S3-ING05

ESTIMACIÓN DE RETARDOS DE TIEMPO MEDIANTE CAMBIOS DE FASE
M. Vázqueza, A. Ramosb, A. Veraa, L. Leijaa
a
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del I.P.N. Departamento de
Ingeniería Eléctrica. Sección de Bioelectrónica
Avenida Instituto Politécnico Nacional 2508. San Pedro Zacatenco. Del Gustavo A.
Madero, C. P. 07360, México D.F.
bInstituto de Acústica. Dpto. Señales, Sistemas y Tecnologías Ultrasónicas. Consejo
Superior de Investigaciones Científicas, Madrid, España.
e-mail: [email protected]
Resumen
El objetivo del presente trabajo es presentar una propuesta para estimar retardos de tiempo a partir de
cambios de fase para su futura aplicación en la estimación de retardos tiempo en señales ultrasónicas
obtenidas mediante la técnica estándar del pulso – eco.
1. Introducción
La estimación de retardos de tiempo es una operación muy común en el procesamiento de señales
ultrasónicas. Es de especial importancia en aplicaciones como estimación de flujo sanguíneo, elastografía,
correcciones de aberraciones de fase y muchas más. [1-6]. Para tales aplicaciones la calidad de los
resultados finales es altamente dependiente del funcionamiento de los estimadores de retardos de tiempo,
por ello la necesidad de estimadores de retardos de tiempo precisos y robustos.
Se han desarrollado muchos algoritmos que han sido aplicados en aplicaciones médicas basadas en
ultrasonido, sonares, radares y en otros campos. Estos métodos incluyen , la correlación cruzada
normalizada y sin normalizar, la covarianza normalizada, la suma de diferencias absoluta (SAD del inglés
sum absolute diffrences), la suma de las diferencias al cuadrado (SSD del inglés sum squared
differences), correlación de la coincidencia de polaridad, correlación hídrida con signo y el método de
Meyrs-Spies. [1]
Para todos los algoritmos, la calidad de la estimación puede afectarse por diversos factores. Primero, el
proceso de estimación se lleva a cabo típicamente procesando señales las cuales han sido muestreadas en
tiempo. Esto significa que la frecuencia de muestreo
Para algunas aplicaciones médicas la exactitud en la medición de retardos de tiempo entre las señales es
crítica.
1.1. Desplazamientos en tiempo y frecuencia
El origen de tiempo de una señal es un punto arbitrario figura 1 y 2, elegido para un propósito particular.
Un cambio en el origen del tiempo no cambia la forma de señal. Sabemos que una señal puede ser
descrita por parámetros tales como: la amplitud, la frecuencia y la fase. Es posible llevar información
variando la frecuencia o la fase de una señal a la que se le denomina portadora; eligiendo una ventana
adecuada de la señal figura 1a y 1b se puede optimizar el tiempo de cálculo y reducir las discontinuidades
debidas a segmentos de la señal sin oscilación.
Podemos comprender el efecto de una secuencia retardada (señal digitalizada) a partir de la transformada
de Fourier cuando una secuencia sufre un retardo o un adelanto de k muestras. La transformada de
Fourier de la función desplazada en el tiempo g (t ) 
F
f (t  t 0 ) es f (t  t 0 )  e  jt0 F ( jw) . La
exponencial tiene una magnitud igual a la unidad, entonces la única contribución para el producto es el
ángulo   t 0 , el cual es lineal a  y proporcional a el desplazamiento en el tiempo t 0 , el cual es
sumado a la fase de la función original F ( j ) .[9]

 G( j)  
 F ( j)  t 0
Podemos interpretar gráficamente los desplazamientos en tiempo y confirmar que cuando se tienen
desplazamientos en tiempo, resulta equivalente sumar fases lineales, lo cual es equivalente a multiplicar
F ( j ) por el factor e  jt0
El caso del ancho de banda infinito, el impulso desplazado es
 (t  t 0 )  e  jt
0
que son formas básicas de interpretar el desplazamiento del tiempo de una función arbitraria como la
convolución con un impulso desplazado.
En el caso del dominio de la frecuencia se tiene una propiedad similar, que se aplica cuando se desplaza
una representación frecuencial F ( j ) una cantidad 0
e j0t f (t )  F ( j  j0 )
Esto tiene el efecto de sumar el ángulo
  0 t
para las representaciones en el tiempo. Así la función
f (t ) es real y con el desplazamiento en la frecuencia hace que ésta adquiera su parte imaginaria.
Figura 1. (a) Pulso Gaussiano y su transformada de Fourier. (b) Pulso gaussiano con un retardo en el
tiempo y sus correspondientes espectros de Fourier.
El retardo en el tiempo puede ser positivo o negativo, como podemos apreciar en las figuras 1, 3 y 4,
dicho retardo no tiene repercusión en la magnitud del espectro de la transformada de Fourier, por que en
cualquiera de los casos anteriores (retardo o adelanto) el espectro de magnitud se mantiene sin cambios.
Sin embargo, esto sí tiene repercusiones en la pendiente de la fase, para el caso de que la señal sufra un
retardo en el tiempo, la pendiente es positiva, pero si la señal se adelanta la pendiente es negativa.
Figura 2. Función del impulso y sus espectros de Fourier.
Figura 3. Función impulso desplazada en el tiempo (retardo) y su transformada de Fourier.
Figura 4. Función impulso desplazada en el tiempo (adelantada) y su transformada.
La respuesta en fase describe cómo un medio (filtro) modifica la relación en tiempo entre los
componentes frecuenciales cuando pasan a través del medio (filtro). Nosotros suponemos que podemos
modelar la respuesta de nuestro medio(como un filtro ideal con una respuesta lineal en fase), donde la
pendiente estaría definida únicamente por el retardo en tiempo y la relación de las fases de los
componentes frecuenciales de la señal de entrada no sufren distorsiones y los desplazamientos en fase
están dados solamente por el retardo en el tiempo.
1.2. Discontinuidades de Fase.
Existen ciertas condiciones para las que el espectro de fase experimenta discontinuidades o saltos. Puede
ocurrir un salto de  2 para intentar mantener la fase dentro del intervalo principal de valores
  , .


La mayoría de los algoritmos calculan los valores de fase en el intervalo de
  ,   , la representación
habitual de la fase es la forma de modulo de 2 de las funciones. Representaciones continuas de fase
pueden ser obtenidas empleando el modulo de fase de 2 mediante los algoritmos de desenvolvimiento
fase llamados algoritmos de unwrapping.
Un salto de   ocurre cuando se experimenta un cambio de signo en donde la polaridad cambia de
signo.El signo del salto de fase se elige cada que la fase resultante es impar, después del salto, el valor
vuelve a ubicarse en el intervalo de   ,  .
En las figuras 5 y 6 podemos observar algunos casos en que la fase presenta discontinuidades.
Otro de los aspectos que puede provocar distorsiones en el espectro es el tipo de ventana que se elija, para
el caso de una ventana rectangular, esta introduce el efecto de rizos y discontinuidades en los límites de la
banda.


Figura 5. Filtro ideal con fase lineal
Figura 6. Representaciones de magnitud y fase de un filtro de fase lineal.
2. Metodología
Se propone modelar los retardos de tiempo como una modulación en fase de la señal, realizando una
demodulación en fase de la señal que pasó por un medio que le provocó un retardo en el tiempo. La señal
de entrada sufre un cambio al propagarse en el medio de estudio, lo que nos conduce a pensar que si
somos capaces de interpretar correctamente la señal de salida, es decir si podemos identificar los cambios
en fase provocados por los retardo de tiempo, obtendríamos una manera alternativa de medir
indirectamente retardos en el tiempo a partir de corrimientos en la fase. Es decir proponemos establecer
una relación retardo de tiempo – corrimiento en fase, que nos permita caracterizar y posteriormente
evaluar el retardo en tiempo que sufre una señal al pasar por diferentes medios mediante los corrimientos
en fase.
Los efectos que se generan después de la demodulación dependen en gran parte de la señal de entrada y
estos se hacen evidentes con pulsos de pequeña duración en el tiempo o con transiciones pronunciadas. Se
considera que la señal ultrasónica de interés será un pulso ultrasónico tan pequeño como sea posible a fin
de intentar obtener la respuesta del sistema (medio) a una función impulso, a fin de estudiar la respuesta
en banda ancha. Consideramos un pulso ultrasónico que se propaga por medio que no le produce
distorsión solamente le produce un retardo en el tiempo. Es decir que para el caso de señales ultrasónicas
de interés (ecos ultrasónicos), se deben tomar en cuenta otros factores que afectan nuestra señal de salida,
para reducir las interferencias se requiere realizar un preprocesamiento (ventaneo de la señal), a fin de
reducir los segmentos sin oscilación que generan discontinuidades en el espectro y un posprocesamiento a
fin de compensar las discontinuidades que se tengan debidas al algoritmo empleado en la demodulación
en fase.
3. Resultados
La técnica propuesta ha sido aplicada a señales sinusoidales como en la figura 7 y pulsos gausianas como
en las figuras 8 y 9 que simulan señales ultrasónicas en diferentes condiciones, se simularon pulsos
ultrasónicos con retardados en el tiempo. Se consideraron parámetros tales como la frecuencia central
(frecuencia nominal o de resonancia de un transductor ultrasónico), ancho de banda, tamaño de ventana,
relación señal a ruido (SNR), afectan la exactitud de la estimación del retardo de tiempo.
Figura 7. (a)Señal sinusoidal y (b) la Señal sinusoidal demodulada en fase.
Figura 8. (a) Señal gausiana y. (b)Señal demodulada en fase.
Figura 9. (a) Pulso gaussiano modulado por una señal sinusoidal y (b)Señal demodulada en fase.
Figura 10. Pulsos gausianos retardos en el tiempo y Pulsos retardados demodulados en fase.
Figura 11. Corrimientos lineales en fase.
En la figura 10 a, podemos ver, que una función que sufre retardos en el tiempo, y en la figuras 10b y 11
podemos ver que los retardos en el tiempo son equivalentes a sumar fases lineales. La figura 11 es el
resultado de eliminar el efecto de las partes sin oscilación y concentrarse solo en los retardos de tiempo de
la señal que contiene información.
4.Conclusiones
La propuesta presentada aquí ha sido aplicada a señales ideales :sinusoidales y gaussianas, continuas y de
corta duración en el tiempo, los resultados obtenidos han sido simulados para diferentes condiciones a
partir de las cuales podemos concluir que la estimación de retardos de tiempo mediante cambios de fase
es una técnica prometedora, que deben realizarse procesamientos adicionales de compensación cuando la
señal es gaussiana y de corta duración en el tiempo.
Los resultados que se muestran en este articulo suponen una SNR alta.
Bibliografía
1.
Francesco Viola and William F. Walker. A Comparison of the performance of time-delay
estimators in medical ultrasound. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency
Control, Vol. 50, No. 4, April 2003.
2.
Edward J. Hannan and Peter J. Thomson. Delay Estimation of Coherence and Phase. IEEE
Trans. Acoust.,Speech, Signal Processing, vol. 29, no.3, pt.2, pp.485-490, June 1981.
3.
Y.T. Li and A.L. Kurkjian. Arrival time estimation using iterative signal reconstruction from the
phase of the cross-spectrum. 2nd International Symposium on Computer-Aided Seismic Analysis and
Discrimination, pp. 87-91, August 1981.
4.
Allan G. Piersol. Time Delay Estimation Using Phase Data. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal
Processing, vol. 29, no. 3, pt. 2, pp. 471 – 477, June 1981.
5.
Zhao Zhen and Hou Zi-qiang. The generalized phase spectrum method for time delay estimation.
Proc. ICASSP’84, vol. 3, pp. 46.2/1-4, March 1984.
6.
Dae Hee Youn, Shen- Neng Chiou, V. John Mathews. Adaptive phase transform processors for
time delay estimation. J. of the Acoustical Soc. Of America, vol. 80, no. 1, pp. 188-194, July 1986.
7.
Ljiljana Kostic. Local Steam Transit Time Estimation in Boiling Water Reactor. IEEE Trans.
Acoust., Speech, Signal Processing, Vol. 29, no.3, pt. 2, pp. 555-560, June 1981.
8.
C.H. Knapp and G.C. Carter. The generalized correlation method for estimation of time delay.
IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. ASSP-24, no.4, pp. 320-327, 1976.
9.
Peter Kraniauskas. Transforms in signals and systems. Addison and Wesley.
*Agradecimiento: M. en C. Rubén Pérez Valladares por las sugerencias y la retroalimentaciones
realizadas a fin de optimizar las mediciones y el procesamiento de la señal. Al M. en C. Hugo Zepeda por
su apoyo en la optimización de parte del material y del equipo empleado en la fabricación de muestras.
Un agradecimiento especial al CONACYT por el apoyo económico otorgado a través de la Beca.