Relación no 3

Alumno/a:
DNI:
Relación no 3
Licenciatura de Geológicas
1. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x3 , la recta y = 8 y el eje Oy. (Respuesta: 12)
2. Hallar el área total de la figura limitada por las curvas: y = x3 , y = 2x e y = x. (Respuesta: 23 )
3. Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola
x2
y2
−
=1
a2
b2
√
√ y la recta x = 2a. (Respuesta: ab 2 3 − ln(a + 3) )
(1)
4. Calcular el área de la figura comprendida entre la curva denominada “Bruja de Agnesi”
y=
y la parábola y = x2 /2. (Respuesta:
π
2
1
1 + x2
(2)
− 13 )
5. Hallar el área del campo limitado por un arco de cicloide
x = a(t − sen t)
y = a(1 − cos t)
(0 ≤ t ≤ 2π)
y el eje de abscisas. (Respuesta: 3πa2 )
6. Hallar el área del campo limitado por al curva ρ = a cos θ. (Respuesta: πa 2 /4)
7. Hallar el área del campo limitado por al curva ρ = a cos 2θ. (Respuesta: πa 2 /2)
8. Hallar el área del campo limitado por al curva ρ = a cos 3θ. (Respuesta: πa 2 /4)
9. Hallar el área del campo limitado por al curva ρ = a cos 4θ. (Respuesta: πa 2 /2)
10. Hallar el área de la figura limitada por una rama de la trocoide
x = at − b sen t
y = a − b cos t
(0 < b ≤ a))
y la tangente a la misma en sus puntos inferiores. (Respuesta: π(b2 + 2ab))
11. Calcular el área de las dos partes en que la parábola y 2 = 2x divide al cı́rculo x2 + y 2 = 8.
(Respuesta 2π + 34 y 6π − 43 )
12. Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica
x = t2
y = t3
desde el punto (0, 0) hasta el punto (4, 8). (Respuesta:
8
27 (10
13. Hallar la longitud del arco de la curva y = ln x desde x =
√
√
10 − 1))
3 hasta x =
√
8. (Respuesta: 1+ 21 ln 32 ))
14. Hallar la longitud de la evoluta de la elipse
x=
(Respuesta:
c2
cos3 t
a
y=
c2
sen3 t
b
(c2 = a2 − b2 )
4(a3 −b3 )
)
ab
15. Hallar la longitud de la espiral de Arquı́medes
el final del primer rizo, es
√ ρ = aθ del polo hasta
√
decir, entre θ = 0 y θ = 2π. (Respuesta: πa 1 + 4π 2 + a2 ln(2π + 1 + 4π 2 ))
√
√
2 αθ
e = αρ 1 + α2 )
16. Hallar la longitud de la espiral ρ = eαθ del polo al punto (ρ, θ). (Respuesta: 1+α
α
17. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = sen 2 x, en el
intervalo x = 0 hasta x = π. (Respuesta: 83 π 2 )
18. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje OY, la parte de la parábola
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y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a. (Respuesta: 16πa
5 ). Repetir el ejercicio haciendo girar la
curva alrededor del eje OX.
19. Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide
x = a(t − sen t)
y = a(1 − cos t)
(0 ≤ t ≤ 2π)
y por el eje OX, alrededor: a) del eje OX, b) del eje OY y c) del eje de simetrı́a de la figura.
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(Respuesta: a) 5π 2 a3 b) 6π 3 a3 c) πa6 (9π 2 − 16))
20. Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de la cardioide ρ = a(1 + cos θ) alrededor
del eje polar. (Respuesta: 83 πa3 )
21. Hallar el área de la superficie engendrada al girar una arco de la cicloide
x = a(t − sen t)
y = a(1 − cos t)
(0 ≤ t ≤ 2π)
a) alrededor de su eje de simetrı́a (respuesta: 8π(π − 34 )a2 ) b) alrededor del eje OX (respuesta:
64πa2
2 2
3 ) c) alrededor del eje OY (respuesta: 16π a ) d) alrededor de la tangente a la cicloide en su
32
2
punto superior (respuesta: 3 πa )