CEPRE-UNAM-2015 JUEVES 13-11-14 DIVISIBILIDAD ¿Cuáles son los múltiplos de 8? INTRODUCCIÓN La suma, diferencia y producto de dos números enteros resulta siempre enteros. Es lo que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado” de números enteros, refiriéndose a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Pero referido a la operación de división, este conjunto deja de ser cerrado: hablando en general, el cociente de la división de un entero por otro puede no ser entero. Al expresar “número” vamos a entender siempre, si no se dice lo contrario, que es entero. En la lectura “La Herencia” el número de camellos ¿se podía dividir exactamente entre 2? Rpta.: _____________ DIVISIÓN Si un número A se puede dividir exactamente entre otro B se dice que: “A es divisible por B”. Ejemplo: ¿Entre qué números exactamente se puede dividir 24 aparte del 1? 2 24 3 24 4 24 6 24 12 24 8 24 6 24 4 0 0 2 = 8 x = 8 x = 8 x = Textualmente se tiene Notación Simbólica “A es múltiplo de B” A= B Los términos divisible y múltiplo están siempre asociados. 0 24 8 24 12 24 24 24 3 24 3 24 1 0 8 x NOTA: Una característica de la matemática es su lenguaje simbólico, lo cual permite resumir considerablemente lo que textualmente sería un poco difícil de entender. 64 0 1 = 8 OBSERVACIÓN: 24 0 8 x 8 0 24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 ¿Entre que números es divisible 16? 16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____ porque: 16 16 16 16 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD I. DIVISIBILIDAD POR 2 Divisibilidad por 2 = (21) Calcula el residuo de las divisiones: siguientes 47 2 = _______ resto ________ 24 2 = _______ resto ________ 320 2 = _______ resto ________ 0 Prof. Roberto W. Ramirez Q. [email protected] CEPRE-UNAM-2015 JUEVES 13-11-14 Un número es divisible por 2 si termina en _____________ o en número _________ Divisibilidad por 8 = (2 3 ) Es divisible por 8 cuando sus _________ Ejm: últimas 46 es divisible por 2 46 es múltiplo de 2 cifras son ____________ o múltiplo de _______________ 46 = 2 ¿ 48ab35ab 128 87 no es divisible por 2 porque resta _______________ 87 se puede dividir entre 2 con resto _______________ 87 es múltiplo de 2 con resto _______________ es divisible por 8? Si, porque 128 8 = __________, residuo _________ ¿36894 211 es divisible por 8? ______, porque 211 8 = _______ resto ________ 87 = 2 + resto 59 _______ divisible por 2 porque resta 36894211 = 8 + _______ ___________ 59 = 2 II. DIVISIBILIDAD POR 5n + 63 ________ divisible por 2 porque resta ¿En qué cifra debe terminar un número para que sea divisible por 5? ____________ 63 = Divisibilidad por 5 = (51) 2 + Veamos: 120 5 resto ____________ 241 5 resto ____________ 482 5 resto ____________ Un número es divisible por 4 si sus _____ 633 5 resto ____________ últimas ________ son ___________ o 684 5 resto ____________ múltiplo de ___________. 905 5 resto ____________ Divisibilidad por 4 = (2 2 ) Ejm: Para que un número sea divisible por 5 su ¿ abc4 84 es divisible por 4? última _________ debe ser _________ o Si, porque: 84 es múltiplo de 4 _____________ abc484 4 120 = 5 ¿231 25 es divisible por 4? No, porque 25 no es múltiplo de 4 241 = 5 + 1 25 = 4 con resto _____ 23125 = 4 con resto _____ = 633 = 5 + 684 = 5 + 482 = 5 + 23125 = 4 + _____ Prof. Roberto W. Ramirez Q. 905 = 5 + [email protected] CEPRE-UNAM-2015 JUEVES 13-11-14 Divisibilidad por 25 = ( 5 2 31 = 3 + ) = 368851 = 3 + Un número es divisible por 25 cuando sus _______________ cifras son ________ o múltiplos de ___________. Ejem: abc00 es divisible por 25 porque sus 2 últimas cifras son ___________ Un número es divisible por 9 si la __________ de sus ________ es ________ de 9. Ejm: ¿48575 es divisible por 25? ________ porque 75 ________ múltiplo de 25. ¿Cuál es el resto en: 48abc28 25 + resto? Rpta.: _____________ ¿Cuándo un número será divisible por 125 = 53? Rpta.: _____________ ¿4329918 es divisible por 9? Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36 9 = 4 4329918 = 9 ¿72652 es divisible por 9? No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 22 9 = ______ resto ______ 22 = 9 + = 72652 = 9 + III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Un número es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es ___________ de 3. Ejm: ¿48651 es divisible por 3? Solución: 4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es múltiplo de 3 48651 es divisible por 3 IV. DIVISIBILIDAD POR 11 ¿84436 es divisible por 11? ¿Cómo saberlo? PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 8 4 4 3 6 48651 = 3 ¿352164 es divisible por 3? 3+5+2+1+6+4= 6+4+8 PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron. ______ múltiplo de 3 352164 __________ divisible por 3. 8 4 4 3 6 = (6 + 4 + 8) – (4 + 3) ¿368851 es divisible por 3? No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31 31 3 = ______ resto _____ Prof. Roberto W. Ramirez Q. = 18 – 7 = 11 = 11 84436 es divisible por 11 [email protected] CEPRE-UNAM-2015 JUEVES 13-11-14 Si el resultado fuera cero también será divisible por 11. 3. 483a 25 8 ¿51030507 es divisible por 11? 5 1 0 3 0 5 Hallar “a”, si: a) 4 d) 1 4. a) 0 d) 3 51030507 es divisible por 11 5. Hallar el valor de “a” si: 7a6 3 ¿Cuál es el valor de “a”? y 4bca 5 a) 0 d) 4 Si: 548429 = 11 + a 8 4 2 6. 9 b) 2 e) 5 b3a 11 (9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5) y 4b 5 a) 7 d) 8 17 – 15 = 2 2 11 = ____ resto = + 11 7. Si: b) 5 e) 0 b43b 5 a) 1 d) 4 8. Ejercicios de Aplicación II. 2. ) 2 ) 3 III. 26132 ( ) 5 Colocar verdadero corresponda: (V) o 10. falso (F) según ) El número abba es divisible por 11 ( ) El número ab25 es divisible por 25 ( ) 11. b) 1 e) 4 c) 2 ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 300? b) 33 e) 38 c) 34 ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 564? a) 60 d) 90 El número ab46 es divisible por 4 ( Prof. Roberto W. Ramirez Q. a) 30 d) 37 ( c) 3 Si: 864a 11 a) 0 d) 3 9. 81423 b) 2 e) 5 Calcular el residuo de dividir: dba8 entre 4. Relacione ambas columnas: ( c) 9 Calcular el residuo de dividir: 437b entre 9. a= 4125 c) 3 Hallar el valor de “a” si: I. c) 2 1. b) 1 e) 4 Hallar “a”, si: a36482a 9 2 16 – 5 = 11 = 11 548429 = c) 2 0 7 (7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5) 5 4 b) 3 e) 0 b) 70 e) 100 c) 80 ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 21; 22; 23; … ; 287? a) 29 d) 31 b) 28 e) 32 c) 30 [email protected] CEPRE-UNAM-2015 12. JUEVES 13-11-14 ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 4; 5; 6; 7; … ; 787? a) 70 d) 73 13. b) 71 e) 74 d) 0 6. c) 72 21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)? 14. b) 65 d) 63 e) 62 21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)? b) 11 d) 13 e) 14 2. ) 3 II. 5027 ( ) 4 III. 61602 ( ) 11 a) 0 d) 6 a) 30 d) 33 11. ( ) El número 63851 es divisible por 11. ( ) Hallar “a” si: c) 4 b) 31 e) 34 c) 32 ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 18; 19; 20; 21; … ; 364? a) 40 d) 37 c) 3 a8672a 9 + 4 b) 2 e) 5 c) 3 8a3 9 78a5 25 a) 5 b) 2 Prof. Roberto W. Ramirez Q. b) 146 e) 143 c) 145 12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)? b) 10 e) 13 c) 11 14. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en: 12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)? a) 1 d) 4 Hallar “a” si: c) 38 13. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en: a) 9 d) 12 Hallar “a” si: b) 39 e) 36 12. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 32; 33; 34; … ; 1624? a) 147 d) 144 b) 2 e) 8 b) 2 e) 8 5. Calcular “b” 86325 = 9 + b Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: El número 4624 es divisible por 25. ( ) a) 1 d) 4 10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; … ; 264? 387a 25 + 3 4. ( a) 1 d) 7 c) 2 Si: 64a7 11 c) 12 El número ab65 es divisible por 4. 3. b) 1 e) 5 Calcular el residuo de dividir: db8a entre 4. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Relacione ambas columnas: 1724 a) 0 d) 3 8. Ta rea Domici liaria Nº I. aa63a 8 Si: 431a 4 ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”? a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 9. 1. b2a 9 7. c) 64 ¿Cuántos múltiplos de 15 hay en: a) 10 Hallar el valor de “b” si: ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en: a) 66 e) 6 b) 2 e) 5 c) 3 c) 7 [email protected] III 1768 1780 0a.C. Arquímedes Inicio Rev. Euler de de Túpac nuestra “Arit. Amaru era CEPRE-UNAM-2015 Universal” Prof. Roberto W. Ramirez Q. JUEVES 13-11-14 [email protected]