Geometría Analítica - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Ecuaciones ordinarias de la parábola
En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos
a utilizar la ecuación.
Empezaremos estudiando las parábolas con vértice en el origen.
Parábolas con vértice en el origen
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en el punto
F (1, 0).
• Esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha.
• Puedes darte cuenta de esto graficando el vértice y el foco.
• Como la parábola es horizontal tenemos que su ecuación es de la forma:
y2 = 4 px
• Sabemos que p es igual a la distancia del vértice al foco.
• De la gráfica es muy sencillo deducir que esa distancia es 1.
y
x+1 = 0
4
y2 = 4 x
3
2
1
−2 −1
−1
−2
F
Lado Recto
V
1
2
3
4
5
x
−3
−4
• Entonces, la ecuación de esa parábola es:
y2 = 4x
• Ahora vamos a calcular sus elementos:
Lado recto: LLR = 4 p = 4 (1) = 4.
Directriz: x = h − p = 0 − 1
⇒
x + 1 = 0.
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Ejemplo 1
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Se te queda como ejercicio graficar el lado recto y la directriz de esta parábola.
El siguiente ejemplo tratará una parábola vertical.
Ejemplo 2
Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y la ecuación de su directriz
1
es: y + = 0.
4
• En este caso no conocemos el foco, pero sí la ecuación de la directriz.
• Podremos calcular la distancia entre el foco y el vértice porque es exactamente la misma que
de la directriz al vértice.
• Para esto, necesitamos conocer el punto donde intersecta la directriz al eje y.
• Cualquier punto que se encuentre sobre la directriz satisface: y = −1/4 para cualquier valor
de x.
• En el eje y, x = 0, Así que la directriz corta al eje y en el punto M (0, −0.25).
• El foco está, entonces, en el punto F (0, 0.25).
• Y dado que el vértice de la parábola está en el origen, p = 1/4.
• La siguiente gráfica muestra la situación:
y=
x2
y
2
1
0.5
F
−2
V
−1
x
1
y + 14 = 0
2
−1
Ahora vamos a resolver un ejemplo donde se requiere de otro procedimiento para calcular la
ecuación de la parábola.
Ejemplo 3
Una parábola vertical tiene su vértice en el origen y pasa por el punto P(4, 2). Encuentra su
ecuación.
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x2
=
x2
=
x2
=
4 py
1
y
4
4
y
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• Dado que la parábola es vertical y tiene su vértice en el origen, la ecuación es de la forma:
x2 = 4 py
• Sabemos que pasa por el punto P(4, 2), la parábola abre hacia arriba y la ecuación satisface:
(4)2 = 4 p (2)
⇒
16 = 8 p
⇒
p=2
• Sabiendo que p = 2 podemos calcular los demás elementos de la parábola:
Lado recto: LLR = 4 p = 4 (2) = 8.
Directriz: y = k − p = 0 − 2
⇒
y + 2 = 0.
• La siguiente gráfica muestra esta situación:
y
3
x2 = 8 y
2p
2p
2 F
−4
−3
−2
V
−1
2
1
3
4
2p
−5
p
1
P
x
5
−1
−2
y+2 = 0
• Observa que el punto P(4, 2) es un extremo del lado recto de la parábola.
• También observa que la distancia desde el foco F (2, 0) hasta P(4, 2) es la misma (4 unidades)
que la distancia desde P(4, 2) hasta la directriz.
• Esto es así por la forma como se definió la parábola.
Encuentra la ecuación de la parábola que es horizontal, tiene su vértice en el origen y pasa por
el punto P(−1, 3).
• Empezamos graficando la situación.
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Ejemplo 4
Profr. Efraín Soto Apolinar.
y
4
P
3
2
1
V
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
x
−2
−3
−4
• Como la parábola es horizontal y p < 0, la ecuación de la parábola es de la forma:
y2 = 4 px
• Para calcular el valor de p vamos a sustituir las coordenadas del punto por el cual pasa la
parábola.
• Entonces,
(3)2 = 4 p(−1)
⇒
9 = −4 p
• La ecuación de esta parábola es, entonces:
9
2
y =4 −
x
4
⇒
⇒
p=−
9
= −2.25
4
y2 = −9 x
• Ahora que conocemos el valor de p podemos fácilmente calcular los demás elementos de la
parábola:
9
Foco: F ( p, 0) = F − , 0
4
9
Lado recto: LLR = 4 p = 4 −
= −9
4
9
9
Directriz: x = h − p = 0 − −
⇒
x − = 0.
4
4
• Ahora podemos graficar la parábola con todos sus elementos:
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y
y2 = 9 x
5
4
=0
3
9
4
Lado Recto
P
x−
2
1
F
V
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
x
−2
−3
−4
−5
La otra versión del problema que hemos estudiado en esta sección consiste en calcular, a partir de
la ecuación de la parábola, todos sus elementos.
Encuentra todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:
Ejemplo 5
x2 = 16 y
• Para empezar, por la forma de la ecuación podemos deducir que tiene su vértice en el origen.
• También por la ecuación sabemos que la parábola es vertical.
• El valor de p lo calculamos a partir de comparar las dos ecuaciones:
x2
= 4p y
2
= 16 y
x
• De aquí que 4 p = 16, de donde p = 4.
• Ahora podemos utilizar las fórmulas para calcular todos los elementos de la parábola:
Lado recto: LLR = 4p = 4(4) = 16.
Foco: F (0, p) = F (0, 4).
Directriz: y + p = 0
⇒
y + 4 = 0.
• Observa que como p > 0, la parábola abre para arriba.
• Se te queda como ejercicio graficar la ecuación.
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Encuentra todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:
Ejemplo 6
y2 = 12 x
• Por la ecuación sabemos que la parábola es horizontal y abre hacia la derecha.
• Al comparar la ecuación básica con la que nos dieron encontramos que 4 p = 12.
• Entonces, p = 3.
• Ahora podemos calcular los elementos de la parábola:
Lado recto: LLR = 4p = 4(3) = 12.
Foco: F ( p, 0) = F (3, 0).
Directriz: x + p = 0
⇒
x + 3 = 0.
• Se te queda como ejercicio graficar la parábola.
Encuentra todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:
Ejemplo 7
x2 = −20 y
• Para empezar, por la forma de la ecuación podemos deducir que tiene su vértice en el origen,
es vertical y abre hacia abajo.
• El valor de p lo calculamos con el coeficiente:
4 p = −40
⇒
p = −5
• Ahora podemos utilizar las fórmulas para calcular todos los elementos de la parábola:
Lado recto: LLR = 4| p| = 4(5) = 20.
Foco: F (0, p) = F (0, −5).
Directriz: y + p = 0
⇒
y − 5 = 0.
• Se te queda como ejercicio graficar la ecuación.
Encuentra todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:
Ejemplo 8
y2 = −3 x
• Por la ecuación sabemos que la parábola es horizontal y abre hacia la izquierda.
• Por el coeficiente sabemos que 4 p = −3
⇒
p = −3/4.
• Ahora podemos calcular los elementos de la parábola:
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3
Lado recto: LLR = 4| p| = 4
= 3.
4
3
Foco: F ( p, 0) = F − , 0 .
4
3
Directriz: x + p = 0
⇒
x − = 0.
4
• Se te queda como ejercicio graficar la parábola.
Observa que con conocer el valor de p podemos calcular todos los elementos de la parábola.
Esto es así porque el vértice de la parábola está en el origen, es decir, V (h, k) = V (0, 0).
Entonces, h = 0, y k = 0, por lo que las fórmulas que aparecen en el formulario al final de esta
unidad se reducen al caso más simple.
En la siguiente sección estudiaremos el caso más general, cuando el vértice está fuera del origen.
En esta sección no necesitábamos encontrar la ecuación del eje de la parábola porque siempre
coincide con uno de los ejes, el eje y para las parábolas verticales y con el eje x para las parábolas
horizontales.
Para las parábolas que no tienen su vértice en el origen tendremos que calcularla.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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