Lección 8: Exponen tes y notación exponencial

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DE
MATEMÁTICAS II
Lección 8: Exponen tes y
notación exponencial
En matemáticas es común que se trate de simplificar
la notación, al mismo tiempo que se generalizan los
conceptos. Por ejemplo, hemos visto que la suma repetida
de un sumando puede escribirse, más brevemente, como
un producto:
33 + 33 + 33 + 33 + 33 + 33 + 33 + 33 + 33 = 9 ˘ 33
Si bien ésta es una manera de interpretar la multiplicación,
como una suma abreviada, al generalizar la idea a la
multiplicación de otra clase de números como los racionales,
la multiplicación ya no es precisamente una suma abreviada.
Por ejemplo, los productos:
45.9 ˘ 16.153
ó
23 ˘ 71
15
45
no tienen ya el sentido de sumas abreviadas. Sin embargo,
resulta de mucha utilidad poder multiplicar números
racionales entre sí.
El tema de esta lección es un concepto que en un principio
puede considerarse como una manera de abreviar otra
operación. Para introducirlo, consideremos el producto:
495 ˘ 495 ˘ 495 ˘ 495 ˘ 495 ˘ 495 ˘ 495
que es la multiplicación repetida, siete veces, de 495.
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LECCIÓN 8
Una manera de expresar esta multiplicación de manera
abreviada es la siguiente:
4957
Esto es, se escribe el factor que se repite, en este caso 495,
y arriba, con un número más pequeño, se le pone las veces
que lo estamos multiplicando.
En general, podemos escribir cualquier producto de un mismo
factor repetido las veces que queramos, de esta manera. Por
ejemplo, si tenemos el producto:
6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6˘6
lo podemos escribir simplificadamente como 615.
En la expresión anterior, al número 6, o sea, el que se va a
multiplicar repetidamente, se le llama base, mientras que al
número de veces que se repite 6 como factor, es decir a 15,
se le llama exponente.
Veamos un par de ejemplos más de esta notación:
7.3 ˘ 7.3 ˘ 7.3 ˘ 7.3 ˘ 7.3 ˘ 7.3 = 7.36
15.84 = 15.8 ˘ 15.8 ˘ 15.8 ˘ 15.8
Escriba en forma de multiplicación de factor repetido las
siguientes expresiones:
a) 23.145 5
b) 125.1 2
c) 2 25
d) 10 10
e) 0.9 12
f) 1.016
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Escriba de manera abreviada, usando base y exponente, las
operaciones necesarias:
a) 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18 ˘
1.18 ˘ 1.18 ˘ 1.18
b) 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘ 5 ˘
5˘5˘5˘5˘5˘5
c) 0.43 ˘ 0.43 ˘ 0.43
d) 10 ˘ 10 ˘ 10 ˘ 10 ˘ 10 ˘ 10
Encuentre el valor de las siguientes expresiones realizando
los productos necesarios.
a) 134
b) 10 6
c) 0.1 5
d) 1 100
e) 28
f) 1.3 3
Uso de los exponentes
Una de las aplicaciones de los exponentes es cuando
requerimos escribir números muy grandes. Existen sucesos
en nuestro mundo en los que aparecen cantidades enormes.
Por ejemplo, en la siguiente tabla aparecen las distancias
aproximadas de los diferentes planetas al Sol.
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LECCIÓN 8
PLANETAS
Mercurio
DISTANCIA APROXIMADA
AL SOL EN KILÓMETROS
58 000 000
Venus
108 000 000
Tierra
150 000 000
Marte
228 000 000
Júpiter
778 000 000
Saturno
1 427 000 000
Urano
2 870 000 000
Neptuno
4 497 000 000
Plutón
5 900 000 000
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Estas distancias son muy grandes, tienen muchos ceros y
puede ser incómodo trabajar con ellas. Por ejemplo, si nos
interesara saber cuál es la distancia entre Mercurio y La
Tierra, necesitamos restar 150 000 000 menos 58 000 000.
Aunque, sí podemos efectuar este cálculo directamente,
es posible que podamos trabajar con estas magnitudes de
una manera más eficiente. Para ello se pueden utilizar los
exponentes.
Primero observemos lo siguiente: 10 ˘ 10 = 100. De acuerdo
a lo que vimos en la lección anterior 102 = 100. También
10 ˘ 10 ˘ 10 = 1000, de manera que 103 = 1000.
Observe que al usar base 10, el exponente indica el número
de ceros que se aumentan al 1. Por ejemplo:
102 = 100; 10 3 = 1000; 10 4 = 10 000;
105 = 100 000; 106 = 1 000 000
Consideremos la distancia de Mercurio al Sol: 58 000 000
kilómetros, es decir, 58 millones de kilómetros. Podemos
escribir este número de la siguiente manera:
58 ˘ 1 000 000
Esto es, hemos escrito 58 por un millón pero 1 000 000 es, a
su vez igual a 106. Por lo tanto:
58 000 000 = 58 ˘ 1 000 000 = 58 ˘ 106
De la misma manera la distancia de la Tierra al Sol es
150 000 000 = 150 ˘ 106
La pregunta original era, ¿cuál es la distancia de Mercurio
a la Tierra? Como sabemos las distancias de ambos al Sol,
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LECCIÓN 8
al tomar la diferencia sabremos la distancia entre ellos.
Debemos restar 58 000 000 a 150 000 000:
150 000 000 - 58 000 000
Pero esta resta se puede expresar usando exponentes así:
(150 ˘ 10 6) - (58 ˘ 106)
Usando la propiedad distributiva del producto respecto a
la resta, como 106 aparece en ambos términos, podemos
escribir:
(150 ˘ 10 6) - (58 ˘ 106) = (150 - 58) ˘ 106
Y realizando la resta tenemos:
(150 - 58) ˘ 106 = 92 ˘ 106
De modo que la distancia entre la Tierra y Mercurio es de
92 ˘ 10 6 km o lo que es lo mismo 92 000 000 de kilómetros,
es decir, 92 millones de kilómetros. Observe que es
procedimiento que acabamos de efectuar es equivalente
a decir: como necesitamos restar 150 millones menos
58 millones, restamos 150 menos 58 y el resultado está en
millones. Hemos podido realizar esto porque tanto la
distancia de Mercurio al Sol como la distancia de la Tierra
al Sol está en millones de kilómetros.
También podemos preguntarnos si la suma de las distancias del
Sol a la Tierra y del Sol a Marte es mayor que la distancia
del Sol a Júpiter. Para obtener la suma de las distancias que
se pide necesitamos resolver:
150 000 000 + 228 000 000
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Usando notación exponencial y la propiedad distributiva del
producto respecto a la suma, obtenemos:
(150 ˘ 10 6) + (228 ˘ 106) = (150 + 228) ˘ 106
Y haciendo la suma resulta que el resultado requerido es
378 ˘ 10 6 kilómetros. Esta distancia es menor que la distancia
del Sol a Júpiter, que es 778 ˘ 106 kilómetros.
Escriba las siguientes cantidades usando notación exponencial:
a) 1300000
b) 15600
d) 61300000000000
c) 375000
e) 5860000000
Escriba las siguientes cantidades usando notación desarrollada:
a) 22 ˘ 107
b) 2285 ˘ 104
d) 9 ˘ 1010
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c) 220 ˘ 103
e) 145 ˘ 105
LECCIÓN 8
Notación científica
Como ya hemos estudiado números racionales y la notación
exponencial, podemos combinar estas nociones para aprender
una notación que se usa mucho en las ciencias físicas y
naturales. Nos referimos a la notación científica, que
también es usada por las calculadoras de bolsillo.
La idea es exactamente la misma que en el caso que vimos
en el apartado anterior, sólo que en lugar de separar los
números en un entero y una potencia de 10, los vamos a
separar en un racional y una potencia de 10. El racional que
usemos tendrá una sola cifra distinta de cero en el lugar de
las unidades.
Por ejemplo, la distancia de Venus al Sol es de 108 000 000.
Esto puede escribirse como 108 ˘ 106. Pero también es fácil
verificar que:
1.08 ˘ 100 = 108
y como 100 es 102, podemos escribir:
108 = 1.08 ˘ 102 .
Así, la distancia de Venus al Sol, que es 108 ˘ 106, se puede
escribir también como sigue:
(1.08 ˘ 10 2) ˘ 10 6.
Pero por la asociatividad esto es:
1.08 ˘ (10 2 ˘ 10 6)
Podemos ahora, desarrollar las potencias de 10 y realizar la
multiplicación:
1.08 ˘ (102 ˘ 106) = 1.08 ˘ (100 ˘ 1 000 000) = 1.08 ˘ 100 000 000
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Y si usamos de nuevo notación exponencial obtenemos:
108 000 000 = 1.08 ˘ 100 000 000 = 1.08 ˘ 108
Como se puede ver, el exponente de 10 dice cuántos lugares
se debe recorrer el punto decimal para obtener el número
en notación desarrollada. Si a 1.08 le recorremos el punto
8 lugares a la derecha obtenemos 108 000 000:
1.08 ˘ 10 8 = 1.08000000 ˘ 108 = 1080000
La notación científica también se utiliza cuando queremos
expresar cantidades muy pequeñas. Por ejemplo, consideremos
el número 0.0000001. Ya sabemos que
0.0000001 =
1
= 17
10000000
10
Para indicar que 107 es denominador se utiliza un exponente
negativo. Esto es,
1 = 10 -7
107
De este modo, podemos escribir y leer cantidades pequeñas
con una notación sencilla. Por ejemplo,
2
2 ˘ 10 -8 = 2 8 =
= 0.00000002
10
100000000
Puede observarse que cuando el exponente de 10 es positivo
generalmente no se escribe el signo. También se puede ver
que, así como un exponente positivo indica cuantos lugares
hay que correr el punto decimal hacia la derecha, cuando
es negativo indica los lugares que debe recorrerse el punto
decimal a la izquierda. Por ejemplo:
3.71 ˘ 10 -5 = 000003.71 ˘ 10-5 = 0.0000371
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LECCIÓN 8
Finalizaremos esta lección dando algunos datos curiosos:
• distancia a la Tierra de las estrellas más lejanas
descubiertas hasta ahora: 2.8 ˘ 1018 km.
• número de estrellas en la Vía Láctea: 1011
• cantidad de moléculas en una gota de agua: 1021
• tamaño de un virus: 10-5 cm.
• tamaño de un átomo de hidrógeno: 10-10 m.
• masa de un átomo de hidrógeno: 1.7 ˘ 10-27 kg.
• masa de un electrón: 9.109 ˘ 10-31 kg.
Escriba las siguientes cantidades usando notación científica:
a) 3500000
e) 0.0021
b) 56200
f) 0.0000000003067
c) 375000000
g) 0.0000000804231
d) 39800000000000
h) 0.00000450067
Escriba las siguientes cantidades usando notación desarrollada:
a) 2.2 ˘ 107
d) 1.32078 ˘ 103
g) 1.50678 ˘ 10-3
b) 2.8531 ˘ 104
e) 4.51 ˘ 10-2
h) 6.896014 ˘ 10-6
c) 2.5 ˘ 1010
f) 8.9641 ˘ 10-9
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