Centro de masas

CALCULO DE CENTROS DE MASA
Determinar la posición del C.M. de un semicono.
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 01, 04
Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del
eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es
un plano de simetría que divide al semicono en dos
mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dicho
plano, con lo cual la coordenada z del C.M. será nula:
y
z
R
Para el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semicono en rodajas en forma de
semidiscos de radio r y espesor dx. La abertura del
cono nos da la relación entre la coordenada x y el
radio r de los semidiscos:
R r
=
H x
x
H
zC.M . = 0
y
z
r
x
⎛ R ⎞
r = ⎝ ⎠ x
H
⇒
El volumen de cada uno de los semidiscos será:
2
1
1 ⎛ R ⎞
dV = π r2 dx = π ⎝ ⎠ x 2 dx
2
2 H
El volumen total del semicono será:
H
2
⌠ 1 ⎛ R ⎞ 2
1
V = ∫ dV = ⎮ π
x dx = π R 2 H
6
⌡ 2 ⎝ H ⎠
0
La coordenada x del C.M. será:
H
⌠
⎮
⎮
⌡
2
1 ⎛ R ⎞ 3
1
2
2
∫ x dV = 2 π ⎜⎝ H ⎟⎠ x dx = 8 π R H
0
⇒
xC.M . =
∫ x dV =
∫ dV
3
H
4
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a
x
4r
del diámetro, vamos a tomar esta posición como la
3π
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.
una distancia
H
⌠ ⎛ 4r ⎞
⌠ ⎛ 4r ⎞ 1
∫ ysemidisco dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ 2 π r 2dx =
0
H
H
3
2 3
⌠ 2 ⎛ R ⎞ 3
1 3
=⌠
⎮ r dx = ⎮ ⎝ ⎠ x dx = R H
⌡3
6
⌡3 H
0
0
y C.M . =
⇒
∫y
semidisco
∫ dV
dV
=
R
π
Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y ≥ 0) de revolución alrededor del
eje X, cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vértice se encuentra en el origen de
coordenadas.
Solución: I.T.I. 03, 04, I.T.T. 01
Sea el semiparaboloide de la figura
orientado a lo largo del eje X, de altura H y
radio R. Dado que el plano XY es un plano
de simetría que divide al semiparaboloide en
dos mitades simétricas, el C.M. se
encontrará en dicho plano, con lo cual la
coordenada z del C.M. será nula:
zC.M . = 0
y
z
R
x
H
Para el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semiparaboloide en rodajas en
forma de semidiscos de radio r y espesor dx.
La ecuación del paraboloide nos da la
relación entre la coordenada x y el radio r de
los semidiscos:
y
z
r
x
x
x = k r 2 ⎫
⎪
⎬
H = k R 2 ⎪⎭
1
⇒
H
k= 2
R
El volumen de cada uno de los semidiscos será:
1
1 ⎛ R 2 ⎞
dV = π r2 dx = π ⎜ x⎟ dx
2
2 ⎝ H ⎠
⇒
⎛ R 2
r = ⎜
⎝ H
⎞ 2
x⎟
⎠
El volumen total del semiparaboloide será:
H
⌠ 1 ⎛ R 2 ⎞
1
V = ∫ dV = ⎮ π ⎜ x ⎟ dx = π R 2 H
4
⌡ 2 ⎝ H ⎠
0
La coordenada x del C.M. será:
a
⌠ 1 ⎛ R 2 ⎞ 2
1
2
2
∫ x dV = ⎮⌡ 2 π ⎜⎝ H ⎟⎠ x dx = 6 π R H
0
⇒
xC .M . =
∫ x dV =
∫ dV
2
H
3
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a
4r
una distancia
del diámetro, vamos a tomar esta posición como la
3π
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.
H
⌠ ⎛ 4r ⎞
⌠ ⎛ 4r ⎞ 1
∫ ysemidisco dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ 2 π r 2dx =
0
H
H
⌠ 2 ⎛ R 2
2 3
=⌠
r
dx
=
⎮ ⎜
⎮
⎮ 3 ⎝ H
⌡3
⌡
0
3
⎞ 2
4 3
x⎟ dx =
RH
⎠
15
0
⇒
yC .M . =
∫y
semidisco
∫ dV
dV
=
16R
15π
Determinar la posición del C.M. de una semiesfera.
Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04
Sea la semiesfera de la figura orientada con su eje de
revolución a lo largo del eje Z, y de radio R. Dado que el eje Z
es un eje de simetría de la semiesfera, el C.M. se encontrará en
dicho eje, con lo cual las coordenadas x e y del C.M. serán
nulas:
xC .M . = 0
yC .M . = 0
z
R
x
y
Para el cálculo de la coordenada z del C.M. vamos a dividir la
semiesfera en rodajas circulares de radio r y espesor dz. La
ecuación de la circunferencia nos dará la relación entre r y z:
z
r
z
2
2
r +z =R
2
⇒
2
r=
R −z
2
R
El volumen de la semiesfera es:
R
2
V = ∫ dV = ∫ π r dz = ∫ π (R 2 − z2 ) dz = π R 3
3
0
2
La coordenada z del C.M. será:
R
∫ z dV = ∫ π (R
2
− z2 ) z dz =
π 4
R
4
∫ z dV =
∫ dV
3
R
8
0
⇒
zC.M . =
y
Determinar el centro de masas del cuerpo de la figura.
parábola
z
a
h
x
Solución: I.T.I. 02, I.T.T. 99, 02
Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide a la figura en dos mitades
simétricas, el C.M. se encontrará en dicho plano, con lo cual la coordenada z del
C.M. será nula:
zC.M . = 0
Para el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semicono en rodajas en forma de
semidiscos de radio r y espesor dx. La relación
entre la coordenada x y el radio r de los
semidiscos vendrá dada por la ecuación de la
parábola:
r = Cx 2 ⎫
⎪
⎬
a = Ch 2 ⎪⎭
⇒
⎛ a ⎞
r = ⎝ 2 ⎠ x 2
h
y
z
x
x
El volumen de cada uno de los semidiscos será:
2
1
1 ⎛ a ⎞
dV = π r2 dx = π ⎝ 2 ⎠ x 4 dx
2
2 h
El volumen total de la figura será:
h
2
2
⌠ 1 ⎛ a ⎞ 4
π ⎛ a ⎞ h 5
V = ∫ dV = ⎮ π ⎝ 2 ⎠ x dx = ⎝ 2 ⎠
2 h
5
⌡2 h
0
La coordenada x del C.M. será:
a
2
2
⌠ 1 ⎛ a ⎞ 5
π ⎛ a ⎞ h 6
∫ x dV = ⎮⌡ 2 π ⎝ h 2 ⎠ x dx = 2 ⎝ h 2 ⎠ 6
0
⇒
xC .M . =
∫ x dV =
∫ dV
5
h
6
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a
4r
una distancia
del diámetro, vamos a tomar esta posición como la
3π
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.
H
⌠ ⎛ 4r ⎞
⌠ ⎛ 4r ⎞ 1 2
∫ ysemidisco dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ 2 π r dx =
0
H
H
3
3
⌠ 2 ⎛ a ⎞ 6
2 ⎛ a ⎞ h 7
⌠2 3
= ⎮ r dx = ⎮ ⎝ 2 ⎠ x dx = ⎝ 2 ⎠
⌡3
3 h
7
⌡3 h
0
0
⇒
y C.M . =
∫y
semidisco
∫ dV
dV
=
20a
21π
h
Calcular la posición del centro de masas del cuerpo de la figura.
R
h
Solución: I.T.I. 03, I.T.T. 03
Si llamamos Z al eje de revolución del cuerpo su centro de masas, que va a estar
situado por simetría en dicho eje, sólo tendrá componente z. Si descomponemos el
cuerpo en dos piezas, un cono y un cilindro, cada pieza vendrá representada por la
posición de su centro de masas y el problema es equivalente al cálculo del c.m. de
un sistema de dos partículas:
z
=
y
x
V1 = π R 2 h
1
V2 = π R 2 h
3
+
h ⎫
2 ⎪⎪
⎬
5h ⎪
z2 =
4 ⎪⎭
z1 =
⇒
zc.m. =
V1 z1 + V2 z2
11h
=
V1 + V2
16