2.1 Conjuntos En términos generales, llamamos conjunto a

2.1 Conjuntos
En términos generales, llamamos conjunto a cualquier colección de objetos que tienen
alguna característica en común, como por ejemplo un conjunto de vestir, un conjunto de
muebles para la cocina, un conjunto musical, etc. En matemáticas el concepto es el
mismo, pero en nuestro caso no hablamos de objetos, sino de elementos abstractos.
Hay dos formas de determinar conjuntos:
a) Por extensión
b) Por comprensión
Cuando un conjunto es formado por extensión, éste se escribe enlistando TODOS los
elementos del conjunto, sin necesidad de repetirlos. Por ejemplo:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {ferocail}
Por otro lado, cuando se habla de un conjunto por comprensión, se da una propiedad que
comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Por ejemplo:
A = { xx son los dígitos impares positivos}
B = {xx son las letras de la palabra ferrocarril}
El símbolo “” es se lee como “tal que” o “tales que”. De manera tal que el conjunto A es
el conjunto de las incógnitas x, tales que x son los dígitos impares positivos.
Por la cantidad de elementos un conjunto se puede definir como finito, den dónde el
número de elementos aunque muy grande está determinado, o infinito (∞), en donde el
número de elementos no tiene fin. Por ejemplo:
M = { x | x son los países que México tiene frontera} Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x | x es el número de pares de zapatos que tengo } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
Otra definición importantes es el conjunto vacío. Este es un conjunto que carece de
elementos (también se le llama conjunto nulo), y se le denota por el símbolo ø o { }. Por
ejemplo:
E = {x | x es el mes de 33 días}
H = {x | x2 < 0}
entonces
⇒
E=ø
H=ø
Se dice que A = B cuando cada uno de estos conjuntos tienen el mismo número de
elementos y de la misma naturaleza y cada elemento de A pertenece a B. Por ejemplo:
Si
A = {2, 4, 6, 8}
y
B = {8, 4, 6, 2}
⇒A=B
Si
C = {cnjts} y
D = {x| x son las consonantes de la palabra conjuntos}
⇒C=D
Cuando un conjunto tiene en su haber un único elemento, se le denomina conjunto
unitario. Por ejemplo:
J = {x | x3 = 8} ⇒ J = {2}
Finalmente definiremos al conjunto universal como aquel conjunto que contiene a todos
los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { labrador}
B = {chihuahua}
C = {beagle}
D = {bassethound}
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D:
U = { razas de perros }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
U
B
C
A
D
Representación gráfica y operaciones con conjuntos
Los conjunto se pueden representar con los llamados diagramas de Venn y operan de la
siguiente manera:
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los
elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden
quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para
representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa
herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
Las operaciones en conjuntos son: unión, intersección, diferencia y complemento y sus
representaciones gráficas y nomenclatura se encuentran en la siguiente tabla.
Operación
Simbología
Descripción
Unión
AUB
AUB = {x|x∈ A ó x
∈B}
Intersección
A∩B
A∩B = {x|x∈ A y x
∈B}
Diferencia
A-B
A-B = {x|x∈ A y x ∉B}
Diagrama de Venn
Complemento
A’
A’ = {x|x∈ U y x ∉A}
Cabe señalar que los símbolos ∈ y ∉ se deben leer como “pertenece” y “NO pertenece”
respectivamente.
Estas operaciones se pueden realizar en más de dos conjuntos y ser las que uno desee y
en general, aunque la representación gráfica es de ayuda, cuando se realizan un número
grande de operaciones es mejor trabajar sólo con las nomenclaturas de los conjuntos.