Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
José Vicente Romero Bauset
[email protected]
Ecuaciones Diferenciales
Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales separables
EDO separable
Una EDO de orden 1 F (t, y , y 0 ) se dice separable si puede ser escrita de la forma
A(t) 0
0
A(t)dt = B(y )dy y =
, y = C (t)D(y )
B(y )
Resolución
Z
Z
A(t)dt =
Z
t
B(y )dy + K
Z
y
A(t)dt =
t0
B(y )dy
y0
Ejercicio
El ritmo al que se enfrı́a un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia de
temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton).
Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone al ambiente a una temperatura de
10o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. ¿Cuánto tiempo adicional
debe transcurrir para que se enfrı́e a 30o C?
Ecuaciones Diferenciales
EDO homogéneas
Función homogénea
f (x, y ) es una función homogénea de grado n si
f (λ x, λ y ) = λ n f (x, y ).
EDO homogénea
Una EDO de primer orden
M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Nota
Definiciones equivalentes a la anterior son:
• y 0 = f (x, y ) es homogénea si f (x, y ) es homogénea de grado 0
y • y0 = f
x
Ecuaciones Diferenciales
EDO homogéneas
Resolución
y
1o Con el cambio u = →
x
variables separables:
(
y = ux
y 0 = u0x + u
Se obtiene E.D.O de
y 0 = f (x, y ) ⇐⇒ u 0 x + u = f (1, u)
2o Resolvemos la E.D.O separable.
3o Deshacemos el cambio.
Ejercicios
t 3 y 0 = t 2 y − 2y 3
Encuentra la forma de un espejo curvo en el que la luz de una fuente
en el origen se separe en un haz de rayos paralelos al eje X.
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones reducibles a separables
y0 =
ax + by + c
dx + ey + f
ax + by + c
y0 = f
dx + ey + f
Casos posibles
• c = f = 0 es homogénea
• b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables
• ae − bd 6= 0
• ae − bd = 0
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones reducibles a separables
ax + by + c
y =
dx + ey + f
0
ax + by + c
0
y =f
dx + ey + f
Caso ae − bd 6= 0
1o Se calcula el punto de corte (x0 , y0 ) de las rectas:
(
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
2o Se aplica el siguiente cambio que conduce a E.D.O homogénea:

(

x = X + x0
X = x − x0
⇐⇒ y = Y + y0

Y = y − y0
 0
y =Y0
3o Resolvemos la E.D.O homogénea y deshacemos el cambio.
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo
(6x + 4y − 8) d x + (x + y − 1) d y = 0
Las rectas 6x + 4y − 8 = 0 y x + y − 1 = 0 no son paralelas y se cortan en el
punto x = 2 e y = −1.
Se hace el cambio de variable x = X + 2, y = Y − 1.
dY
6X + 4Y
=
, homogénea Y = uX
dX
−X − Y −−−−−−−→
6X + 4Xu
6 + 4u
−1 − u
dX
du
=
=
⇒ 2
du =
u +X
dX
−X − Xu
−1 − u
u + 5u + 6
X
Z
Z
1
−2
u+2
ln CX =
du +
d u = ln
u+2
u+3
(u + 3)2
y +1
+2
C (x − 2) = x−2 2 =
y +1
x−2 + 3
y + 1 + 2x − 4
= C,
(3x + y − 5)2
2x + y − 3 = C (3x + y − 5)2
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones reducibles a separables
ax + by + c
ax + by + c
0
y =
y =f
dx + ey + f
dx + ey + f
Caso ae − bd = 0
Se cumple que ambas rectas son paralelas, por tanto se cumplirá que:
0
∃k ∈ R/ax + by = k(dx + ey )
Si e 6= 0 se realiza el cambio: 
1

y = (t − dx)
e
t = t(x) = dx + ey ⇒

y 0 = 1 (t 0 − d)
e
2o Se resuelve la E.D.O de variables separables a la que conduce el
cambio:
1 0
tk + c
(t − d) =
e
t +f
3o Deshacemos el cambio.
1o
Nota
Si e = 0 se hace el cambio t = ax + by
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo
(x + y + 1) d x + (2x + 2y − 1) d y = 0
Las rectas x + y + 1 = 0 y 2x + 2y − 1 = 0 son paralelas.
Se hace el cambio de variable z = x + y 1 +
dz
dy
=
.
dx
dx
dz
z +1
dz
z + 1 − 2z + 1
−1 =
,
=
dx
−2z + 1 d x
1 − 2z
1 − 2z
dz = dx
2−z
Z 3
2−
2−z
Z
dz =
d x + C , 2z − 3 ln |2 − z| = x + C
2(x + y ) + 3 ln |2 − (x + y )| = x + C
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales exactas
EDO exacta
Una ecuación diferencial M(t, y )dt + N(t, y )dy = 0 es exacta si existe una
función F (t, y ), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya
diferencial coincide con M(t, y )dt + N(t, y )dy , es decir
∂F
∂F
= M(t, y ) y
= N(t, y )
∂t
∂y
Teorema
∂M ∂N
,
son continuas en un rectángulo R del plano, entonces
∂y ∂t
M dt + N dy = 0 es exacta en R si y sólo si
Si M, N,
∂N
∂M
=
en R
∂y
∂t
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales exactas
Z
Resolución (Si sabemos calcular
M(t, y ) d t)
∂N
∂M
=
∂y
∂t
o
2 Se calcula la función potencial:
1o Se comprueba que es exacta:
F (t, y )
/
∂F
= M(t, y )
∂Z t
(a) F (t, y ) =
y
∂F
= N(t, y )
∂y
M(t, y ) d t + ϕ(y )
(b) Calculamos ϕ(y ) utilizando:
Z
∂F
∂F
∂
M(t, y ) d t + ϕ 0 (y )
= N(t, y ) y
=
∂y
∂y
∂y
=⇒ ϕ 0 (y ) = N(t, y ) −
∂
∂y
Z
M(t, y ) d t
(c) Sustituimos ϕ(y ) en (a) y se obtiene la solución general de la E.D.O:
F (t, y ) = C
Ecuaciones Diferenciales
(1)
Ecuaciones diferenciales exactas
Z
Resolución (Si sabemos calcular
1o Se comprueba que es exacta:
N(t, y ) d y )
∂M
∂y
=
∂N
∂t
2o Se calcula la función potencial:
F (t, y )
/
∂F
= M(t, y )
∂t
y
∂F
= N(t, y )
∂y
Z
(a) F (t, y ) =
N(t, y ) d y + g (t)
(b) Calculamos g (t) utilizando:
Z
∂F
∂F
∂
= M(t, y ) y
=
N(t, y ) d y + g 0 (t)
∂t
∂t
∂t
=⇒ g 0 (t) = M(t, y ) −
∂
∂t
Z
N(t, y ) d y
(c) Sustituimos g (t) en (a) y se obtiene la solución general de la E.D.O:
F (t, y ) = C
Ecuaciones Diferenciales
(2)
Factor integrante
Factor integrante
Sea M(t, y ) d t + N(t, y ) d y = 0 una ecuación diferencial no exacta, y
µ(t, y ) una función no nula en cada punto de un cierto rectángulo R y tal
que µ(t, y )M(t, y ) d t + µ(t, y )N(t, y ) d y = 0 es exacta. Entonces se dice
que µ(t, y ) es un factor integrante para M(t, y ) d t + N(t, y ) d y = 0, y de
esta ecuación se dice que es reducible a exacta.
Búsqueda de factores integrantes:
∂ (µM) ∂ (µN)
=
∂y
∂t
es decir
µ
∂M
∂µ
∂N
∂µ
+M
=µ
+N
∂y
∂y
∂t
∂t
Ecuaciones Diferenciales
Factor integrante: µ = µ(t)
µ
∂M
∂µ
∂N
∂µ
∂M
∂N
∂ µ(t)
+M
=µ
+N
µ = µ(t) µ(t)
+M0 = µ(t)
+N
∂y
∂y
∂t
∂ t −−−−−−→
∂y
∂t
∂t
⇓
d µ(t)
∂M ∂N
−
=N
µ(t)
∂y
∂t
dt
⇓
d µ(t)
=
µ(t)
∂M − ∂N
∂y
∂t
N
d t ⇒ a(t) =
⇓
∂M − ∂N
∂y
∂t
N
Z
ln µ(t) =
a(t)dt
⇓
µ(t) = e
R
a(t)dt
Ecuaciones Diferenciales
sólo depende de t
Factor integrante
Búsqueda de factores integrantes
• µ = µ(t) ⇒
My −Nt
N
es sólo función de t
R
1 ∂M ∂N
a(t)dt
µ =e
, a(t) =
−
N ∂y
∂t
Nt −My
• µ = µ(y ) ⇒ M es sólo función de y
R
1 ∂N ∂M
µ = e b(y )dy , b(y ) =
−
M ∂t
∂y
Nt −My
• µ = µ(ν), ν = at + by ⇒ bM−an es sólo función de at + by
∂N ∂M
−
R
∂t
∂y
µ = e c(ν)dν , c(ν) =
bM − aN
Nt −My
• µ = µ(ν), ν = ty ⇒ tM−Ny
es sólo función de ty
∂N ∂M
−
R
∂t
∂y
µ = e d(ν)dν , d(ν) =
tM − Ny
Ecuaciones Diferenciales
EDO exactas: factor integrante
Algunas fórmulas útiles
y dx −x dy
d yx =
y2
d(xy ) = x d y + y d x
d x 2 + y 2 = 2x d x + 2y d y
y dx −x dy
d arctan yx =
x2 + y2
y dx −x dy
d log yx
=
xy
Ecuaciones Diferenciales
Ecuación Lineal
EDO lineal
Una EDO de primer orden de la forma
dy
= P(t)y + Q(t)
dt
es una ecuación lineal.
Resolución
Se puede encontrar un factor integrante
µ(t) = e
R
e
R
−P(t)dt
.
R
R
dy
− e −P(t)dt P(t)y = e −P(t)dt Q(t)
dt
⇓
R
R
d
e −P(t)dt y = e −P(t)dt Q(t)
dt
⇓
−P(t)dt
R
e
−P(t)dt
Z
y=
R
e
−P(t)dt
Q(t) d t + C
Ecuaciones Diferenciales
Ecuación Lineal
Ejemplo
y + x 2 cos x d x − x d y = 0
y0 =
El factor integrante es
y
+ x cos x
x
µ(x) = e−
La ecuación se puede reescribir como
e−
es decir
R 1
x dx
R
dy
− e−
dx
R
d e−
1
x
dx
y
1
x
R 1
x dx
dx
=
1
x
R
y
= e−
x
1
x
dx
x cos x
= e−
R 1
x dx
x cos x
dx
y la solución de la ecuación es
Z y
1
=
x cos x d x + C = sin x + C
x
x
Ecuaciones Diferenciales
Reducción del orden
Ausencia de variable dependiente
Si no aparece la y , la ecuación es de la forma f t, y 0 , y 00 = 0.
Resolución
Se hace el cambio
dp
dt
dp
= 0.
y la ecuación diferencial queda de la forma f t, p,
dt
y 0 = p y 00 =
Ausencia de variable independiente
Si no aparece t, la ecuación es de la forma f y , y 0 , y 00 = 0.
Resolución
Se hace el cambio
dp
dp dp dy
=
=p
dt
dy dt
dy dp
y la ecuación diferencial queda de la forma f y , p, p
= 0.
dy
y 0 = p y 00 =
Ecuaciones Diferenciales
Reducción del orden: Ejemplos
ty 00 − y 0 = 3t 2
Falta la y ⇒ se puede hacer el cambio y 0 = p
⇓
t
dp
− p = 3t 2
dt
⇓
dp 1
− p = 3t
dt t
lineal
R 1
Multiplicando por e− t d t = 1t se obtiene
d 1
p
p = 3 ⇒ = 3t + C ⇒ p = 3t 2 + Ct
dt t
t
⇓
1
y = t 3 + Ct 2 + D
2
Ecuaciones Diferenciales
Reducción del orden: Ejemplos
y 00 + k 2 y = 0
dp
Falta la t ⇒ se puede hacer el cambio y 0 = p, y 00 = p
d
y
⇓
dp
p
+ k 2y = 0 ⇒ p d p + k 2y d y = 0
dy
⇓
p 2 + k 2 y 2 = k 2 a2
⇓
p
dy
dy
p=
= ±k a2 − y 2 ⇒ p
= ±k d t
dt
a2 − y 2
⇓
y
arcsen = ±kt + b
a
⇓
y = a sen (±kt + b) ⇒ y = A sen (kt + B) (o y = C1 sen kt + C2 cos kt)
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Familia de curvas
Es una expresión de la forma
F (x, y , K ) = 0
en la que K es un parámetro arbitrario.
Ejemplo
x 2 + 2kx + y 2 = 0
Trayectoria ortogonal
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que cruza
con cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campo
electrostático, las lineas de fuerza son ortogonales a las lı́neas de potencial
constante.
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Ejemplo
y 2 + 2ky + x 2 = 0
son ortogonales a
x 2 + 2kx + y 2 = 0
Cálculo trayectoria ortogonal
1
2
Se obtiene la ecuación diferencial y 0 = f (x, y ) de la familia de curvas
F (x, y , K ) = 0 (Eliminando la K ).
La familia ortogonal a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuación diferencial
y0 = −
1
.
f (x, y )
Un vector ortogonal (1, v ) es (1, − v1 )
3
Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Cálculo trayectoria ortogonal
2
1
2
2
2
2
0 =0 k = − x +y 2x − x +y +2yy 0 =0
x 2 +2kx +y 2 =0 −
derivando
x
−−−−−→ 2x +2k +2yy
−−−−−−2x
−→
⇓
2 −y 2
La ecuación diferencial de la familia de curvas es y 0 = f (x, y ) = − x 2yx
La familia ortogonal a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuación diferencial
1
2yx
y0 = −
=
.
f (x, y ) x 2 − y 2
3
2yx
2u
y = ux u 0 x + u =
.
x 2 − y 2 −−−−→
1 − u2
⇓
3
2
u+u
1−u
dx
1
2u
dx
u0x =
⇒
d
u
=
⇒
d
u
−
=
2
3
2
1−u
u+u
x
u 1+u
x
⇓
y0 =
ln |C | + ln |u| − ln |1 + u 2 | = ln |x| ⇒
Au
= x ⇒ Ay = x 2 + y 2
1 + u2
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales y oblicuas
y
tan θ =
df
dx
tan β =
dg
dx
y=f(x)
α
β
y=g(x)
θ
x
β = α + θ ⇒ tan β = tan(α + θ ) =
tan α + tan θ
1 − tan α tan θ
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Cálculo trayectoria oblı́cua
1
2
Se obtiene la ecuación diferencial y 0 = f (x, y ) de la familia de curvas
F (x, y , K ) = 0.
La familia oblicua a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuación diferencial
y0 =
3
f (x, y ) + tg (α)
.
1 − f (x, y )tg (α)
Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
Ejemplo
Calcular las trayectorias oblı́cuas con un ángulo de 45 grados a la familia de
curvas y = A ex
Ecuaciones Diferenciales
Trayectorias ortogonales(coordenadas polares)
ρ = ρ(θ ) ⇒
x = ρ(θ ) cos θ
y = ρ(θ ) sen θ
⇒
dx
dx
ρ 0 cos θ − ρ sen θ
= dθ = 0
dy
dy
ρ sen θ + ρcosθ
dθ
y 0 = f (x) (ρ = ρ(θ ))
ρ 0 cos θ − ρo sen θ
ρ 0 sen θ + ρ cos θ
⇓ curva ortogonal ⇒ o0
=
ρsenθ − ρ 0 cos θ
1
(ρo = ρo (θ )) ρo sen θ + ρo cos θ
y 0 = − f (x)
⇓ ρ = ρo
−ρo0 ρ 0 = ρ 2
Trayectorias ortogonales en coordenadas polares
1
Se obtiene la ecuación diferencial f (θ , ρ, ρ 0 ) de la familia de curvas
F (θ , ρ, K ) = 0.
2
La familia ortogonal a F (θ , ρ, K ) = 0 tiene como ecuación diferencial
ρ2
f θ , ρ, − 0 .
ρ
3
Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
Ecuaciones Diferenciales