Utilizaci´on del pie de rey y del palmer Objetivo

Laboratori de
Estàtica i Dinàmica
Utilización del pie de rey y del palmer
Objetivo
Familiarizar al alumno con el uso de estos instrumentos de medida.
Material
Un pie de rey, un palmer y diversos objetos cuyas dimensiones se van medir.
Fundamento teórico
Los instrumentos que se suelen emplear en los laboratorios para medir longitudes dependen del tamaño de los objetos a medir y de la precisión que se requiera. En los casos más simples se suelen
usar las reglas graduadas o las cintas métricas que permiten una precisión del orden del milı́metro. Pero para objetos pequeños y cuyas medidas han de conocerse con mayor precisión (décimas o
centésimas de milı́metro) se recurre a instrumentos especiales que o bien se basan en el principio del
nonius (por ejemplo, el pie de rey) o bien en el del tornillo micrométrico (por ejemplo, el palmer). Si
aún se requiriese más precisión habrı́a que acudir a instrumentos basados en los fenómenos ópticos
de las interferencias. En este apartado vamos a estudiar los fundamentos del nonius y del tornillo
micrométrico.
Fundamento del nonius
El nonius es una pequeña regla graduada móvil que se puede deslizar sobre otra regla mayor o escala
principal sobre la que se efectúa la medida (véase la Fig. 1). El nonius está graduado de tal manera
que, por lo general, N de sus divisiones abarcan N − 1 divisiones de la escala principal; ası́ pues,
cada división del nonius abarca (N − 1)/N divisiones de dicha escala, y por tanto, cada división del
nonius es 1/N veces más corta que las otras. Al producto de este 1/N por la longitud de una división
de la escala principal se le denomina resolución del nonius y la representaremos por r.
Para comprender cómo se efectúa la medida de una longitud con el nonius nos ayudaremos de la Fig.
1. Una vez encajada la pieza cuya longitud L queremos medir entre el ı́ndice de la escala principal y
la del nonius, buscamos el trazo del nonius que coincide con un trazo de la escala. Si M es la lectura
Figura 1: Detalle del nonius
Figura 2: Palmer
en la escala principal del trazo anterior al ı́ndice del nonius, y m es el trazo del nonius que coincide
con uno de la escala, entonces la medida L de la pieza será
L = M + mr
(1)
En el ejemplo de la Fig. 1 20 divisiones (N) del nonius abarcan 19 (N − 1) de la escala principal, por
lo que la resolución es 1/20. Como las divisiones de la escala son en milı́metros
L = 17 + 1/20 × 12 = 17,6 mm.
(2)
Para nuestra comodidad, la doceava lı́nea del nonius está rotulada con un 6. Por lo tanto no es necesario realizar el cálculo anterior cada vez. Podemos considerar que el rótulo de la lı́nea del nonius que
coincide con una lı́nea de la escala principal representa el decimal que tenemos que añadir a la lectura
de la escala principal.
Si no hubiese una coincidencia exacta entre los trazos se tomarı́a aquel del nonius que más se acercara
al de la escala.
Fundamento del tornillo micrométrico
Es un tornillo con un paso de rosca rigurosamente constante. La longitud de la medida vendrá dada por
el número entero n de vueltas que haya dado el tornillo y la fracción f de la última vuelta incompleta.
Para poder determinar f la cabeza del tornillo se une a un tambor circular graduado en N divisiones
(véase la Fig. 3) y para saber en cada momento n a la parte final del tornillo se fija una escala lineal.
En la Fig. 2 se muestra un palmer, instrumento que se basa en un tornillo micrométrico.
Figura 3: Detalle del tambor
Figura 4: Pie de rey
Si el paso de rosca es R, entonces a r = R/N se le denomina resolucion del tornillo, y la medida L
serı́a:
L = nR + f R
(3)
En general, la escala lineal se gradúa de manera que ya dé en milı́metros el producto nR. En el caso
del tambor de la Fig. 3, la medida es
L = 12 + 0,01 × 3 mm
El error de cero
En general, todos los instrumentos de medida de longitudes pueden tener las escalas desplazadas de
forma que aún con una longitud nula éstos marquen una cierta lectura, positiva o negativa, que se
denomina error de cero. Por tanto, para tener la medida correcta habrá que restar de cada lectura el
correspondiente error de cero. (Obsérvese que en el caso del palmer el error de cero puede corregirse;
si ya lo está entonces no hace falta considerarlo).
Instrumento: el pie de rey
El pie de rey o calibre consiste en una regla graduada por lo general en milı́metros (escala principal)
con dos mandı́bulas o piezas metálicas entre las que se coloca la pieza a medir. Una de ellas es fija
mientras que la otra, móvil, lleva un nonius acoplado (véase la Fig. 4 y el pie de rey de que disponga
en la práctica). Ası́ pues, las mediciones que se hacen con el pie de rey se basan en las propiedades
del nonius que hemos visto antes.
Según se trate de medir dimensiones exteriores o interiores se utilizarán unos extremos u otros de
las mandı́bulas. Para poder medir con un pie de rey profundidades de objetos huecos la regla tiene,
además, una guı́a por la que desliza una pieza metálica muy estrecha que puede introducirse en las
oquedades.
Instrumento: el palmer
Es un instrumento que también se emplea para medir dimensiones lineales exteriores de objetos pequeños y que consta de un tornillo micrométrico y una abrazadera (véase la Fig. 2 y el palmer de que
disponga la práctica).
Para medir el espesor de un objeto éste debe colocarse dentro de la abrazadera, entre el tope y el
extremo del tornillo. El avance del tornillo se consigue haciendo girar su cabeza hasta que presione
ligeramente el cuerpo. A continuación no hay más que leer la escala lineal y añadirle la fracción de
la última vuelta incompleta que se haya dado, y que, como ya se ha indicado anteriormente, puede
leerse en el tambor circular.
Método experimental
Pie de rey
En primer lugar determine cuál es la resolución del instrumento y si tiene o no error de cero; si lo
tuviese no olvide tenerlo presente después de cada lectura. A continuación mida las dimensiones de un
cilindro al que se le ha practicado una oquedad en una de sus caras, es decir, su diámetro exterior, su
longitud, la profundidad de la oquedad y el diámetro de la misma. Para ello haga un número suficiente
de medidas de cada magnitud, por ejemplo, seis, en distintos puntos.
Palmer
Halle en primer lugar el paso de rosca del tornillo para poder determinar la resolución del instrumento.
A continuación haga avanzar la punta del tornillo hasta la pieza tope para comprobar si hay error de
cero y en caso afirmativo poder determinarlo.
Con el palmer realice las medidas del diámetro de un hilo de cobre. Para ello tome unas seis medidas
del diámetro en distintos puntos del hilo, colocándolo entre la punta del tornillo y el tope y haciendo
avanzar el tornillo hasta presionar ligeramente, procurando no forzar demasiado para no falsear las
medidas (utilice para ello la carraca del instrumento).
Resultados
Con los datos relativos a los instrumentos y las medidas efectuadas confeccione una tabla para cada
objeto medido en la que quede consignada toda la información disponible: la resolución del instrumento utilizado; su error de cero si lo tiene; los valores medidos de cada magnitud y los correspondientes valores medios y errores. En el caso del cilindro con una oquedad, calcule además su volumen
y el error propagado correspondiente.
Apellidos:
Nombre:
Grupo:
Apellidos:
Nombre:
Fecha:
PRÁCTICA:
Objetivos
Material
Resumen de la práctica
Equipo:
Medidas
Pie de rey
Resolución =
Error de cero =
Realice 6 medidas de cada una de las siguientes magnitudes.
Cilindro con oquedad
D(
<Dt> =
)
L (
)
h(
<L> =
<h> =
Palmer
Paso de rosca =
Error de cero =
Realice 6 medidas de cada una de las siguientes magnitudes.
hilo
d hilo (
<d hilo> =
)
)
d(
<d> =
)
Resultados
Cálculo del error en Dint (pie de rey)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Cálculo del error en Dext (pie de rey)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Resultados
Cálculo del error en L (pie de rey)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Cálculo del error en h (pie de rey)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Resultados
Cálculo del error en d (pie de rey)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Cálculo del error en dhilo (palmer)
Error estadístico:
Error de resolución:
Error total:
Resultados
Volumen del cilindro con oquedad
V =
Cálculo del error en V
Resultados
Resultados finales
Pie de rey
D int =
D ext =
L =
h
=
d =
V =
Palmer
d =
Comentarios
Laboratori de
Fı́sica I
Caiguda lliure
Moviment uniformement accelerat
Objectiu
Estudi de la caiguga lliure. Determinació de l’acceleració de la gravetat.
Material
Bola d’acer gran i petita, mecanisme de llançament, comptador de temps, plataforma de recollida.
Fonament teòric
Un cos de massa m en un camp gravitatori està sotmès a una força F constant:
F = mg
(1)
on g és l’acceleració de la gravetat. Aquesta força constant dóna lloc a un moviment rectilini uniformement accelerat. Si escollim un sistema de coordenades de manera que l’eix y coincideixi amb
la direcció del moviment de la bola i que tingui l’origen de coordenades a la plataforma, podem
expressar l’equació del moviment de la bola com:
a = cte,
(2)
v(t) = v0 + at.
(3)
1
y(t) = y0 + v0 t + at2 ,
2
Finalment, tot imposant les condicions inicials,
(4)
y(0) = h
(5)
vy (0) = 0
(6)
a = −g
(7)
obtenim les expressions:
1
y(t) = h − gt2
2
v(t) = −gt2
(9)
a = g = cte
(10)
(8)
Aquest moviment unidimensional, uniformement accelerat amb acceleració g l’anomenem caiguda
lliure.
Mètode experimental
Col.loqueu el mecanisme de llançament a uns 20 cm de la plataforma de recollida. Col·locar la porta
per contar el temps de manera que la bola travessi el detector fotoelèctric en el seu moviment de
caiguda. Cal mesurar la distància entre el detector fotoelèctric i la part més baixa de la bola.
Aguanteu la bola gran en la posició de llençament tot prement el pulsador. Premeu RESET per
inicialitzar el comptador de temps. En deixar anar el pulsador la bola cau i comença a córrer el temps
en el comptador. Quan la bola travessa el detector fotoelèctric s’atura el comptador de temps.
Mesureu un mı́nim de quatre vegades el temps emprat per la bola a recórrer la distància h. Anoteu la
distància recorreguda i la mitjana dels temps invertits.
Repetiu l’experiencia augmentant 5 cm la distància de la bola a la plataforma.
Realitzeu un total de 8 mesures (per exemple, amb distàncies de 10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm,...).
Repeteix tot el procés amb la bola petita.
Resultats
Amb les dades obtingudes cal que:
1. Construı̈u dues taules amb tres columnes corresponents a la posició inicial de la bola, el temps
i el quadrat del temps invertit en la caiguda per cada bola.
2. Representeu en una mateixa gràfica l’espai recorregut en funció del temps invertit per a cada
bola.
3. Representeu en una mateixa gràfica l’espai recorregut en funció del quadrat del temps invertit
per a cada bola. Observa que el comportament obtingut és lineal.
4. Realitza la corresponent regressió lineal, i calcula l’acceleració del moviment de cada bola a
partir dels coeficients de la regressió lineal (equació 8).
Qüestions
1. Comenta el valor de l’acceleració obtingut.És el mateix per a les dues boles?. És el el comportament esperat?. Quines podrien ser les causes de les possibles discrepàncies?
2. Comenta les gràfiques que has obtingut. Tenen la forma esperada?. S’observen diferències
entre les dues boles?
Problemes
1. Un cotxe viatja de nit a 72 km/h i de sobte troba un camió estacionat a 40 m de distància. Després de 0.5s, que és el temps de reacció del conductor, aquest frena amb la màxima acceleració
negativa de 5 m/s2 . Calculeu:
(a) el temps que triga a aturar-se.
(b) xoca amb el camió?
2. Es dispara un projectil verticalment cap amunt amb velocitat inicial de 100 m/s. Mig segon
després, amb la mateixa arma, es dispara un segon projectil en la mateixa direcció. Determinar:
(a) L’alçada a la que es troben tots dos projectils.
(b) La velocitat de cada un al trobar-se.
(c) El temps transcorregut des del primer tret fins al xoc. Es menyspreen els fregaments.
Apellidos:
Nombre:
Grupo:
Apellidos:
Nombre:
Fecha:
PRÁCTICA:
Objetivos
Material
Resumen de la práctica
Equipo:
Medidas
Error en la medida de t :
(Repite las medidas un mínimo de 4 veces para cada posición y anota sólo el valor medio)
Bola 1:
diámetro =
Posición (
Bola 2:
)
t(
)
t2 ( )
)
t(
)
t2 ( )
diámetro =
Posición (
Resultados
Bola 1: Regresión lineal de la gráfica posición-tiempo2 , y valor de la aceleración.
a=
Bola 2: Regresión lineal de la gráfica posición-tiempo2, y valor de la aceleración.
a=
Laboratori de
Fı́sica I
Carril d’aire (2)
Lleis de Newton
Objectiu
Estudi experimental de la validesa de la primera i segona lleis de Newton.
Material
Carril d’aire amb bomba, lliscador, disparador magnètic, comptador electrònic, dues portes fotoelèctriques, joc de masses.
Fonament teòric
Ja al segle XVII, Isaac Newton (1642-1727), en la seva obra més important, Principis matemàtics
de la filosofia natural (1687), va formular rigorosament les tres lleis fonamentals del moviment: la
primera llei de Newton o llei de la inèrcia, segons la qual tot cos roman en repòs o en moviment
rectilini uniforme si no actua sobre ell cap forca; la segona o principi fonamental de la dinàmica,
segons el qual l’acceleració que experimenta un cos es igual a la forca exercida sobre ell dividida per
la seva massa; i la tercera, que explica que per cada forca o acció exercida per un cos sobre un altre
existeix una reacció igual i de sentit contrari sobre el primer cos.
Aquestes tres lleis permeten, conegudes les forces que actuen sobre una partı́cula i les condicions
inicials del moviment, predir com es mourà el cos en tot moment.
Un cos sotmès a una força constant realitzarà un moviment amb acceleració constant. Aquest és un
dels moviments més fàcils de descriure. Si l’acceleració és constant, llavors podem trobar la velocitat
i la posició de la partı́cula per integració, que vénen donats per:
1
x(t) = x0 + v0 t + at2 ,
(1)
2
v(t) = v0 + at.
(2)
De les equacions anteriors és fàcil deduir una relació entre l’acceleració a del mòbil, la seva velocitat
en passar per dos punts donats v1 i v2 , i la distància de separació entre ells D:
N
T
P2 = m 2 g
T
P1 = m 1 g
Figura 1: Esquema de les forces
lliscador
porta
politja
disparador
bomba
pes
carril
Figura 2: Muntatge experimental
a=
v22 − v12
2D
(3)
Al nostre muntatge experimental, la força ve donada per un pes P1 que penja d’una corda. L’altre
extrem de la corda està unit al lliscador. A la figura 1 es poden veure les forces que actuen sobre el
sistema. Si apliquem la segona llei de Newton:
F = ma
(4)
a cadascun dels dos cossos per separat, tenint en compte que han de tenir la mateixa acceleració,
s’arriba a l’expressió:
P1
a=
.
(5)
m1 + m2
En aquesta pràctica anirem augmentant la força P1 aplicada mantenint constant la massa total m1 +m2 .
Obtindrem aixı́ diferents acceleracions que han d’ajustar-se al que prediu la segona llei de Newton.
Mètode experimental
A la figura 2 es mostra un esquema del muntatge experimental. Per reduir al màxim el fregament del
lliscador es disposa d’un carril d’aire. Per no fer massa soroll, mireu de aturar la bomba d’aire quan
no estigueu fent mesures.
Per iniciar una mesura, enganxa el lliscador amb el disparador magnètic prement l’interruptor corresponent. Cal penjar el nombre adequat de masses de la corda i cal posar a zero el comptador electrònic
amb el botó ’reset’. Consulta amb el professor la configuració adequada del comptador. Després de
disparar el lliscador només cal esperar que passi per la porta fotoelèctrica per anotar la mesura del
temps.
Abans de començar les mesures, endolleu la porta fotoelèctrica i comproveu que s’encén el diode
vermell quan hi passa algun objecte.
Per obtenir les dades segueix els següents passos:
Lleis de Newton.
1. Col·loca les dues portes en la trajectòria del lliscador separades una distància D d’uns 60cm i
mesura l’amplada d de la placa del lliscador.
2. Col·loca ara una massa de 50g i tres de 10g a cadascuna de les varetes del lliscador i la massa
de 5g a la plataforma de l’extrem de la corda. Comprova que el fil passa per la corriola.
3. Volem determinar la velocitat del lliscador en travessar les portes. Per a això has de mesurar el
∆t que triga la placa del lliscador en travessar cada porta seleccionant la segona posició en el
comptador de temps. La velocitat vindrà donada per v = d/∆t. Calcula l’error en cadascuna
d’aquestes magnituds.
4. Movent ara les masses subministrades de m2 a m1 (veure figura 1), ves incrementant m1 (alhora
que disminueixes m2 ) en increments de 5g fins a arribar a un valor de m1 =65g.
5. Mesura en cada cas el ∆t que triga la placa del lliscador a travessar cada porta.
6. Retira ara la corda del lliscador i mitjançant una petita empenta proporciona-li una velocitat
inicial.
7. Mesura el temps ∆t que triga la placa del lliscador a passar per cadascuna de les portes.
8. Repeteix el punt anterior per a una altra velocitat inicial del lliscador.
Resultats
Quan s’hagin recollit les dades, s’han de fer els següents càlculs i representacions gràfiques:
1. Anota la distància de separació entre les portes (D) i l’amplada de la placa del lliscador (d).
2. Construeix una taula indicant per a cada cas: el valor de m1 i la força aplicada F = m1 g, el
∆t emprat en passar per cada porta, la velocitat corresponent calculada a partir de v = d/∆t i
l’acceleració del moviment calculada a partir de l’equació (3).
3. Representa gràficament F en funció de a. ¿Té aquesta funció la forma esperada?. Justifica la
resposta.
4. Calcula a partir d’una recta de regressió la massa total en moviment i la massa del lliscador.
5. Raona breument si creus que aquests resultats i les mesures realitzades justifiquen la validesa
de la primera i segona lleis de Newton.
Qüestions
1. Dedueix les equacions (3) i (5).
2. Comenta breument com ha d’afectar al moviment del lliscador el fregament amb l’aire. Quina
corba de v (t) cal esperar en aquest cas?
Problemes
1. Un home es troba sobre una balança dins d’un ascensor que puja amb acceleració constant
a. L’escala de la balança marca 960N. En agafar una caixa de 20kg, l’escala marca 1200N.
Determinar:
(a) La massa de l’home
(b) L’acceleració de l’ascensor
2. Una caixa de 2kg es llança cap amunt, amb velocitat inicial de 3m/s, per un pla inclinat amb
fregament. El pla forma un angle de 60o amb l’horitzontal i el coeficient de fregament cinètic
entre les superfı́cies és µ=0.3. Es demana:
(a) Quina distància recorre la caixa abans d’aturar-se momentàniament?
(b) Quina és l’energia dissipada pel fregament mentre la caixa puja?
(c) Quina és la seva velocitat quan torna a la posició inicial?
Apellidos: Nombre:
Grupo: Equipo:
Apellidos: Nombre:.
Fecha: PRÁCTICA:
Objetivos
Material
Resumen de la práctica
.
Medidas
Error en la medida de t : Longitud de la placa del deslizador: d =
Separación entre la puertas: D =
(Repite las medidas de ∆t un mínimo de 4 veces y anota sólo el valor medio)
Leyes de Newton: Completa las tablas siguientes con las medidas realizadas
m1 ( )
F=m1g ( )
∆t1 ( )
Experiencia 1
∆ t ( )
v +/­ v ( )
∆t2 ( )
v1 ( )
v2 ( )
a ( )
Experiencia 2
∆ t ( )
v +/­ v ( )
Resultados a obtener en el laboratorio
Regresión lineal de la gráfica F­a y valor obtenido para la masa total y la masa del deslizador
<m1 + m2> = Masa deslizador = Debes entregar un informe completo, que incluya el resto de resultados, en la siguiente sesión de laboratorio.
Laboratori de
Fı́sica I
Estática
Objetivo
Estudiar las fuerzas que intervienen en diferentes situaciones de equilibrio estático de la partı́cula y
del sólido rı́gido.
Material
Panel vertical con dos poleas y soporte para dos dinamómetros, 4 dinamómetros (2 de 1N y 2 de 3N),
3 cuerdas de diferente longitud, juego de pesas y barra de acero.
Fundamento teórico
Una partı́cula permanecerá en equilibrio estático si la suma de las fuerzas externas aplicadas es cero;
X
F~ = 0
(1)
En esta práctica se intentará verificar la validez de esta expresión mediante el montaje experimental
mostrado en la figura 1.
En el caso de un sólido rı́gido, la condición anterior es necesaria pero no suficiente para garantizar el
equilibrio del cuerpo. En este caso deberemos exigir también que se anule la suma de los momentos
de las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido rı́gido;
X
X
F~ = 0
~ =0
M
(2)
(3)
Para verificar la validez de estas expresiones, realizaremos diferentes mediciones con un sólido rı́gido
(una barra) dispuesto como muestra la figura 2.
T1
T2
θ1
θ2
T2
T1
masa
mg
Figura 1: Panel para el estudio de la estática de la partı́cula
T1
θ1
T1
1
T2
d
θ2
T2
2
mg
φ
Mg
Figura 2: Panel para el estudio de la estática del sólido rı́gido
Método experimental
Estática de la partı́cula
Monta el panel para el estudio de la estática de la partı́cula (figura 1) utilizando una masa m=120g y
dos cuerdas de las suministradas. Mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos en este caso.
Observa que existe una cierta histéresis en los valores obtenidos para la tensión. Es decir si acercamos
la masa m a la posición de equilibrio desde “arriba” se obtienen valores ligeramente diferentes que si
la aproximamos desde “abajo” (esto de debe al rozamiento en el eje de las poleas). Tomaremos como
valor más aproximado la media de ambos.
Escoge otra combinación de cuerdas, de forma que los ángulos θ1 y θ2 varı́en apreciablemente, y
vuelve a medir el valor de las tensiones y ángulos obtenidos con m=120g.
Sin cambiar el par de cuerdas, cuelga ahora una masa m de 40g y mide el valor de las tensiones y
ángulos obtenidos. Repite la medida con una masa m de 200g.
Utiliza para las medidas los dinamómetros más adecuados (según su fondo de escala).
Estática del sólido rı́gido
Mide y anota la masa, M, y la longitud, L, de la barra de acero suministrada.
Monta el panel para el estudio de la estática del sólido rı́gido (figura 2) utilizando la barra de acero y
dos cuerdas de las suministradas.
Observa que existe una cierta histéresis en los valores obtenidos para la tensión. Es decir si acercamos
la barra a la posición de equilibrio desde “arriba” se obtienen valores ligeramente diferentes que si la
aproximamos desde “abajo” (esto de debe al rozamiento en el eje de las poleas). Tomaremos como
valor más aproximado la media de ambos.
Mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos.
Cuelga ahora una masa m=100g en el gancho de la barra y mide el valor de las tensiones y ángulos
obtenidos en este caso.
Utiliza para las medidas los dinamómetros más adecuados (según su fondo de escala).
Resultados
Estática de la partı́cula
1. Resuelve ’teóricamente’ el problema de estática estudiado obteniendo la expresión algebráica
de T1 y T2 en función de m, θ1 y θ2 (según la nomenclatura indicada en la figura 1)
2. Construye una tabla indicando los valores de m, θ1 , θ2 , T1 y T2 obtenidos en las situaciones
estudiadas ası́ como los valores teóricos de T1 y T2 correspondientes.
3. Compara los valores obtenidos experimentalmente con los valores teóricos y comenta los resultados.
Estática del sólido rı́gido
1. Resuelve ’teóricamente’ el valor de T1 en función del resto de magnitudes medidas según la
nomenclatura indicada en la figura 2 para el caso más general (con la masa m colgada).
2. Construye una tabla indicando los valores de M, L, θ1 , θ2 , φ, T1 y T2 medidos, ası́ como los
valores de m y d cuando has colgado esta masa. Indica en esta tabla también el valor teórico
calculado para T1 .
3. Compara los resultados obtenidos experimentalmente para T1 con los valores teóricos y comenta los resultados.
4. ¿Demuestran los resultados obtenidos en esta práctica la validez de las ecuaciones relativas a
la estática de la partı́cula y del sólido rı́gido?. Comenta las causas de las posibles discrepancias
observadas.
Problemas
1. En el interior de una excavación hay que instalar un depósito de acero aplicando dos fuerzas
mediante dos cables como muestra la figura 3. Para este sistema se pide:
a) Hallar gráficamente el módulo y dirección de la menor fuerza P necesaria para que la
resultante de las dos fuerzas aplicadas al depósito sea vertical.
b) Si en estas condiciones el depósito está en equilibrio, determinar el peso de éste.
2. El polipasto de la figura 4 soporta una carga de 160kg. Sabiendo que β = 20o , hallar el módulo
y la dirección de la fuerza P que debe ejercerse en el extremo libre de la cuerda para mantener
el equilibrio.
Figura 3: Problema 1
Figura 4: Problema 3
Apellidos: Nombre:
Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre:
Fecha: PRÁCTICA:
Objetivos
Material
Resumen de la práctica
Medidas ­ Resultados
Estática de la partícula
m ( )
  
  
T1 exp ( ) T2 exp ( )
T1 teo ( )
T2 teo ( )
Estática del sólido rígido (barra con la masa m)
Masa de la barra: M =
Longitud de la barra: L =
  
  
  
T1 exp ( )
T2 exp ( )
m ( )
d ( )
T1 teo 
Debes entregar un informe completo, que incluya los valores teóricos de las tensiones y el resto de resultados, en la siguiente sesión de laboratorio.
Laboratori de
Estàtica i Dinàmica
Dinámica de la rotación
Momento de inercia
Objetivo
Determinar los momentos de inercia de varios cuerpos homogéneos.
Material
Discos, cilindro macizo, cilindro hueco, barra hueca, cilindros ajustables a la barra, cuerda, polea,
destornillador, cronómetro, regla graduada, pie de rey.
Fundamento teórico
Momento de inercia
Cuando un sólido rı́gido gira alrededor de un eje fijo realizando un movimiento plano, el momento
angular LO puede expresarse de la forma:
~ O = IO ~ω ,
L
(1)
donde ω es la velocidad angular del sólido rı́gido e IO es el momento de inercia del sólido rı́gido
respecto al eje que pasa por O. El momento de inercia I representa la distribución de la masa del
sólido rı́gido alrededor del eje.
Derivando la expresión (1) con respecto al tiempo, obtenemos:
~ O = IO α
M
~,
(2)
donde MO es el momento de las fuerzas exteriores respecto del punto O y α es la aceleración angular
del sólido rı́gido.
El cálculo analı́tico del momento de inercia se reduce a dividir el sólido rı́gido en porciones infinitesimales de masa, multiplicar esa masa por el cuadrado de la distancia al eje y sumar para todas las
R
r
M
t=0
h
m1
tf
Figura 1: Medida del momento de inercia del cilindro
masas. Expresado en forma matemática:
IO =
Z
δ 2 dm,
(3)
V
donde δ es la distancia que separa el elemento de masa dm del eje que pasa por O y la integral
se extiende a todo el volumen del sólido rı́gido. El cálculo de momentos de inercia aplicando la
expresión (3) sólo puede llevarse a cabo cuando el sólido rı́gido presenta gran simetrı́a. En el caso de
cuerpos irregulares, la determinación de IO se lleva a cabo de forma experimental.
Determinación del momento de inercia
La determinación experimental del momento de inercia de un cuerpo puede llevarse a cabo mediante
un dispositivo como el mostrado en la figura 1. El cuerpo M, del que queremos determinar el momento de inercia, se halla fijado mediante un tornillo a una polea de radio r cuyo eje de rotación es
vertical. Sobre ésta está arrollado un hilo inextensible y sin peso apreciable que pasa por otra polea
cuyo eje de rotación es horizontal. En el otro extremo del hilo se encuentra un disco de masa m1 .
Cuando el sistema parte del reposo, el disco m1 realiza un movimiento rectilı́neo uniformemente
acelerado, haciendo girar el cuerpo M alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa (rotación
baricéntrica). Llamando T a la tensión del hilo, de la segunda Ley de Newton aplicada al cuerpo m1
tenemos:
m1 g − T = m1 a.
(4)
En lo que al cuerpo de masa M se refiere, la única fuerza que realiza momento respecto a su eje de
rotación, es la tensión T . Empleando la expresión descrita en (2), podemos poner:
T r = Iα.
(5)
Obsérvese que la aceleración del disco m1 y la aceleración angular α del cuerpo no son independientes
entre sı́. Entre ellas podemos establecer la siguiente ecuación de ligadura:
a = αr.
(6)
Despejando la aceleración a de la expresión (4), despejando la aceleración angular α de la expresión
(5) y sustituyendo en la ecuación de ligadura (6), obtenemos el valor de la tensión T :
T =
m1 gI
.
I + m1 r 2
(7)
Obsérvese que la tensión T es siempre inferior al peso m1 g. Sustituyendo la tensión T en la expresión
(4), obtenemos el valor de la aceleración a:
a=
m1 gr 2
.
I + m1 r 2
(8)
Puesto que el movimiento del disco es uniformemente acelerado y parte del reposo, la altura descendida h en un tiempo t puede expresarse de la forma:
2h
1
h = at2 −→ a = 2 .
2
t
(9)
Sustituyendo la expresión de la aceleración (9) en la ecuación (8) y despejando el momento de inercia
I, obtenemos:
!
2
2 gt
I = m1 r
−1 .
(10)
2h
La anterior expresión nos permite conocer el momento de inercia I de un sólido rı́gido si podemos
determinar el tiempo que tarda el disco en caer una altura h.
Método experimental
Con el fin de determinar los momentos de inercia de varios cuerpos, disponga el dispositivo experimental que se detalla en la figura 1. Con la regla graduada mida el tramo de cuerda h que descenderá
el disco m1 . Preste especial atención a esta medida, puesto que influirá en todos los resultados posteriores. Con un pie de rey mida el diámetro r de la polea de eje vertical.
Coloque el cilindro macizo sobre la polea de eje vertical y fı́jelo con el tornillo. Enrolle la cuerda
en la polea de eje vertical solidaria al cilindro y cronometre el tiempo empleado por el disco m1 en
descender la altura h. Repita las medidas del tiempo un mı́nimo de seis (6) veces. Halle la media
aritmética de los tiempos medidos y sustituya el valor hallado anteriormente, el radio r, la masa del
disco m1 y la altura h en la expresión (10). Con ello, calcule el momento de inercia I del cilindro
macizo.
Sustituya el cilindro macizo por el cilindro hueco y proceda con el mismo método que en el caso
anterior.
Por último, sustituya el cilindro hueco por la barra hueca, configurando el dispositivo experimental
que se detalla en la figura (2). Procure que la barra quede lo más centrada posible con respecto al eje
de rotación.
Seguidamente, coloque en la bara dos de los cilindros ajustables suministrados a unos 5cm del eje
de rotación. Anote cuidadosamente la distancia entre los centros de los cilindros ajustables y el eje
R
r
M
t=0
h
m1
tf
Figura 2: Medida del momento de inercia de la barra
de rotación. Cronometre el tiempo empleado por el disco m1 en descender la altura h (repetir esta
medida unas 6 veces y anotar la media aritmética en la tabla). Calcule el momento de inercia I en
este caso.
Modifique ahora la configuración, desplazando los cilindros ajustables sobre la barra, de forma que
aumente su distancia al eje de rotación de 3cm en 3cm hasta llegar al final de la barra. Represente
gráficamente los valores calculados de I en función de la distancia de los cilindros ajustables al eje
de rotación, R.
Resultados
Para el cilindro macizo y para el cilindro hueco, determine su momento de inercia. Lleve a cabo
el cálculo de errores en la medida indirecta de I, utilizando como error en las medidas directas la
precisión del aparato para m1 , h y r, y para el tiempo, además de la precisión del aparato, una
estimación del error estadistico de los tiempos obtenidos.
Para las masas ajustables, represente gráficamente los momentos de inercia (calculados utilizando la
expresión (10)) en función de la distancia de las masas al eje de rotación. ¿Qué función es la que
mejor se ajusta a los puntos experimentales?. ¿Es este resultado coherente con la teorı́a (ecuación
(3))?
Cuestiones
1. A partir de la expresión (2), determine las unidades del momento de inercia I.
2. Utilizando la expresión (3), calcule el momento de inercia de un cilindro macizo y homogéneo,
ası́ como el momento de inercia de un cilindro hueco de paredes delgadas. Compare con los
resultados obtenidos aplicando la ecuación (10).
Apellidos:
Nombre:
Grupo:
Apellidos:
Nombre:
Fecha:
PRÁCTICA:
Objetivos
Material
Resumen de la práctica
Equipo:
Medidas
m1 =
h=
r=
Cilindro macizo: R =
t (
M=
)
<t>=
Cilindro hueco: Rint =
t (
Rext =
M=
)
<t>=
Masas ajustables
Posición (
)
M=
t(
)
I (
) [ec. 10]
Resultados
Cilindro macizo
Momento de inercia
I=
Errores magnitudes medidas una vez (resolución de la medida)
σ m1 =
σ h =
σ r =
Cálculo del error en el tiempo (resolución de la medida + error estadístico)
Resolución medida: σ <t>res =
Error estadístico: σ <t>est =
σ <t> =
Cálculo del error en I (medida indirecta)
σ
I
=
Resultado final:
I=
Resultados
Cilindro hueco
Momento de inercia
I=
Errores magnitudes medidas una vez (resolución de la medida)
σ m1 =
σ h =
σ r =
Cálculo del error en el tiempo (resolución de la medida + error estadístico)
Resolución medida: σ <t>res =
Error estadístico: σ <t>est =
σ <t> =
Cálculo del error en I (medida indirecta)
σ
I
=
Resultado final:
I=
Resultados
Masas ajustables
Gráfica: I en función de R
Resultados
Masas ajustables
Comentarios
Cuestiones