Conversión de la forma general a la forma ordinaria

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Conversión de la forma general a la forma ordinaria
Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y
que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la forma general, vamos a estudiar
el proceso inverso: convertir la ecuación de una circunferencia de su forma general a la forma
ordinaria.
Para la conversión de la forma ordinaria a la forma general necesitamos desarrollar los binomios
que quedaron indicados en la ecuación.
En la conversión de la forma general a la forma ordinaria vamos a requerir factorizar completando
cuadrados para expresar un trinomio en la forma de un binomio al cuadrado.
Convierte la ecuación de la circunferencia
x2 + y2 − 8 x − 10 y + 25 = 0
Ejemplo 1
a la forma ordinaria.
• Empezamos ordenando los términos.
• Escribiremos primero los que contienen a la literal x y al final los términos que contienen la
literal y:
x2 − 8 x + y2 − 10 y = −25
• Ahora vamos a completar cuadrados.
• Para esto, observa que: x2 − 8 x + 16 = ( x − 4)2 .
• Para darte cuenta de esto fijate en el coeficiente del término que tiene la literal con exponente
1.
• En este caso, −8 es tal coeficiente.
• Sacamos la mitad de este número y obtenemos −4.
• Entonces, ( x − 4)2 servirá para completar el cuadrado.
• Para completar el cuadrado vamos a sumar en ambos lados de la igualdad 16:
h
i
x2 − 8 x + 16 + y2 − 10 y = −25 + 16
( x − 4)2 + y2 − 10 y = −9
• Ahora vamos a factorizar la parte de y.
• La mitad de −10 es −5, así que probamos con (y − 5)2 = y2 − 10 y + 25
h
i
( x − 4)2 + y2 − 10 y + 25 = −9 + 25
( x − 4)2 + ( y − 5)2
= 16
• Esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria.
• Para verificar que el cálculo es correcto, puedes hacer la conversión a la forma general.
• Debes obtener la ecuación con la que iniciamos.
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Fácilmente podemos encontrar el centro y el radio de una circunferencia cuando está en su forma
ordinaria.
Debido a esto, cuando encontremos ecuaciones de circunferencias en su forma general nos conviene convertirlas a la forma ordinaria para graficarlas.
Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
Ejemplo 2
x 2 + y2 + 4 x − 6 y + 9 = 0
• Vamos a empezar convirtiendo la ecuación a su forma ordinaria.
• Completamos cuadrados usando los términos que contienen a x.
• Así que vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad:
h
i
x 2 + 4 x + y2 − 6 y = −9
h
i
x 2 + 4 x + 4 + y2 − 6 y = −9 + 4
( x + 2)2 + y2 − 6 y = −5
• Ahora vamos a completar cuadrados con los términos que contienen a y.
• Para esto, sumamos 9 en ambos lados de la igualdad:
h
i
( x + 2)2 + y2 − 6 y + 9 =
( x + 2)2 + ( y − 3)2
−5 + 9
= 4
• Ahora podemos ver que 2 = −h, que implica h = −2.
• También, −3 = −k, por lo que k = 3.
• Además, r2 = 4, es decir, r = 2.
• Entonces, el centro está en C (−2, 3) y el radio de la circunferencia es r = 2.
• Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia en tu cuaderno.
Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
Ejemplo 3
x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11 = 0
• Empezamos ordenando los términos:
x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11
2
2
x +2x+y +4y
= 0
= 11
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• Ahora sumamos en ambos lados 1 y 4 para poder completar los cuadrados:
x 2 + 2 x + 1 + y2 + 4 y + 4
2
( x + 1) + ( y + 2)
2
= 11 + 1 + 4
= 16
• De la ecuación vemos que −h = 1 ⇒ h = −1, y que −k = 2 ⇒ k = −2.
• Entonces, el centro de la circunferencia es el punto C (h, k ) = C (−1, −2).
• Por otra parte, de la ecuación vemos también que r2 = 16.
• Esto implica que el radio de la circunferencia es: r = 4.
• Enseguida está la gráfica de esta circunferencia:
y
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
2
1
3
4 x
−1
C (−1, −2)
−2
x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11 = 0
−4
−5
−6
Encuentra el máximo valor que puede tener la variable y para satisfacer la ecuación:
Ejemplo 4
x 2 + y2 − 8 x − 6 y = 0
• Para encontrar el máximo valor que puede tener la variable y vamos a expresar la ecuación
en la forma ordinaria.
• Para eso,completamos cuadrados:
x 2 + y2 − 8 x − 6 y
2
2
x − 8 x + 16 + y − 6 y + 9
2
( x − 4) + ( y − 3)
2
= 0
= 16 + 9
= 25
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• De la ecuación fácilmente podemos saber el centro y el radio de la circunferencia:
√
• Centro: C (h, k ) = C (4, 3). Radio: r = 25 = 5
• Ahora podemos graficar y de la gráfica ver el máximo valor que puede tener y para satisfacer
la ecuación:
y
8
7
6
5
4
C (4, 3)
3
2
x 2 + y2 − 8 x − 6 y = 0
1
−1
−1
1
2
3
5
4
6
7
8
9 x
−2
• El máximo valor que puede tomar la variable y está sobre la circunferencia, exactamente
encima del centro, es decir, y = 8.
Una vez que sabíamos que se trataba de una circunferencia podíamos conocer el máximo valor
que puede tomar la variable y. Para esto, bastaba reconocer que el máximo valor para y está
exactamente a 5 unidades (que es lo que mide el radio) arriba del centro de la circunferencia.
Para el centro de la circunferencia y = k = 3. Al sumar 5 a este valor obtenemos el resultado.
Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circuferencia:
Ejemplo 5
9 x2 + 9 y2 − 49 = 0
• En este caso no se require completar cuadrados, lo que tenemos que hacer es expresar la
ecuación en la forma ordinaria:
• Empezamos sumadno en ambos lados de la igualdad 49 y después dividimos entre 9:
9 x 2 + 9 y2
9
=
x 2 + y2
=
49
9
2
7
3
• Ahora vemos que el centro de la circunferencia es el origen del sistema de coordenadas y el
radio es 7/3.
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• La gráfica muestra este hecho:
y
9 x2 + 9 y2 − 49 = 0
2
1
C (0, 0)
−3
−2
−1
3x
2
1
−1
−2
Además del método de completar cuadrados podemos utilizar las fórmulas:
= −2 h
E = −2 k
F = h2 + k 2 − r 2
D
que encontramos a partir de:
( x − h )2 + ( y − k )2
= r2
x2 − 2 hx + h2 + y2 − 2 ky + k2 − r2
= 0
2
2
2
2
2
= 0
x +y +Dx+Ey+F
= 0
x + y −2 hx −2 ky + h + k − r
2
2
Para que veas que esto es verdad vamos a resolver un ejemplo más utlizando estas fórmulas.
Convierte a la forma ordinaria la ecuación de la circunferencia:
Ejemplo 6
x2 + y2 − 10 x − 4 y − 7 = 0
• De acuerdo a la ecuación:
x 2 + y2 + D x + E y + F = 0
tenemos que: D = −10, E = −4 y F = −7.
• Por las fórmulas
= −2 h
E = −2 k
F = h2 + k 2 − r 2
D
podemos encontrar inmediatamente h, k y r sustituyendo los valores conocidos y despejando
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la incógnita en cada caso:
−10
−4
−7
−7
r2
=
=
=
=
=
−2 h
⇒
h=5
−2 k
⇒
k=2
h2 + k 2 − r 2
(5)2 + (2)2 − r 2
25 + 4 + 7 = 36
⇒
r=6
• Entonces, la ecuación de la recta en la forma ordinaria es:
( x − 5)2 + (y − 2)2 = 36
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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