2. enseñanza - Revista Colombiana de Física

REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 35, No.1. 2003
ACERCAMIENTO AL CÁLCULO DE LA MASA EFECTIVA DE UNA
CADENA CLÁSICA LINEAL
H. S. Ruiz, J. C. Giraldo, C. Jácome, E. Y. Maldonado
Grupo de Instrumentación Científica y Didáctica.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia.
RESUMEN
Luego de calcular el Hamiltoniano de la cadena clásica lineal semi-infinita, La función
respuesta fuerza-aceleración es calculada para la cadena forzada bidimensionalmente de
tal manera que se manifiestan oscilaciones longitudinales y transversales. Esta Función
respuesta que puede llamarse una frecuencia dependiente del inverso de la masa efectiva
en la aproximación lineal, permite como método matemático dar una visualización más
clara de lo que podemos entender por masa efectiva, analizando algunos casos
interesantes.
After calculating the Hamiltoniano of the semi-infinite linear classic chain, the response
function force-acceleration is calculated for the chain forced two -dimensionally in such
a way that longitudinal and transverse oscillations occur. This response function, wich
can be called a dependent frequency of the inverse of the effective mass in the lineal
approach, allows as mathematical method to give a clearer visualization of what we can
understand for effective mass through analisis of some interesting cases.
I. INTRODUCCION
La cadena clásica lineal es estudiada en cursos de mecánica clásica, [1]. mecánica
estadística, [2] de física del estado sólido, [3,4 ] ilustrando conceptos y técnicas de
cálculo inestimables en la carrera de un físico.
II. LA CADENA CLÁSICA LINEAL INFINITA
La cadena Fig. 1 (a), presenta la superposición de dos situaciones físicas: manifestando
únicamente oscilaciones longitudinales (régimen longitudinal) y, la segunda, en régimen
transversal.
En el régimen longitudinal, el Hamiltoniano del sistema ésta dado por:
El súper-índice anterior u, indica la coordenada de cálculo. El supra-índice j enumera
las masas, y
es el momentum lineal de cada partícula.
A partir de (1) se puede obtener la ecuación de movimiento
.
El régimen transversal se puede estudiar bajo una suma infinita de sistemas acoplados,
Fig. 2. La distancia , es constante, definida como:
donde
es el valor medio de los desplazamientos de cada una de las partículas
respecto a sus vecinas y, en un espectro 0 <
< d. Este valor es una constante
dependiente de la estructura de la cadena (del material).
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El Hamiltoniano del régimen transversal, viene dado por:
Fig.1. La cadena clásica lineal infinita
unidimensional: masas idénticas m; resortes
idénticos de constante de elongación K,
separadas una distancia d.
La ecuación de movimiento “de Newton” para la masa n-ésima en
.
régimen transversal es:
Fig.2. La cadena clásica lineal infinita
unidimensional mostrada en la fig. 1 (a)
presentando oscilaciones transversales.
III. BANDAS LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL
En el régimen longitudinal, podemos imaginar una sola masa confinada en una caja
cerrada, Fig. 3., donde
es la amplitud de la agitación, por lo tanto
. Para la cadena el movimiento de la vibración no puede ser
arbitraria y la solución tiene que ser auto-consistente, cumpliendo con esto, la
frecuencia de oscilación resulta ser
. En el régimen transversal, se define
una banda, cuando
, oscilando armónicamente cerca de una frecuencia máxima
, y frecuencia mínima nula. Cualquier movimiento libre de la cadena
infinita (o de unas finitas con condiciones de contorno cíclicas) puede tener frecuencias
en una banda comprendida entre
para el régimen longitudinal y [
) para el
régimen transversal.
Fig.3. Una de las masas de la cadena
infinita en una caja cerrada, oscilando
longitudinalmente una amplitud s(t).
IV. LA CADENA SEMI-INFINITA FORZADA
Si cualquier resorte se elimina de la cadena infinita, la cadena se parte en dos cadenas
infinitas, extendidas sin extremo a derecha o izquierda, con una primera masa. Basta
con definir las sumatorias de (1) y (3) desde cero hasta infinito para la cadena libre
semi-infinita. El propósito de este artículo es obtener la masa efectiva de esta cadena
cuando la primera masa (masa cero) es agitada, Fig. 4. (a), (b); con lo cual las
ecuaciones de movimiento para todas las masas con índices de número natural siguen
siendo (2) y (4) y, las ecuaciones de Newton para la masa cero serán:
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En este caso, la fuerza externa se ha añadido a la ecuación de movimiento, y los
Hamiltonianos representan únicamente la cadena.
Fig.4. (a) Caso longitudinal:
Cadena semi-infinita con
masa
cero
forzada
sinusoidalmente. (b) Caso
Transversal: Cadena semiinfinita con masa cero
forzada sinusoidalmente.
V. FUNCIÓN RESPUESTA DE LA CADENA SEMI-INFINITA.
Las funciones respuesta conectan causas físicas con los efectos que las producen, [5]
pero es considerado como un método de cálculo [6].
La relación entre causa y efecto puede expresarse como:
Donde
es la función respuesta. Para nuestro problema, se ha supuesto
respuesta lineal; tomando la aceleración de la masa cero como el efecto, la fuerza
externa como la causa y, la transformada de Fourier de
ha de ser real y de
frecuencia independiente, donde la definición de la transformada de Fourier,
, es la relación lineal utilizada. Cuando el movimiento es armónico,
cualquiera de las coordenadas cumple la relación
para todo n,
obteniendo las relaciones de recursión físicamente admisibles:
Utilizando las relaciones (8) y (9), se obtienen las funciones respuesta físicamente
admisibles:
Para altas frecuencias,
, en el régimen longitudinal, se predice completamente la
respuesta inercial de la masa cero,
, es decir, la masa efectiva
de la cadena en este limite tiende a ser igual a la masa de la partícula cero. Para
,
es real, para frecuencias más pequeñas es compleja; su parte
imaginaria significa que la aceleración no esta en fase con la fuerza aplicada y, la
velocidad de la partícula cero esta en fase opuesta con ésta; la conducta es eficazmente
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viscosa en este límite. En el régimen transversal, para altas frecuencias la masa efectiva
de la cadena tiende a ser tres veces la masa de la partícula cero
y, para
tiende a ser indeterminada, esto era de esperarse, ya que el movimiento de
cualquiera de las partículas después de la masa cero ésta en relación con los
movimientos de sus inmediatamente sucesivas a derecha e izquierda dependiendo de la
frecuencia de la fuerza externa y, de la magnitud de la fuerza impulsora, lo cual se
esperaba al imponerle restricciones a .
La masa efectiva de la cadena semi-infinita forzada longitudinal y transversalmente por
una fuerza externa sinusoidal será, la superposición de los inversos de (10) y (11),
discriminando apropiadamente.
VI. CONCLUSIONES
La función respuesta, se puede utilizar como un método de análisis matemático, el cual
permite bajo respuesta lineal un completo estudio de los movimientos longitudinal y
transversal de una cadena, y permite la discusión del concepto de masa efectiva
previamente a problemas cuánticos en los cuales se considera este concepto. En tales
circunstancias, un ejemplo clásico a mano resulta de mucha utilidad.
Aunque el régimen transversal es más complicado, demuestra que la función respuesta
en la aproximación lineal no es solo valida en un régimen longitudinal. La comparación
entre ambas funciones respuesta, permite al físico dar evidencia de la simetría de cada
régimen. A frecuencias altas de la fuerza externa, la masa efectiva corresponderá
aproximadamente a la masa del sistema con mayor simetría. Para el caso, longitudinal,
la masa de una sola partícula. En el transversal la masa de tres partículas.
Una extensión obvia del trabajo son las cadenas diatómicas, o una cadena
bidimensional. La solución detallada de estos casos, tal como en el presente, involucra
la visión de modos colectivos en la naturaleza y el uso de argumentos de simetría.
REFERENCIAS
[1]. H. Goldstein, Mecánica Clásica (Aguilar, S. A. , Madrid, 1963)
[2]. K. Huang, Statiscal Mechanics (Wiley, New York, 1963)
[3]. C. Kittel, Introducción a la Física del Estado Sólido, 3 ra ed. (Reverté S.A. Barcelona,
1995)
[4]. N.W. Ashcroft y N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976)
[5]. E. N. Martínez, “Effective mass of a classical linear chain”·Am. J. Phys. 61, 11021110 (1972).
[6]. B. Pippard, Response and Stability (Cambridge University, Cambridge, 1985)
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