Dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2, son perpendiculares si y

Teorema de las pendientes de rectas
perpendiculares
Dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2,
son perpendiculares si y sólo si
m1m2 =-1
Demostración
Para simplificar, se tomará el caso especial de dos rectas que se
intersecan en el origen 0, como se ve en la figura. Sus
ecuaciones son y = m1x y y = m2 x. Si, como en la figura, se
escogen los puntos A(x1, m1 x1) y B(x2, m2 x2) distintos de 0 en
las rectas, entonces éstas serán perpendiculares si y sólo si el
ángulo A0B es recto.
Por el teorema de Pitágoras, se tiene que dicho ángulo es de 90°
solamente cuando
[d(A,B)]2 = [d(0,B)]2 +[d(0,A)]2
o bien, según la fórmula de la distancia,
(x2 - x1)2 + (m2x2 - m1x1)2 = x22+ (m2x2)2 + x12 + (m1x1)2.
Elevando los términos al cuadrado, simplificando y factorizando,
se tiene
-2m1m2x1x2 - 2x1x2 = 0
-2x1x2(m1m2 + 1) = 0.
Ya que tanto x1 como x2 son distintos de cero a la vez, se dividen
ambos miembros entre -2x1 x2, con lo cual se obtiene
m1 m2 + 1 = 0. Así que las rectas son perpendiculares si y sólo si
m1m2= -1.
El mismo tipo de demostración se puede efectuar si las rectas se
intersecan en cualquier punto(a , b).
Una manera cómoda de recordar las condiciones de las
pendientes de rectas perpendiculares es notar que m1 y m2 deben
ser recíprocas negativas entre sí; es decir, que m1 = -1/m2, y que
m2 = -1/m1.