El objetivo específico de esta práctica es estudiar el comportamiento

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
(Ingeniería Industrial)
Prácticas de Laboratorio
Curso 2005-06
Práctica 12:
1
Estudio experimental de los gases ideales
Objeto de la práctica
El objetivo específico es estudiar el comportamiento experimental de los gases: Se supondrá que
siguen el modelo de gas perfecto y se medirán los siguientes parámetros característicos:
• Número de moles de una muestra de gas.
• Temperatura absoluta correspondiente a 0 ºCcelsius.
Como objetivos generales conviene señalar el aprendizaje y la destreza en los siguientes aspectos:
• Expresión correcta de las magnitudes con sus errores y unidades.
• Determinación experimental de magnitudes mediante medidas directas, indirectas y
especialmente mediante los coeficientes de rectas de regresión lineal.
2
Fundamento teórico
Se dice que un gas es ideal si posee un comportamiento descrito por la conocida ecuación de Clapeyron
PV = nRT
(12,1)
Donde :
• P y V son respectivamente la presión y volumen del gas.
• n es el número de moles de la muestra del gas.
• R es la constante universal de los gases perfectos.
En general los gases en la naturaleza siguen aproximadamente esta ley a bajas densidades, y por lo tanto cuando
están sometidos a bajas presiones como la atmosférica.
La expresión de esta ley, utilizando la escala celsius de temperatura, se obtiene haciendo T=θ+θ0.
Donde:
•
•
PV= nRθ0+ nRθ
(12,2)
θ es la temperatura en la escala celsius.
θ0 es la temperatura absoluta correspondiente al 0ºC.
3
Determinación experimental de magnitudes mediante el método de regresión lineal
a)
Metodología
El modelo físico dado por la ley PV=nRT se expresa linealmente (haciendo T=θ0+θ), en la forma (PV)=a+bθ,
donde θ representa la variable independiente y el producto PV la dependiente. Se deberá tomar un conjunto de
puntos experimentales {θi, (Pi Vi)}, y posteriormente aplicar el método de mínimos cuadrados para obtener los
parámetros a y b de esta recta. Como las magnitudes que pretendemos medir depende de a y b, su determinación
nos permite obtener las magnitudes involucradas –n, θ0–, así como los errores asociados.
b)
Determinación n y θ0:
Comparando el modelo físico PV=nRθ0 + nRθ con la recta de regresión PV=a+bθ, se obtiene a= nRθ0 , b=nR
con lo cual1:
n= b/R,
(12,3)
θ0= a/b
(12,4)
Obsérvese que para cada temperatura los productos (PV)i son constantes2, en consecuencia se les puede asignar el
valor medio calculado con un conjunto de medidas de P y V a la misma temperatura θ
1
R debe expresarse de acuerdo con las unidades utilizadas para a y b.
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
4
Montaje experimental.
a)
Descripción del aparato
Una cantidad fija de gas, usada como objeto de estudio, se halla en
un recipiente de vidrio (tubo de medida), el cual está conectado a un
manómetro de mercurio en forma de U. Los brazos del manómetro
están formados básicamente por un tubo de plástico flexible, cuyo
Hg
extremo abierto desemboca en un tubo de vidrio de mayor diámetro
∆hp
hV- 1 cm
(recipiente de mercurio). El taponcito3 que cubre el recipiente de
gas
reserva debe mantenerse quitado durante los experimentos. Todo el
aparato está fijado a un soporte, de forma que el tubo de medida
permanece fijo y el recipiente de reserva se puede desplazar a lo
Hg
largo del soporte. La presión y el volumen del aire encerrado se
controla al variar ∆hP y hV. La diferencia del nivel de mercurio entre
el tubo de medida y el recipiente de reserva (∆hP), se puede leer
mediante una regla graduada, y nos da la diferencia de presión entre
el gas y la atmósfera en centímetros de mercurio. Si no se dispone en
el laboratorio de barómetro, se adoptará como valor de la presión
atmosférica el de condiciones normales, es decir, Pa=1 atm.= 760
mm. de Hg. A fin de poder variar la temperatura del gas de forma
controlada, el tubo de medida está rodeado de otro tubo, al cual se
puede conectar un termostato de circulación a través de los tubulares de entrada y salida. La temperatura del
líquido en circulación se puede medir con un termómetro introducido a través de un orificio al efecto. El volumen
de la columna de aire (V=ShV) se mide indirectamente a partir de su altura (hV) en la escala graduada y del área de
su sección transversal (S=1.02 cm2). La zona coloreada del extremo superior del tubo de medida encierra el
volumen que tendría un cilindro recto de altura 1 cm. Por ello, la altura de la columna de aire será siempre la
medida hasta el comienzo de la zona coloreada más un centímetro. Para no dañar la resistencia calefactora del
baño termostático, se deberá tener especial cuidado en que el nivel del agua esté siempre por encima de ella
Pa
b) Medidas de las magnitudes experimentales de la muestra de gas.i.
Temperatura θ.
Esta magnitud se controla con el baño termostático. La circulación del agua debe estar activada y se manipulará el
dial de temperaturas hasta seleccionar el valor deseado. Cuando esta magnitud se haya estabilizado, se podrá
medir la temperatura θ de la muestra de gas en el termómetro situado a la salida del intercambiador de calor
(doble tubo concéntrico).
ii. Presión P.
Se mide de forma indirecta. La presión en el interior de la muestra de gas es la debida al peso de la columna de
Hg mas la presión atmosférica en la superficie libre del Hg (el taponcito debe estar quitado).
P=PHg+Pa
Para calcular PHg se tomará como dato experimental la diferencia de alturas ∆hp que hay entre los dos meniscos de
Hg.. Cuando no sea posible la medida Pa de la presión atmosférica, se tomará el valor Pa= 1 atmósfera sin error.
iii. Volumen V
Esta magnitud también se mide indirectamente. Se considerará que el gas ocupa un cilindro con S=1.02 cm2 de
sección recta y se tomará como dato experimental su altura hV –distancia desde el menisco de Hg hasta el
comienzo de la zona coloreada más 1 cm.:
V=S hV
2
3
c)
Series de medidas
i.
Primera
Se partirá de la temperatura a que se encuentre el baño termostático, y se seleccionará 4ºC por encima de la del
ambiente. Es posible que el termostato no controle la temperatura con la suficiente precisión, por ello se tomará la
Según la Ley de Boyle-Mariotte los productos PV son constantes para cada temperatura.
El taponcito no aparece en el dibujo.
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
temperatura varias veces durante el proceso y se consignará junto con su error en la celda habilitada al efecto
(apéndice A)
ii. Resto de medidas.
En cada una de las tres series posteriores se seleccionará en el termostato un incremento de temperatura
aproximado de 4 ºC. Cuando se alcance la temperatura seleccionada, podrá medirse la temperatura en el
termómetro situado en la salida del intercambiador de calor.
5.
a)
b)
Presentación de documentación
Se entregará las hojas del apéndice, A “Hojas de datos y resultados”, debidamente cumplimentadas.
Se enviará un archivo adjunto a un E-mail con los datos de la tabla II, a la dirección [email protected] tal como se
indica en el apéndice B.
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Práctica 12:
Estudio experimental de los gases ideales
Apéndice A: Hojas de datos y resultados
1. Captura de datos
a) Caracterización de aparatos de medidas
Tabla I: Caracterizacción de los aparatos de medidas
Instrumento
Rango de medida
Graduación
Termómetro
Regla métrica
b) Errores absolutos de las medidas directas temperatura y longitud
Eθ=
c)
Eh=
Medidas de las magnitudes básicas θ, hV, hP
Tabla II: Medidas de las magnitudes básicas I: θ, hV, hP
1ª serie de medidas
hV ± _____ ∆ hp ± ____ θ1±______
cm
cm
ºC
18.00
2ª serie de medidas
∆ hp ± ____ θ2±______
cm
ºC
3ª serie de medidas
∆ hp ± ____ θ3±______
cm
ºC
4ª serie de medidas
∆ hp ± ____ θ4±______
cm
ºC
hV0= _____
cm
hV0= _____
cm
hV0= _____
cm
22.00
26.00
∆ hp=0.00
cm
hV0 = ____
cm
2. Resultados
a) Errores absolutos de las medidas indirectas P y V
EP=
EV=
b) Cálculos previos
Tabla III: Medidas indirectas de las magnitudes básicas II.
hv ± ____
θ1 = _____ ± _____ °C,
cm
V± _____ ∆hp ± ___ P ± ____
PV
____
____
____
______
18.00
22.00
26.00
( 4)
0.00 cm
4
θ2 = _____ ± _____ °C,
V± _____ ∆hp±____ P ± _____
PV
____
____
____
______
0.00 cm
Consignar en la primera y segunda celda de la fila, los valores respectivos hV (θ1) y hV (θ2) correspondientes a ∆hp=0.
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
Tabla IV: Medidas indirectas de las magnitudes básicas II.
hv ± ____
θ3 = _____ ± _____ °C,
cm
PV
V± _____ ∆hp ± ___ P± _____
____
____
______
____
18.00
22.00
26.00
(4)
0.00 cm
c)
i.
θ4 = _____ ± _____ °C,
V± _____ ∆hp ±___ P ± _____
PV
____
____
____
______
0.00 cm
Número de moles y temperatura absoluta del 0ºC Celsius.
Datos experimentales.
Tabla V: Valores medios de PV para cada temperatura.
θ °C
PV
i.
Parámetros de la recta de regresión lineal PV = a + bθ
a±Ea=
r=
b±Eb=
ii. Dibujo en papel milimetrado de los puntos experimentales {θ i , PV i } y de la gráfica PV = a + bθ
iii. Número de moles y temperatura absoluta del 0ºC.
n±En=
θ0 ±Eθ=
(Nombre y firma)
Sevilla a _______ de __________________ de 2006
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Estudio experimental de los gases ideales
Apéndice B: Fichero informático de datos
Práctica 12:
Además de la memoria de resultados, se enviará un fichero de texto –adjunto a un E-mail– a la dirección [email protected],
con las medidas experimentales directas y las siguientes características.
Formato: Texto. Puede editarse con la utilidad de Windows Bloc de Notas. Si se edita con Microsoft-Word se guardará
en formato de “solo texto con saltos de línea”
Nombre del fichero :
Alumnos MONITORES:
XMy.m
X: Grupo de prácticas al que pertenece (A...I)
Y: Tipo de monitor (1...7)
Ejemplo AM2.m
Contenido
a) Encabezamiento:
% XXXXXXX e-mail: xxxxx
XXXXXXX, Nombre del alumno que ha realizado la práctica
xxxxx : e-mail del alumno
Ejemplo:
% José Miguel Sánchez Ocaña
e-mail [email protected]:
b) Datos que deben incluirse:
S=[ Tabla II ] ;
Donde Tabla II son los datos de la Tabla II:
• Dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes
• Cada fila terminada en punto y coma (;)
• Longitudes expresadas en cm.
Ejemplo completo del fichero.
NOMBRE DEL FICHERO: AM2.m
% AM2
% José Miguel Sánchez Ocaña
e-mail [email protected]:
S=[20.00
118.25
6.5
135.50
25.0
144.70
40.0
162.00
60.5;
40.00
22.20
6.5
28.55
25.0
35.60
40.0
41.70
60.5;
-22.70
-21.40
40.0
-15.85
60.5;
80.00A. Forma
-27.30
de entrega6.5
del fichero
de datos; 25.0
Se enviará el fichero adjuntado a un mensaje de correo electrónico a la dirección: [email protected]
0.00
50.60
6.5
54.80
25.0
59.75
40.0
61.05
60.5];
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Apéndice C: Práctica comentada y resuelta
Práctica 12:
1
Errores absolutos asociados a las medidas iniciales
a.
Caracterización de aparatos de medida
• Rango: Intervalo de medidas que se pueden realizar
• Graduación: Intervalo de medida entre dos señales consecutivas
b.
Errores en medidas directas
• Temperatura θ .
El aparato utilizado es analógico porque la columna de Hg del termómetro varía de forma continua,
además está graduado en unidades de °C. Por ello el error absoluto de su medida es la mitad de ese valor.
Eθ = 0.5 °C
•
Longitud h: La regla graduada con la que se mide las alturas es de tipo analógico, su medida es directa y
la precisión de h es la mitad del menor intervalo de su graduación.
E hv = 0.5 mm = 0.05 cm
Errores en las medidas de las magnitudes básicas
• Altura del volumen de gas hV.
La regla graduada con la que se mide la altura del cilindro que contiene al gas es de tipo analógico, su
medida es indirecta y se obtiene mediante la expresión
hV = h2 − h1 + 1 cm
(12,5)
Donde h2 representa la altura hasta la zona coloreada y h1 la del nivel del mercurio en el cilindro del gas.
La precisión de hV se calcula teniendo en cuenta que es una función de dos variables (h1, h2).
2
⎛ ∂h
⎞ ⎛ ∂h
⎞
EhV = ⎜ V Eh1 ⎟ + ⎜ V Eh 2 ⎟
⎝ ∂h1
⎠ ⎝ ∂h2
⎠
2
Sustituyendo se obtiene: EhV = Eh21 + Eh22 = (0.5 mm ) 2 + (0.5 mm) 2 = 0.5 2 cm = 0.707.... mm
Como las dos primeras cifras significativas superan a 25, la expresión en mm se debe aproximar con una
sola cifra decimal
E hv = 0.7 mm = 0.07 cm
•
Altura de la columna de Hg debida a la presión del gas ∆hP :
∆hP , se mide con la misma regla que en el apartado anterior, y además
hV = h '2 − h '1
en consecuencia:
E ∆hp = 0.7 mm = 0.07 cm
(12,6)
•
Volumen de gas V.
La medida de V es indirecta (V= S hv ). Admitiendo que S es una constante sin error, V depende solo de
la variable V, en consecuencia:
EV = S E hv , EV = 1.02 cm2 0.7 mm = 1.02 x 0.07 cm3 = 0.0714…cm3
Redondeo del error: Como las dos primeras cifras significativas (71) pasan de 25, se debe redondear
expresándose con una sola cifra significativa
EV = 0.07 cm3
•
Presión soportada por el gas P:
La medida de P es indirecta y se calcula mediante P=PHg+ Pa. Admitiendo que el valor de Pa es una
constante exacta (sin errores), P es función de una sola variable, con lo cual Ep = E hp
Ep = E∆hp = 0.07 cm de Hg
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
•
Producto PV: PV: Este producto es una magnitud derivada y cada valor PV posee su propio error y
redondeo.
EPV = ( PEV ) 2 + (VE p ) 2
Ejemplo: (PV de la primera fila de tabla III ).
EPV = (194.25 × 0.07) 2 + (20.40 × 0.07) 2 = 13.672........
EPV=14 cm3 cm Hg
Este error se expresa con dos cifras significativas, y afecta a decenas y unidades de PV
En consecuencia debemos redondear la cantidad citada a las unidades..
PV= 20.40 x 194.25=3962.7. … Se redondea a las unidades
PV = 3963±14 cm3 . cm Hg
Análogamente se expresan los demás valores PV
e.
Número de cifras significativas de las magnitudes.
• hv (cm). Dos cifras decimales (E hv = 0.07 cm )
• V (cm3) Dos cifras decimales (EV = 0.07 cm3 )
• ∆hp (cm) Dos cifras decimales (E ∆hp = 0.07 cm)
• P (cm Hg) Dos cifras decimales (Ep = 0.07 cm Hg)
• PV (cm3 . cm Hg). Solo valores enteros (EPV= 14 cm3 . cm Hg)
2. Medidas
Tabla II: Medidas indirectas de las magnitudes básicas I
1ª serie de medidas
2ª serie de medidas
3ª serie de medidas
hV ± 0.07
cm
∆ hp ±0.07
cm
θ1± 0.5 ºC
∆ hp ± 0.07
cm
θ2± 0.5 ºC
∆ hp ± 0.07
cm
20.00
118.25
6.5
135.50
25.0
144.70
40.00
22.20
6.5
28.55
25.0
80.00
-27.30
6.5
-22.70
∆ hp=0.00
cm
hV = 50.60
cm
6.5
hV= 54.80
cm
4ª serie de medidas
∆ hp ± 0.07
cm
θ4± 0.5 ºC
40.0
162.00
60.5
35.60
40.0
41.70
60.5
25.0
-21.40
40.0
-15.85
60.5
25.0
hV= 59.75
cm
40.0
hV= 61.05
cm
60.5
θ3±0.5
ºC
3. Cálculos previos
Tabla III: Medidas indirectas de las magnitudes básicas II
hv ± 0.07
(cm)
20.00
40.00
80.00
50.60
54.80
V ± 0.07
cm3
20.40
40.80
81.60
51.61
55.90
θ1= 6.5 ± 0.5 ºC
PV(cm3
∆hp ± 0.07 P ± 0.07
cm
cm Hg
cm Hg)
118.25
194.25
3963±14
22.20
98.20
4007±7
-27.30
48.70
3974±7
0.00
76.00
3922±6
θ2= 25.0 ± 0.5 ºC
PV(cm3
∆hp ± 0.07 P ± 0.07
cm
cm Hg
cm Hg)
135.50
211.50
4315±15
28.55
104.55
4266±8
-22.70
53.30
4349±7
0.00
76.00
4248±7
Tabla IV: Medidas indirectas de las magnitudes básicas II
hv ± 0.07
(cm)
20.00
40.00
80.00
59.75
V ± 0.07
cm3
20.40
40.80
81.60
61.05 60.95 62.27
∆hp ± 0.07
cm
144.70
35.60
-21.40
0.00
θ3=40± 0.5 ºC
P ± 0.07
PV(cm3
cm Hg
cm Hg
220.70
4502±16
111.60
4553±8
54.60
4455±7
76.00
4632±7
θ4=60.5± 0.5 ºC
∆hp ± 0.07
P± 0.07
PV(cm3
cm Hg)
cm
cm Hg
162.00
238.00
4855±17
41.70
117.70
4802±9
-15.85
60.15
4908±7
0.00
76.00
4733±7
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
4
Cálculo del número de moles y de la temperatura absoluta del 0°C.
a)
Fundamentos teóricos
Admitiendo T= θ 0 + θ , la ecuación de estado PV=nRT se escribe PV= nR θ0 + nR θ
Comparando la recta anterior formada por los puntos {θ i ,( PV )i } , y la forma estándar , PV = a + bθ , se deduce que:
→
θ 0 = a / b,
n= b / R ;
a= nR θ 0 , b= nR
donde R es la constante de los gases ideales, que se debe expresar en unidades apropiadas:
R = 6232 cm Hg cm3 / mol K
La recta de regresión lineal PV = a + bθ , se calculará por el método de los mínimos cuadrados con los puntos
formados por los pares de valores {θ i ,( PV )i }
Obtención de los puntos {θ i ,( PV )i }
b)
Según la ley de Boyle-Mariotte, los productos PV han de ser constantes a la misma temperatura. En consecuencia
a cada valor de θ, se le asignará el valor medio de la columna PV (para cada una de las tablas anteriores III y IV).
El error se calcula mediante la expresión del error de un valor medio.
Ejemplo: Productos PV para la temperatura 6.5± 0.5 °C (Tabla III)
PV= (3963 + 4007 + 3974 + 3922) / 4 = 3966.5 .. cm3 cm Hg
E
PV
=2
(3963 − 3966.5...)2 + (4007 − 3966.5...)2 + (3974 − 3966.5...)2 + (3922 − 3966.5...)2
= 35.06....
4(4 − 1)
El redondeo de este error conduce a E PV = 40 cm3 cm Hg por ello debemos redondear PV a las decenas
PV = 3970 ± 40 cm 3cmHg .
Repitiendo el procedimiento anterior para cada temperatura se obtiene la tabla siguiente (Tabla V).
Estudio de la ecuación de los gases ideales PV=a + b θ
4900
Tabla V: Valores medios de PV para cada
4800
temperatura
4700
3
PV
cm cm Hg
3970±40
4290±50
4540±80
4820±80
PV (cm^3 cm Hg)
θ ± 0.5
°C
6.5
25.0
40.0
60.5
4600
4500
4400
4300
4200
4100
4000
3900
0
10
20
30
40
50
60
70
θ ºC
c)
Parámetros de la recta de regresión lineal
Aplicando las expresiones A.93, y A.94 (5), se obtiene los parámetros de la recta PV = a + bθ .
a= 3884.1186..... Ea= 50.8466...... -> Se redondea Ea a una sola cifra significativa
a= 3880± 50 cm3 cm Hg
análogamente se calcula la ordenada en el origen
b= 15.784..... Eb= 1.3208...... aplicando las técnicas de redondeo resulta Eb= 1.3 y con ello:
b=15.8±1.3 cm3 cm Hg / °C
El coeficiente de correlación lineal r se calcula con la expresión A.82 (5) y se obtiene r=0.99825.... Este valor se
expresa sin redondeos hasta la primera cifra distinta de 9 incluida.
r=0.998
5
Practicas de “Campos Electromagnéticos “ de 2º curso de Ingenieros de Telecomunicaciones. Apéndice A.:
Teoria de errores y presentación de resultados
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
d)
Número de moles:
n= b / R; es una magnitud indirecta dependiente de una sola variable, su error absoluto es En= Eb / R,
n= 15.784.... / 6232 = 2.5327... 10-3 mol, Eb= 1.3208.... / 6232 = 0.2119...10-3 mol
n= 2.53± 0.21 10-3 mol
e)
Temperatura absoluta correspondiente a 0 °C:
La ordenada en el origen permite obtener la temperatura absoluta θ 0 del cero celsius
θ 0 = a / b , θ 0= 3884.1186…/ 15.784....= 246.075… Al ser una magnitud indirecta dependiente de dos variables
(a,b), su error se calcula aplicando A.112 (5) al cociente a/b, obteniéndose la expresión siguiente:
2
2
⎛ 1⎞
⎛ −a ⎞ ⎛ −a ⎞
6
Eθ 0 = ⎜ Ea ⎟ + 2 rab Ea Eb ⎜ 3 ⎟ + ⎜ Eb 2 ⎟ , donde rab = −
⎝ b⎠
⎝b ⎠ ⎝ b ⎠
Sx
y en este caso vale rab= - 0.85725...
SS xx
Sustituyendo valores resulta: Eθ0= 23.4123... -> Eθ0= 23 °C
T0= 246 ± 23 °C
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