suspect any relation to Heisenberg’s theory at the beginning. I naturally
knew about his theory, but was discouraged, if not repelled, by what appeared to me as very
difficult methods of transcendental algebra, and by the want of perspicuity» [On the relation]
–Muy pronto Schrödinger dejó de ser cauto: «No hay partículas, sólo
hay ondas con sus conocidas vibraciones propias, y lo que hemos
llamado “partículas” no son sino el equivalente a paquetes de onda
muy “apretados”»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 25
A pesar del entusiasmo inicial la comunidad científica empezó a notar
las complicaciones que se derivan de las «ondas» de Schrödinger:
–Críticas de Lorentz (compartidas por Einstein)
«Un paquete de ondas no permanece compacto con el tiempo sino
que se expande gradualmente hasta ocupar volúmenes enormes en
tres dimensiones»
«¿Qué ocurría entonces con la carga del electrón que, para ese
entonces, ya se aceptaba como indivisible?»
–En su respuesta, Schrödinger le envía a Lorentz las separatas donde
discute un paquete de ondas de estados cuánticos del oscilador que
no se dispersa con el tiempo.
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 26
• E. Schrödinger, The continuous transition from micro-to macro-mechanics, Die Naturwissenschaften 28 (1926) 664-666
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 27
«At first sight it appears very strange to try to describe a process, which we previously regarded
as belonging to particle mechanics, by a system of such proper vibrations. For this chosen
simple case, I would like to demonstrate here in concreto the transition to macroscopic
pmechanics by showing that a group of proper vibrations of high order-number n ( “quantum
number”) and of relatively small order-number differences (“quantum number differences”) may
represent a “particle”, which is executing the “motion’, expected from the usual mechanics, i.e.
oscillating with the frequency ν0 .»
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 28
–Schrödinger se vio obligado a aceptar que la identificación de ψ con
la densidad de carga conlleva dificultades.
–Más objeciones:
ψ para


1 electrón requiere 3 dimensiones



2 electrones requiere 6 dimensiones




n electrones requiere 3n dimensiones
La descripción de un conjunto de varias partículas requiere entonces
ondas definidas en espacios multidimensionales que son muy
diferentes de las ondas de la física clásica y muy difíciles de
representar.
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 29
L1 (parte 1). Origen y fundamentos – p. 30