TEMA 1_Soluciones

EL NÚMERO REAL
1
1.- LOS NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES
1- Indicar a qué conjuntos ( Ν, Ζ, Q , R ) pertenecen los siguientes números:
⌢
-2 ; 3; -4/ 5; 16/ 4; 4´31; − 25 ; 3 − 4 ; 3´ 6 ; π - 4 ; 18/ 5 ; 18´4
Ν
3 ; 16/ 4
Ζ
Q
-2 ; − 25
⌢
-4/ 5 ; 3´ 6 ; 4´31 ; 18´4 ; 18/ 5
R
3
−4 ; π-4
2.- Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales:
3
−8 ;
2;
Q
3
1
2π ;
−8 ;
3
2 4;
2
; 1,455555…
3
2 4 ; 2/3 ; 1,455555…
2 ; 2π ;
I
;
1
3
3.- Entre los dos números dados sitúa un número irracional:
a) 2 y 3 ⇒
c)
π
3
b) 2 2 y 4 2 ⇒ 3 2
2
y π ⇒
2π
3
d)
2 y
5 ⇒
3
2.- APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL
1.- Indica si las siguientes aproximaciones de
a) 2,2
b)
c) 2,24
5 = 2,23606797... lo son por defecto o por exceso:
d) 2,236
Por defecto
2,2 ; 2,23 ; 2,236
Por exceso
2,24 ; 2,23607
e) 2,23607
2.-Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso a la primera cifra decimal de los siguientes
números e indica después cuál de las dos aproximaciones constituye su redondeo a las décimas:
a) 6,23
b) 7,28
c) 0,55
d) 52,471
e) 2, 7ˆ
Número
Aproximación por
defecto
Aproximación por
exceso
Redondeo a la décimas
6,23
6,2
6,3
6,2
7,28
7,2
7,3
0,55
0,5
0,6
0,5 – 0,6
52,471
52,4
52,5
52,5
2, 7̂
2,7
2,8
2,8
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EL NÚMERO REAL
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3.- Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son
por defecto y cuáles por exceso:
a)
35
8
b) 13,4972
c)
d)
7
Número
Redondeo a la centésimas
Aproximación
35/8
4,38
Por exceso
13,4972
13,50
Por exceso
7
2,65
Por exceso
37
6,08
Por defecto
37
4.-Redondea los siguientes números hasta las centésimas y acota, en cada caso, los errores
absolutos cometidos:
⌢
⌢
a) 12,30412
b) 102,34537
c) 6,034511
d) 1´6
e) 5
f) 17´23
Número
Redondeo a la centésimas
Cota error absoluto
12,30412
12,30
12,30412 – 12,3 =0,00412 < 10- 2
102,34537
102,35
| 102,34537 – 102,35 | = 0,00463 < 10- 2
6,034511
6,03
6,034511 – 6,03 = 0,004511 < 10- 2
⌢
1´ 6
1,67
1,67 – 1´ 6 < 0,0033… < 10- 2
5
2,24
2,24 –
⌢
17 ´ 23
⌢
5 = 0,0039… < 10
-2
17,23 – 17 ´ 23 = 0,003333…< 10-2
⌢
17,23
5.- Aproxima los siguientes números de forma que el error absoluto sea inferior a lo que se indica en
cada caso:
a) 7,0852 e = 0,001
b) 4,2785 e = 0,01
a) Aproximación: 7,085
Error absoluto: | 7,0852 - 7,085 | = 0,0002
b) Aproximación: 4,28
Error absoluto: | 4,2785 - 4,28 | = 0,0015
6.-Si quieres tomar
11 = 3,3166247... con tres cifras decimales, cometiendo el menor error posible,
¿qué aproximación debes tomar?
La aproximación es 3,317
| 11 - 3,317 | = 0,00037…
| 11 - 3,316 | = 0,00062…
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EL NÚMERO REAL
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7.- Juan y Luisa han obtenido la expresión decimal 20,47813 como solución de un ejercicio. Juan
redondea a la primera cifra decimal, mientras que Luis prefiere hacerlo a la tercera cifra decimal.
¿Cuál es el error absoluto, el relativo y el porcentual que comete cada uno de ellos?
Aproximación a la décima
Error absoluto
Error relativo
Error porcentual
20,5
|20,47813 – 20, 5| = 0,02187
0, 02187
= 0,001067
20, 47813
0,1%
Aproximación a la milésima
Error absoluto
Error relativo
Error porcentual
20,478
|20,47813 – 20, 478| =
0,00013
0, 00013
= 0,000006
20, 47813
0,0006%
8.- En una tienda de tejidos tienen un metro defectuoso, en lugar de medir 1 m mide 987 mm.
¿Cuánta tela de menos le han dado a una señora que ha comprado 16 m de un tejido cuyo precio es
de 12,75 €/m? ¿Cuál ha sido la cantidad de dinero cobrado de más?
Por cada metro le da 13 mm menos de tela ⇒ En 16 m le da 208 mm = 0,208 m menos
Le han cobrado de más: 0,208 · 12,75 = 2,652 €
9.- Al medir un puente con una cinta métrica, se comete un error absoluto menor que 0,5 cm,
mientras que al determinar la longitud de un lápiz con una regla, se comete un error absoluto inferior
a 1 mm. Se sabe que las medidas exactas del puente y del lápiz son, respectivamente, 54,45 m y
18,50 cm. ¿qué medida es más exacta?
Error absoluto en el puente < 5 mm ⇒ Error relativo:
Error absoluto en el lápiz < 1 mm ⇒ Error relativo:
5
= 0,00009182 < 10-4
54450
1
= 0,005405 < 10-2
185
Es más exacta la del puente porque el error relativo es inferior
3.- VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
1.- Halla los siguientes valores absolutos:
a) | 4 - | 5 – 7| |
| 4 - | 5 – 7| | = | 4 - 2 | = 2
b)
|2·|7–3|-5·|4-1|-3|
| 2 · | 7 – 3 | - 5 · | 4 - 1 | - 3 | = | 2 · 4 - 5 · 3 - 3 | = | 8 - 15 - 3 | = | -10 | = 10
c)
5
2 1
-1 - 4
3 2
5
2 1
1 1
1
−1 − − = − =
4
3 2
4 6 12
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EL NÚMERO REAL
d)
4
5
6 9
−3 − −
2
5 4
5
6 9
1
21
1 21 10 − 63
53
−3 − − = − − −
= −
=
=−
2
5 4
6
20
6 20
60
60
e)
1 1
5
− + 2· − 1
2 3
6
1 1
5
1
2
1 2 5
− + 2· − 1 =
+
= + =
2 3
6
6
3
6 3 6
f) 8 −
2
7
+
−4
3
6
8−
2
7
22
17
22 17 61
+
−4 =
+ −
=
+
=
3
6
3
6
3
6
6
2.- Representa en una recta los conjuntos de números siguientes:
a)
|x|=3
-3
c)
b)
3
-2
| x| ≤ 5
-5
|x|<2
d)
2
|x|>4
-4
5
4
3.- Clasifica las siguientes igualdades según sean verdaderas o falsas.
a) |-2| = 2
Verdadera
b) | 4 – 12 | = | 4 | - | 12 |
Falsa: | 4 – 12 |= |-8| = 8 mientras que | 4 | - | 12 | = 4 – 12 = -8
c) | 15 – 6 | = | 15 | - | 6 |
Verdadera
d) | -3 · 6 | = | -3 | · | 6 |
Falsa: | - 3 · 6 |= |- 18| = 18 mientras que | -3 |· | 6 | = 3 · 6 = 18
e) | 3 – 9 | = | | 3 | - | 9 | |
Verdadera
f) | 8 + 3 | = | 8 | + | 3 |
Verdadera
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EL NÚMERO REAL
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4.- ORDEN EN ℜ. DESIGUALDADES NUMÉRICAS. INTERVALOS.
1.- Indica cuáles de los siguientes números están en el intervalo (-1,6]:
-2
-1
0
15
6
5
-0´8
26
37
3 8
3
Los números de dicho intervalo son aquellos valores x que verifican -1 < x ≤ 6
Luego están en dicho intervalo: 0, 6, -0´8,
5,
26 ,
2.- Indica todos los números que pertenecen a los siguientes intervalos:
a) [3,5)
b) [2,7]
d) [7, +∞
∞)
c) [5, 8)
e) (2,3)
f) (-∞
∞, -4)
a) x ∈ [3,5) ⇔ 3 ≤ x < 5
b) x ∈ [2,7] ⇔ 2 ≤ x ≤ 7
c) x ∈ [5, 8) ⇔ 5 ≤ x < 8
d) x ∈ [7, +∞) ⇔ x ≥ 7
e) x ∈ (2,3) ⇔ 2 < x < 3
f) x ∈ (-∞, -4) ⇔ x < - 4
3.- Escribe con simbología adecuada los siguientes intervalos de números reales:
a) Los números negativos mayores que –7.
b) Los números positivos menores o iguales que 5.
c) Los números comprendidos entre –2 y 9, ambos incluidos.
d) Los números menores que 10 y mayores o iguales que –3.
e) Los números cuyo valor absoluto es menor que 3.
a) (7, +∞)
b) (-∞, 5]
c) [-2,9]
d) [-3,10)
e) |x| < 3 ⇔ (-3,3)
4.- Escribe, mediante intervalos, los posibles valores de x para que las siguientes expresiones
tengan sentido real:
1
2
1
a)
x −3
b) 5 + x
c)
d)
e) 2
x+3
x−2
x −4
a) x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ⇒ x ∈ [3, +∞)
b) 5 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -5 ⇒ x ∈ [-5, +∞)
c) x – 2 ≠ 0 ⇒ x≠ 2 ⇒ x ∈ (- ∞. 2) ∪ (2, +∞), o bien, R - {2}
d) x + 3 ≠ 0 ⇒ x≠ 3 ⇒ x ∈ (- ∞. 3) ∪ (3, +∞), o bien, R - {3}
e) x2 – 4 ≠ 0 ⇒ x≠ 2 y x≠ - 2 ⇒ R - {± 2}
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EL NÚMERO REAL
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5.- Halla la intersección de los siguientes intervalos:
a) (1,3] ∩ [2,4]
b) [0,4] ∩ (2, 7)
c) (-∞
∞,8) ∩ [4, ∞)
d) (1,2) ∩ (-4, ∞)
e) (-∞
∞, 3) ∩ [-4, ∞)
f) [-10,10) ∩ [-3, 4]
a) (1,3] ∩ [2,4] = [2, 3]
b) [0,4] ∩ (2, 7) = (2,4]
c) (-∞,8) ∩ [4, ∞) = [4, 8)
d) (1,2) ∩ (-4, ∞) = (1,2)
e) (-∞, 3) ∩ [-4, ∞) = [- 4, 3)
f) [-10,10) ∩ [-3, 4] = [-3, 4]
6.- Halla la unión de cada dos intervalos del ejercicio anterior.
a) (1,3] ∪ [2,4] = (1, 4]
b) [0,4] ∪ (2, 7) = [0, 7)
c) (-∞
∞, 8) ∪ [4, ∞) = R
d) (1,2) ∪ (-4, ∞) = (-4, ∞)
e) (-∞
∞, 3) ∪ [-4, ∞) = R
f) [-10,10) ∪ [-3, 4] = [-10,10)
7.- Representa en la recta real los siguientes conjuntos de números:
a) | x | = 4
b) | x | < 3
a) | x | = 4
c)  x
≤7
d) | x | ≥ 2
b) | x | < 3
-4
4
c) | x| ≤ 7
-3
3
d) | x | > 2
-7
-2
7
2
2 8
8.- Dado el intervalo  ,  , se pide:
5 3
a) Hallar un número entero, uno racional y uno irracional que pertenezca a dicho intervalo.
b) Calcular el punto medio de dicho intervalo.
c) Calcular la distancia entre el punto medio y uno de los extremos.
1 4
a) Número racional: ,
2 5
Número irracional:
b) El punto medio:
c)
5,
2
1  2 8  1 46 23
=
 + = ·
2  5 3  2 15 15
23 2 17
− =
15 5 15
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