∫ ∫x = ∫g x

Ejercicios acerca del tema: Teorema Fundamental del Cálculo
Cálculo Diferencial e Integral II
1. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:
x
F ( x )   sin 3 (t ) dt
a)
a
x
 sin
3 (t ) dt
1
dt
1  sin 6 (t )  t 2
b) F ( x) 
a
c) F ( x) 
x
y
1
15 (8 1  t 2  sin3 (t ) dt )
1
2. Hallar una función continua
3. Hallar F ( x )
si F ( x) 
4. Demostrar que si
h
f
que satisfaga
x
0
f (t ) dt  ( f ( x )) 2  C .
x
0 xf (t ) dt
es continua,
f
y
g
son derivables y F ( x) 
g ( x)
 f ( x) h(t ) dt,
entonces
F ( x)  h( g ( x))  g ( x)  h( f ( x))  f ( x)
x
5. Demostrar que si
es continua, entonces
f

x u
f (u )  ( x  u ) du   ( f (t ) dt ) du.
0
0 0
f ( x)  0 para x racional y f ( x)  1 para x irracional.
a) Calcular L( f , P ) y U ( f , P) para todas las particiones P del intervalo cerrado
6. Sea
[0,1] .
b) Hallar
supL( f , P) : P es partición de [0,1] e
inf U ( f , P) : P es partición de [0,1]
7. Hallar una función
8. Hallar
f
tal que
f ( x) 
1
1  sin 2 ( x)
f 1 (0) , la imagen inversa de 0, si
x
a)
f ( x)   1  sin(sin t ) dt
0
x
b)
f ( x)   sin(sin t )dt
0
9. En cada caso, calcular el área de la región delimitada por las curvas:
i)
f ( x)  x 3  x
ii)
y
f ( x)  x 3  x
iii)
f ( x)  x 3  x
y
g ( x)   x3  2x
1
y
2

 x , si x  0
g ( x)   2

 x , si x  0
2

 x , si x  0
g ( x)   2

 x , si x  0
Integrales Impropias
10. ¿Cuáles de las siguientes son integrales son impropias? Argumentar su respuesta.
a)
5
dx
0
25  x

2
b)
1
1
0
1 x

2
dx
c)


0
1
dx
(1  x 2 )
d)


0
1
dx
(1  x)
11. Cada una de las siguientes integrales es impropia. Demostrar si es o no convergente
según el caso.
a)
c)

0
x r dx, si r  -1

0
e)
12. Calcular la
1
dx
1  x2
a
0

0
x r dx, si  1  r  0
b)
d)
f)
1
1
x
dx

1
dx
 1  x 2

11
0 x dx
 1
 x , 0  x  1
f ( x) dx , si f ( x)  
 1 , x 1
 x 2
Bibliografía
1) Spivak, Michael. Calculus. 2da. Edición Editorial Reverté.
2) Thomas, George. Cálculo de una variable. 9ª. Edición. PEARSON. Addison Wesley
Longman
3) Arizmendi, Carrillo, Lara. Cálculo.
4) Haaser, Lasalle, Sullivan. Introducción al Análisis Matemático. Vol.I. Editorial
Trillas.
5) Purcell, Varberg, Rigdon. Cálculo. 9ª. Edición. PEARSON. Prentice Hall.
6) Suplemento de Spivak.
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