POTENCIAL ELECTRICO

Potencial Eléctrico
POTENCIAL ELECTRICO
Un campo eléctrico que rodea a una barra cargada puede describirse no solo por una intensidad de campo
eléctrico
E (Cantidad Vectorial) si no también como una cantidad escalar llamada “Potencial Eléctrico”.
Diferencia de Potencial eléctrico
en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el
Considérese una carga de prueba positiva
punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que
mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:
El trabajo
puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será
respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de
potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva
unidad, el voltio, esto es:
1 voltio = 1 Joule/Coulomb.
El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica (ley de Coulomb) para
mover una carga positiva "q" desde el infinito (donde el potencial es cero) hasta ese punto. Dicho de otra forma,
es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria "q" desde el infinito hasta el
punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:
VB = Wq∞oB
W∞B = Trabajo realizado por un agente externo para mover la carga de prueba qo del infinito hasta el punto B.
VB = Potencial en el punto B
E
Tanto el trabajo WAB como la Diferencia de Potencial son independientes de la trayectoria a mover qo.
RELACION ENTRE POTENCIAL ELECTRICO Y CAMPO ELECTRICO
Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la
dirección del campo, tal como muestra la figura.
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E
mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de
algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B.
La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en
la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F
realizado por el agente
de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo
que proporciona esta fuerza es:
B
B
A
A
W AB = ∫ F .d l. = ∫ Fdl cosθ
pero :
B
B
A
A
θ =0
W AB = ∫ Fdl = F ∫ dl = Fd
pero : F = E qo
Teniendo en cuenta que:
Sustituyendo se obtiene:
VB − V A = Ed
Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo
especial.
El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que
hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
CASO GENERAL:
Donde el Campo eléctrico no es uniforme y que la trayectoria por donde se mueve la carga de prueba qo no es
rectilínea
La carga qo experimenta una fuerza Eqo, luego para que la carga de prueba no acelere debe aplicarse una
fuerza exterior F igual en magnitud a –Eqo para todas las posiciones de la carga de prueba.
W AB = ∫ F . d l = − q o ∫ E . d l
Entonces:
VB − V A = − ∫ E . d l
Si el punto A se encuentra a una distancia infinita ( ∞ ) entonces VA = 0 ; luego :
VB = − ∫ E . d l
POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL.
Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una
carga
Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra,
la derecha y
apunta a
, que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:
Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente
porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:
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Potencial Eléctrico
Por lo cual:
Combinando esta expresión con la de E para una carga punto se obtiene:
Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que
, considerando que
en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:
Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son
esferas concéntricas a la carga puntual.
Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual
Potencial debido a dos cargas puntuales
El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en
dicho punto.
Siendo
y
las distancias entre las cargas
y
y el punto P respectivamente.
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas
El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial
debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:
el valor de la enésima carga y
la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se
siendo:
efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial
sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las
líneas de campo ; para representar el campo se utilizan las superficies equipotenciales que unen todos los
puntos que están al mismo potencial. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de
Fuerza.
Potencial eléctrico generado por una distribución continua de
carga
Si la distribución de carga es continúa y no una colección de puntos, la
suma debe reemplazarse por una integral:
siendo: dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su
distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICO.
La Energía Potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario que hay
que realizar para formar un sistema de dos cargas trayéndolas desde una distancia infinita.
r
q1
A
∞
q2
V A − VB = WqAB2
pero : qo = q2 y VA = 0
V B∞ = Wq∞2B ⇒ V B = Wq∞2B
pero :
W∞B =VB .q2
pero
VB = 4πε1 o
q1
r
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Potencial Eléctrico
W∞B = 4πε1 o
q1 .q 2
r
U = W∞B = 4πε1 o
q1 .q 2
r
La energía representada W∞B se puede considerar como queda almacenada en el sistema q1 + q2 como
Energía Potencial, para sistemas que contienen varias cargas el procedimiento es formando par de cargas
separadamente luego se suman.
U = U 12 + U 13 + U 23
U = 4πε1 o .( q1r12.q2 +
q1 . q3
r13
+ q2r23.q3 )
Problemas:
1.- Determinar el potencial eléctrico para mover una partícula de
carga Q del infinito al punto A
Solución.
Retomamos como el potencial eléctrico para el punto VAB el cual era:
Por lo que en este caso el punto inicial
Lo cual obviamente solo es un límite y por lo tanto
Por ser una ecuación muy utilizada deberá de tenerse presente el hecho del cual se ha partido y por lo
tanto tener siempre la consideración de que el potencial se calculado es para trasladar una carga Q
desde el infinito a un punto.
2.- Determina la carga de una partícula puntual sometida a un potencial eléctrico de una carga de 127V
situada 20cm.
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
Solución. Sabemos que el potencial eléctrico de una partícula esta determinado por:
por lo que despejando tendremos:
Sustituyendo obtendremos:
3.- Determinar como es el potencial eléctrico en un punto cualquiera.
El potencial en el punto P esta determinado por:
si consideramos que existe la posibilidad, en la mayoría de dipolos en la naturaleza, de tener el punto
P lejos del dipolo, entonces
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
ya que podemos casi formar un triangulo rectángulo donde
por lo que el potencial del dipolo lo podemos expresar como:
Podemos ver que cuando el ángulo es a 90° el potencial es V=0
4.
Calcular el potencial para un condensador de placas paralelas
Sabemos del ejercicio
por:
que el campo para un condensador de placas paralelas esta determinado
donde Q es la carga del condensador, con densidad de carga uniforme; E es el campo eléctrico y A es el
área de la placa positiva del condensador de placas paralelas; sabemos que el aN es normal a la
superficie del condensador. Por otro lado, de la definición de potencial eléctrico:
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Potencial Eléctrico
5.- Un electrón es lanzado con una velocidad de 2x106 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico
uniforme de 5000 V/m. Determinar:
a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0.5x106 m/s
b) La variación de energía potencial que ha experimentado en ese recorrido.
Solución:
Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctrico que le va frenando:
m.a=q.E
→
a=q.E/m
a = 1.6x10-19 x 5000 / 9.1x10-31 = 8'79x1014 m/s2
Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son:
v = vo - a . t
→
t = (vo - v) / a = ( 2x106 – 0.5x106 ) / 8.79x1014 = 1'7x10-9 s
e = vo . t - a . t2 /2 = 2x106 x1'7x10-9 - 8'79x1014 x (1.7x10-9 )2 / 2 = 0.0021 m
La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es:
VA - VB = E . d = 5000x0.0021 = 10.5 Voltios
La variación de energía potencial será:
EpA - EpB = q x (VA - VB ) = - 1.6 x 10-19 . 10x5 = - 1.68x10-18 Julios
6.- Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en
los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.
a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?
b)
¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad
desde el punto (1,O) al punto (-1,0)?
Solución:
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados
fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los campos forman
ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el segmento AB.
Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos
campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de
coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmento de
coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo:
Campo creado en P por la carga situada en A:
E = K. q /(5+x)2
Campo creado en P por la carga situada en B:
E = K. q /(5-x)2
Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo:
K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2
→
(5+x)2 = (5-x)2
→
x=0
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la
diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la
d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las
posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto el
trabajo es nulo:
W = q. ( V1 - V2 )
V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9x109 x2x10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7.5x106 Voltios
V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9x109 x 2x10-3 .( 1 /6 + 1 /4) = 7.5x106 Voltios
V1 - V2 = 7.5x106 – 7.5x106 = 0
→ W = 0 Julios
7.- Dos cargas eléctricas puntuales de +10 m C y - 10 m C están separadas 10 cm. Determinar el campo
y potencial eléctrico en el punto medio de la recta que las une y en un punto equidistante 10 cm de las
cargas.
En el
sentido,
punto C los campos creados por cada carga son iguales en módulo, dirección y
hacia la carga negativa. El campo total será:
E(C,+q) = E(C,-q) = k.q /(a/2)2
E(C) = 2. k.q. 4 / a2 = 8x9x1091x0.10-6 /0.12 = 7.2 N /C
El potencial será:
V(C) = k. q / (a/2) + k.(-q) /(a/2) = 0 Voltios
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Potencial Eléctrico
El punto A y las cargas forman un triángulo equilátero. En el punto A, también por igualdad de datos, los
módulos de los campos son iguales y sus sentidos los del dibujo y el campo total será paralelo a la recta que
une las cargas:
E(A,+q) = E(A,-q) = k.q /a2
El valor de E(A) resulta ser igual al campo creado por una carga por ser el triángulo equilátero:
E(A) = [E(A,+q)2 + E(A,-q)2 - 2. E(A,+q). E(A,-q).cos 60]1/2
E(A) = k.q /a2 = 9.109.x0.10-6 /0.12 = 9x109 N /C
V(A) = k. q /a + k. (-q) /a = 0 Voltios
4.- Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en cm, son:
A (0,2) , B (- 3, -1) , C ( 3, -1)
Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales a 2
de coordenadas (centro del triángulo) es nulo. Determinar:
C y que el campo eléctrico en el origen
a) El valor de la carga situada en el vértice A
b) El potencial en el origen de coordenadas
Solución:
El campo eléctrico a una distancia r de una carga es :
E = [K.Q / r2].u
siendo u el vector unitario en el sentido de la carga al punto
Si el triángulo es equilátero el centro del mismo equidista de los vértices, por lo que el valor de r es el mismo
para las tres cargas. Al mismo tiempo los sentidos de los tres campos en el centro del triángulo forman 120º.
Si el campo total es nulo, si el centro equidista de los vértices y si los campos forman 120º, las tres cargas
deben ser iguales; por tanto el valor de la carga situada en el vértice A es de + 2 C
El potencial en el centro del triángulo será la suma de los potenciales creados por cada carga:
VO = VO,A + VO,B + VO,C
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Potencial Eléctrico
El potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor:
V = K.Q / r
Al tener cada vértice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada carga, se deduce que los potenciales
creados por cada carga son iguales y de valor:
VO,A = VO,B = VO,C = K. Q / r = 9.109 .2.10-6 / 0'02 = 900 000 Voltios
VO = 3 x 900000 = 2 700 000 Voltios
Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triángulo es equilátero y que el centro del
triángulo coincide con el centro de coordenadas, por lo que estos datos son redundantes.
8.- Calcular el campo y el potencial eléctrico producido por un anillo conductor de radio R cargado con
una carga Q, en un punto de su eje perpendicular.
Consideremos un elemento del anillo formado por un arco de apertura d θ . El valor de ese arco será:
dL = R. d θ
y la carga que contiene será:
dq = Q. dL /(2. π .R) = Q. d θ /(2.
π)
El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje perpendicular es:
dE = k. dq / r2 = k. Q. d θ /(2 π r2)
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al
anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en
la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:
dEz = dE . sen
θ
= [ k. Q. d θ /(2.
π . r2) ]. (z / r) =
El campo total producido por el anillo será la integral respecto a
Ez =
∫ dE
2
=
θ
∫ KQZdθ /(2. π . r ) = k. Q. z /
3
k. Q. z. d θ /(2.
entre 0 y 2.
π
π . r3)
:
r3 = k. Q. z / (z2 + R2)3/2
El potencial creado por el elemento de anillo será:
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Potencial Eléctrico
dVz = k. dq /r = k. Q. d θ /(2.
π . r)
El potencial total se obtiene integrando la expresión anterior:
∫
Vz =
k. Q. d θ /(2.
π . r) = k. Q / r = k. Q / (z2 + R2)1/2
9.- Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga
Determinar el campo eléctrico y el potencial en un unto del eje perpendicular.
σ
C/m2.
Consideremos un elemento de superficie formado por un sector de apertura d θ de una corona circular de
radios r y r + dr . El valor de esa superficie será:
ds = r. d θ .dr
y la carga que contiene será:
dq = σ . dS = σ . r. d θ .dr
Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo eléctrico de valor:
dE = k. dq /u2
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al
anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en
la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:
dEz = dE . sen
θ
= (k. dq /u2). (z /u) = k. z. dq /u3 = k. z.
σ . r. d θ
El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2 π ., respecto a
la variable r:
Ez =
∫ ∫
dEz =
∫ ∫
k. z.
σ . r. d θ .dr /(z2 + r2)3/2 = k. z.
. 2.
.
.dr /(z2 + r2)3/2
θ
, y desde 0 a R, respecto a
r. dr /(z2 + r2)3/2 = -
. . k. z. (z2 + r2)-1/2
]0R
Ez =
. . k. z. [z-1 - (z2 + R2)-1/2 ] =
. . k. [1 - z. (z2 + R2)-1/2 ]
El potencial en el punto debido al elemento de carga es:
dVz = k. dq /u = k.
. r. d
.dr / (z2 + r2)1/2
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Potencial Eléctrico
el potencial total se obtendrá integrando dos veces entre los mismos límites:
Vz = k.
. 2.
.
r. dr /(z2 + r2)1/2 = k.
Vz = k.
. 2.
. 2.
.[(z2 + r2)1/2 ]0R
. [ (z2 + R2)1/2 - z ]
10 .- En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eléctricas de +125 m C.
Determinar el campo eléctrico en el cuarto vértice y el trabajo necesario para trasladar una carga de - 10
m C desde ese vértice al centro del cuadrado.
El campo producido en D será la suma vectorial de los campos creados por cada carga:
EC = EA = k.q / a2
EB = k. q / (a2 + a2)
El campo resultante tendrá la dirección y sentido de EB y valdrá:
E = EB + (EA2 + EC2)1/2 = k. q /(2.a2) + (2. k2. q2. / a4)1/2
E = k. q. (1 / 2 + 21/2) / a2 = 9.109. 125.10-6. (1 / 2 + 21/2) / 0.42 = 1.35x107 N /C
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es la carga por la d.d.p. entre los puntos:
El potencial en un punto es la suma de los potenciales creados por cada carga:
V(D) = k. q / a + k . q. /a + k. q. /(a2 + a2)1/2 = + k. q. (2 + 1 / 21/2) / a
V(D) = 9.109x 125.10-6. (2 + 1 /21/2) / 0.4 = 7613738 Voltios
V(O) = 3. k. q. /( a / 21/2) = 3x 9.109. 125.10-6x 21/2 / 0.4 = 11932427 Voltios
W = q' (V(O) - V(D)) = - 10x10-6. ( 11932427 - 7613738 ) = 43'2 J
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Potencial Eléctrico
Problemas propuestos:
1.-Las tres placas metálicas mostradas, están cada una separadas por una distancia “b” si las cargas sobre las
placas son ± σ como se indica. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos placas?
2.- Una esfera metálica de radio R1 con potencial V1, se rodea con una envoltura esférica conductora de radio
R2 sin carga. Como varía el potencial de la esfera después de estar durante cierto tiempo conectado con la
envoltura.
3.-Un cilindro infinito de radio “a” tiene una carga por unidad de volumen
ρ 0 . Demuestre que el potencial
a una
distancia “r” del eje del cilindro es :
{− r2 , r ≤ a
2
ρ
Vr = 2εo
o
⎧ a2
⎛r⎞
− a 2 ln⎜ ⎟, r ≥ a
⎨−
⎝a⎠
⎩ 2
A condiciones de que Vo = 0
4.-Dos esferas metálicas, concéntricas y finas, de radios R1 y R2 donde R1 < R2 , poseen cargas Q1 y Q2 ,
respectivamente. Hallar la energía de este sistema de cargas, para el caso del condensador esférico.
5.- Dos pequeñas esferas conductoras cargadas de radio “r” , están situadas en la distancia R una de otra .
Estas dos esferas se conectan por turnos a tierra durante cierto tiempo. Hallar el potencial de la esfera que se
conectó primeramente a tierra, si la carga inicial de cada esfera era “q”.
6.- Dos esferas pequeñas conductoras , de radio “r” , están situados a la distancia R una de otra. Estas esferas
se conectan por turno a tierra durante cierto tiempo. Hallar la carga que queda en la esfera, que se conectó a
tierra en segundo lugar, si inicialmente cada esfera tenía el potencial V.
7.-Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R , cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y –q .
Calcular la diferencia de potencial entre sus centros siendo la distancia entre ellos igual a “a”.
8.- Hallar el potencial y el campo eléctrico en el centro de una semiesfera de radio R , cargada uniformemente
con una densidad superficial de la carga. σ .
9.- Una carga laminar uniforme con λ = 2nc/m yace en el plano z= 0 paralelo al eje x en y = 3m . Halle la
diferencia de potencial VAB para los puntos A(2,0,4)m y B(0,0,0)m
10.- Un disco circular de radio Ro tiene una carga por unidad de área σ . Que cantidad de trabajo se requiere
para llevar una partícula de carga qo de un punto en el eje del disco y a una distancia z de su plano a:
a).- El punto en el eje a una distancia z del otro lado del disco.
b).- El centro del disco.
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Potencial Eléctrico
11.-Una esfera conductora “S” de radio “a” está rodeada de otra esfera hueca conductora “S1” de Radio “b” , de
espesor despreciable. Las dos esferas están sin carga eléctrica. Si luego S1 Se mantiene a un potencial V1 Y S
a tierra, hallar la carga “Q” de la esfera “S” (V1= 400V, b= 1m, a= 0.5m)
S2
a
S
b
V1
12.- Dos esferas conductoras de radio 6 cm están unidas mediante un hilo metálico largo delgado y cargados
a un potencial de 100 voltios. Una esfera hueca y conductora de 15 cm de radio se divide en dos hemisferios y
se colocan concéntricamente alrededor de una de las esferas y a tierra. El alambre que une las esferas pasa
por un hueco de uno de los hemisferios. Hallar el potencial final de los dos conductores.
a
b
a
13.- Demostrar que el potencial en el punto P es: Vr =
1
4πε
(
P .U
r2
) ; r >>b
14.-Una varilla no conductora tiene una densidad lineal de carga constante λ = 2X10-6 C/m y forma ¾ de la
circunferencia de radio R = 1 m . Hallar el potencial eléctrico en el centro de la circunferencia.
15.-Sea R1 = 10 cm y R2 = 20 cm los radios de una esfera, , muy alejados después de conectar a la esferas
con el alambre delgado , se coloca una carga de 1x 10-8 C en la esfera pequeña y la grande no tiene carga.
Calcular a).-La Carga, b).- Potencial de cada esfera; una vez que se la ha conectado.
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Potencial Eléctrico
16.- Determine el trabajo realizado, en
⎯⎯→
existe un campo eléctrico
µ J, al trasladar una carga puntual qo = 50 µ C en una región donde
⎯⎯→
⎯⎯→
E = (5X –Y) i + 10X j , N/C siguiendo las trayectorias: a).- T1 = ABC , b).- AC
c).- ¿Es conservativo el campo?
17.- Se tiene una esfera metálica maciza de radio “a” cargada con Q = 5x10-8 C, rodeada por un cascarón
esférico conductor, cargado con +2Q, de espesor despreciable y de radio interno “b” . Luego se une la esfera de
radio “a” a otra esfera de radio “c” también conductora, mediante un hilo metálico muy largo, atravesando el
cascaron esférico por un agujero muy pequeño. Calcular la carga y potencial de la esfera de radio “c”.
a = 5 cm
b = 10 cm
c = 3 cm
a
b
c
18.- La figura muestra un dipolo eléctrico ± q de L = 2a . Demostrar que el campo eléctrico en un punto P ,
p
alejado del dipolo , a partir del potencial eléctrico, cuando x =0 es : Ey = 2πε ( 13 ) , donde p = qL , r >> L
y
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Potencial Eléctrico
19.- Un conductor esférico de radio “a” = 50cm tiene una carga Qa = 5x10-8C , se encuentra en el interior de una
esfera conductora hueca de radio b = 100cm . Esta última se halla conectad a tierra a través de una batería
de diferencia de potencial V = 100voltios. Hallar el potencial a una distancia r del centro de la esfera . si : r =
25cm , r = 75cm y r = 150cm.
20.-Se establece una diferencia de potencial de 1600 voltios entre dos placas paralelas separadas 4cm. Un
electrón se libera de la placa negativa en el mismo instante en que un protón se libera de la placa positiva. A).¿A qué distancia de la placa positiva se cruzan? b).- Comparar sus velocidades cuando inciden sobre las
placas opuestas.
21.- El potencial V del dipolo de la figura para el punto P(x,y) con y= 0.64 m está dado por : V = 10-5yr-3..
⎯⎯→
Calcular el vector
E en dicho punto si : r = 1 mt.
22.- Una esfera metálica hueca S1 de radio “a” , está rodeada por un cascarón S2 de espesor despreciable
aunque finito de radio interno “b” . S2 está puesto a tierra y S1 es :
V ε a.b
σ = 12 ( b − a ) ; Hallar σ si :
a
V1 =200 Voltios , b = 2a = 1.00m
23.- Demuestre que la componente horizontal del campo eléctrico E en puntos P (x,y), a partir del potencial
eléctrico, debido al dipolo de momento p= 2aq es :
Ex = (
1
4πε
)(
3 pxy
(x 2 + y 2 )5
)
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
24.-Una región de espacio está caracterizado po un Potencial Vx = - 80e-0.1X Voltios , en donde X está en
metros. El potencial es independiente de Z y de X . Un protón se halla inicialmente en reposo en el punto X =
−19
10m , y = z = 0. Hallar su velocidad cuando llegue al punto X = 2.0m , y = z = 0 + e = 1.6 x10 C
mp = 1.67 x10 −27 kg
25.- La figura muestra tres cascarones esféricos de radios a = 20 cm , b = 40 cm , c= 60 cm . Inicialmente el
cascarón de radio “a” no tiene carga pero si “b” y “c” con Qb =40 µ C y Qc = 30 µ C . Las esferas de radio a y b
están conectados por medio de un alambre que pasa a través de un agujero en el cascarón de radio c. Hallar la
carga final en el cascaron “a” cuando se cierra el interruptor S . Las esferas a y b están muy alejadas.
26.-El hilo AB de longitud L1 tiene distribuida uniformemente una carga –Q1 , el hilo OC tiene distribuido
uniformemente una carga +Q2 . Si la longitud de OC es L2 , Hallar : a).- Potencial Eléctrico en el punto P ( L1 =
L2, a = L/2) b).- El trabajo desarrollado por una fuerza para traer una carga –Q3 desde el infinito hasta el punto
P.
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
27.- Un electrón gira entre dos cilindros con una trayectoria circular de radio R , concéntricos a ellos . ¿Cual
debe ser su Energía cinética Ek?
28.-Se tiene dos conductores concéntricos de radios a y b (b>a) y con cargas Q1 y Q2 a).- Calcular el
potencial para diversas posiciones de “r” b).- Cuales son los valores de los potenciales en estos mismos puntos,
si la esfera exterior se conecta a tierra.
29.-En cierta región el potencial está dado por
V = 250 ( x2 + y2)-1/2 Voltios. Determine
⎯⎯→
E
(en Volt/mt)
en el punto P (3;4), estando las coordenadas en mts.
30.- Calcular la velocidad aproximada del electrón al incidir en el punto A si ha partido en B. La diferencia de
potencial entre cilindros coaxiales es 1000voltios. ( m = 9.1 x 10-31 Kg, e =1.6 x10-19 C)
A
B
31.- Se tiene un cubo de arista “a” en los vértices del cubo estan situados acho cargas positivas de igual valor
“q” . Hallar el trabajo W necesario para traer dedede el infinito una novena carga igual a “q” y ubicarlo en el
centro del cubo. a = 1 m, q = e
32.- Una región esférica de radio “a” se desea llenar con cargas igualmente distribuidas con densidad cúbica de
a = 0.2 m
“ ρ ” Coul/m3 . Hallar el trabajo correspondiente. ρ = 5x10-6 C/m3 ,
33.- Dadas dos esferas conductoras fijas hallar el trabajo de la fuerza externa para mover una carga de 10-4 C
desde A hacia B
Ing. Magno Cuba Atahua
Potencial Eléctrico
34.- Una esfera metálica de radio R1 = 30 cm, cargado hasta el potencial V0 =200Voltios , está rodeado por una
envoltura esférica conductora cargada y concéntrica de radio R2 = 60 cm.
a).- ¿Cuál es el potencial del cascarón esférico?
b).- ¿ Cual será el potencial de la esfera si conectamos a tierra la envoltura exterior?.
10 −4 C
35.-Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga unifórmenle distribuida por
todo su volumen con una densidad de 4 10-5/ C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio
cargada con -4 10-9 C.
•
•
Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r<1, 1< r<3 ,
3<r<5, r>5. Indíquese la dirección y sentido del campo
Dibujar una gráfica de la intensidad del campo en función de la distancia radial.
Calcular el potencial del centro de la esfera conductora
36.- Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero tiene un radio de 2
cm y está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de 4/ 10-6 C/m3. El hueco de radio
interior 5 cm y de radio exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de -9 10-9
C/m.
•
•
Determinar, de forma razonada, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones: r<2, 2<r<5,
5<r<8, r>8 cm.
Representar el campo en función de la distancia radial.
Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje de los cilindros y otro situado a 15 cm del
mismo, a lo largo de la dirección radial.
Ing. Magno Cuba Atahua