Sólido elástico

CAPÍTULO 6
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
6.1 ANTECEDENTES
Una vez establecidas las ecuaciones generales, las cuales representan las condiciones que
deberán ser cumplidas por cualquier medio continuo para cualquier posición y tiempo, es
necesario definir las ecuaciones que describan el comportamiento de medios idealizados, las
cuales se denominan como ecuaciones constitutivas.
En los sólidos es común observar que su deformación es proporcional a la carga aplicada,
situación que también se puede describir en el sentido de que las deformaciones son
proporcionales a las solicitaciones (esfuerzos) presentes en el material
[ Δε ∝ Δf ] o [ε ∝ σ ]
Considerando toda la evidencia experimental que se ha generado hasta la fecha, y
simplificando la respuesta, se puede afirmar que la deformación es una función única de las
solicitaciones aplicadas; de tal manera que se descarta cualquier efecto de la velocidad de
carga
⎛ ∂fi ⎞
⎟
⎝ ∂t ⎠
ε ≠ g⎜
Por otra parte, una vez que se elmina la carga la deformación desaparece completamente y,
en general, estas deformaciones son muy pequeñas (infinitesimales). En el caso de cualquier
medio continuo que presenta un comportamiento con las restricciones antes descritas se
define su comportamiento como elástico, describiéndose como inelásticos aquellos
materiales cuyo comportamiento no cumple con las condiciones antes especificadas.
Afortunadamente, un buen número de materiales tales como los metales y el concreto
cumplen con las condiciones establecidas y en otros casos, como la madera, se puede
aproximar, dentro de ciertos rangos, su comportamiento.
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
En general en los sólidos, para el caso de pequeñas deformaciones (infinitesimales), se
puede describir su comportamiento como lineal; mientras que para grandes deformaciones la
relación entre esfuerzo y deformación será no lineal.
En primer término, en este capítulo se analizará el comportamiento de sólidos elásticos
lineales, considerando los diferentes modelos idealizados, para al final describir las
condiciones en las cuales se presentan comportamientos elásticos no lineales.
σ
U ε = ∫ σ ij d ε ij
ε
FIGURA 6.1 COMPORTAMIENTO
CARACTERÍSTICO DE UN SÓLIDO ELÁSTICO LINEAL.
EN
UNA
PRIMERA ETAPA LA RELACIÓN ESFUERZO-DEFORMACIÓN ES LINEAL, LA CUAL
CORRESPONDE CON LA ZONA ELÁSTICA.
POSTERIORMENTE,
LA RELACIÓN SE
VUELVE NO LINEAL, LA QUE CORRESPONDE CON LAS DEFORMACIONES
PERMANENTES (DEFORMACIÓN PLÁSTICA)
6.2 DESCRIPCIÓN DEL COMPORTAMIENTO
Con base en las características enunciadas se formula la ecuación constitutiva de un
material elástico ideal (sólido elástico lineal), en la forma σ ij = f (ε kl ) , donde σ ij representa
al tensor de esfuerzos de Cauchy, mientras que ε kl
es el tensor de deformación
infinitesimal. En el caso de la deformación elástica se considera que los desplazamientos
son muy pequeños (infinitesimales) por lo que las descripciones lagrangiana y euleriana son
equivalentes, por lo que
1 ∂ui ∂u j
1 ∂u ∂u j
+
)≈ ( i +
)
2 ∂X j ∂X i
2 ∂x j ∂xi
ε kl = (
200
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Con base en lo enunciado se desarrolla un sistema de ecuaciones de la forma
σ11 = C1111 (ε11 ) + C1112 (ε12 ) + ..................................... + C1123 (ε 23 ) + ..... + C1133 (ε 33 )
σ12 = C1211 (ε11 ) + C1212 (ε12 ) + ..................................... + C1223 (ε 23 ) + ..... + C1233 (ε 33 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
σ 33 = C3311 (ε11 ) + C3312 (ε12 ) + ...................................... + C3323 (ε 23 ) + ..... + C3333 (ε 33 )
Las que en forma matricial se pueden representar a través de
⎡ σ11 ⎤ ⎡ C1111
⎢σ ⎥ ⎢ C
⎢ 12 ⎥ ⎢ 1211
⎢σ13 ⎥ ⎢ C1311
⎢
⎥ ⎢
⎢σ 21 ⎥ ⎢C2111
⎢σ 22 ⎥ = ⎢C2211
⎢
⎥ ⎢
⎢σ 23 ⎥ ⎢C2311
⎢σ ⎥ ⎢ C
⎢ 31 ⎥ ⎢ 3111
⎢σ 32 ⎥ ⎢C3211
⎢σ ⎥ ⎢C
⎣ 33 ⎦ ⎣ 3311
C1112
C1212
C1113
C1213
C1121
C1221
C1122
C1222
C1123
C1223
C1312
C2112
C2212
C2312
C1313 C1321
C2113 C2121
C2213 C2221
C2313 C2321
C1322
C2122
C2222
C2322
C1323 C1331 C1332
C2123 C2131 C2132
C2223 C2231 C2232
C2323 C2331 C2332
C3112
C3212
C3312
C3113
C3213
C3313
C3121 C3122
C3221 C3222
C3321 C3322
C3123
C3223
C3323
C1131
C1231
C1132
C1232
C3131 C3132
C3231 C3232
C3331 C3332
C1133 ⎤ ⎡ ε11 ⎤
C1233 ⎥⎥ ⎢⎢ ε12 ⎥⎥
C1333 ⎥ ⎢ ε13 ⎥
⎥⎢ ⎥
C2133 ⎥ ⎢ε 21 ⎥
C2233 ⎥ ⎢ε 22 ⎥ (6.1)
⎥⎢ ⎥
C2333 ⎥ ⎢ε 23 ⎥
C3133 ⎥ ⎢ ε 31 ⎥
⎥⎢ ⎥
C3233 ⎥ ⎢ε 32 ⎥
C3333 ⎥⎦ ⎢⎣ε 33 ⎥⎦
Sistema que en forma tensorial y notación índice se escribe como
σ ij = Cijkl ε kl
(6.2)
donde Cijkl es un tensor de cuarto orden que representa una transformación lineal del
espacio de las deformaciones al espacio de los esfuerzos. En el caso de que el material se
considere como homogéneo, éste será un tensor de constantes elásticas independientes de
la posición
Cijkl ≠ f ( xi )
201
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Al ser un tensor de cuarto rango, entonces existirán 81 coeficientes en Cijkl . Por otra parte,
el tensor de deformaciones infinitesimales es simétrico, por lo que
ε kl = ε lk
Cijkl = Cijlk
Esto representa que 3 columnas del arreglo matricial son linealmente dependientes, por lo
que el tensor se reduce a 54 coeficientes independientes (9 renglones
6 columnas); por
otra parte, el tensor de esfuerzos de Cauchy también es simétrico, lo que se representa
como
σ ij = σ ji
Situación por la que el tensor presenta simetría en los dos primeros índices Cijkl = C jikl , lo
que se traduce a que 3 renglones son linealmente dependientes, entonces se concluye que
estas
dos
restricciones
significan
independientes (6 renglones
que
sólo
existen
36
coeficientes
linealmente
6 columnas). En notación índice todo lo antes expuesto se
expresa como
σ ji = σ ij = Cijkl ε kl
Considerando una base e i y una nueva base e′i , entonces
′ = Cir C js Ckt Clv Crstv
Cijkl
Como ya se mencionó, si el cuerpo es homogéneo Cijkl no es función de xi , entonces
Cijkl ≠ f ( xi ) ≠ f ( X i )
Como ε ij = ε ji (tensor simétrico), tenemos por ejemplo
σ 21 = C2111ε11 + C2112ε12 + C2113ε13 + C2121ε 21 + C2122ε 22 + C2123ε 23 + C2131ε 31
+C2132ε 32 + C2133ε 33
202
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Como ε 21 = ε12 ; ε13 = ε 31 ; ε 23 = ε 32
∴
σ 21 = C2111ε11 + (C2112 + C2121 )ε 21 + (C2113 + C2131 )ε13 + (C2123 + C2132 )ε 32
+ C2122ε 22 + C2133ε 33
⇒
σ 21 = C2111ε11 + k2112ε 21 + k2113ε13 + k2123ε 23 + C2122ε 22 + C2133ε 33
∴ Se comprueba la reducción a 54 constantes.
Como el tensor de esfuerzos es simétrico, entonces σ ij = σ ji
Por ejemplo, σ12 = σ 21
⇒
σ12 − σ 21 = 0
0 = (C1211 − C2111 )ε11 + (C1222 − C2122 )ε 22 + (C1233 − C2133 )ε 33
+ (k1212 − k2112 )ε12 + (k1223 − k2123 )ε 23 + (k1231 − k2131 )ε 31
con lo que se constata que las restricciones impuestas por la simetría del tensor de
esfuerzos y de deformaciones da lugar a que el número de constantes linealmente
independientes sea de 36.
Al deformar el cuerpo se almacena energía elástica en el material, de tal manera que
U (ε ij ) = ∫ σ ij d ε ij
Donde
U (ε ij ) – Función de energía almacenada
∴
∂U (ε ij )
∂ε ij
= σ ij
203
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.2 LA
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA ALMACENADA EN EL
CUERPO ESTÁ REPRESENTADA POR EL ÁREA BAJO LA CURVA σ − ε
La energía almacenada con la deformación elástica no depende de la base, de tal forma que
dU = σ ij dεij = σ kl dε kl
σ ij = Cijkl ε kl
o σ kl = Cklijεij
⇒
σ kl = σ ij
∴
dU = (Cijkl ε kl )dεij = (Cklijε ij )dε kl
∴
y ε kl = εij
dε kl = dεij
Cijkl = Cklij
Lo cual representa que el tensor de constantes elásticas es simétrico. Realizando el análisis
de los términos presentes en el tensor
⎡ C1111
⎢
⎢ C1211
⎢
⎢ C1311
⎢C
⎢ 2111
⎢ C2211
⎢
⎢ C2311
⎢
⎢ C3111
⎢
⎢ C3211
⎢C
⎣ 3311
C1112
C1113
C1121
C1122
C1123
C1131
C1132
C1212
C1213
C1221
C1222
C1223
C1231
C1232
C1312
C1313
C1321
C1322
C1323
C1331
C1332
C2112
C2113
C2121
C2122
C2123
C2131
C2132
C2212
C2213
C2221
C2222
C2223
C2231
C2232
C2312
C2313
C2321
C2322
C2323
C2331
C2332
C3112
C3113
C3121
C3122
C3123
C3131
C3132
C3212
C3213
C3221
C3222
C3223
C3231
C3232
C3312
C3313
C3321
C3322
C3323
C3331
C3332
∑ = 21
204
C1133 ⎤
⎥6
C1233 ⎥
⎥5
C1333 ⎥ 4
C2133 ⎥ 0
⎥
C2233 ⎥ 3
⎥
C2333 ⎥ 2
⎥
C3133 ⎥ 0
⎥0
C3233 ⎥
1
C3333 ⎥⎦
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Se concluye que sólo pueden existir 21 constantes elásticas linealmente independientes.
Otra forma de demostrar lo anterior es a través de las siguientes reflexiones:
U = σ ijε ij
σ ij = Cijkl ε kl
Entonces,
U = Cijkl ε kl εij
∂σ ij
∂ε rs
⇒
∂σ ij
∂ε rs
=
∂ (Cijrsε rs )
∂ε rs
= Cijrs
∂ε rs
∂ε rs
+ ε rs
∂Cijrs
∂ε rs
= Cijrs
y como
σ ij =
∂U
∂ε ij
de estas dos ecuaciones anteriores se tiene que
⇒
∂ 2U
Cijrs =
∂ε rs ∂ε ij
∂ 2U
∂ 2U
=
∂ε rs ∂ε ij ∂ε ij ∂ε rs
∴
⇒
Cijrs = Crsij
Como ya ha sido mencionado, con base en la simetría del tensor de esfuerzos y del tensor
de deformaciones, el número de constantes elásticas linealmente independientes es de 36,
situación que permite una descripción matricial de la forma
205
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
σ11 ⎤ ⎡ C1111 C1122
⎥ ⎢
σ 22 ⎥ ⎢C2211
⎥ ⎢
σ 33 ⎥ ⎢C3311
⎥=⎢
σ 23 ⎥ ⎢C2311
⎥ ⎢
σ 31 ⎥ ⎢C3111
⎥ ⎢
σ12 ⎥⎦ ⎢⎣ C1211
C1133
C1123
C1113
C2222 C2233 C2223 C2213
C3322
C3333 C3323
C3313
C2322 C2333 C2323 C2313
C3122
C3133 C3123
C3113
C1222
C1233
C1213
C1223
C1112 ⎤ ⎡ ε11
⎥⎢
C2212 ⎥ ⎢ ε 22
⎥⎢
C3312 ⎥ ⎢ ε 33
⎥⎢
C2312 ⎥ ⎢ 2ε 23
⎥⎢
C1312 ⎥ ⎢ 2ε 31
⎥⎢
C1212 ⎥⎦ ⎢⎣ 2ε12
(6.3)
Ahora bien, realizando un cambio de variable de la forma
σ11 = σ1
ε11 = ε1
σ 22 = σ 2
ε 22 = ε 2
σ 33 = σ 3
ε 33 = ε 3
σ 23 = σ 32 = σ 4
2ε 23 = ε 4 = 2ε 32
σ 31 = σ13 = σ 5
2ε 31 = ε 5 = 2ε13
σ12 = σ 21 = σ 6
2ε12 = ε 6 = 2ε 21
Se tiene entonces que
⎛ σ1 σ 6 σ 5 ⎞
σ α = ⎜⎜ σ 6 σ 2 σ 4 ⎟⎟
⎜σ σ σ ⎟
4
3⎠
⎝ 5
⎛ ε1
⎜
ε = ⎜ 12 ε 6
⎜⎜ 1
⎝ 2 ε5
1ε
2 6
ε2
1ε
2 5
1ε
2 4
1ε
2 4
ε3
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
Por lo tanto, empleando una falsa notación índice, se puede escribir una descripción material
en la forma
σ α = Cαβ ε β
(6.4)
206
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
por lo que matricialmente se tiene
σ1 ⎤ ⎡ C11 C12
⎥ ⎢
σ 2 ⎥ ⎢C21
⎥ ⎢
σ 3 ⎥ ⎢C31
⎥=⎢
σ 4 ⎥ ⎢C41
⎥ ⎢
σ 5 ⎥ ⎢C51
⎥ ⎢
σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣C61
C13
C14
C15
C22 C23 C24 C25
C32
C33 C34
C35
C42 C43 C44 C45
C52
C53 C54
C55
C62
C63 C64
C65
C16 ⎤ ⎡ ε1
⎥⎢
C26 ⎥ ⎢ε 2
⎥⎢
C36 ⎥ ⎢ε 3
⎥⎢
C46 ⎥ ⎢ε 4
⎥⎢
C56 ⎥ ⎢ε 5
⎥⎢
C66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6
(6.5)
Con una representación matricial de la relación esfuerzo-deformación es más sencillo
visualizar que el número máximo de constantes elásticas linealmente independientes es 21,
ya que la matriz Cαβ deberá ser simétrica, por lo que
Cαβ = C βα
⇒
C12 = C21
C13 = C31
C14 = C41
C15 = C51
C16 = C61
C23 = C32
C24 = C42
C25 = C52
C26 = C62
C34 = C43
C35 = C53
C36 = C63
C45 = C54
C46 = C64
C56 = C65
6.3 IDEALIZACIONES PARA EL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
En el caso de los materiales elásticos se realizan varias idealizaciones en la descripción de
su comportamiento, de tal forma que se definen:
i.
Sólido elástico, homogéneo, lineal y totalmente anisotrópico con 21 constantes
elásticas linealmente independientes, como ya se ha demostrado.
ii. Sólido elástico, homogéneo, lineal y monotrópico con 13 constantes elásticas
linealmente independientes (sólido elástico monoclínico, con un solo plano de
reflexión y un eje de simetría).
207
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
iii. Sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico con 9 constantes elásticas
linealmente independientes (medio continuo con dos ejes de simetría y dos planos de
reflexión).
iv. Sólido elástico, homogéneo y transversalmente isotrópico con 5 constantes elásticas
linealmente independientes (para este caso se define un infinito número de planos de
reflexión que se forman al rotar sobre el eje de simetría).
v. Sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico; con dos constantes elásticas
linealmente independientes. El material es isotrópico cuando sus propiedades
mecánicas son descritas sin referencia a la dirección.
Conforme se reduce el grado de anisotropía se añaden restricciones al comportamiento
elástico del material, de tal forma que el sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico
representa un alto grado de idealización; sin embargo, en un gran número de ocasiones se
considera esta descripción en virtud de que si bien cualquier sólido cristalino es por
definición anisotrópico, también es conveniente mencionar que los sólidos son en general
policristalinos y al estar sus cristales orientados al azar se puede considerar este
comportamiento como isotrópico (las propiedades no varían con la dirección).
Simetría elástica
Para describir las diferentes idealizaciones realizadas para el comportamiento de los medios
continuos elásticos es conveniente definir el concepto de simetría elástica. Este término se
emplea para definir direcciones elásticas equivalentes, de tal forma que las constantes Cijkl
permanezcan inalteradas por la transformación entre 2 juegos de ejes. Si la transformación
es una reflexión de los ejes con respecto a algún plano se dice que el material presenta un
plano de simetría elástica (figura 6.4). Con dos planos de simetría la transformación
representará la reflexión en dos ejes (figura 6.5), y por consecuencia deberá cumplir con las
restricciones de aquella en que solo existe un eje de reflexión. Por otra parte, se puede tener
un infinito número de ejes si la transformación se produce al girar un par de ejes un ángulo
θ arbitrario (figura 6.3), esto alrededor del tercer eje cartesiano. En este caso, la
transformación está dada por
208
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
⎛ cos θ
⎜
Qij = ⎜ -sen θ
⎜ 0
⎝
sen θ
cos θ
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
0
Esta transformación representa la rotación de un ángulo θ sobre el eje x3 , al cual se
denomina como eje de simetría elástica.
FIGURA 6.3 SIMETRÍA
ELÁSTICA CARACTERÍSTICA DE UN MATERIAL TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO. EN ESTE CASO EXISTE UN INFINITO NÚMERO DE
PLANOS DE REFLEXIÓN QUE SE GENERAN AL GIRAR LOS EJES
ÁNGULO
θ
ALREDEDOR DEL EJE x3
LUGAR A UNA NUEVA BASE
x1 x 2
UN
(EJE DE SIMETRÍA ELÁSTICA), DANDO
x '1 x '2 x '3 ,
PARA LA CUAL LAS PROPIEDADES
ELÁSTICAS PERMANECEN INALTERADAS
En todos los casos se deberá cumplir que las constantes elásticas sean
iguales en el
sistema de referencia inicial y en el sistema transformado. Considerando la notación material
y empleando seudo índices se tiene que
'
σα' = Cαβ
ε β'
σ α = Cαβ ε β
donde la matriz de constantes elásticas no deberá sufrir alteración con el cambio de base
(simetría elástica)
'
Cαβ
= Cαβ
209
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Por otra parte, los esfuerzos y deformaciones deberán cumplir con las reglas de
transformación tal que
σα' = Qσ α QT
ε β' = Qε β QT
donde Q representa la matriz ortogonal de cambio de base.
Sólido elástico, homogéneo, lineal y monotrópico
Se define con esta denominación a aquel material idealizado que presenta simetría elástica
respecto a un plano, de tal forma que si existe simetría sobre el eje x3 (éste gira un ángulo
de π 2 , figura 6.4), entonces el plano formado por x1 x2 actuará como plano de reflexión.
FIGURA 6.4 PLANO DE REFLEXIÓN PARA
(UN SOLO EJE DE SIMETRÍA)
UN MATERIAL MONOTRÓPICO
xij′ = Qij x j
⎡1 0 0 ⎤
Qij = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 −1⎥⎦
210
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Imagen espejo por simetría en el plano x3 de tal forma que q33 = −1 , resulta evidente que la
simetría se podría presentar en cualquier eje cambiando solamente la posición del signo
negativo. Por ejemplo, si el plano de reflexión fuera el x2 x3 , entonces el eje de simetría será
el x1 , y la matriz de transformación queda ei′ = Qei
⎡ −1 0 0 ⎤
Q = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
Donde
Para el caso en estudio se ha considerado que el eje x1 es de simetría elástica por lo que,
como ya fue mencionado, la simetría material con respecto al plano S1 requiere que los
componentes Cijkl en la ecuación
σ ij = Cijkl ε kl
′ en la ecuación
sean exactamente iguales que Cijkl
e1' = −e1 ,
e2' = e2 ,
'
σ ij' = Cijkl
ε kl'
e3' = e3
Cuando este es el caso, nuevas restricciones son impuestas en las componentes del tensor
de constantes elásticas, lo que lleva a la reducción del número de componentes
independientes.
Las componentes del tensor de elasticidad deberán permanecer sin cambio en la
transformación
′ = Cijkl
Cijkl
por otra parte,
′ = Qmi Qnj Qrk Qsl Cmnrs
Cijkl
y
Cijkl = Qmi Qnj Qrk Qsl Cmnrs
211
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
donde
⎡ −1 0 0 ⎤
Q = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
Q11 = −1
Q22 = Q33 = 1,
⇒
Qij = 0
y los otros
C1112 = Q11Q11Q11Q22 C1112 + 0 + ... = ( −1)( −1)(−1)(1)C1112
C1112 = −C1112
∴
C1112 = 0
A través de esta relación se pueden definir aquellos elementos que serán diferentes de cero.
Por otra parte, dado que la transformación es una matriz ortogonal, el problema se puede
analizar mediante
⎛ σ 1'
⎜
⎜ σ 6'
⎜
⎜ σ 5'
⎝
σ 6' σ 5' ⎞
σ 2'
σ 1'
σ 4'
σ 3'
⎟ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ σ1
⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜σ 6
⎟⎜
⎟ ⎜⎜
⎟⎜
⎟ ⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝ σ 5
⎠
σ 6 σ 5 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ σ1
σ 2 σ 4 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ σ 6
σ 4 σ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 −1⎠⎟ ⎝⎜ −σ 5
σ6
σ2
−σ 4
−σ 5 ⎞
⎟
−σ 4 ⎟
σ 3 ⎠⎟
Y para deformaciones
⎛ ε1'
⎜
⎜ 1 ε 6'
⎜2
⎜ 1ε'
⎝2 5
1ε'
2 6
ε 2'
1ε'
2 4
1ε' ⎞
2 5 ⎟ ⎛1
1 ε' ⎟ = ⎜0
2 4
⎜
0 0 ⎞ ⎛ ε1
⎟⎜
1 0 ⎟ ⎜ 12 ε 6
⎟ ⎜
⎟⎜ 1
' ⎟ ⎝
ε 3 ⎠ 0 0 −1⎠ ⎝⎜ 2 ε 5
1ε
2 6
ε2
1ε
2 4
1ε ⎞
2 5 ⎛1
⎟⎜
1ε
0
2 4 ⎟⎜
0 0 ⎞ ⎛ ε1
⎟ ⎜
1 0 ⎟ = ⎜ − 12 ε 6
⎟⎜
⎟ ⎜
ε 3 ⎠⎟ ⎝ 0 0 −1⎠ ⎝⎜ − 12 ε 5
Se considera que las 36 constantes son diferentes
σ1 = C11ε1 + C12ε 2 + C13ε 3 + C14ε 4 + C15ε 5 + C16ε 6
212
− 12 ε 6
ε2
− 12 ε 4
− 12 ε 5 ⎞
⎟
− 12 ε 4 ⎟
⎟
ε 3 ⎠⎟
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Considerando que x1 x2 es un plano de reflexión tal que Cαβ permanece inalterado en una
nueva base en la cual x3 = − x3 ; en este sistema, se tiene
'
′ ε1′ + C12
′ ε 2′ + C13
′ ε 3′ + C14
′ ε 4′ + C15
′ ε 5′ + C16
′ ε 6′
σ1′ = C11
(6.6)
pero
ε1′ = ε1,
σ1′ = σ1,
ε 2′ = ε 2 ,
ε 3′ = ε 3 ,
σ 2′ = σ 2 ,
ε 4′ = −ε 4 ,
σ 3′ = σ 3 ,
σ 4′ = −σ 4 ,
ε 5′ = −ε 5 ,
σ 5′ = −σ 5 ,
ε 6′ = ε 6
σ 6′ = σ 6
Por lo tanto,
σ1′ = σ1 = C11ε1 + C12ε 2 + C13ε 3 + C14ε 4 + C15ε 5 + C16ε 6
Como resultado, para que se conserve la igualdad entre (i ) y (ii) se debe cumplir
C14 = C15 = 0
Por un análisis similar se tiene que:
C24 = C25 = 0
C34 = C35 = 0
C64 = C65 = 0
Desarrollando ahora para σ 4 y σ 4′
σ 4 = C41ε1 + C42ε 2 + C43ε 3 + C44ε 4 + C45ε 5 + C46ε 6
′ ε1′ + C42
′ ε 2′ + C43
′ ε 3′ + C44
′ ε 4′ + C45
′ ε 5′ + C46
′ ε 6′
σ 4′ = C41
⇒
σ 4′ = −σ 4 = C41ε1 + C42ε 2 + C43ε 3 − C44ε 4 − C45ε 5 + C46ε 6
213
(6.7)
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Por lo tanto, se concluye que C41 , C42 , C43 , C46 , C51 , C52 , C53 , C56 son también igual a cero
para el plano x1 x2 de simetría elástica, por lo que Cαβ queda
Cαβ
⎡ C11
⎢
⎢C21
⎢
⎢C31
=⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢C
⎣ 61
C12
C13
0
0
C22
C23
0
0
C32
C33
0
0
0
0
C44
C45
0
0
C54
C55
C62
C63
0
0
C16 ⎤
⎥
C26 ⎥
⎥
C36 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
C66 ⎥⎦
(6.8)
Reducción de 36 a 13 constantes. Como ya se demostró, por las restricciones impuestas
por la energía de deformación se tiene que el tensor es simétrico, entonces Cαβ = C βα , con
lo que el número de constantes elásticas se reduce a 13. La relación existente entre los
términos del tensor de constantes elásticas con los términos que aparecen en la
representación matricial se tiene que
C11 = C1111 ,
C12 = C1122 , C13 = C1133 ,
C21 = C2211 ,
C22 = C2222 , C23 = C2233
C33 = C3333 ,
C36 = C3312
C14 = 2C1123 = 0,
C16 = 2C1112
C44 = 4C2323 , C45 = 4C2313
C55 = 4C1313
C66 = 4C1212
Constantes elásticas para un material monotrópico (monoclínico)
Para analizar el significado físico de las constantes elásticas descritas en la matriz Cαβ es
conveniente definir su inversa (matriz de complianza) Ω βα , de tal forma que
σ α = Cαβ ε β ⇒ ( Cαβ ) σ α = ( Cαβ ) Cαβ ε β
−1
214
−1
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
∴
( Cαβ )
−1
σα = ε β
(
Ω βα = Cαβ
Sí
⇒
)
−1
ε β = Ω βα σ α
(6.9)
Es entonces que se pueden describir éstas a través de
⎡ ε11
⎢
⎢ ε 22
⎢ ε 33
⎢
⎢ 2ε 23
⎢ 2ε
⎢ 31
⎣⎢ 2ε12
⎡ 1
⎢ E1
ε1 ⎤ ⎢ − υ21
⎥ ⎢ E
ε2 ⎥ ⎢ 1
υ31
ε 3 ⎥ ⎢ − E1
⎥=⎢
ε4 ⎥ ⎢ 0
ε 5 ⎥ ⎢⎢
⎥
ε 6 ⎦⎥ ⎢ 0
⎢ψ
⎢ E61
⎣ 1
−
υ12
E2
1
E2
−
υ32
−
υ13
−
υ23
E3
E3
0
η16 ⎤
0
0
η26 ⎥ ⎡ σ
0
E2
1
E3
0
0
0
0
1
ϕ45
0
0
ψ 62
ψ 63
E2
E3
μ4
ϕ54
G5
1
G4
μ5
0
0
G6
⎥
⎥⎢ 1
⎥ σ
η36 ⎢ 2
⎥
G6 ⎢σ 3
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 4
⎥ ⎢σ
⎥ 5
0 ⎥ ⎢σ
⎣⎢ 6
⎥
1 ⎥
μ6 ⎦
G6
σ11 ⎤
⎥
σ 22 ⎥
σ 33 ⎥
⎥
σ 23 ⎥
σ 31 ⎥
⎥
σ12 ⎦⎥
(6.10)
donde las constantes elásticas ( E , G ,υ ,η , ϕ , μ ,ψ ) que aparecen en la expresión 6.8 tienen el
siguiente significado físico:
•
Módulo de elasticidad ( E ). Representa la relación existente entre el esfuerzo
normal y la deformación normal, tal que Ei =
σi
, donde el subíndice representa
εi
el eje sobre el cual se refiere el módulo de elasticidad.
•
Módulo de rigidez a corte ( μ β = Gβ =
τ
τ
). Representa la relación entre el
=
γ
2ε
esfuerzo de corte y la deformación angular; el subíndice indica plano y dirección
de referencia.
•
ε
Coeficiente de Poisson ( υαβ = − α ). Representa la relación de la deformación
εβ
transversal (inducida) con relación a la deformación longitudinal (principal), donde
215
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
los subíndices indicarán la dirección de cada una de estas deformaciones y por
consecuencia la dirección de aplicación del esfuerzo normal β
y de la
deformación resultante α .
•
Factor de acoplamiento entre una solicitación a corte y la correspondiente
deformación longitudinal (ηαβ ). El índice α
representa la dirección de
deformación, mientras que β se refiere a las características de la solicitación a
corte que provoca la deformación.
•
Factor de acoplamiento entre solicitaciones a corte ( ϕαβ ). Relaciona la
deformación a corte en un plano α con los esfuerzos de corte en un plano β .
•
Factor de acoplamiento entre un esfuerzo normal y una deformación a
corte (ψ αβ ). Relaciona la deformación a corte en un plano α con el esfuerzo
normal en dirección β .
La simetría de la matriz demanda que
ν 21
E1
η16
G6
=
ν 12
=
ψ 61
ϕ 45
G5
Si
σ 11 ≠ 0
y
⇒
Si
E2
=
E1
,
ν 31
,
η26
E1
G6
=
ν 13
=
ψ 62
E3
E2
,
ν 32
,
η36
E2
ν 23
=
ψ 63
E3
E3
ϕ54
G4
σ ij = 0 ∀ij ≠ 11
ε11 =
σ11
E1
;
ν12 = −
ε
ε 22
; ν13 = − 33 ;
ε11
ε11
σ 6 = σ 12 ≠ 0, σ ij = 0, ∀i, j
⇒
G6
=
ε1 =
η16
G6
σ6
E1 , E2 y E3 son los módulos elásticos en los ejes x1 , x2 , x3
216
⇒ ε 6 = 2ε12 =
ψ 61
E1
σ1
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
En un material monotrópico con ê3 como normal del plano de simetría, un esfuerzo normal
produce una deformación de corte en el plano x1 x2 , con ηij como coeficientes de
acoplamiento, esto aun cuando el esfuerzo de corte en dicho plano sea cero. Por otra parte,
una solicitación a corte en el plano x1 x2 generará deformaciones normales (ε11 , ε 22 , ε 33 ) ,
aun cuando no existan esfuerzos normales. Asimismo, cortantes en el plano x3 x1
provocarán deformaciones a corte en
x2 x3 , lo mismo sucederá al invertir las
consideraciones.
Sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico
Si existen dos planos de simetría elástica se define al material como ortotrópico. Este
representa un comportamiento con restricciones adicionales a las impuestas a un sólido
monotrópico. Para este caso se define que los ejes de simetría elástica son x2 y el x3 , por
lo que los planos de reflexión estarán dados por x1 x3 y por x1 x2 (figura 6.5), por tal motivo,
la transformación es
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
Q = ⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜ 0 0 −1⎟
⎝
⎠
FIGURA 6.5 PLANOS DE REFLEXIÓN EN UN MATERIAL ORTOTRÓPICO (2 EJES DE SIMETRÍA)
217
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Se tiene entonces que la relación de los esfuerzos descritos en la base original con los
descritos a través de la base transformada es
⎛ σ 1′
⎜
⎜ σ 6′
⎜
⎜
⎝ σ 5′
σ 6′
σ 2′
σ 4′
σ 5′ ⎞ ⎛ 1
0 ⎞ ⎛ σ1
⎟⎜
0 ⎟ ⎜σ 6
⎟⎜
−1⎠⎟ ⎝⎜ σ 5
0
⎟ ⎜
σ 4′ ⎟ = ⎜ 0
⎟ ⎜
′
σ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0
−1
0
σ6
σ5 ⎞⎛1
0
⎟⎜
σ4 ⎟⎜0
⎟⎜
σ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0
σ2
σ4
−1
0
0 ⎞ ⎛ σ1
⎟ ⎜
0 ⎟ = ⎜ −σ 6
⎟ ⎜
−1⎟⎠ ⎝⎜ −σ 5
−σ 6
σ2
σ4
−σ 5 ⎞
⎟
σ4 ⎟
⎟
σ 3 ⎠⎟
Por un procedimiento análogo para las deformaciones, se tiene que
⎛ ε1′
⎜
⎜ 1 ε 6′
⎜2
⎜ 1 ε′
⎝2 5
1 ε′
2 6
ε 2′
1 ε′
2 4
⎛ ε1
⎟ ⎜
1 ε′ ⎟ = ⎜− 1 ε
2 4⎟ ⎜ 2 6
ε 3′ ⎟⎠ ⎜⎝ − 12 ε 5
1 ε′ ⎞
2 5
− 12 ε 6
ε2
1ε
2 4
− 12 ε 5 ⎞
⎟
1ε ⎟
2 4 ⎟
ε 3 ⎟⎠
′ , y para cumplir con lo anterior
Al definir la simetría elástica Cαβ = Cαβ
σ1 = σ1′
σ1 = C11ε1 + C12ε 2 + C13ε 3 + C14ε 4 + C15ε 5 + C16ε 6
′ ε1′ + C12
′ ε 2′ + C13
′ ε 3′ + C14
′ ε 4′ + C15
′ ε 5′ + C16
′ ε 6′
σ1′ = C11
Como
−ε 6 = ε 6′ ,
consecuencia,
ε 5 = −ε 5′
⇒
se requiere que
C15 = C16 = 0
C25 = C26 = C35 = C36 = C45 = C46 = 0
Entonces, desarrollando
σ 6′ = −σ 6
σ 6 = C61ε1 + C62ε 2 + C63ε 3 + C64ε 4 + C65ε 5 + C66ε 6
′ ε1′ + C62
′ ε 2′ + C63
′ ε 3′ + C64
′ ε 4′ + C65
′ ε 5′ + C66
′ ε 6′
σ 6′ = C61
218
y, por
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
σ 6′ = −σ 6
⇒
C61 = C62 = C63 = C64 = 0
σ 5′ = −σ 5
⇒
C51 = C52 = C53 = C54 = 0
Como en este caso, además de cumplir con sus restricciones particulares deberá cumplir
con las ya establecidas para un sólido monotrópico, entonces
Cαβ
⎡ C11 C12
⎢C
⎢ 21 C22
⎢C
C32
= ⎢ 31
0
⎢ 0
⎢ 0
0
⎢
0
⎢⎣ 0
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
C44
0
0
0
0
C55
0
0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
C66 ⎥⎦
Dado que la matriz es simétrica, entonces existirán sólo 9 constantes elásticas linealmente
independientes.
De todo lo antes expuesto se tiene que la relación matricial de esfuerzo con deformación
para un sólido elástico ortotrópico, de la forma ε β = Ω βα σ α , queda
⎡ ε11
⎢
⎢ ε 22
⎢
⎢ ε 33
⎢
⎢ 2ε
⎢ 23
⎢ 2ε
⎢ 31
⎢ 2ε
⎣ 12
ε1 ⎤ ⎡
1
E1
⎥ ⎢
ν
ε 2 ⎥ ⎢ − E21
⎢
1
⎥
ν 31
⎢
⎥
ε3 ⎢− E
1
⎥=
⎢
⎥
ε4
0
⎥ ⎢
⎢
ε5 ⎥ ⎢ 0
⎥
⎢
ε 6 ⎥⎦ ⎢ 0
⎣
−
ν12
ν13
−
ν 23
0
0
0
E2
1
E3
0
0
0
0
μ44
1
0
0
0
0
μ55
0
0
0
0
1
E2
−
−
0
E2
ν 32
E3
E3
1
0 ⎤ ⎡ σ1
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 2
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 3
⎥⎢
⎥
0 ⎥ ⎢σ 4
⎢
⎥⎢
0 ⎥ σ5
⎢
1 ⎥ ⎢σ
μ66 ⎥⎦ ⎣ 6
σ11 ⎤
⎥
σ 22 ⎥
⎥
σ 33 ⎥
⎥
σ 23 ⎥
⎥
σ 31 ⎥
⎥
σ12 ⎦⎥
(6.11)
donde E1 , E2 , E3 representan los módulos de elasticidad en dirección de los ejes x1, x2 , x3 ;
μ44 = G23 , μ55 = G31, μ66 = G12 representan los módulos de rigidez en los planos
x2 x3 , x3 x1, x1x2 respectivamente. Por su parte, ν ij representa el coeficiente de Poisson donde
la carga se aplica en el eje x j y la deformación se presenta en dirección xi .
219
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Determinación de las constantes elásticas independientes
con base en la notación tensorial
En notación índice para el material ortotrópico antes descrito se tiene que
Cijkm = air a js akt amn Crstn
Ejes de simetría:
x2 , x3
No existe simetría en x1
La ecuación anterior, como en el caso ya tratado del monotrópico, representa que el tensor
de constantes elásticas (4° orden) definido en el sistema original puede ser transformado a
las nuevas coordenadas a través del sistema air a js akt amn (tensor de rango 8).
Como ya ha sido mencionado, la transformación es de la forma
⎡1 0 0 ⎤
Qij = ⎢⎢0 −1 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 −1⎥⎦
Por lo que
Cijkm
⎡C1111
⎢
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
C1122
C1133
0
0
C2222
C2233
0
0
C3333
0
0
C2323
0
simetría
C1313
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
C1212 ⎥⎦
Sea que el desarrollo se realice con una base tensorial o sea que se defina una relación
matricial, lo anterior representa que el material tiene tres módulos de elasticidad de acuerdo
con las direcciones coordenadas, así como también tres módulos de rigidez a corte. En el
220
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
caso de los coeficientes de Poisson, éstos se encuentran relacionados a través de los
módulos de elasticidad, es por consecuencia que las ecuaciones de la forma ε = ε (σ ) se
expresan
ε11 =
ν σ
ν σ
1
σ 11 − 21 22 − 31 33
E1
E2
E3
ε 22 = −
ε 33 = −
De
las
constantes
ν 21
E1
ν 31
E1
σ11 +
σ11 −
ε 23 =
1
σ 23
2G23
ε 31 =
1
σ 31
2G31
ε12 =
1
σ 12
2G12
σ 22 ν 23
E2
−
E3
σ 33
ν 32 σ 22 σ 33
+
E2
E3
E1, E2 , E3 ,ν 21,ν 31,ν12 ,ν 32 ,ν13 ,ν 23 , μ44 , μ55 , μ66
sólo
nueve
son
linealmente independientes, donde
•
E1 , E2 y E3 son los módulos de Young en los ejes x1 , x2 , x3
•
μ44 , μ55 , μ66 son los módulos de corte en los planos x2 x3 , x3 x1 , x1 x2
•
ν ij es el coeficiente de Poisson con dirección de carga j y dirección transversal i .
Entonces se deberá cumplir que
ν 21
E1
=
ν 12
E2
;
ν 31
E1
=
ν 13
E3
221
;
ν 32
E2
=
ν 23
E3
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Sólido elástico, homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico
Un sólido elástico homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico representa una extensión
del comportamiento descrito para el material ortotrópico. La diferencia sustancial la
representa el que en éste no existirán tan solo dos planos de reflexión que se definen al
hacer girar la base un ángulo de π radianes alrededor del eje x1 , sino que la rotación se
hará para cualquier ángulo θ entre 0 y 2π radianes, lo que se traduce en un número
infinito de planos de reflexión, dando como consecuencia que las propiedades elásticas sean
las mismas, sin importar la dirección, esto sobre el plano x2 x3 . Es por lo anterior que se
define al material como transversalmente isotrópico. De lo antes expuesto, se concluye que
si existe un plano S1 tal que cualquier plano perpendicular a éste es un plano de simetría,
entonces se denomina al material como transversalmente isotrópico. Al plano S1 se le
denomina como plano de isotropía y su normal e1 es el eje de isotropía transversal. Un
material transversalmente isotrópico es también ortotrópico.
Ecuación constitutiva para un material elástico transversalmente isotrópico
De acuerdo con la figura 6.7, considérese que existe un plano S3 tal que cualquier plano
perpendicular es un plano de reflexión, por lo que S3 representa un plano de isotropía. Si
S β′ representa un plano cuya normal êβ′ es perpendicular al plano S3 y a su vez describe un
ángulo β con el eje x1 (eˆ1 ) , entonces S β′ es un plano de reflexión.
FIGURA 6.6 UN
MATERIAL TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO PRESENTA UN
INFINITO NÚMERO DE PLANOS DE REFLEXIÓN, LO CUALES SE
GENERAN AL GIRAR EL SISTEMA COOR DENADO UN ÁNGULO
CUALQUIERA ALREDEDOR DEL EJE
222
x3
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
FIGURA 6.7 MATERIAL
x1 , x2
TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO, EN ESTE CASO LOS EJES
GIRAN UN ÁNGULO
β
ALREDEDOR DEL EJE
x3
Entonces para cualquier ángulo β , el plano S β será por definición plano de simetría. Por
′ representa las componentes del tensor C con respecto a la base eˆi′ , la
tanto, si Cijkl
transformación estará dada por
e1′ = cosθ eˆ1 + sen θ eˆ2
e2′ = − sen θ eˆ1 + cosθ eˆ2
e3′ = eˆ3
FIGURA 6.8
CUALQUIER ÁNGULO θ
UNA NUEVA BASE
223
ENTRE
0 Y 2π
RADIANES GENERA
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Una rotación de π radianes dará lugar a un material ortotrópico, por lo que se puede
considerar al sólido transversalmente isotrópico como una extensión del comportamiento del
sólido elástico ortotrópico.
⎛
π⎞
π⎞
⎛
cos ⎜ θ − ⎟ cos ⎟
⎜ cos θ
2⎠
2⎟
⎝
⎜
⎛ cos θ
⎜
π⎞
π⎟ ⎜
⎛
Q = ⎜ cos ⎜ θ + ⎟
cos θ
cos ⎟ = ⎜ − sen θ
2
2⎟ ⎜
⎝
⎠
⎜
0
⎜
⎟ ⎝
π
π
cos
cos 0° ⎟
⎜ cos
2
2
⎝
⎠
sen θ
cos θ
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⇒ Q11 = cos θ ; Q12 = sen θ ; Q21 = − sen θ ; Q22 = cos θ ; Q31 = Q32 = Q13 = Q23 = 0; Q33 = 1
x3
l
FIGURA 6.9 LAS
x1
x2
T
T
PROPIEDADES
EN
TODA
DIRECCIÓN
TRANSVERSAL
SIMÉTRICAS CON RESPECTO AL EJE LONGITUDINAL
T
SON
l
Entonces para cualquier ángulo de rotación de los ejes
′ = C1113
′ = C1222
′ = C1223
′ = C1233
′ = C1322
′ = C1323
′ = C1333
′ = C1123
′ = C2223
′ = C2333
′ = C1213
′ =0
C1112
…(6.12)
224
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Como se mencionó anteriormente, la condición 6.12 es satisfactoria para cualquier θ no
conduciendo a mayores restricciones; sin embargo, para θ = 0° se tiene (esto será referido a
la base original)
C1112 = C1113 = C1222 = C1223 = C1233 = C1322 = C1323 = C1333 = C1123 = C2223 = C2333 = C1213 = 0
por lo que a partir de la ecuación de cambio de base en forma tensorial (tensor de rango 8)
Cijkm = air a js akt amn Crstn
Realizando las operaciones y sustituyendo los valores de
Qij
(6.13)
en la ecuación 6.11 se tiene
3
2
2
2
′ = Q11
C1113
Q13C1111 + Q11
Q21Q23C1122 + Q21
Q11Q13C2211 + Q11
Q31Q33C1133
2
2
2
2
+Q31
Q11Q13C3311 + Q11
Q21Q23C1212 + Q11Q21
Q13C1221 + Q21
Q11Q13C2121
2
+Q21Q11
Q23C2112 + ..... = 0 + 0 + 0 + ...... = 0
′ = 0 es satisfecho en conjunto con
Por lo que C1113
′ = C1322
′ = C1333
′ =0
C1223
Por otra parte, Q33 = 1 , de lo que se tiene
′ = Q11Q12C1313 + Q21Q22C2323 = 0
C1323
lo que requiere que
cos θ sen θ (C1313 − C2323 ) = 0
razón por la cual
C1313 = C2323
′ = 0 , lo que conduce a que C1133 = C2233 y de C1112
′ = 0 se concluye
En forma similar C1233
que
225
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
3
3
2
2
′ = Q11
C1112
Q12C1111 + Q21
Q22C2222 + Q11
Q21Q22C1122 + Q21
Q11Q12C2211
2
2
2
2
+Q11
Q21Q22C1212 + Q11Q21
Q12C1221 + Q21
Q11Q12C2121 + Q21Q11
Q22C2112
Pero cos θ sen θ ≠ 0 ⇒
-cos2 θ C1111 + sen 2 θ C2222 + (cos2 θ -sen 2 θ )C1122 + 2(cos2 θ - sen 2 θ )C1212 = 0
De un proceso similar para C1222 = 0 , se puede obtener
-sen 2 θ C1111 + cos2 θ C2222 - (cos2 θ - sen 2 θ )C1122 - 2(cos2 θ -sen 2 θ )C1212 = 0
de lo que
C1111 = C2222
y
C1212 = 12 (C1111 − C1122 )
Luego entonces S β será un plano de simetría, de tal forma que los coeficientes elásticos
′ sean iguales a los Cijkl para cualquier ángulo θ quedando en forma matricial
Cijkl
σ11 ⎤
⎡ C1111
⎥ ⎢
σ 22 ⎥ ⎢C1122
⎥ ⎢
σ 33 ⎥ ⎢C1133
⎥=⎢
σ 23 ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
σ 31 ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
σ12 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
C1122
C1133
0
0
C1111
C1133
0
0
C1133
C3333
0
0
0
0
C1313
0
0
0
0
C1313
0
0
0
0
226
⎤ ⎡ ε11
⎥⎢
⎥ ⎢ ε 22
0
⎥⎢
⎥ ⎢ ε 33
0
⎥⎢
⎥ ⎢ 2ε
0
⎥ ⎢ 23
⎥ ⎢ 2ε
0
⎥ ⎢ 31
1 (C
− C1122 ) ⎥⎦ ⎢⎣ 2ε12
2 1111
0
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Cαβ
⎛ C11
⎜
⎜ C12
⎜
⎜ C13
⎜
=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝
C12
C13
0
0
C11
C13
0
0
C13
C33
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
⎞
⎟
⎟
0
⎟
⎟
0
⎟
⎟
0
⎟
⎟
0
⎟
⎟
1
( C11 − C12 ) ⎟
⎠
2
0
Por tanto, el número de constantes elásticas se reduce a cinco (λ , μT , μ , φ , ς ) , por lo que
para un material sólido, elástico, transversalmente isotrópico con eje de simetría x3 (e3 ) , la
ecuación constitutiva de la forma σ ij = Cijkl ε kl se puede representar en forma simplificada
(seudonotación índice) como σ α = Cαβ ε β
C11 = λ + 2μT = λ + 2G12
C12 = λ
C13 = λ + φ
C33 = λ + 2φ + 4μ L − 2μT + ς = λ + 2φ + 4G31 − 2G12 + ς
C44 = μT = G12
1 (C − C )
11
12
2
= μ L = G31 = G32
en donde
μ44 = μ55 = μT = GT = G12 es el módulo de corte en el plano de isotropía
transversal
μ66 = μL = GL = G31 = G32 es el módulo de corte en cualquier plano perpendicular
al plano de isotropía transversal
227
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
σ11 ⎤ ⎡λ + 2μT
σ 22 ⎥⎥ ⎢⎢ λ
σ 33 ⎥ ⎢ λ + φ
⎥=⎢
σ 23 ⎥ ⎢ 0
σ 31 ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
σ12 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
λ
0
0
λ + 2μT
λ +φ
λ +φ
λ +φ
λ + 2φ + 4μ L − 2μT + ς
0
0
0
0
0
μT
0
0
0
0
0
μT
0
0
0
0
0 ⎤ ⎡ ε11
0 ⎥⎥ ⎢⎢ε 22
0 ⎥ ⎢ε 33
⎥⎢
0 ⎥ ⎢ε 23
0 ⎥ ⎢ ε 31
⎥⎢
μ L ⎥⎦ ⎢⎣ε12
Considerando la metodología empleada para definir las constantes elásticas linealmente
independientes en un material monotrópico y ortotrópico; y definiendo que la rotación se
producirá alrededor del eje x1 , para que así este comportamiento corresponda con las
restricciones ya impuestas, entonces se tendrá que la matriz de cambio de base está dada por
0
⎡1
⎢
Q = ⎢0 cos θ
⎣⎢0 -sen θ
0 ⎤
sen θ ⎥⎥
cos θ ⎦⎥
Dado que se deberá cumplir que σ α = Cαβ ε β , esto en representación matricial y utilizando
una seudonotación índice, entonces
′ ε β′
σα′ = Cαβ
donde
′
Cijkl = Cijkl
σ ′ = Qσ QT
ε ′ = Qε QT
en notación matricial se tiene
σ11 σ1 ⎤ ⎡ C11 C12
C12
0
0
C22
C23
0
0
C23
C33
0
0
0
0
0
0
0
C55
0
0
0
0
⎥ ⎢
σ 22 σ 2 ⎥ ⎢C12
⎥ ⎢
σ 33 σ 3 ⎥ ⎢C12
=
σ 23 σ 4 ⎥⎥ ⎢⎢ 0
σ 31 σ 5 ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
σ12 σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
1 (C
22
2
228
− C23 )
0
0 ⎤ ⎡ ε1
⎥⎢
0 ⎥ ⎢ε 2
⎥⎢
0 ⎥ ⎢ε 3
⎥⎢
0 ⎥ ⎢ε 4
0 ⎥ ⎢ε 5
⎥⎢
C55 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6
ε11
ε 22
ε 33
2ε 23
2ε 31
2ε12
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Los elementos de la matriz de rigidez cumplen con
C11 > 0,
C33 > 0,
C44 > 0,
C11 − C12 > 0
Considerando las constantes
Módulo elástico transversal ( ET ). Para un sistema donde existe isotropía en el
⇒
plano x2 x3
E2 = E3 = ET = C22 = C33 .
⇒
Módulo elástico longitudinal ( El )
El = E1 ≠ ET = C11
Considerando ahora la representación ε β = K βα σ α , donde K βα = (Cαβ )
−1
, se tiene
entonces en descripción matricial
⎡ ε11
⎢
⎢ ε 22
⎢
⎢ ε 33
⎢
⎢ 2ε
⎢ 23
⎢ 2ε
⎢ 31
⎢ 2ε
⎣ 12
ε1 ⎤ ⎡
1
E1
⎥ ⎢
ν
ε 2 ⎥ ⎢ − E21
⎥ ⎢ 1
ν
ε 3 ⎥ ⎢⎢ − E31
1
⎥=
⎢
⎥
ε4 ⎢ 0
⎥
⎢
ε5 ⎥ ⎢ 0
⎥
⎢
ε 6 ⎥⎦ ⎢ 0
⎣
−
ν12
ν13
−
ν 23
0
0
0
1
E2
0
0
0
0
1
G23
0
0
0
0
1
G12
0
0
0
0
1
E2
−
−
0
E2
ν 32
E2
E2
E2
0 ⎤ ⎡ σ1
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 2
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 3
⎥⎢
⎥
0 ⎥ ⎢σ 4
⎢
⎥⎢
0 ⎥ σ5
⎢
1 ⎥ ⎢σ
G12 ⎥
⎦⎣ 6
σ11 ⎤
⎥
σ 22 ⎥
⎥
σ 33 ⎥
⎥
σ 23 ⎥
⎥
σ 31 ⎥
⎥
σ12 ⎦⎥
(6.14)
Para este caso, como ya ha sido manifestado, las constantes elásticas para el sólido elástico
transversalmente isotrópico son
Módulo de elasticidad longitudinal ( E1 = EL ) y transversal ( E2 = ET )
Coeficiente de Poisson longitudinal (ν 12 = ν L ) y transversal (ν 23 = ν T )
Módulo de Rigidez a corte longitudional G23 y transversal G12
229
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Desarrollando el arreglo matricial 6.14, se tiene
ε11 =
σ11 ν L σ 22 ν L σ 33
−
E1
ε 22 = −
ε 33 = −
νL
E2
E2
σ11 +
−
E2
σ 22 ν T σ 33
E2
−
ν Lσ11 ν T σ 22
E2
−
E2
E2
+
σ 33
E2
ε 23 =
1
1
σ 23 =
σ 23
2G23
2GT
ε 31 =
1
1
σ 31 =
σ 31
2G13
2G L
ε12 =
1
1
σ 12 =
σ 12
2G12
2GL
(6.15)
Todo lo anterior dado que deberá existir simetría en el tensor rigidez o matriz de complianza.
La descripción de un comportamiento característico para un sólido elástico transversalmente
isotrópico se puede emplear para materiales tales como la madera o los huesos largos (por
ejemplo el fémur o la tibia), materiales en los cuales es claro que se tienen propiedades
diferentes en el eje longitudinal con respecto a su plano transversal.
Sólido elástico lineal homogéneo e isotrópico
El mayor nivel de idealización se presenta cuando se considera un material sólido, elástico,
homogéneo, lineal e isotrópico. En este caso, se considera que las propiedades son iguales
en cualquier dirección, no sólo en un plano como en el transversalmente isotrópico, figura
6.8. Si bien cualquier sólido cristalino será por definición no isotrópico, es necesario recordar
que en general los sólidos son policristalinos y que sus cristales usualmente se orientan al
azar dando como consecuencia que sus propiedades elásticas, las cuales se evalúan de
230
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
manera macroscópica, representen promedios de las definidas para cada dirección
cristalográfica.
FIGURA 6.10
EN
UN MATERIAL ISOTRÓPICO CUALQUIER TRÍADA DE EJES MUTUAMENTE
PERPENDICULARES REPRESENTA UNA BASE Y EN CUALESQUIER BASE LAS
PROPIEDADES ELÁSTICAS SERÁN IGUALES
Por ejemplo, un metal recocido o que provenga de fundición se puede considerar sin mayor
inconveniente como isotrópico; sin embargo, la misma aleación después de una fuerte
deformación en frío, que provoca que los cristales se orienten de manera preferencial, ya no
se podrá considerar que presenta un comportamiento isotrópico, sino en el mejor de los
casos se describirá como transversalmente isotrópico.
Considerando una base x1 x2 x3 , la descripción en forma tensorial queda
σ ij = Cijkl ε kl
Ahora para una base x1′ x2′ x3′ , la cual se obtiene al girar los ejes a cualquier ángulo se tendrá
σ ij′ = C′ijkl ε ′kl
Al ser isotrópico el material, entonces el tensor de constantes elásticas será siempre igual en
cualquier base
′
Cijkl = Cijkl
Dado que la representación (tensor) no se modifica (mantiene sus mismos componentes)
con respecto a cualquier base, se le denomina isotrópico. Este tipo de tensores, como fue
231
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
comentado en el capítulo 1, tienen propiedades particulares como son de que su suma (de
tensores isotrópicos) da lugar a un nuevo tensor isotrópico, la multiplicación por un escalar
produce un nuevo tensor isotrópico y el producto entre tensores isotrópicos es igualmente
isotrópico; por último, es conveniente recordar que el único tensor isotrópico de rango dos es
la delta de Kronecker.
El tensor de constantes elásticas deberá cumplir con las restricciones ya antes enumeradas,
Cijkl = Cijlk
Cijkl = C jikl
Cijkl = Cklij
El tensor al ser isotrópico se puede descomponer en la suma de varios tensores igualmente
isotrópicos
Cijkl = Aijkl + Bijkl + H ijkl
Éstos a su vez se pueden descomponer a través del producto con un escalar, de tal forma
que
Aijkl = λ aijkl
Bijkl = α bijkl
H ijkl = β hijkl
∴
Cijkl = λ aijkl + α bijkl + β hijkl
A su vez, los tensores aijkl , bijkl , hijkl se pueden descomponer en el producto de dos
tensores isotrópicos, sin embargo, el único tensor isotrópico de rango dos es la delta de
Kronecker ( δ ij ).
⇒
aijkl = δ ij δ kl
bijkl = δ ik δ jl
hijkl = δ il δ jk
232
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Los índices de δ ij son indistintos ya que de todas las formas representa al tensor identidad
de rango dos para la operación producto. Sustituyendo se tiene
σ ij = Cijkl ε kl
σ ij = (λ aijkl + α bijkl + β hijkl )ε kl
(λδ ijδ kl )ε kl = λδ ij ε kk = λε k ε k δ ij
(αδ ik δ jl )ε kl = (αδ ik )ε jk = αδ ik ε jk = αε ij
( βδ il δ jk )ε kl = ( βδ il δ jk )ε lk = ( βδ il )ε jl = βε ij
αε ij + βε ij = 2 με ij
∴
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
Por su parte, en notación general se expresa como
σ = λ I Δ + 2 με
donde Δ = ∇ ⋅ u
A las constantes elásticas λ , μ se les define como constantes de Lamé en honor del
matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), quien en 1852 publicó su Teoría Matemática
de la Elasticidad, en la cual se desarrollaron por vez primera estas expresiones.
Desarrollando las ecuaciones para el Sólido, Elástico, Homogéneo, Lineal e Isotrópico
(SEHLI) y sustituyendo en la descripción tensorial, se tiene que:
233
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎡ σ11 ⎤ ⎡λ + 2 μ
⎢σ ⎥ ⎢ 0
⎢ 12 ⎥ ⎢
⎢σ13 ⎥ ⎢ 0
⎢
⎥ ⎢
⎢σ 21 ⎥ ⎢ 0
⎢σ 22 ⎥ = ⎢ λ
⎢
⎥ ⎢
⎢σ 23 ⎥ ⎢ 0
⎢σ ⎥ ⎢ 0
⎢ 31 ⎥ ⎢
⎢σ 32 ⎥ ⎢ 0
⎢σ ⎥ ⎢ λ
⎣ 33 ⎦ ⎣
0
λ
μ
0
0
μ
0
μ
0
μ
0
μ
0
0
0
0
0
0
λ + 2μ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
μ
0
0
0
0
0
0
0
0
μ
0
0
0
0
0
0
μ
0
0
μ
μ
λ
0
0
0
⎤ ⎡ ε11 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ ε12 ⎥⎥
0 ⎥ ⎢ ε13 ⎥
⎥⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ε 21 ⎥
λ ⎥ ⎢ε 22 ⎥
0
⎥⎢ ⎥
μ
0 ⎥ ⎢ε 23 ⎥
0
0 ⎥ ⎢ ε 31 ⎥
⎥⎢ ⎥
μ
0 ⎥ ⎢ε 32 ⎥
0 λ + 2 μ ⎥⎦ ⎢⎣ε 33 ⎥⎦
0
0
0
0
λ
La primera constante de Lamé λ no tiene significado físico, mientras que μ = G representa
al módulo de rigidez a corte. La relación esfuerzo-deformación, en forma matricial, para un
SEHLI se expresa como
σ 11
σ 22
σ 33
σ 23
σ 31
σ 12
σ1 ⎤ ⎡λ + 2 μ
λ
λ
0
0
0 ⎤ ⎡ ε1
⎢
⎥
⎢
σ2 ⎥ ⎢ λ
λ + 2μ
λ
0
0
0 ⎥⎥ ⎢ ε 2
σ3 ⎥ ⎢ λ
λ
λ + 2μ 0
0
0 ⎥ ⎢ ε3
=
⎥ ⎢
⎥ ⎢1
σ4 ⎥ ⎢ 0
0
0
2μ 0
0 ⎥ ⎢ 2 ε4
σ5 ⎥ ⎢ 0
0
0
0 2 μ 0 ⎥ ⎢ 12 ε 5
⎥ ⎢
⎥⎢
σ 6 ⎦⎥ ⎣ 0
0
0
0
0 2μ ⎦ ⎢ 1 ε 6
⎣2
σ11 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2 με11
σ 22 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2με 22
σ 33 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2με 33
σ12 = σ 21 = 2με12 = 2με 21
σ 23 = σ 32 = 2με 23 = 2με 32
σ 31 = σ13 = 2με 31 = 2με13
234
ε11
ε 22
ε 33
ε 23
ε 31
ε12
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Otras constantes elásticas
A partir de la relación general σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij se tiene que
σ kk = 3λε kk + 2με kk
σ kk = (3λ + 2 μ ) ε kk
Se define el esfuerzo hidrostático como
σH =
σ kk
3
De lo que se tiene que
⎛
⎝
⎞
⎠
2
σ H = ⎜ λ + μ ⎟ ε kk
3
La ecuación anterior relaciona la componente esférica del esfuerzo σ H
(esfuerzo
hidrostático) con el cambio elástico de volumen ε kk . A la constante de proporcionalidad se le
denomina como factor de compresibilidad ( k ) , entonces
k =λ+
2μ
3
Por lo tanto, la ecuación se puede expresar como
σ H = kε ii
La ecuación general σ = σ (ε ) se puede despejar para expresar en la forma ε = ε (σ ) , de
tal forma que
(σ ij − λε kk δ ij )
ε ij =
1
= ε ij
2μ
⎞
1 ⎛
λ
σ kk δ ij ⎟
⎜ σ ij −
2μ ⎝
3λ + 2μ
⎠
Si se considera ahora un estado uniaxial de esfuerzos
235
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎛ σ11 0 0 ⎞
σ ij = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
ε11 =
⇒
tal que
⎞
⎛
⎞
1 ⎛
λ
⎜ σ11 − ⎜
⎟ σ11 ⎟
2μ ⎝
⎝ (3λ + 2μ ) ⎠
⎠
Tomando un común denominador
ε11 =
1 ⎛ (3λ + 2μ )σ11 − λσ11 ⎞ (λ + μ )σ11
⎜
⎟=
2μ ⎝
(3λ + 2μ )
⎠ μ (3λ + 2μ )
y si se define el módulo de elasticidad o módulo de Young como la relación existente entre el
esfuerzo normal y la deformación normal, tal que
E=
σ 11
ε11
por lo que de la expresión
ε11 =
(λ + μ )σ11 σ 11
=
μ (3λ + 2 μ ) E11
se puede despejar el módulo de elasticidad, considerando además que por ser un material
isotrópico
E11 = E22 = E33 = E
⇒
E=
μ (3λ + 2μ )
(λ + μ )
Si se define al coeficiente de Poisson ν como la relación de la deformación transversal ε T
a la deformación longitudinal ε L , se tendrá que para un estado uniaxial de esfuerzos
236
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
ν =−
εT
εL
ν =−
ε 22
ε11
⇒
o ν =−
ε 33
ε11
y sustituyendo en la ecuación general
ε 22 =
⎞
1 ⎛
λ
σ11 ⎟
⎜0 −
2μ ⎝
3λ + 2μ
⎠
y en la definición de coeficiente de Poisson
ν =−
−λ
σ11
2μ (3λ + 2μ )
=−
λ+μ
σ
μ (3λ + 2μ ) 11
ε 22
ε11
Se tiene que
ν=
λ
2(λ + μ )
Despejando
2(λ + μ )ν = λ
(2λν + 2μν ) = λ
2 μν = λ (1 − 2ν )
λ=
2 μν
(1 − 2ν )
Dado que la constante de Lamé λ no tiene significado físico resultará mucho más práctico
describir la relación de ε = ε (σ ) a través del módulo de elasticidad y del coeficiente de
Poisson, por lo que sustituyendo
237
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎛ 2 μν
⎞
+ 2μ ⎟
⎝ 1 − 2ν
⎠=
μν
2
⎛
⎞
⎜
⎟+μ
⎝ 1 − 2ν ⎠
μ ⎜3
E=
⎛ 6 μν + 2 μ (1 − 2ν ) ⎞
⎟
1 − 2ν
⎝
⎠
μν
+
μ
−
ν
2
(1
2
)
⎛
⎞
⎜
⎟
1 − 2ν
⎝
⎠
μ⎜
μ (6μν + 2μ − 4μν ) 2μ 2 (ν + 1)
=
2μν + μ − 2μν
μ
E=
⇒
E = 2 μ (1 + ν )
∴
μ=
E
2(1 + ν )
ε ij =
⎞
1 ⎛
λ
σ kk δ ij ⎟
⎜ σ ij −
2μ ⎝
3λ + 2μ
⎠
Además, si se sustituye en
μ=
E
2(1 + ν )
⇒
1
(1 + ν )
=
2μ
E
2μν
λ
1 − 2ν
=
(3λ + 2μ )
⎛ 2μν ⎞ 2μ (1 − 2ν )
3⎜
⎟+
1 − 2ν
⎝ 1 − 2ν ⎠
λ
(3λ + 2 μ )
λ
(3λ + 2 μ )
=
=
2 μν
6 μν + 2 μ − 4 μν
ν
ν +1
⎞
⎛ 1 +ν ⎞ ⎛
⎛ ν ⎞
ε ij = ⎜
⎟ ⎜ σ ij − ⎜
⎟ σ kk δ ij ⎟
⎝ E ⎠⎝
⎝ν + 1 ⎠
⎠
∴
ε ij =
1
⎡(1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij ⎤
⎦
E⎣
ε ij =
1
⎡ (1 + ν )σ ij −νσ kk δ ij ⎤
⎦
2 μ (1 + ν ) ⎣
238
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Esta ecuación se le conoce como Ley de Hooke generalizada, la cual al desarrollarla da
lugar a
ε11 =
1
1
((1 +ν )σ11 −ν (σ11 + σ 22 + σ 33 )) = (σ11 −ν (σ 22 + σ 33 ) )
E
E
ε 22 =
1
1
((1 +ν )σ 22 −ν (σ11 + σ 22 + σ 33 )) = (σ 22 −ν (σ11 + σ 33 ) )
E
E
ε 33 =
1
1
((1 +ν )σ 33 −ν (σ11 + σ 22 + σ 33 )) = (σ 33 −ν (σ11 + σ 22 ) )
E
E
ε12 = ε 21 =
1
σ12
2μ
ε 23 = ε 32 =
1
σ 23
2μ
ε 31 = ε13 =
1
σ 31
2μ
Estas ecuaciones se pueden presentar en forma matricial como
⎡ ε11 ε1 ⎤ ⎡ E1
⎢
⎥ ⎢
⎢ε 22 ε 2 ⎥ ⎢ − ν
⎢
⎥ ⎢ E
⎢ε ε 3 ⎥ ⎢ − ν
⎢ 33 ⎥ = ⎢ E
⎢ε ε 4 ⎥ ⎢ 0
⎢ 23 2 ⎥ ⎢
⎢ε ε 4 ⎥ ⎢ 0
⎢ 31 2 ⎥ ⎢
⎢ε ε 4 ⎥ ⎢ 0
⎣ 12 2 ⎦ ⎢⎣
− νE
− νE
0
0
1
E
− νE
0
0
− νE
1
E
0
0
0
0
1
2μ
0
0
0
0
1
2μ
0
0
0
0
0 ⎤ ⎡ σ1
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 2
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 3
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 4
⎥⎢
0 ⎥ ⎢σ 5
⎥⎢
1 ⎥⎢
2μ ⎥
⎦ ⎣σ 6
σ11 ⎤
⎥
σ 22 ⎥
⎥
σ 33 ⎥
⎥
σ 23 ⎥
⎥
σ 31 ⎥
⎥
σ12 ⎥⎦
El valor del coeficiente de Poisson de un sólido elástico isotrópico es del orden de
embargo, si el material es incompresible se tiene que
2
1
k = λ + μ = (3λ + 2μ )
3
3
239
1
, sin
3
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Sustituyendo en
E=
μ (3λ + 2 μ )
λ+μ
1
(3λ + 2 μ )
⎞
k 3
1⎛λ +μ ⎞ 1⎛ λ
=
= ⎜
= ⎜ + 1⎟
⎟
E μ (3λ + 2 μ ) 3 ⎝ μ ⎠ 3 ⎝ μ ⎠
λ+μ
Y al sustituir el valor de
λ
μ
2νλ + 2 μν = λ
⇒
2 μν = λ − 2νλ = λ (1 − 2ν )
λ
2ν
=
μ 1 − 2ν
k 1 ⎛ λ ⎞ 1 ⎛ 2ν
⎞ 1⎛ 1 ⎞
= ⎜ + 1⎟ = ⎜
+ 1⎟ = ⎜
⎟
E 3 ⎝ μ ⎠ 3 ⎝ 1 − 2ν ⎠ 3 ⎝ 1 − 2ν ⎠
k
1
=
E 3 − 6ν
⇒ 3(1 − 2ν )k = E
E
= 3 − 6ν
k
Al ser incompresible el sólido
⇒
k →∞
⇒
ν = ⎜ 3 − ⎟ = = 0.5
6
6
∞
∴
ν → 0.5
1⎛
E⎞
⎝
⎠
3
Esto representa que cuando el material es incompresible el coeficiente de Poisson será de
ν=
1
2
240
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
6.4 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD EN EL ANÁLISIS
DE DIFERENTES PROBLEMAS BÁSICOS
Estudio de una barra circular sometida a torsión
Una barra de sección circular de radio r , diámetro φ y longitud l , la cual es sometida a un
momento torsionante M T , en el eje longitudinal de la barra (figura 6.11). Considere que se
trata de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico y con esa base determine:
a) Campo de desplazamientos
b) Tensor de deformación
c) Tensor de esfuerzos
d) Esfuerzos principales y su orientación con relación al eje longitudinal de la barra
Con la finalidad de facilitar el análisis, el sistema coordenado se elige de tal forma que el
origen coincida con el empotramiento de la barra, donde un eje ( x1 ) corresponde el eje de
simetría de ésta, mientras que los otros dos están referidos al plano transversal. El momento
torsionante provoca una deformación angular θ sobre el plano x2 x3 , la cual es función de
la distancia al origen θ = θ ( x1 ) , siendo ésta cero para x1 = 0 y máxima para x1 = l .
FIGURA 6.11 CILINDRO SOMETIDO A UN MOMENTO TORSIONANTE
241
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
El campo de desplazamientos u está dado por
u =θ ×r
θ = θ eˆ1 + 0eˆ2 + 0eˆ3
r = x1eˆ1 + x2 eˆ2 + x3 eˆ3
eˆ1
eˆ2
0
x2
θ
x1
⇒
eˆ3
0
x3
u = 0eˆ1 − θ x3 eˆ2 + θ x2 eˆ3
a) Por tanto, el campo de desplazamientos queda
∴
u = − x3θ eˆ2 + x2θ eˆ3
A partir de la descripción del campo de desplazamientos y conociendo que
θ = f ( x1 )
y dado que si
x1 = 0
⇒
θ =0
x1 = l
⇒
θ = θ máx
se puede definir el campo de deformaciones
x2
ε11 =
∂u1
=0
∂x1
ε 22 =
∂u2
=0
∂x2
ε 33 =
∂u3
=0
∂x3
u3
x3
242
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
⎛
1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ 1 ⎛
∂θ ⎞ ⎞ 1 ⎛
∂θ ⎞
+
⎟ = ⎜⎜ 0 + ⎜ − x3
⎟ ⎟⎟ = ⎜ − x3
⎟
2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠ 2 ⎝
∂x1 ⎠ ⎠ 2 ⎝
∂x1 ⎠
⎝
ε12 = ⎜
1 ⎛ ∂u2 ∂u3 ⎞ 1
+
⎟ = ( −θ + θ ) = 0
2 ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠ 2
ε 23 = ⎜
1 ⎛ ∂u3 ∂u1 ⎞
+
⎟=
2 ⎝ ∂x1 ∂x3 ⎠
ε 31 = ⎜
b) El tensor de deformaciones ε =
⎞ 1 ⎛ ∂θ ⎞
1 ⎛ ∂θ
+ 0 ⎟ = ⎜ x2
⎜ x2
⎟
2 ⎝ ∂x1
⎠ 2 ⎝ ∂x1 ⎠
1⎡
∇ X u + (∇ X u )T ⎤ queda
⎦
2⎣
⎡
0
⎢
⎢
⎢ 1 ∂θ
ε ij = ⎢ − x3
⎢ 2 ∂x1
⎢ 1 ∂θ
⎢ x2
⎣ 2 ∂x1
1 ∂θ
− x3
2 ∂x1
0
0
1 ∂θ ⎤
x2
⎥
2 ∂x1 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎦
c) Dado que se trata de un sólido elástico isotrópico σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij , el tensor de
esfuerzos está dado por
⎡
0
⎢
⎢
⎢
∂θ
σ ij = ⎢ − μ x3
∂x1
⎢
⎢
∂θ
⎢ μ x2
∂x1
⎣
− μ x3
0
0
∂θ
∂x1
∂θ ⎤
⎥
∂x1 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎦
μ x2
La validez del campo de esfuerzos se puede verificar a través del cumplimiento de la
ecuación de Cauchy, considerando la existencia de equilibrio y despreciando las fuerzas de
cuerpo
∂σ ij
∂x j
=0
243
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
∂σ11 ∂σ12 ∂σ13
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
⇒
1
1
∂ 2θ
∂ 2θ
− x3 μ
+ x2 μ
=0
2
∂x1∂x2 2
∂x3∂x1
∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
⇒
− μ x3
∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
⇒
μ x2
∂ 2θ
∂x12
∂ 2θ
∂x12
+0+0 = 0
+0+0 = 0
De lo antes expuesto se concluye que será necesario cumplir con
∂ 2θ
∂x12
=0
Entonces se constata que
∂θ
= ctte
∂x1
Se deberá cumplir también que la fuerza en las superficies laterales sea igual a cero (no
existe carga aplicada sobre éstas).
t
x2
n=
1
( x2eˆ2 + x3eˆ3 )
r
x3
ti = σ ij n j = 0
t1 ⎤
⎡ 0 σ12 σ13 ⎤ ⎡ 0 ⎡0 ⎤
1
t2 ⎥⎥ = ⎢⎢σ 21 0
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 = ⎢⎢0 ⎥⎥
r
⎢⎣σ 31 0
t3 ⎥⎦
0 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎢⎣0 ⎥⎦
244
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
1
ti = (σ12 x2 + σ13 x3 )(eˆ1 + 0eˆ2 + 0eˆ3 )
r
Sustituyendo el valor de las componentes del esfuerzo, se tiene que
ti = μ
∂θ
( − x3 x2 + x2 x3 )eˆ1 = 0
∂x1
De lo que se concluye que las superficies están libres de cargas, esto es, la barra es
sometida a momentos de torsión pura.
En cualquier superficie normal a x1 aparecerán los esfuerzos de corte σ 21 , σ 31 ; donde el
primero genera una rotación en dirección de las manecillas del reloj, mientras que el
segundo hace lo mismo en dirección contraria. Además, se conoce que no existe ninguna
fuerza resultante sobre dicho plano, esto es
De la figura se debe cumplir lo siguiente:
•
Resultantes en x1 = l
R1 = ∫ σ11n1dA = 0
R2 = ∫ σ 21n1dA = − μ
∂θ
x3 dA = 0
∂x1 ∫
R3 = ∫ σ 31n1dA = + μ
∂θ
x2 dA = 0
∂x1 ∫
Si bien al integrar las fuerzas sobre el plano cuya normal es e1 , la resultante debe ser igual a
cero, ya que no existe ninguna fuerza que se esté aplicando. Por otra parte, el momento que
245
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
los esfuerzos generan alrededor del eje x1 se debe a la aplicación del momento torsionante,
y se deberán equilibrar con éste
M T1 = ∫ ( x2σ 31 − x3σ 21 ) dA
Sustituyendo el momento torsionante sobre el eje x1 se tiene que
M T1 = ∫ μ
∂θ
( x2 2 + x32 ) dA
∂x1
Además,
MT2 = MT3 = 0
Resulta evidente que
M T1 = μ
∂θ
r 2 dA
∫
∂x1
Por otra parte, la definición de momento polar de inercia ( I p ) de la sección transversal de
área es
I p = ∫ r 2dA
por lo que el momento torsionante sobre x1 se expresa
M T1 = μ
Ip = ∫
∂θ
Ip
∂x1
r 2
r dA =
0
∫0 ∫0
De lo anterior queda
∂θ M T1
=
∂x1 μ I p
246
r 2π
r rdθ dr =
2
π r4
2
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Lo que significa que la distorisión angular
∂θ
es directamente proporcional a la solicitación
∂x1
aplicada e inversamente proporcional a la rigidez del material μ y a la rigidez geométrica I p
De otra forma, despejando el módulo de rigidez a corte ( μ ) se tiene
μ=
M T1
⎛ ∂θ ⎞
⎜
⎟Ip
⎝ ∂x1 ⎠
Lo anterior representa que se puede determinar el módulo de rigidez a corte a través de un
ensayo de torsión.
Sustituyendo en el tensor de esfuerzos se tiene
⎡
0
⎢
⎢
⎢
⎢ − μ x3 M T
σ ij = ⎢
⎢ μI p
⎢
⎢ μ x2 M T
⎢ μI p
⎣
− μ x3 M T
μI p
μ x2 M T ⎤
⎥
μI p ⎥
0
0
0
0
− x3
⎥ ⎡ 0
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ − x3
⎥ ⎢
⎥ ⎢⎣ x2
⎥
⎥
⎦
0
0
x2 ⎤
⎥M
0⎥ T
⎥ Ip
0 ⎥⎦
La aplicación de un momento torsionante genera un estado de esfuerzos de corte puro
donde estos son proporcionales al momento aplicado y a la distancia al eje de rotación e
inversamente proporcionales al momento polar de inercia I p . Donde para una barra de
sección circular, la rigidez geométrica es proporcional al diámetro a la cuarta, por lo que una
barra hueca es más eficiente, con relación a su peso, para transmitir el par.
Ip =
π r4
2
=
π D4
32
; Ip =
247
(
π D4 − d 4
32
)
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Esfuerzos principales
Con base en el estado de esfuerzos σ ij se puede analizar éste, para lo anterior se
considerará un elemento diferencial que se encuentra en la superficie de la barra y cuya
posición corresponde con uno de los ejes coordenados. Se debe de tener en cuenta que
existe simetría con respecto al eje longitudinal x1 , por lo que el resultado de los esfuerzos
principales corresponderá a cualquier elemento en la superficie de la barra. Por otra parte, se
trata de un estado a corte puro, por lo que su representación en el círculo de Mohr estará
dada por la figura 6.12, y los esfuerzos principales serán:
x2 = 0; x3 = r
σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I3 = 0
I1 = σ11 + σ 22 + σ 33 = 0
2
2
2
I 2 = σ11σ 22 + σ 22σ 33 + σ 33σ11 − (σ12
+ σ 23
+ σ 31
)
2
2
I 2 = −(σ12
+ σ 31
)
2
2
⎡⎛
⎞ ⎛ M T x2 ⎞ ⎤
⎛M
M
x
3
T
I 2 = − ⎢⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥ = −⎜ T
⎜ Ip
⎢⎜ I p ⎟ ⎜ I p ⎟ ⎥
⎠ ⎝
⎠ ⎦
⎝
⎣⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(
x32
+
x22
)
⎛M
= −⎜ T
⎜ Ip
⎝
2
⎞ 2
⎟ (r )
⎟
⎠
2
2
2
I3 = σ11σ 22σ 33 + 2σ12σ 23σ 31 − (σ11σ 23
+ σ 22σ 31
+ σ 33σ12
)
I3 = 0
⎛M
σ −⎜ T
⎜ Ip
⎝
3
2
⎞
2
2
⎟ ( x3 + x2 )σ = 0
⎟
⎠
⎛
⎛M
σ ⎜σ 2 − ⎜ T
⎜ Ip
⎜
⎝
⎝
2
⎞
⎞
2
2 ⎟
⎟ ( x3 + x2 ) = 0
⎟
⎟
⎠
⎠
σ2 = 0
248
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
σ1,3 = ±
MT
r
Ip
donde r es la distancia desde el centro de la barra.
Lo anterior indica que los máximos normales son iguales a los cortantes máximos, lo que
corresponde con un estado de corte puro.
Para el valor principal
σ1 =
MT
R
Ip
siendo R el radio del cilindro, la ecuación del eigenvector queda
−
MT R 1 MT R 1
n1 −
n2 = 0
Ip
Ip
−
MT R 1
n3 = 0
Ip
De lo que se desprende que n1 = −n2 , n3 = 0 , por lo que el eigenvector es n =
1
1
1
τ
σ3
FIGURA 6.12
CIRCULO
DE
σ2
σ1
MOHR,
LA
σ
APLICACIÓN
DEL
MOMENTO
TORSIONANTE GENERA UN ESTADO DE CORTE PURO
249
1
( e1 − e2 )
2
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Esta normal determina que para un plano cuya normal sea e1 en la coordenada ( x1 , 0, r ) se
define un ángulo de π 4 con relación al eje x1 ; lo que da lugar a una falla con un desarrollo
helicoidal a π 4 con relación a dicho eje, esto para el caso de la fractura de la barra para un
material frágil.
Barra sometida a carga uniaxial (tracción o compresión)
Suponga una barra sometida a una carga uniaxial (tracción o compresión) la cual coincide
con su eje longitudinal (figura 6.13). La carga provoca una deformación infinitesimal en el
rango elástico, por lo que
xi ≅ X i
σ 11 =
f1
∫A n1dA
x2
x2
f1
f1
FIGURA 6.13 BARRA CILÍNDRICA DE RADIO EXTERIOR
x3
R , LA CUAL ES SOMETIDA A UNA CARGA f1
En x1 = 0, x1 = l se tiene f1 , por otra parte para 0 < x1 < l , entonces
σ11 =
f
, σ12 = σ 31 = σ 22 = σ 33 = σ 23 = 0
A1
Considerando lo anterior se tiene que
i.
Las ecuaciones de equilibrio son satisfechas ∇ i σ = 0
250
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
ii.
Las condiciones de frontera se satisfacen
iii.
Existe un campo de desplazamientos que corresponde con el campo de
esfuerzos
Tensor de esfuerzos
⎛ σ 11
σ ij = ⎜⎜ 0
⎜ 0
⎝
a)
b)
∂σ ij
∂x j
⎛ f1
0 0 ⎞ ⎜ A1
⎟
0 0⎟ = ⎜ 0
⎜
0 0 ⎟⎠ ⎜ 0
⎜
⎝
0 0 ⎞⎟
0 0⎟
⎟
0 0⎟
⎟
⎠
=0
En la superficie del cilindro
f 2 = f3 = 0
De la ley de Hooke se tiene que para un material elástico isotrópico y dado que se
trata de un estado uniaxial de carga:
ε11 =
σ
1
(σ11 −ν (σ 22 + σ 33 )) = 11
E
E
ε 22 =
νσ
1
(σ 22 −ν (σ11 + σ 33 )) = − 11
E
E
ε 33 =
νσ
1
(σ 33 −ν (σ11 + σ 22 )) = − 11
E
E
Es por consecuencia que el tensor de deformaciones queda
⎛ σ11
⎜ E
⎜
ε ij = ⎜⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝
0
−ν
σ11
E
0
⎞
⎟
⎟
0 ⎟⎟
⎟
σ
−ν 11 ⎟⎟
E ⎠
0
251
ε11 =
∂u1
∂x1
ε 22 =
∂u 2
∂x2
ε 33 =
∂u3
∂x3
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Por su parte, el campo de desplazamientos está dado por
ε11 =
∂u1
σ
⇒ ∫ 11 ∂x1 = ∫ ∂u1
∂x1
E
∴ u1 = σ11
x1
+ f ( x2 , x3 )
E
Como el elemento está empotrado
x1 = 0 ⇒ u1 ( 0 ) = 0 ∀x2 , x3 ∴ f ( x2 , x3 ) = 0
⇒ u1 ( x1 ) =
ε 22 =
σ11
E
x1
∂u2
−νσ 11
⇒∫
∂x2 = ∫ ∂u2
E
∂x2
∴ u2 = −νσ11
x1
+ f ( x1 , x3 )
E
para x2 = 0 ⇒ u2 ( 0 ) = 0 ∀x1, x3 ∴ f ( x1 , x3 ) = 0
⇒ u2 ( x2 ) =
−νσ11
x2
E
ε 33 =
∂u3
−νσ 11
⇒∫
∂x3 = ∫ ∂u3
∂x3
E
∴ u3 = −νσ11
x3
+ f ( x1 , x2 )
E
para x3 = 0 ⇒ u3 ( 0 ) = 0 ∀x1, x2 ∴ f ( x1 , x2 ) = 0
⇒ u3 ( x3 ) =
−νσ11
x3
E
El esfuerzo normal máximo y el cortante máximo están dados por
σ m á x = σ11 ;
252
τ má x =
σ11
2
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Principio de Saint Venant
Si la distribución de fuerzas que actúan en la porción de la superficie de un cuerpo es
reemplazada por una diferente distribución de fuerzas que actúan en la misma porción del
cuerpo, de tal forma que éstas generan los mismos efectos, entonces se puede referir a ellas
como equivalentes, ya que sus efectos en zonas alejadas al punto de aplicación son
esencialmente los mismos, en virtud de que dan lugar a las mismas fuerzas resultantes y a
los mismos pares. Este concepto permite simplificar el estudio de los elementos estructurales
al poder reemplazar las cargas que realmente se aplican por otras que, causando los
mismos efectos, faciliten el análisis.
Viga (barra) sometida a flexión pura
Considere una barra que es sometida a un momento flexionante M f . Para facilitar el
análisis, los ejes se pueden considerar de tal forma que solo se presente momento alrededor
de uno de éstos. El M f produce flexión de la barra al ser aplicado (figura 6.14) y las
superficies laterales están libres de cargas de tracción.
El momento flexionante aplicado a la barra deberá ser contrarrestado por las solicitaciones
que se generan al interior de ésta, por esto es que se produce el siguiente estado de
esfuerzos:
σ11 ≠ 0
σ 22 = σ 33 = 0
σ12 = σ 23 = σ 31 = 0
Estado de esfuerzos
⎛ σ11 0 0 ⎞
σ ij = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
253
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.14 BARRA DE SECCIÓN CUALESQUIERA A LA CUAL SE LE
APLICA UN MOMENTO FLECTOR ALREDEDOR DE
x3
FIGURA 6.15 VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR SOMETIDA A UN MOMENTO FLEXIONANTE
Considerando que se trata de un sólido elástico isotrópico se tiene que
0 ⎞
⎛1 0
σ
⎜
ε ij = ⎜ 0 −υ 0 ⎟⎟ 11
⎜ 0 0 −υ ⎟ E
⎝
⎠
La barra es sometida a momentos aplicados en los extremos del elemento de igual magnitud
y de sentido opuesto
∂σ ij
∂x j
∴
eje x1
=0
∂σ11 ∂σ12 ∂σ13
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
254
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
⇒
∂σ 11
=0
∂x1
⇒
σ11 = f ( x2 , x3 )
ε11 =
σ11
E
; ε 22 = −
(6.16)
υσ11
E
; ε 33 = −
υσ11
E
ε12 = ε 23 = ε 31 = 0
Si se considera que M f = M 3 , esto es que el momento flexionante solo produce rotación
alrededor de x3 , entonces, para x2 = 0 se define una superficie neutra.
Por otra parte, se tiene que las superficies laterales están libres de esfuerzos
FIGURA 6.16 ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA VIGA SOMETIDA A MOMENTO FLECTOR PURO
Por condiciones de equilibrio se requiere
∂σ 11
=0
∂x1
Con base en las ecuaciones de compatibilidad o integrabilidad
∂ 2 ε 22
∂x12
+
∂ 2 ε11
∂x2 2
255
=2
∂ 2ε12
∂x1∂x2
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
ε11 =
1
σ11
E
ε 22 = −
ε 33 = −
νσ11
(6.17)
E
νσ11
E
de la ecuación 6.17 se tiene que
−ν
∂ 2σ 11
∂x12
+
∂ 2σ 11
∂ x2 2
=0
∂σ11
= 0 , entonces se concluye que
∂x1
como de la ecuación de Cauchy se tiene que
∂ 2σ 11
∂x12
= 0 y entonces de la ecuación 6.18 ,
∂ 2σ 11
∂x2 2
(6.18)
=0
Por lo tanto, σ 11 se trata de una función lineal ⇒ σ 11 = α x2 + ctte , como existe cambio en
el sentido del esfuerzo σ11 , se puede definir el origen sobre dicho plano, al cual se denomina
como neutro o de esfuerzo nulo.
Por otra parte, se debe cumplir también con que
∂ 2 ε 33
∂x12
−ν
+
∂ 2 ε11
=2
∂x32
∂ 2σ 11
∂x12
+
∂ 2 ε13
∂x1∂x3
∂ 2σ 11
=0
∂x3
∂ 2σ 11
∂x32
=0
pero como σ11 = σ ( x2 ) ∴ σ11 = α x2 cumple con las condiciones anteriores.
256
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Dado que las superficies laterales están libres de esfuerzos y como el esfuerzo σ11 se
genera como una respuesta de la barra al momento flexionante M3
aplicado, se debe
cumplir que
f1 = ∫ t1da = 0 ⇒ ∫ (σ11n1 ) dA = 0
A
A
M 3 − ∫ x2 σ11 dA = 0
A
f1 = ∫ α x2 dA = 0
∴
donde el término
∫
M 3 − α ∫ x22 dA = 0
A
x22 dA = I 3
A
representa el momento de inercia de la sección transversal
con relación al eje x3 , entonces, es entonces factible despejar la variable α
∴
α=
M3
I3
⇒
σ 11 = −
M 3 x2
I3
El signo se ha definido considerando que en la parte positiva de x2 los esfuerzos serán
compresivos mientras que en la negativa, éstos serán de tracción.
Para una sección transversal circular el momento de inercia es
I=
π r4
4
Por lo tanto, el esfuerzo máximo está dado por ( x2 )máx = c , donde c representa el radio de
la barra si ésta fuera de sección circular. De lo anterior se tiene que el esfuerzo máximo es
σ máx =
s=
I
c
Mc M
=
I
s
Módulo de la sección elástica
257
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Como
σ 11 = −
ν =−
M 3 x2
I3
ε11 =
⇒
ε
ε 22
= − 33
ε11
ε11
σ11
E
=−
ε 22 = ε 33 =
⇒
M 3 x2
I3 E
M3
ν x2
I33 E
De lo anterior se tiene que por encima del eje neutro, las deformaciones longitudinales serán
negativas mientras que para x2 negativo éstas serán positivas dado que los esfuerzos serán
de tracción.
Con base en lo anterior, los desplazamientos quedan
ε11 =
∂u1
∂x1
⇒
∴
∫
− M 3 x2
∂x1 = ∫ ∂u1
EI33
u1 = − M 3
x1 x2
+ f ( x2 , x3 )
EI33
Como el elemento está empotrado
x1 = 0 ⇒
u1 ( 0 ) = 0
⇒
∴
∀x2 , x3
u1 ( xi ) = −
f ( x2 , x3 ) = 0
M3
x1x2
EI33
Para el eje x2
ε 22 =
∂u2
∂x2
⇒
∴
x2 = 0 ⇒
∫
ν M 3 x2
∂x2 = ∫ ∂u2
u2 = ν M 3
u2 ( 0 ) = 0 ∀x1, x3
258
EI33
∴
x22
+ g ( x1, x3 )
2 EI 33
g ( x1, x3 ) ≠ 0
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Se sabe que
1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞
+
⎟
2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠
⇒
∂u1
∂u
=− 2
∂x2
∂x1
⇒
∫ ∂u2 = ∫ I333E1∂x1
ε12 = 0 = ⎜
∂u2 M 3 x1
=
∂x1 I33 E
∴
M x
g ( x1 ) =
M 3 x12
2 I33 E
Además,
1 ⎛ ∂u2 ∂u3 ⎞
+
⎟
2 ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠
ε 23 = 0 = ⎜
⇒
∂u
∂u2
=− 3
∂x3
∂x2
∂u3
∂u ν M 3 x3
=− 2 =
∂x2
∂x3
I33 E
⇒
∫ ∂u2 = ∫ −
∴
g ( x1, x3 ) =
(
M3
−ν x32 + x12
2 I33 E
g ( x3 ) = −
ν M 3 x3
I33 E
ν M 3 x32
2 I33 E
)
∴
u2 =
(
M3
ν x22 + x12 −ν x32
2 I33 E
Para el eje x3
ε 33 =
∂u3
∂x3
⇒
∴
∫
ν M 3 x2
EI33
∂x3 = ∫ ∂u3
u3 = ν M 3
259
∂x3
x2 x3
+ h ( x1, x2 )
EI33
)
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Se sabe que
∂u
1 ⎛ ∂u1 ∂u3 ⎞ ∂u1
+
=− 3
⎟⇒
∂x1
2 ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠ ∂x3
ε13 = 0 = ⎜
∂u
∂u1
=0⇒− 3 =0
∂x3
∂x1
∴ h ( x1 ) = ctte pero en el empotramiento x1 = 0 y u3 = 0
∴ ctte = 0 ⇒ h ( x1 ) = 0
Se sabe que
∂u
1 ⎛ ∂u2 ∂u3 ⎞ ∂u2
+
=− 3
⎟⇒
2 ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠
∂x3
∂x2
ε 23 = 0 = ⎜
ν M 3 x3
∂u2
=−
I33 E
∂x3
−
∂u3 ν M 3 x3
=
+ h′ ( x2 )
I 33 E
∂x2
Sumando las dos anteriores
h′ ( x2 ) = 0
Considerando el empotramiento
h ( x2 ) = 0
∴ h ( x1, x2 ) = 0
⇒
u3 =
ν M 3 x2 x3
I 33 E
Donde al producto del momento de inercia con el módulo de elasticidad representa la
rigidez del elemento mecánico (rigidez a flexión).
Como u1 es función lineal de x2 , una sección transversal plana continuará plana al ser
rotada sobre el eje en un ángulo θ
θ
tan θ =
u1 M 3 x1
=
x2
EI3
260
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
El desplazamiento de las partículas a lo largo del eje x1 , para x2 = x3 = 0
u1 = u3 = 0 ; u2 ≠ 0
El desplazamiento de este elemento material (al cual se denomina como fibra neutra) es
frecuentemente usado para definir la deflexión de la viga
−
∂u2 M 3 x1
=
= tan θ
∂x1
EI 3
Efecto combinado de flexión y torsión
Dado que la deformación se efectúa en el rango elástico, el fenómeno se considera lineal.
Entonces, el tensor de esfuerzos estará dado por la suma término a término de los tensores
asociados al momento torsionante y al momento flexionante, por lo que el estado de
esfuerzos queda
σ ijc = σ ijF + σ ijT
σ ijc
⎡ − M f x2
⎢
⎢ I 33
⎢ M x
= ⎢− T 3
Ip
⎢
⎢
⎢ M T x2
⎢ Ip
⎣
−
M T x3
Ip
0
0
261
M T x2 ⎤
⎥
Ip ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎦
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
6.5 ESTADOS PARTICULARES DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN
La física de cualquier problema siempre se desarrolla en un espacio tridimensional, sin
embargo, la ingeniería representa el arte de aplicar la física y las matemáticas buscando la
mejor relación entre la aproximación de los resultados a la realidad y la solución más simple
que demande menores recursos matemáticos y computacionales. Es por consecuencia que
en muchos problemas de ingeniería, una condición triaxial real sea idealizada a dos
dimensiones (plana). Esto reduce de 6 a 3 el número de incógnitas y por tanto, simplifica las
metodologías de solución, permitiendo en muchos de los casos soluciones analíticas
prácticamente imposibles para el caso tridimensional.
Si una de las dimensiones es pequeña en comparación de las otras, entonces, los esfuerzos
en la dirección menor se desprecian y el problema se estudia en el plano que definen las
otras dimensiones, a esta situación se le denomina como estado plano de esfuerzos.
σ 33 ≠ 0
ε 33 = 0
FIGURA 6.17
EN
LA IMAGEN SUPERIOR SE OBSERVAN LAS CONDICIONES
CARACTERÍSTICAS
ESFUERZOS.
POR
QUE
DEFINEN
UN
ESTADO
BIAXIAL
DE
SU PARTE, LA IMAGEN INFERIOR REPRESENTA
LAS CONDICIONES DE UN ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACIÓN
262
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Por otra parte, si una de las dimensiones es muy grande en comparación con las otras,
entonces se considera que la deformación en dicha dirección se puede despreciar
definiéndose a tal situación como estado de deformación biaxial o estado plano de
deformación, figura 6.17.
Resulta por demás evidente, de un primer análisis de la teoría de la elasticidad, que un
estado biaxial de esfuerzos no corresponderá con uno de deformación biaxial, sino que por
condiciones de equilibrio un estado biaxial de deformación corresponde con un estado
triaxial de esfuerzos, donde uno de los esfuerzos normales será linealmente dependiente de
los otros dos esfuerzos normales. Situación parecida se presenta para un estado biaxial de
esfuerzos, el cual corresponde con un estado triaxial de deformación, en donde la
deformación en el eje perpendicular al plano es diferente de cero, resultando linealmente
dependiente de las otras dos deformaciones normales.
Estado plano de esfuerzos (Estado biaxial de esfuerzos)
En este caso el cuerpo se caracteriza en que una de sus dimensiones es mucho menor que
las otras (figura 6.18) x3
x1 ; x3
x2 , por tal motivo, los esfuerzos normal y de corte en
dicha dirección se consideran despreciables, por lo que
σ 33 = σ 31 = σ13 = σ 32 = σ 23 = 0
x3 << x1 , x2
FIGURA 6.18 ESTADO PLANO DE ESFUERZOS
263
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
El estado de esfuerzos se expresa como
⎛ σ11 σ12
σ ij = ⎜⎜ σ 21 σ 22
⎜ 0
0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
y el de deformaciones, considerando un sólido elástico isotrópico
⎛ ε11 ε12
ε ij = ⎜⎜ ε 21 ε 22
⎜ 0
0
⎝
0 ⎞
⎟
0 ⎟
ε 33 ⎟⎠
σ33 = 0 = λ ( ε11 + ε 22 + ε33 ) + 2με33 = (λ + 2μ)ε33 + λ(ε11 + ε 22 )
ε 33 =
de lo cual se obtiene
−λ
(ε + ε )
λ + 2 μ 11 22
Estado de deformación biaxial
El caso de deformación plana se presenta esquemáticamente en la figura 6.19, donde una
de las dimensiones es sensiblemente mayor que las otras
( x3
x2 , x1 ) , por lo que la
deformación en esta dirección será mucho menor que en los otros dos ejes, razón por la cual
se desprecia, definiéndose como un estado plano de deformación.
FIGURA 6.19
ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA. SE CARACTERIZA EN QUE UNA
DE LAS DIMENSIONES ES MUCHO MAYOR QUE LAS OTRAS
264
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Por consecuencia, el tensor de deformación se expresará como
⎛ ε11 ε12
ε ij = ⎜⎜ ε 21 ε 22
⎜ 0
0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
Por otra parte, considerando la Ley de Hooke generalizada, se tiene
ε ij =
1
(σ ij (1 + ν ) − νσ kk δ ij )
2 μ (1 + ν )
Como ε 33 = 0 ⇒ σ 33 = ν (σ11 + σ 22 ) , por lo que el estado de esfuerzos se expresa como
0
⎛ σ11 σ12
⎞
⎜
⎟
σ ij = ⎜ σ 21 σ 22
0
⎟
⎜ 0
⎟
0
ν
(
σ
σ
)
+
11
22 ⎠
⎝
En este caso de deformación plana, el vector desplazamientos queda
u1 = u1 ( x1 , x2 ),
u2 = u2 ( x1 , x2 ),
u3 = 0
Por consecuencia, las deformaciones se expresan como
ε11 =
∂u1
∂x1
ε 22 =
∂u2
∂x2
1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞
+
⎟
2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠
ε12 = ε 21 = ⎜
ε 33 = 0
ε 23 = ε 31 = 0
De las ecuaciones de Cauchy considerando equilibrio y despreciando las fuerzas de cuerpo
∂σ 11 ∂σ 12
+
=0
∂x1
∂ x2
265
(6.19)
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂x1
∂x 2
(6.20)
∂σ 33
=0
∂x3
σ 33 = σ ( x1 , x2 )
El sistema de ecuaciones diferenciales no puede ser resuelto de inmediato ya que σ 33 es
una composición lineal de σ11 , σ 22 ; de tal forma que σ 33 = ν (σ 11 + σ 22 ) . Por consecuencia,
será necesario desarrollar una tercera ecuación diferencial para proceder a resolver el
sistema; esta ecuación diferencial se desarrolla a partir de las ecuaciones de compatibilidad
de la siguiente forma
∂ 2 ε11
∂x22
+
∂ 2 ε 22
∂x12
=2
∂ 2ε12
∂x1∂x2
Considerando la Ley de Hooke, al sustituir el valor de σ 33 y expresar la ecuación en la forma
ε = ε (σ11 , σ 22 ) , se tiene que
ε11 =
1
1
[σ11 − ν (σ 22 + σ 33 )] = [σ11 − νσ 22 − ν 2σ11 − ν 2σ 22 ]
E
E
ε 22 =
1
1
[σ 22 − ν (σ11 + σ 33 )] = [σ 22 − νσ11 − ν 2σ11 − ν 2σ 22 ]
E
E
ε11 =
1
1
[σ11 (1 − ν 2 ) − νσ 22 (1 + ν )] = [σ11 (1 − ν 2 ) − σ 22 (ν + ν 2 )]
E
E
ε 22 =
1
1
[σ 22 (1 − ν 2 ) − νσ11 (1 + ν )] = [σ 22 (1 −ν 2 ) − σ11 (ν + ν 2 )]
E
E
ε12 =
σ 12
2μ
266
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Sustituyendo los valores de ε11 y de ε 22 en la primera ecuación de compatibilidad, se tiene
que
2
2
2
2
⎤ 1 ⎡ ∂ 2σ 22
⎤
∂ 2σ 22
∂ 2σ11
1 ⎡ ∂ 2σ11
2 ∂ σ11
2 ∂ σ 22
2 ∂ σ11
2 ∂ σ 22
ν
ν
ν
ν
ν
−
−
+
−
−
−
⎢ 2 −ν
⎥
⎢
⎥
E ⎣⎢ ∂x2
∂x22
∂x22
∂x22 ⎦⎥ E ⎣⎢ ∂x12
∂x12
∂x12
∂x12 ⎦⎥
=
2 ∂ 2σ12
2μ ∂x1∂x2
(6.21)
De las ecuaciones de equilibrio, derivando la primera con respecto a x1 y la segunda con
respecto a x2 , para después sumarlas se tiene
⎫
∂ 2σ12
0
=
⎪ 2
2
∂x1∂x2
∂x12
∂ 2σ12
⎪ ∂ σ11 ∂ σ 22
2
+
=
−
⎬
2
∂x1∂x2
∂x22
∂ 2σ 21 ∂ 2σ 22
⎪ ∂x1
0
+
=
⎪
∂x2∂x1
∂x22
⎭
∂ 2σ11
+
(6.22)
La ecuación 6.22 se puede sustituir en la primera ecuación de compatibilidad 6.22, de tal
forma que
2
2
2
2
⎛ ∂ 2σ11
∂ 2σ 22
∂ 2σ 22
∂ 2σ 11
1
2 ∂ σ 11
2 ∂ σ 22
2 ∂ σ 11
2 ∂ σ 22 ⎞
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
−
−
+
−
−
−
⎜
⎟+
2 μ (1 + ν ) ⎝⎜ ∂x22
∂x22
∂x22
∂x22
∂x12
∂x12
∂x12
∂x12 ⎠⎟
(1 + ν ) ⎛ ∂ 2σ 11 ∂ 2σ 22 ⎞
+
⎜
⎟=0
2 μ (1 + ν ) ⎝⎜ ∂x12
∂x22 ⎠⎟
(6.23)
Simplificando la ecuación 6.23, se tiene
2
2
2
2
⎛ ∂ 2σ11
∂ 2σ11
∂ 2σ 22
∂ 2σ 22
2 ∂ σ 11
2 ∂ σ 11
2 ∂ σ 22
2 ∂ σ 22
−ν
+
−ν
+
−ν
+
−ν
2
⎜⎜
∂x22
∂x12
∂x12
∂x22
∂x22
∂x12
∂x12
⎝ ∂x2
267
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
∴
⎛ ∂ 2σ11 ∂ 2σ11 ∂ 2σ 22 ∂ 2σ 22
(1 − ν 2 ) ⎜
+
+
+
2
2
⎜ ∂x 2
∂
x
∂
x
∂x12
⎝ 1
2
2
⇒
⎛ ∂2
∂2
+
⎜⎜ 2
2
⎝ ∂x1 ∂x2
∴
∇2 (σ11 + σ 22 ) = 0
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
⎞
⎟⎟ (σ11 + σ 22 ) = 0
⎠
El sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas queda entonces
∂σ 11 ∂σ 12
+
= 0;
∂x1
∂ x2
Incógnitas:
⎛ ∂2
∂2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ (σ 11 + σ 22 ) = 0
⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠
∂σ 21 ∂σ 22
+
= 0;
∂x1
∂ x2
(6.24)
σ11 , σ 22 , σ 21
Función de esfuerzos de Airy
Este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales (ecuación 6.14), es relativamente
frecuente en matemáticas; razón por la cual se buscó una solución desde inicios del siglo
XIX. El honor correspondió a George Biddel Airy [1801-1892], astrónomo y matemático
inglés, quien hacia 1862 propuso la solución (Airy Stress function method). Lo anterior a
través de una función escalar
ϕ
tal que ∇ 4ϕ = 0 ; es entonces que
∂ 4ϕ
∂x14
+2
∂ 4ϕ
∂x12∂x22
+
∂ 4ϕ
∂x24
=0
ϕ = f ( x1, x2 )
Airy demostró que existe una sola función
ϕ , tal que en ausencia de fuerzas de cuerpo, el
campo de esfuerzos quede definido a través de
268
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
σ 11 =
σ 22 =
σ12 = −
Entonces, cualquier función escalar
ϕ
∂ 2ϕ
∂x22
∂ 2ϕ
∂x12
∂ 2ϕ
∂x1∂x2
que satisface la ecuación ∇ 4ϕ = 0 genera una
posible solución al problema elástico, por tal motivo es denominada como Función de
esfuerzos de Airy (ϕ ) . Una solución elemental la representa cualquier polinomio de tercer
grado que genera un campo de esfuerzos y de deformaciones lineal, donde las soluciones
particulares dependerán de
las condiciones de frontera establecidas. La función de
esfuerzos de Airy juega un papel fundamental en el estudio de los problemas de deformación
plana, simplificación muy usual en la mecánica de sólidos.
Como ya fue mencionada, una posible solución a la ecuación biarmónica es a través de
funciones polinomiales de diversos grados cuyos coeficientes son asignados para que se
cumpla ∇ 4ϕ = 0 . Por ejemplo, para un polinomio de segundo grado
ϕ2 =
a2 2
c
x1 + b2 x1 x2 + 2 x22
2
2
define unos esfuerzos asociados
σ11 = c2 ; σ 22 = a2 ; σ12 = −b2
Lo cual indica que los tres esfuerzos son constantes en el cuerpo. Este sistema podría ser
utilizado para representar un estado de tensión simple, tensión biaxial o cortante puro.
269
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Un polinomio de tercer grado
ϕ3 =
a3 3 b3 2
c
d
x1 + x1 x2 + 3 x1x22 + 3 x23
6
2
2
6
da como resultado los esfuerzos
σ11 = c3 x1 + d3 x2 ; σ 22 = a3 x1 + b3 x2 ; σ12 = −b3 x1 − c3 x2
para a3 = b3 = c3 = 0 , las expresiones se reducen a
σ11 = d3 x2 ; σ 22 = σ12 = 0
lo cual representa el caso de flexión pura en una barra de sección rectangular.
Un polinomio de cuarto grado
ϕ4 =
a4 4 b4 3
c
d
e
x1 + x1 x2 + 4 x12 x22 + 4 x1x23 + 4 x24
12
6
2
6
12
dado que
∇ 4ϕ = 0 ⇒
e4 = −(2c4 + a4 ) ∴
σ11 = c4 x12 + d4 x1x2 − (2c4 + a4 ) x22
σ 22 = a4 x12 + b4 x1x2 + c4 x22
σ12 = −
b4 2
d
x1 − 2c4 x1 x2 − 4 x22
2
2
Muchos problemas de importancia práctica son resueltos a través de la combinación de
polinomios como los antes descritos.
270
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Aplicación de las funciones de esfuerzo de Airy en la determinación
del estado de esfuerzos y deformaciones asociados a la presencia
de una dislocación de borde
En ciencia de materiales, para justificar el nivel de esfuerzos necesarios para producir una
deformación permanente en una estructura cristalina, se definió desde los años 30 del siglo
XX la existencia de defectos cristalinos denominados como dislocaciones. Estos defectos
cristalinos se han descrito en su forma primitiva como dislocaciones de borde (figura 6.20) y
de tipo helicoidal.
En ambos casos, la presencia de la dislocación generará un campo elástico asociado, el cual
interactúa con los campos de las otras dislocaciones presentes en el cristal. Estos defectos
requieren, además, una cierta energía para su formación, la cual se almacena a través del
campo de deformación elástica durante el proceso de formación de las dislocaciones.
En el caso particular de una dislocación de borde, ésta se puede representar a través de un
campo biaxial de deformación, tal que los desplazamientos u1 y u2 son variables y u3 = 0
Por consecuencia, para una dislocación de borde se deberá cumplir que
∂σ 11 ∂σ 12
+
=0
∂ x1
∂ x2
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂ x1
∂ x2
∇2 (σ11 + σ 22 ) = 0
271
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.20 DESCRIPCIÓN ESQUEMÁTICA DE UNA DISLOCACIÓN DE BORDE
A partir del análisis de las condiciones de frontera se determinó que la función de Airy de los
esfuerzos que da solución al problema está dada por
φ =−
Gb
x2 ln( x12 + x22 )1/2
2π (1 −ν )
En virtud de que los esfuerzos asociados se definen por
σ11 =
∂ 2φ
∂ x22
∂ 2φ
∂ x22
= σ11 = −
σ 12 = −
σ 22 =
∴
σ 22 =
∂ 2φ
∂ x12
σ12 = −
∂ 2φ
⇒
∂ x1∂ x2
Gbx2 (3x12 + x22 )
2π (1 −ν )( x12 + x22 )2
Gbx1 ( x12 − x22 )
∂ 2φ
=
∂x1∂x2 2π (1 − ν )( x12 + x22 ) 2
∂ 2φ
∂x12
=
Gbx2 ( x12 − x22 )
2π (1 − ν )( x12 + x22 ) 2
σ 33 = ν (σ11 + σ 22 ) = −
272
Gbν x2
π (1 −ν )( x12 + x22 ) 2
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Viga curvada sometida a flexión pura
Se considerará una viga curvada, tal como se muestra en la figura 6.21.
FIGURA 6.21 CONDICIONES QUE SE PRESENTAN POR FLEXIÓN PURA EN UNA VIGA CURVADA
FIGURA 6.22
LA SECCIÓN DEL TUBO SE PUEDE VISUALIZAR COMO UNA VIGA CURVADA,
LA SOLICITACIÓN QUE PROVOCA LOS ESFUERZOS ES LA PRESIÓN
HIDROSTÁTICA
( pH )
Para la viga curvada en los extremos (superficies límite) r = a , r = b , θ = ±α , z = ± h2
están libres de cargas de tracción. Suponiendo que h es muy pequeño comparado con las
otras dimensiones, se pretende obtener una solución al problema considerando un estado de
esfuerzos planos, para una viga curva sobre la que se aplican momentos M f en los
extremos θ = ±α .
Para un problema de deformación plana en coordenadas polares, se tiene
σ zz = ν (σ rr + σ θθ )
273
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
ε rr =
1
((1 − ν 2 )σ rr − ν (1 + ν )σθθ )
E
εθθ =
1
((1 − ν 2 )σθθ −ν (1 + ν )σ rr )
E
σ rθ (1 + ν )
=
σ rθ
E
2μ
ε rz = εθ z = ε zz = 0
Para las condiciones establecidas, la solución está dada por:
σ rr =
A
r2
σ θθ = −
+ B(1 + 2 ln r ) + 2C
A
r2
+ B (3 + 2 ln r ) + 2C
σ rθ = 0
Para la viga curva se pueden utilizar las soluciones para deformación plana en coordenadas
polares, que están dadas por las ecuaciones antes indicadas.
Estas ecuaciones deben cumplirse en las superficies r = a, r = b, θ = ±α donde dichas
superficies están libres de cargas
0=
0=
A
a2
A
b2
+ B(1 + 2 Ln a) + 2C
+ B(1 + 2 Ln b) + 2C
En la cara θ = α se presenta una esfuerzo normal σ θθ , dada por las expresiones
anteriormente enunciadas, calculando la resultante sobre dicha cara se tiene
⎡A
fθ = 0 = ∫ σ θθ hdr = h ⎢ + B (3r + 2r Ln r ) + 2C
a
⎣r
b
274
b
⎤
r⎥
⎦a
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Estos esfuerzos normales requieren de un par equilibrio, situación que se expresa como
b
0 = ∫ σ θθ rldr + M fl
a
ecuación que por unidad de ancho queda
b
0 = ∫ σθθ rdr + M f
a
por lo que
b
− M f = − A Ln + B(b2 − a2 ) + B(b2 Ln b − a2 Ln a) + C (b2 − a2 )
a
Ecuación que, con base en lo expuesto, se puede simplificar como
b
− M f = − A Ln − B(b2 Ln b − a2 Ln a) − C (b2 − a2 )
a
De lo anterior se puede determinar el valor de las constantes A, B , C
C=
A=−
4M f
B=−
2M f
N
N
a2b2 Ln
b
a
(b2 − a2 )
Mf
⎡ (b2 − a2 ) + 2(b2 Ln b − a2 Ln a) ⎤
⎦
N ⎣
2
⎡ 2
b⎞ ⎤
2 2
2 2⎛
N = ⎢ (b − a ) − 4a b ⎜ Ln ⎟ ⎥
a ⎠ ⎥⎦
⎝
⎢⎣
Con lo que
σ rr = −
4M f ⎛ a 2 b2
b ⎛ 2
r⎞
a⎞
2
⎜⎜ 2 Ln + ⎜ b Ln ⎟ + a Ln ⎟⎟
N ⎝ r
a ⎝
b⎠
r⎠
275
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
σ θθ = −
4M f ⎛ −a 2 b2
b ⎛ 2
r⎞
a
2
2
2 ⎞
Ln
b
Ln
a
Ln
(
b
a
)⎟
+
+
+
−
⎜⎜
⎜
⎟
⎟
N ⎝ r2
a ⎝
b⎠
r
⎠
σ rθ = 0
Para el caso de la determinación del estado de esfuerzos considerando una presión interna
pi y una presión externa pe (tubo), se tiene que:
σ rr = − pi , para r = a
b2
σ rr
⎛
⎜
= − pi ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b2
σ θθ
⎛
⎜
= pi ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y
σ rr = − pe , para
r=b
⎞
⎛ a2
⎞
⎜−
−1 ⎟
+1 ⎟
⎟ − p ⎜ r2
⎟
r2
e⎜
2
2
⎟
⎟
b
a
⎜−
⎟
1
− 1 ⎟⎟
+
⎜
⎟
a2
⎠
⎝ b2
⎠
⎞
⎛ a2
⎞
⎜
+1 ⎟
+1 ⎟
⎟ − p ⎜ r2
⎟
r2
e⎜
2
2
⎟
⎟
b
a
⎟
⎜
⎟
−1 ⎟
⎜ − 2 +1 ⎟
2
a
⎠
⎝ b
⎠
σ rθ = 0
6.6 ECUACIONES DE LA TEORÍA INFINITESIMAL DE LA ELASTICIDAD
Para el desarrollo de esta teoría se consideran desplazamientos infinitesimales, para un
sólido elástico lineal e isotrópico, en donde todos los términos en la ecuación son cantidades
asociadas con una partícula, la cual está en la posición ( X 1 , X 2 , X 3 ) .
276
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Considerando el caso de pequeños movimientos (infinitesimales), como los que caracterizan
la deformación elástica de los metales, de tal forma que cada partícula es vecina de su
estado natural (sin esfuerzos), y que X i define la posición del estado natural (descripción
Lagrangiana) de la partícula típica, entonces
xi =ˆ X i
Los desplazamientos ui y las magnitudes ∇u también son pequeños. Por definición se tiene
que
x1 = X1 + u1 ;
x2 = X 2 + u2 ;
x3 = X 3 + u3
por lo tanto, las componentes de velocidad
vi =
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
Dxi ⎛ ∂ui ⎞
=⎜
+ v1 ⎜ i ⎟ + v2 ⎜ i ⎟ + v3 ⎜ i ⎟
⎟
Dt ⎝ ∂t ⎠ xi fija
⎝ ∂x1 ⎠
⎝ ∂x2 ⎠
⎝ ∂x3 ⎠
donde vi son las velocidades asociadas con los desplazamientos infinitesimales ui ,
tomando en cuenta lo anterior, se concluye que el efecto de (∇u ) i v es despreciable ya que
∇u << 1, v << 1 ; es entonces que la velocidad y aceleración se pueden aproximar como:
vi
⎛ ∂ui ⎞
⎜ ∂t ⎟
⎝
⎠ xi fija
ai
⎛ ∂ 2ui
⎜⎜ 2
⎝ ∂t
⎞
⎟⎟
⎠ xi fija
Por otra parte, el volumen de la partícula dV está asociado con el volumen inicial como
dV = (1 + ε kk )dV0
Las densidades se relacionan de acuerdo con
ρ = (1 + ε kk )−1 ρ0 =ˆ (1 − ε kk ) ρ0
277
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Nuevamente, negando el efecto de cantidades de orden superior se tiene que
⎛ ∂ 2 ui
Dvi
≅ ρ0 ⎜ 2
ρ
⎜ ∂t
Dt
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠ xi fija
Reemplazando los términos antes desarrollados en la ecuación de movimiento de Cauchy,
se tiene
⎛ ∂σ ij
⎛ D2 ⎞
=
+
ρ
u
B
⎟
i ⎜
2⎟ i
⎜
⎝ Dt ⎠
⎝ ∂x j
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ ∂σ ij
⎞
⎟⎟ = ρ0 Bi + ⎜⎜
⎠
⎝ ∂x j
⎞
⎟
⎟
⎠
ρ ⎜⎜
con
⎛ ∂ 2ui
⎜ ∂t 2
⎝
ρ0 ⎜
(6.25)
En la ecuación 6.25 todas las componentes están en función de coordenadas espaciales y,
como las ecuaciones se establecen para movimientos infinitesimales, no hay necesidad de
hacer distinción entre coordenadas espaciales y materiales.
Para un campo de desplazamientos ui se dice que éste describe el movimiento en un medio
elástico si satisface la ecuación 6.25. Cuando un campo de desplazamientos es dado
ui = ui ( x1 , x2 , x3 , t ) , para estar seguros de que el movimiento es posible primero se deberá
determinar el campo de deformaciones
1 ⎛ ∂ui ∂u j
+
2 ⎝ ∂x j ∂xi
ε ij = ⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎠
y a partir de éste el campo de esfuerzos
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
La sustitución de ui y σ ij en la ecuación 6.25 permitirá verificar si el movimiento es posible;
donde las solicitaciones en la superficie o en las fronteras del campo necesarias para
mantener el movimiento están dadas por
ti = σ ij n j
278
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Por otra parte, si las condiciones de frontera están prescritas (por ejemplo, determinadas
fronteras del cuerpo deberán permanecer fijas y otras deberán permanecer libres de
solicitaciones, ambas a cualquier tiempo, etc.), entonces, considerando que ui debe ser
solución del problema, éste deberá cumplir las condiciones prescritas o de frontera.
Ecuaciones de Navier
Las ecuaciones de Navier describen el movimiento en términos de componentes de
desplazamiento solamente. Para su desarrollo se consideran desplazamientos infinitesimales
así como la teoría elástica.
De la ecuación característica para un sólido elástico isotrópico
⎛ ∂ui ∂u j
+
⎜ ∂x j ∂xi
⎝
σ ij = λ eδ ij + 2με ij = λ eδ ij + μ ⎜
⎛ ∂ 2u
∂ 2u j
∂e
i
⎜
δ ij + μ
=λ
+
⎜ ∂x j ∂x j ∂x j ∂xi
∂x j
∂x j
⎝
∂σ ij
∂ ( ε kk )
∂x j
∂ 2u j
∂x j ∂xi
=
∂
∂xi
δ ij =
⎛ ∂u j
⎜
⎜ ∂x j
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
∂e
∂xi
⎞
∂
∂e
ε kk =
⎟=
⎟ ∂xi
∂xi
⎠
e = ε11 + ε 22 + ε 33
e=
∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂ui
+
+
=
= ∇ iv
∂x1 ∂x21 ∂x3 ∂xi
Sustituyendo en la ecuación de movimiento, se tiene que
⎛ ∂ 2ui
⎜ ∂t 2
⎝
ρ0 ⎜
⎞
⎛ ∂
⎟⎟ = ρ0 Bi + (λ + μ ) ⎜
⎝ ∂xi
⎠
279
⎛ ∂ 2ui
⎞
ε
μ
+
⎜
⎟ kk
⎜ ∂x j ∂x j
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
En su forma general, la ecuación se expresa como
⎛ ∂ 2u ⎞
= ρ 0 B + (λ + μ )∇e + μ∇ i(∇u )
2 ⎟
⎟
∂
t
⎝
⎠
ρ 0 ⎜⎜
⎛ ∂ 2u ⎞
ρ 0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ρ 0 B + (λ + μ )∇ (∇ iu ) + μ∇ i(∇u )
⎝ ∂t ⎠
a la cual se le conoce como ecuación de la teoría infinitesimal de la elasticidad o ecuación de
Navier.
Ecuación de Navier en coordenadas rectangulares
⎛ ∂2
⎛ ∂ 2u1 ⎞
⎛ ∂e ⎞
∂2
∂2 ⎞
=
+
+
+
+
+
ρ
B
(
λ
μ
)
μ
u
⎜
⎟
⎜
⎟
0 1
⎜ ∂t 2 ⎟
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ⎟⎟ 1
x
∂
1
⎝
⎠
2
3 ⎠
⎝
⎠
⎝ 1
ρ0 ⎜
⎛ ∂2
⎛ ∂ 2u2 ⎞
⎛ ∂e ⎞
∂2
∂2 ⎞
=
+
+
+
+
+
ρ
B
(
λ
μ
)
μ
u
⎜
⎟
⎜
⎟
0 2
⎜ ∂t 2 ⎟
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ⎟⎟ 2
⎝ ∂x2 ⎠
1
2
3
⎝
⎠
⎝
⎠
ρ0 ⎜
⎛ ∂ 2u3 ⎞
⎛ ∂2
⎛ ∂e ⎞
∂2
∂2 ⎞
=
+
+
+
+
+
ρ
B
(
λ
μ
)
μ
u
⎟
⎜
⎜
⎟
0 3
⎜ ∂t 2 ⎟
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ⎟⎟ 3
⎝ ∂x3 ⎠
2
3 ⎠
⎝
⎠
⎝ 1
ρ0 ⎜
Ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas
Por otra parte, las ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) se expresan en
función del campo de desplazamiento
u ( r , θ , z; t ) = ur ( r , θ , z; t ) eˆr + uθ ( r , θ , z; t ) eˆθ + u z ( r , θ , z; t ) eˆz
280
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
⎛ ∂ur
⎜
⎜ ∂r
⎜ ∂u
∇u( r ,θ , z ) = ⎜ θ
⎜ ∂r
⎜ ∂u z
⎜
⎝ ∂r
1 ⎛ ∂ur
⎞
− uθ ⎟
⎜
r ⎝ ∂θ
⎠
∂ur ⎞
⎟
∂z ⎟
1 ⎛ ∂uθ
⎞ ∂uθ ⎟
+ ur ⎟
⎟
⎜
r ⎝ ∂θ
⎠ ∂z ⎟
∂u z ⎟
1 ∂u z
⎟
r ∂θ
∂z ⎠
Si se considera que se trata de un sólido elástico e isotrópico, entonces
T = λ eI + 2 μ E
donde
e = ∇ ⋅u
1
E = (∇u + (∇u )T )
2
Er ,θ ,φ
⎛
∂ur
⎜
∂r
⎜
⎜
⎜ 1 ⎛ 1 ∂ur uθ ∂uθ ⎞
=⎜ ⎜
− +
r
∂r ⎟⎠
⎜ 2 ⎝ r ∂θ
⎜
⎜
1 ⎛ ∂ur ∂u z ⎞
⎜⎜
+
⎜
⎟
2 ⎝ ∂z
∂r ⎠
⎝
1 ⎛ 1 ∂ur uθ ∂uθ ⎞
− +
2 ⎜⎝ r ∂θ
r
∂r ⎟⎠
1 ⎛ ∂uθ
⎞
+ ur ⎟
⎜
r ⎝ ∂θ
⎠
1 ⎛ ∂uθ 1 ∂u z ⎞
+
2 ⎜⎝ ∂z r ∂θ ⎟⎠
Por consiguiente, se tiene
σ rr = λ e + 2μ
∂ur
∂r
⎛ 1 ∂uθ ur ⎞
+ ⎟
r ⎠
⎝ r ∂θ
σθθ = λ e + 2μ ⎜
⎛ ∂u z ⎞
⎟
⎝ ∂z ⎠
σ zz = λ e + 2μ ⎜
281
1 ⎛ ∂ur ∂u z ⎞ ⎞
+
⎜
⎟ ⎟
2 ⎝ ∂z
∂r ⎠ ⎟
⎟
1 ⎛ ∂uθ 1 ∂u z ⎞ ⎟
+
⎟
2 ⎜⎝ ∂z r ∂θ ⎟⎠ ⎟
⎟
⎟
∂u z
⎟⎟
∂z
⎠
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎛ 1 ∂u
∂u
u ⎞
r
+ θ − θ ⎟
σ rθ = σθ r = μ ⎜
∂r
r ⎠
⎝ r ∂θ
⎛ ∂u
1 ∂u ⎞
⎛ ∂u
∂u ⎞
z
σθ z = σ zθ = μ ⎜ θ +
⎟
⎝ ∂z r ∂r ⎠
σ zr = σ rz = μ ⎜ r + z ⎟
∂r ⎠
⎝ ∂z
Por otra parte, la ecuación de Navier en forma general se expresa
⎛ ∂ 2u ⎞
ρ 0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ρ 0 B + (λ + μ )∇ ( ∇ iu ) + μ∇ i (∇u )
⎝ ∂t ⎠
donde
∇u = U
representa un tensor de segundo rango, para el cual la divergencia está dada por
(divU )r =
∂U rr 1 ⎛ ∂U rθ
+ ⎜
r ⎝ ∂θ
∂r
⎞ U rr − Uθθ ∂U rz
+
⎟+
r
∂z
⎠
(divU )θ =
∂Uθ r 1 ⎛ ∂Uθθ
+ ⎜
r ⎝ ∂θ
∂r
⎞ U rθ + Uθ r ∂Uθ z
+
⎟+
r
∂z
⎠
(divU ) z =
∂U zr 1 ⎛ ∂U zθ
+ ⎜
r ⎝ ∂θ
∂r
⎞ ∂U zz U zr
⎟ + ∂z + r
⎠
Desarrollando lo antes expuesto, se tiene que
ε kk = e = ∇ ⋅ u =
∂ur 1 ∂uθ ur ∂u z
+
+ +
r
∂ r r ∂θ
∂z
282
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
ρ0
ρ0
ρ0
∂ 2 ur
∂t 2
∂ 2uθ
∂t 2
∂ 2u z
∂t 2
= ρ0 Br + (λ + μ )
⎛ ∂ 2u
∂e
1 ∂ 2ur ∂ 2ur 1 ∂ur 2 ∂uθ ur ⎞
+ μ ⎜ 2r + 2
+ 2 +
− 2
− 2⎟
2
⎜ ∂r
∂r
∂
∂
θ
r
r
∂
∂
θ
r
z
r
r ⎟⎠
⎝
⎛ ∂ 2u
1 ∂ 2uθ ∂ 2uθ 1 ∂uθ
2 ∂ur uθ ⎞
⎛ λ + μ ⎞ ∂e
= ρ 0 Bθ + ⎜
+ μ ⎜ 2θ + 2
+
+
+
− ⎟
⎟
⎜
⎝ r ⎠ ∂θ
∂z 2 r ∂r r 2 ∂θ r 2 ⎠⎟
r ∂θ 2
⎝ ∂r
= ρ 0 Bz + ( λ + μ )
⎛ ∂ 2u
∂e
1 ∂ 2 u z ∂ 2 u z 1 ∂u z
+ μ ⎜ 2z + 2
+ 2 +
⎜
∂z
r ∂r
∂z
r ∂θ 2
⎝ ∂r
⎞
⎟⎟
⎠
Ecuaciones de Navier en coordenadas esféricas (r ,θ , φ )
σ rr = λ e + 2μ
∂ur
∂r
⎛ 1 ∂uθ ur ⎞
+ ⎟
r ⎠
⎝ r ∂θ
σθθ = λ e + 2μ ⎜
1 ∂uφ ur uθ cot θ ⎞
+ +
⎟
r
r
⎝ r sen θ ∂φ
⎠
⎛
σ φφ = λe + 2μ ⎜
⎛ 1 ∂ur ∂uθ uθ ⎞
+
− ⎟
∂r
r ⎠
⎝ r ∂θ
σ rθ = μ ⎜
1 ∂uθ uφ cot θ 1 ∂uφ ⎞
−
+
⎟
r
r ∂θ ⎠
⎝ r sen θ ∂φ
⎛
σθφ = μ ⎜
1 ∂ur ∂uφ uφ ⎞
+
− ⎟
∂r
r ⎠
⎝ r sen θ ∂φ
⎛
σφ r = μ ⎜
e=
∂ur 2ur 1 ∂uθ
1 ∂uφ uθ cot θ
+
+
+
+
∂r
r
r ∂θ r sen θ ∂φ
r
283
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Partiendo de que
u( r ,θ ,φ ) = ur (r,θ , φ ; t )er + uθ (r,θ , φ ; t )eθ + uφ (r ,θ , φ ; t )eφ
Las ecuaciones de Navier para coordenadas esféricas quedan
ρ0
∂ 2ur
∂t 2
= ρ0 Br + (λ + μ )
−
ρ0
∂ 2uθ
∂t
2
∂ur
1
∂e
⎛∂ ⎛ 1 ∂
∂ ⎛
⎞
+ μ ⎜ ⎜ 2 ( r 2u r ) ⎟ + 2
⎜ sen θ
∂r
∂θ
⎠ r sen θ ∂θ ⎝
⎝ ∂r ⎝ r ∂r
∂uφ ⎞
2
∂
u
θ
sen
−
(
)
⎟
θ
r 2 sen θ ∂θ
r 2 sen θ ∂φ ⎠
2
= ρ0 Bθ + ⎛⎜
⎝
λ + μ ⎞ ∂e
⎟
r ⎠ ∂θ
⎛ 1 ∂ ⎛ ∂u
+μ ⎜ 2 ⎜ r2 θ
⎜ r ∂r ⎝
∂r
⎝
ρ0
∂ 2uφ
∂t 2
∂ 2u r
1
⎞
+
⎟
⎠ r 2 sen θ ∂φ 2
∂ 2uθ 2 ∂ur
1
2 cos θ ∂uφ ⎞ ⎞
⎞ 1 ∂ ⎛ 1 ∂
+
+
+
−
u
θ
sen
(
)
⎜
⎟⎟
θ
⎟ 2∂ ⎜
r 2 sen 2 θ ∂φ 2 r 2 ∂θ r 2 sen 2 θ ∂φ ⎟⎠ ⎟⎠
⎠ r θ ⎝ sen θ ∂θ
⎛ λ + μ ⎞ ∂e
= ρ0 Bφ + ⎜
⎟
⎝ r sen θ ⎠ ∂φ
⎛ 1 ∂ ⎛ ∂uφ ⎞ 1 ∂ ⎛ 1 ∂
∂ 2uφ
∂ur
1
2
2 cos θ ∂uθ ⎞
⎞
⎟
θ
sen
u
+μ ⎜ 2 ⎜ r 2
+
+
+
+
⎟
⎜
⎟ 2
φ
2
2
2
⎜ r ∂r ⎝
∂r ⎠ r 2 ∂θ ⎝ sen θ ∂θ
∂φ r 2 sen 2 θ ∂φ ⎟
⎠
sen
sen
r
r
θ
φ
θ
∂
⎝
⎠
6.7 ANÁLISIS DEL DESPLAZAMIENTO DE ONDAS ELÁSTICAS A TRAVÉS DE UN SÓLIDO
Análisis de una onda plana irrotacional
En esta etapa se utilizarán las ecuaciones de Navier para el análisis del movimiento de
ondas elásticas a través de un material elástico, lineal e isotrópico. Se trata de un problema
elastodinámico en el que se considera el desplazamiento de un tren de ondas infinito y sin
284
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
amortiguamiento, el cual describe un desplazamiento de tipo senoidal. El movimiento de
estas ondas se va a describir como longitudinal y transversal, y dado que se trata de un
problema elástico lineal se podrá analizar su efecto considerando superposición de éstas. En
primera instancia se considerará una onda longitudinal, tal que
u1 = a sen
2π
( x1 − vl t )
l
u2 = 0 ; u3 = 0
En este movimiento cada partícula ejecuta una oscilación armónica simple de amplitud a
alrededor de su estado natural, con una longitud de onda l y velocidad de fase vl .
FIGURA 6.22
ONDA LONGITUDINAL. LA SEÑAL SE DESPLAZA EN LA MISMA
DIRECCIÓN EN QUE OSCILAN LAS PARTÍCULAS
Al tratarse de una onda longitudinal en la cual la señal se desplaza en la misma dirección en
que oscilan las partículas, y de acuerdo a como se han definido los ejes, el movimiento
siempre será en dirección del vector ê1 .
La velocidad de fase vl representa la velocidad a la cual la alteración senoidal de longitud
de onda l se desplaza en dirección ê1 , de tal forma que todas las partículas se mueven en
fase.
dx1
= vl
dt
285
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.23
COMO EL MOVIMIENTO DE LAS PARTÍCULAS ES PARALELO A LA
DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN DE LA ONDA, ENTONCES, SE
TRATA DE UNA ONDA LONGITUDINAL
Los componentes de la deformación son
ε11 =
∂u1 2π a
2π
cos
( x1 − vl t )
=
∂x1
l
l
ε 22 = ε 33 = ε12 = ε 23 = ε 31 = 0
ε ii = ε11 = eˆ
σ 11 = λε11 + 2 με11 = (λ + 2 μ )
σ 22 = σ 33 = λε11 = λ
∂u1
∂x1
∂u1
∂x1
σ12 = σ 23 = σ 31 = 0
Sustituyendo en la ecuación de Navier
ρ0
∂ 2ui
∂t 2
= ρ Bi + (λ + μ )
∂ 2ui
∂e
+μ
∂xi
∂x j ∂x j
y despreciando las fuerzas de cuerpo
ρ0
∂ 2u1
∂t 2
= (λ + μ )
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂e
+ μ ⎜ 21 + 21 + 21 ⎟
⎜ ∂x
∂x1
∂x2
∂x3 ⎟⎠
⎝ 1
286
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
ρ0
⇒
∂ 2u1
∂t
2
∂ 2u1
∂t
= (λ + μ )
2
∂2 ⎛
⎛ 2π
= 2 ⎜ a sen ⎜
∂t ⎝
⎝ l
∂ 2u1
⇒
∂t
2
∂ 2u1
∂x12
∂ 2u1
∴
∂x12
∂ 2u1
∂x12
+μ
∂ 2u1
∂x12
) = ( λ + 2μ )
2π ⎞
⎞ ∂⎛
⎞
⎛ 2π
⎟ ( x1 − vl t ) ⎟ = ⎜ −avl
⎟ cos ⎜
l ⎠
⎠
⎝ l
⎠ ∂t ⎝
2
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π
= −a ⎜ vl
⎟ sen ⎜
⎝ l ⎠
⎝ l
=
∂ ⎛ ⎛ 2π
⎜a⎜
∂x1 ⎝ ⎝ l
∂u1
∂x12
⎞
⎟ ( x1 − vl t )
⎠
⎞
⎟ ( x1 − vl t )
⎠
2π
⎞
⎞
( x1 − vl t ) ⎟
⎟ cos
l
⎠
⎠
2
2π
⎛ 2π ⎞
( x1 − vl t )
= −a ⎜
⎟ sen
l
⎝ l ⎠
Sustituyendo de nuevo en la ecuación de Navier
2
2π
2π
⎛ v 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
ρ0 a ⎜ l ⎟ sen
( x1 − vl t ) = (λ + 2 μ )a ⎜
( x1 − vl t )
⎟ sen
l
l
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠
2
∴
ρ0 vl2 = λ + 2μ
Por consecuencia, la velocidad de movimiento de una onda elástica a través de un sólido se
puede considerar también como una constante elástica y está dada por
⇒
⎛ λ + 2μ ⎞
vl = ⎜
⎟
⎝ ρ0 ⎠
1
2
Presentando la ecuación anterior en la forma vl = vl ( E ,ν , ρ 0 ) , para lo que se sustituye
λ=
E
νE
;μ=
(1 − 2ν )(1 + ν )
2(1 + ν )
287
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
se tiene entonces que
νE
E ⎞
⎛
⎜ (1 +ν )(1 − 2ν ) + 2 2(1 +ν ) ⎟
⎟
vl = ⎜
ρ0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
2
Si se considera que el coeficiente de Poisson para sólido elástico, isotrópico es del orden de
1 , entonces
3
⎛ 3E ⎞
vl ≈ ⎜
⎟
⎝ 2 ρ0 ⎠
1
2
Por lo que será posible determinar en forma aproximada el módulo de elasticidad a partir de
conocer la velocidad de desplazamiento de una señal acústica a través de material
E=
2 ρ 0 vl2
. Para esta onda los componentes del tensor de rotación
3
1 ⎛ ∂u ∂u j
wij = ⎜ i −
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi
quedan
⎞
⎟
⎟
⎠
wij = [ 0]
Por lo tanto, la onda se define como irrotacional.
Por otra parte, ∇i u = ε11 ≠ 0 por lo que el volumen cambia armónicamente con
e = ∇ i u = ε11 =
∂u1 2π a
2π
=
cos
( x1 − vl t )
∂x1
l
l
Es por consecuencia que la onda se denomina como dilatacional.
De todo lo expuesto resulta evidente que la velocidad de propagación de ondas en el sólido
elástico depende de las propiedades de éste, y no de las características de la señal (longitud
de onda).
288
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Onda plana de equivolumen
En virtud de que para el análisis se partió de la consideración de superposición de efectos,
se procederá ahora al análisis de una señal transversal, por lo que
u1 = 0
u2 = a sen
2π
( x1 − vT t )
l
u3 = 0
Resulta evidente que la señal tendrá la misma amplitud y longitud de onda que la señal
longitudinal, definiendo su velocidad de propagación como vt , tanto en dirección de e2
como de e3 , sin embargo, considerando de nuevo el principio de superposición, se tratará
como una onda transversal cuyo movimiento es paralelo a e2 , por lo que
1 ⎛ ∂u1 ∂u3 ⎞
+
⎟=0
2 ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠
ε13 = ⎜
1 ⎛ ∂u2 ∂u3 ⎞
+
⎟=0
2 ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠
ε 23 = ⎜
1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞
+
⎟≠0
2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠
ε12 = ε 21 = ⎜
ε12 = ε 21 =
ε11 = ε 22 = ε 33 =
1 ∂u2
2 ∂x1
∂ui
= ε ii = e = 0
∂xi
ε13 = ε 31 = ε 23 = ε 32 = 0
Como consecuencia de lo expuesto se tiene que la onda transversal es una señal que sólo
genera esfuerzos de corte y se caracteriza por su invariabilidad del volumen.
289
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
1 ⎛ ∂u2
2 ⎝ ∂x1
ε12 = ⎜
⎞
⎟=
⎠
1 ⎛ 2π
⎜
2⎝ l
⎛ 2π
⎝ l
σ 12 = μ a ⎜
⎞
⎛ 2π
⎟ a cos ⎜
⎠
⎝ l
⎞
⎛ 2π
⎟ cos ⎜
⎠
⎝ l
⎞
⎟ ( x1 − vt t )
⎠
⎞
⎟ ( x1 − vt t )
⎠
Sustituyendo en la ecuación de Navier
⎛ ∂ 2 u2
ρ0 ⎜ 2
⎜
⎝ ∂t
⎛ ∂ 2u
ρ0 ⎜ 22
⎜ ∂t
⎝
∴
∂ 2 u2
∂t 2
=
∂ ⎛ ⎛ 2π
−a ⎜
∂t ⎜⎝ ⎝ l
2
⎞
⎛ ∂ 2 u2
=
μ
⎟⎟
⎜⎜ 2
⎠
⎝ ∂x1
⎞
⎛ 2π
⎟ vt cos ⎜
⎠
⎝ l
⎞
⎟ u2
⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎞
⎟ ( x1 − vt t ) ⎟
⎠
⎠
∂t 2
⎛ ⎛ 2π v ⎞ 2
⎞
⎛ 2π ⎞
t
⎟
sen
(
x
v
t
)
= ⎜ −a ⎜
−
t
1
⎜
⎟
⎜ ⎝ l ⎠⎟
⎟
l ⎠
⎝
⎝
⎠
∂ 2 u2
=
∂ 2 u2
∂x12
∂ 2 u2
∂x12
2
⎛ ∂2
⎞
∂2
∂2
⎟⎟ = μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2
⎠
⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂ ⎛ ⎛ 2π ⎞
⎞
⎛ 2π ⎞
a⎜
⎟ cos ⎜
⎟ ( x1 − vt t ) ⎟
⎜
∂x1 ⎝ ⎝ l ⎠
⎝ l ⎠
⎠
⎛ ⎛ 2π ⎞ 2
⎞
⎛ 2π ⎞
= ⎜ −a ⎜
sen ⎜
( x1 − vt t ) ⎟
⎟
⎟
⎜ ⎝ l ⎠
⎟
⎝ l ⎠
⎝
⎠
⎛ 2π vt ⎞
⎛ 2π
ρ0 a ⎜
sen ⎜
⎟
⎝ l
⎝ L ⎠
⎛ ⎛ 2π ⎞ 2
⎞
⎛ 2π
⎟ ( x1 − vt t ) = ⎜⎜ μ a ⎜
⎟ sen ⎜
⎠
⎝ l
⎝ ⎝ l ⎠
∴
⇒
ρ0vt 2 = μ
⎛ μ ⎞
vt = ⎜
⎟
⎝ ρ0 ⎠
290
1
2
⎞
⎞
(
)
−
⎟
x
v
t
⎟ 1 t ⎟
⎠
⎠
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Por consecuencia, se tiene que la onda transversal o de corte representa también una
constante elástica. Por último, es conveniente analizar la relación existente entre la velocidad
de la onda longitudinal con la de la onda transversal
1
⎛ λ + 2μ ⎞ 2
⎜
⎟
vl ⎝ ρ0 ⎠
=
1
vt
⎛μ ⎞ 2
⎜ ρ ⎟
0⎠
⎝
2
⎛ vl ⎞
(λ + 2 μ )
⎜ ⎟ =
μ
⎝ vt ⎠
Dado que la primera constante de Lamê ( λ ) se puede relacionar con ν y
λ=
por tanto,
2 μν
1 − 2ν
2μν
+ 2μ
(1 − 2ν )
μ
⎡v ⎤
=⎢ l⎥
⎣ vt ⎦
2
2 μν + 2 μ (1 − 2ν ) 2 μν + 2 μ − 4 μν ⎡ vl ⎤
=
=⎢ ⎥
μ (1 − 2ν )
μ (1 − 2ν )
⎣ vt ⎦
⎡v ⎤
2 − 2ν
1 + (1 − 2ν )
1
=
= 1+
=⎢ l⎥
(1 − 2ν )
(1 − 2ν )
(1 − 2ν ) ⎣ vt ⎦
En consecuencia,
vl ⎡
1 ⎤
= ⎢1 +
vt ⎣ (1 − 2ν ) ⎥⎦
291
1
2
2
2
μ
en la forma
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Se concluye entonces que la relación entre la velocidad longitudinal y transversal de la onda
elástica depende exclusivamente del coeficiente de Poisson. Sólo para una deformación
plástica, el coeficiente de Poisson alcanza el valor de un medio, mientras que para cualquier
deformación elástica este cociente será del orden de 13 , por lo que en cualquier deformación
2
⎛v ⎞
elástica vl > vt ya que ⎜ l ⎟ ≈ 4
⎝ vT ⎠
∴
vl
≈2 .
vT
6.8 ELASTICIDAD NO LINEAL
En materiales como hules y algunos termoplásticos se presentan comportamientos muy
diferentes que en los metales (figura 6.24), ya que su comportamiento en el rango elástico es
no lineal, además de caracterizarse por presentar grandes deformaciones (deformaciones
finitas). Mientras que en los metales el rango elástico es inferior, en general, al 0.1%, los
elastómeros alcanzan en ocasiones rangos elásticos hasta del 100%.
FIGURA 6.24
DIFERENCIA EN EL COMPORTAMIENTO ENTRE UN METAL
Y UN HULE EN UN ENSAYO DE TRACCIÓN
La razón del comportamiento no lineal del hule se debe a su estructura molecular, en la cual
pueden presentarse rotaciones o reordenamientos que modifiquen el comportamiento del
material. Dado el número de posibles acomodos (orientaciones) relativos a los ángulos del
292
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
enlace con respecto a la cadena, las ecuaciones de elasticidad para estos materiales se
derivan a partir de conceptos de termodinámica estadística.
En los metales la estructura cristalina permanece inalterada cuando el material es deformado
elásticamente (deformaciones finitas), los átomos se mueven a posiciones cercanas o
adyacentes a las de equilibrio, dando lugar a una fuerza restauradora, y a partir de la
ecuación de Helmholtz se determina la fuerza generada al estirar el material en forma
uniaxial.
f =
donde f es la fuerza,
∂ϕ
∂ θ, V
(6.26)
la longitud, θ y V representan un proceso que se efectúa a
temperatura y volumen constante.
Como la energía libre ( ϕ ) es
ϕ = u − θη
donde
η
(6.27)
representa la entropía, entonces
f =
∂u
∂ϕ
−θ
∂
∂
(6.28)
El segundo término de la ecuación 6.27 no contribuye a la carga si el ordenamiento atómico
permanece inalterado. Para un hule ideal, la energía interna no cambia con un incremento de
longitud, razón por la que la primera parte de la ecuación 6.27 será igual a cero, entonces
como resultado, la variación de la entropía será negativa cuando la longitud se incrementa, lo
que se traduce en un reordenamiento de la estructura.
293
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
En la figura 6.25 se presenta la distorsión generada por una dislocación de tornillo
(hélice) en un cristal.
FIGURA 6.25 DESCRIPCIÓN ESQUEMÁTICA DE UNA DISLOCACIÓN HELICOIDAL
Dado que se trata de un sólido elástico lineal, entonces el trabajo de deformación es
1
W = ∫ σ d ε = σε
2
,
donde el vector de Burgers de la dislocación b tiene una magnitud
b y es paralelo al eje x3 . Con base en lo antes expuesto y considerando que se trata
de un sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, determine:
a) Tensor de deformaciones asociado
b) Tensor de esfuerzos asociado
c) ¿Cuál es el cambio del volumen asociado a la presencia de la dislocación de tornillo?
d) ¿Cuál será la rapidez de variación de volumen asociado a la condición antes
expuesta?
e) Considerando que la teoría de medios continuos se puede aplicar a partir de un radio
r0 y hasta el radio del cristal R , determine la energía de deformación elástica
asociada a la dislocación.
f)
Explique usted que sucederá con respecto al estado de esfuerzos y a la energía
involucrada, si el material no es isotrópico.
g) Despreciando el efecto de las fuerzas de cuerpo ¿existirá equilibrio?
294
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
h) Considerando que los esfuerzos normales sobre las paredes laterales del elemento
deben ser igual a cero y que el esfuerzo axial debe ser diferente de cero, ¿el modelo
propuesto cumple con estas condiciones?
SOLUCIÓN
Considerando que los desplazamientos productos de la dislocación son (figura 6.25)
u1 = 0, u2 = 0, u3 = f (θ ) =
u3 =
a)
b
θ
2π
x
b
arctan 2
2π
x1
du
d tan −1 u
= dx 2
dx
1+ u
∂u1
=0
∂x1
∂u1
=0
∂x2
∂u1
=0
∂x3
∂u 2
=0
∂x1
∂u 2
=0
∂x2
∂u 2
=0
∂x3
∂u3
=−
∂x1
x2
x2
x12
x12
⎛x ⎞
1+ ⎜ 2 ⎟
⎜x ⎟
⎝ 1⎠
2
=−
=−
x2
x12
+ x22
1
x1
⎛x
1+ ⎜ 2
⎜x
⎝ 1
+
x22
x12
1
∂u3
=
∂x2
x12
⎞
⎟⎟
⎠
2
=
x1
x12
+
x22
=
x1
x12
+ x22
x12
∂u3
=0
∂x3
Por consecuencia el tensor de deformaciones asociado se expresa:
295
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎡ 0
ε ij = ⎢⎢ 0
⎢⎣ − x2
− x2 ⎤
b
x1 ⎥⎥
2
4π ( x1 + x22 )
0 ⎥⎦
0
0
x1
Considerando que se trata de un SEHLI, cuya ecuación constitutiva es
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
b)
⎡ 0
σ ij = ⎢⎢ 0
⎣⎢ − x2
0
0
x1
− x2 ⎤
μb
x1 ⎥⎥
2π ( x12 + x22 )
0 ⎦⎥
c) ε kk = 0
⇒
El cambio de volumen es igual a cero
d) ε kk = 0
⇒
La rapidez de variación de volumen es igual a cero
e)
1
1
WV = σ ij ε ij = (σ13ε13 + σ 23ε 23 + σ 31ε 31 + σ 32ε 32 )
2
2
WV =
μ x22 b 2
8π 2 ( x12 + x22 ) 2
l 2π R
WT =
μ x12 b 2
8π 2 ( x12 + x22 ) 2
μ ( x12 + x22 )b 2
∫ ∫ ∫ 8π 2 ( x 2 + x 2 )2 dzrdθ dr
1
0 0 r0
WT =
+
b2 μ r 2
∫ 8π 2 r 4
2
dzrd θ dr =
2π l μ b 2
V
WT =
μ b2l R
ln
r0
4π
296
8π
2
R
∫
r0
dr
r
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
f) Se modifica el estado de esfuerzos y deformaciones, así como la energía
involucrada.
g)
∂σ ij
∂x j
∴
=0
∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13
+
+
=0
∂x1
∂ x2
∂x3
Se cumple eje x1
∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
Se cumple eje x2
∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33
+
+
=0
∂x1
∂x2
∂x3
Se cumple eje x3
⎤
2 x1 x2
μ b ⎡ 2 x1 x2
0
−
+
⎢ 2
⎥=0∴
2π ⎢⎣ ( x1 + x22 ) 2 ( x12 + x22 ) 2
⎥⎦
Existe equilibrio
h) Los esfuerzos normales en las paredes laterales son igual a cero
Superficie lateral
Vector unitario
n=
1
( x1e1 + x2 e2 + 0e3 )
a
0 σ13 ⎤ ⎡ x1 ⎤
0
⎡ 0
⎡
⎤
μbx1x2
1 ⎢
⎢ 0
⎥
⎥ 1 = − μbx2 x1
⎢
⎥
+
=0
0 σ 23 ⎥ ⎢ x2 ⎥ = ⎢
0
2
2
⎢
⎥
a
a
2π a( x1 + x2 ) 2π a( x12 + x22 )
⎢⎣σ 31 σ 32 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣σ 31 x1 + σ 32 x2 ⎥⎦
Cargas en el plano (0e1 + 0e2 + e3 )
0 σ13 ⎤ ⎡0 ⎤
⎡ 0
⎢
0 σ 23 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ = σ13e1 + σ 23e2 + 0e3
⎢ 0
⎢⎣σ 31 σ 32
0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
297
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
2. El estado de esfuerzos en un cuerpo está dado por σ ij
⎛
x22 x1
⎜
σ ij = α ⎜ 2 x13 − x2 x12
⎜
0
⎜
⎝
2 x13 − x2 x12
3 x22 x1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
σ 33 ⎟
⎠
Si dicho estado de esfuerzos provoca una deformación biaxial, determine:
a) El valor de σ33,
b) Considerando que las fuerzas de cuerpo se expresan como
Bi = B1e1 + B2 e2 + B3e3
¿Existirá equilibrio cuando Bi = 0ei ?
c) En caso de no existir equilibrio ¿cuál es la aceleración en función de la posición y de
las propiedades del material? Considere que la densidad está dada por ρ .
d) Para X i (1,1,1) determine las deformaciones y esfuerzos principales. Considere que el
material presenta un coeficiente de Poisson ν y módulo de rigidez al corte
material es sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico con ν =
μ.
El
1
.
3
SOLUCIÓN
a) Para un SEHLI con una condición de deformación biaxial, de la ecuación constitutiva
se tiene
⇒
b)
σ 33 = ν (σ11 + σ 22 ) = 4ν x22 x1
∇σ + ρ B = 0 Condición de equilibrio
Para el eje x1
α ( x22 − x12 ) + ρ B1 = 0
⇒ ∃ para
B1 =
∴ no existe equilibrio en dirección e1
α 2 2
(x − x )
ρ 1 2
298
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Para el eje x2
(
)
α 6 x12 − 2 x2 x1 + 6 x2 x1 + ρ B2 = 0
⇒ ∃
para B2 = −
∴ no existe equilibrio en dirección e2
α⎡ 2
6 x + 4 x1 x2 ⎤
⎦
ρ⎣ 1
Para el eje x3
∂σ 33
∂σ 33
+ ρ B3 = 0; σ 33 = f ( x1, x2 ) ∴
= 0 ⇒ B3 = 0
∂x3
∂x3
∴ existe equilibrio en dirección e3
De todo lo anterior para que exista equilibrio la aceleración de cuerpo está dada por
Bi =
α 2 2
α
x1 − x2 eˆ1 − ⎡ 6 x12 + 4 x1x2 ⎤ eˆ2 + 0eˆ3
⎦
ρ
ρ⎣
(
)
c)
⎛1 1
σ (1,1,1) = α ⎜⎜ 1 3
⎜0 0
⎝
0 ⎞
⎟
0 ⎟
4ν ⎟⎠
Sustituyendo el coeficiente de Poisson, se tiene que los esfuerzos principales son
0 ⎞
⎛ 3.41 0
⎜
σ (1,1,1) p = α ⎜ 0 1.33 0 ⎟⎟
⎜ 0
0 0.58 ⎟⎠
⎝
3. Considere un medio elástico, homogéneo, lineal e isotrópico en el cual se presenta el
siguiente campo de desplazamientos:
u3 = sen β ( x3 - ct ) + a sen β ( x3 + ct )
u1 = u2 = 0
a) ¿Cuál es la naturaleza de la onda elástica que describe el campo de
desplazamientos? Longitudinal o transversal, irrotacional o isovolumen.
299
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
b) ¿Cuál es la dirección de propagación?
c) Determine el campo de deformaciones asociado.
d) Determine el campo de esfuerzos asociado.
e) ¿En qué condiciones la ecuación de movimiento (Navier) es satisfecha cuando se
desprecian las fuerzas de cuerpo?
f)
Si para la frontera x3 = 0 , ésta se encuentra libre de solicitaciones, entonces, en qué
condiciones la ecuación de movimiento satisface las condiciones de frontera para
cualquier tiempo.
SOLUCIÓN
a) u3 = f ( x3 ) ∴ se trata de una onda longitudinal, asimismo
∇ u = (∇ u )T ∴ Irrotacional, longitudinal; dirección de propagación e
3
b) Se propaga en dirección de x3
c) El estado de deformaciones asociado está dado por
⎛0 0 0 ⎞
ε ij = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟
⎜0 0 ε ⎟
33 ⎠
⎝
d) Recordando que
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
∴
⎛λ
⎜
σ ij = ⎜ 0
⎜0
⎝
⎞
⎟ ∂u3
λ
0
⎟ ∂x
0 ( λ + 2 μ ) ⎟⎠ 3
0
0
La ecuación de Navier, para el caso analizado, permite concluir que
∂σ 33
∂ 2u
= ρ0 23
∂x3
∂t
(λ + 2 μ )
∂ 2u3
∂x32
= ρ0
∂ 2u3
∂t 2
300
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Como u3 = sen β ( x3 - ct ) + a sen β ( x3 + ct )
⇒
(λ + 2μ )( β 2 ( sen β ( x3 − ct ) + a sen β ( x3 + ct ) )) = ((cβ )2 ( sen β ( x3 − ct ) + a sen β ( x3 + ct ) )) ρ0
∴
(λ + 2 μ ) = ρ 0 c 2
⎛ (λ + 2 μ ) ⎞
c=⎜
⎟
⎝ ρ0 ⎠
1
2
c - velocidad longitudinal de de la onda elástica
∂u3
= β (cos β ( x3 − ct ) + a cos β ( x3 + ct ))
∂x3
e) En x3 = 0 ∀ x1 , x2 no deben existir solicitaciones ∴ σ 33 = 0 , pero σ 33 = ( λ + 2 μ )
y
∂u3
∂x3
∂u3
= β (cos β ( x3 − ct ) + a cos β ( x3 + ct ))
∂x3
como
x3 = 0 ⇒
∂u3
= β ( cos ( − β ct ) + a cos β ct )
∂x3
σ 33 = 0 = ( λ + 2μ ) β ( cos ( − β ct ) + a cos β ct )
∴ a = −1
4.
Las funciones de Airy de esfuerzos
(ϕ )
se emplean para describir el estado de
esfuerzos para condiciones de deformación plana. Si la función de esfuerzos de Airy
para un cierto estado de solicitaciones se describe como
ϕ = α x1 x23 + β x1 x2
a) ¿Será factible dicha descripción?
b) Determine el estado de esfuerzos asociado a una deformación plana.
c) Determine los valores de α y β , dado que la función de Airy ( ϕ ) describe la
deformación de una viga en cantiliver de acuerdo con la siguiente figura:
301
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.26
VIGA
EN VOLADIZO CON UNA CARGA
FLECTOR Y UN ESFUERZO DE CORTE.
GENERA ESFUERZOS NORMALES
σ11
f2
QUE PROVOCA UN MOMENTO
EL MOMENTO FLECTOR A SU VEZ
SOLUCIÓN
a) Para un estado de deformación plana
⎛ ε11 ε12
ε ij = ⎜⎜ ε 21 ε 22
⎜ 0
0
⎝
0⎞
⎟
0⎟ ⇒
0 ⎟⎠
0 ⎞
⎛ σ11 σ12
⎜
σ ij = ⎜ σ 21 σ 22 0 ⎟⎟
⎜ 0
0 σ 33 ⎟⎠
⎝
Ecuación constitutiva (SEHLI)
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
ε ij =
1
(σ ij (1 + ν ) − νσ kk δ ij )
2 μ (1 + ν )
σ 33 = ν (σ11 + σ 22 )
Como la deformación es plana, entonces
ui = u1 ( x1, x2 )eˆ1 + u2 ( x1 , x2 )eˆ2 + 0eˆ3
ε ij = ε ( x1 , x2 ) ⇒
σ ij = σ ( x1, x2 )
Recordando que dado que existe equilibrio y se desprecian las fuerzas de cuerpo, la
ecuación de Cauchy se expresa
∂σ 11 ∂σ 12
+
= 0,
∂x1
∂x 2
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂x1
∂x2
302
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Donde la tercera ecuación diferencial se genera a partir de una de las condiciones de
integrabilidad y se expresa
⎛ ∂2
∂2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ (σ11 + σ 22 ) = 0
⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠
La solución del sistema se expresa a través de una función escalar de la forma
ϕ = ϕ ( x1 , x2 ) , denominada función de Airy, de tal forma que:
σ11 =
∂ 2ϕ
∂x22
∂ 2ϕ
; σ 22 =
∂x12
; σ12 = −
∂ 2ϕ
∂x1∂x2
⎛ ∂2
∂2 ⎞
De lo antes expuesto dado que ⎜ 2 + 2 ⎟ (σ11 + σ 22 ) = 0; ⇒ ∇ 2 (σ11 + σ 22 ) = 0 ∴
⎜ ∂x
⎟
⎝ 1 ∂x2 ⎠
se debe cumplir que ∇ 4ϕ = 0
∂ 4φ
∂x14
+
∂ 4ϕ
+2
∂x24
∂ 4ϕ
∂x12∂x22
=0
ϕ = α x1x23 + β x1x2
Ya que
⇒
Por tanto,
se observa que se cumple con lo antes expuesto.
ϕ
sí reúne las características para ser una función de Airy:
b) Conocida la función de Airy solución del problema, los esfuerzos asociados se
determinan como
σ11 =
σ 11 =
∂ 2ϕ
∂x22
∂ 2ϕ
∂x22
, σ12 = −
= 6α x1 x2 ; σ 22 =
∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
, σ 22 = 2
∂x1∂x2
∂x1
∂ 2ϕ
∂x12
= 0 ; σ 12 = −
303
∂ 2ϕ
= − 3α x22 + β
∂x1∂x2
(
)
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
⎛ 6α x x
1 2
⎜
⎜
σ ij = ⎜ − 3α x22 + β
⎜
0
⎜
⎝
(
(
− 3α x22 + β
)
)
0
0
⎞
⎟
⎟
0
⎟
⎟
6αν x1 x2 ⎟
⎠
0
c) Diagrama de momentos
Viga sometida a un momento de flexión M f = fx1 . Ésta es de sección rectangular
con un peralte (altura) h , ancho b y longitud l . Los ejes se definen en el extremo
opuesto al empotramiento, considerando lo anterior I33 =
1 3
bh
12
Mf
(+)
σ11
(–)
FIGURA 6.27 GEOMETRÍA
DE LA VIGA ANTES DE SER CARGADA
(FIGURA
DISTORSIÓN SUFRIDA COMO CONSECUENCIA DE LA CARGA
f
Por efecto de la carga, la viga se deforma de acuerdo con la figura 6.27
σ11 =
M f x2
I33
=
fx1x2
xx
= 12 f 13 2
3
⎛ bh ⎞
hb
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 12 ⎠
304
SUPERIOR) Y
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
σ 11 = 6α x1 x2 = 12 f
x1 x2
3
hb
6α =
⇒
12 f
bh
τ =
3
f
A
o
3α =
σ12 =
6f
bh3
f
bh
Sin embargo, se observa que en la cara superior e inferior de la viga no existen
cargas verticales, por lo que σ12 = 0 para x2 = ±
σ12 = 0 = −(3α
h
, entonces
2
⎛ 6 f h2
⎞
h22
3 f
+ β ) = −⎜ 3 2 + β ⎟ ⇒ β = −
⎜ bh 4
⎟
4
2 bh
⎝
⎠
⎛ 6f 2 3 f ⎞
x2 −
2 bh ⎟⎠
⎝ bh3
σ12 ( x2 ) = − ⎜
Por consecuencia, la función de Airy solución para una viga en cantiliver con una
carga f es
ϕ = α x1x23 + β x1x2 ⇒ ϕ =
2
f ⎞
3 ⎛ 6 fx2
−
+
x
x
xx
⎜
1
2
⎜ bh3 bh ⎟⎟ 1 2 ,
bh3
⎝
⎠
2f
De esta forma, el estado de esfuerzos se expresa
σ11 =
∂ 2ϕ
∂x22
= 6α x1 x2 ; σ 22 =
⎛
12 f
x1 x2
⎜
bh3
⎜
⎜
3 f ⎞
⎛ 6f
σ ij = ⎜ − ⎜ 3 x22 −
⎜ ⎝ bh
2 bh ⎟⎠
⎜
⎜
0
⎜⎜
⎝
∂ 2ϕ
∂x12
= 0; σ 12 = −
∂ 2ϕ
= 3α x22 + β
∂x1∂x2
3 f ⎞
⎛ 6f
− ⎜ 3 x22 −
2 bh ⎟⎠
⎝ bh
0
0
305
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
0
⎟
⎟
⎟
12 f
ν
x
x
⎟⎟
1
2
bh3
⎠
0
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
5. La ecuación constitutiva para un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, es de la
forma:
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
A partir de lo anterior demuestre que una forma equivalente de la misma es
ε ij =
1
(σ ij (1 + ν ) − νσ kk δ ij )
2 μ (1 + ν )
SOLUCIÓN
De la ecuación constitutiva
ε ij =
Recordando que
ε kk =
1
(σ ij − λε kk δ ij ) (6.19)
2μ
σ ii
3λ + 2 μ
Sustituyendo ε kk en la ecuación 6.19
ε ij =
Como ν =
⎞
1 ⎛
λ
σ kk δ ij ⎟
⎜ σ ij −
2μ ⎝
3λ + 2μ
⎠
(6.20)
λ
2 μν
, entonces λ =
2(λ + μ )
(1 − 2ν )
Sustituyendo en la ecuación 6.20
⎛
2μν
⎛
⎜
⎜
1
(1 − 2ν )
⎜ σ ij − ⎜
ε ij =
μν
6
2 μ − 4 μν
2μ ⎜
⎜
⎜ (1 − 2ν ) + (1 − 2ν )
⎜
⎝
⎝
∴
ε ij =
1 ⎡
⎤
⎛ ν ⎞
σ ij − ⎜
⎟ σ kk δ ij ⎥
⎢
2μ ⎣
⎝ν + 1 ⎠
⎦
ε ij =
1
⎡σ ij (1 +ν ) −νσ kk δ ij ⎤
⎦
2μ (1 +ν ) ⎣
306
⎞
⎞
⎟
⎟
⎟ σ kk δ ij ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
6. Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, presenta un módulo de elasticidad de
72 GPa y un coeficiente de Poisson de 0.33. Una pieza del material anterior es sometida
a una serie de solicitaciones que provocan en un punto del cuerpo una distorsión, la cual
se puede representar mediante el tensor eij.
⎛ 4 −1 2 ⎞
⎜
⎟
eij = ⎜ −1 −4 −3 ⎟ x 10-3 m/m
⎜
⎟
⎝ 2 −3 −9 ⎠
Con base en lo anterior y considerando que la deformación está dentro del rango
elástico, determine:
a) Tensor de deformación y rotación asociado
b) Vector de rotación. ¿Cómo se puede definir el flujo con base a este dato?
c) Deformaciones principales
d) Tensor de esfuerzos asociado
e) Esfuerzos principales
f)
Desviador de esfuerzos
g) Esfuerzos principales asociados al desviador
h) Energía por unidad de volumen asociada a la deformación elástica
SOLUCIÓN
a) ∇u = ( ∇u )
T
∴
el tensor es simétrico, razón por la que es desplazamiento es
irrotacional
∴
⇒ ε ij = eij
wij = [ 0]
⇒
ϕi = 0eˆi
Por consecuencia, se pueden calcular las deformaciones principales, las cuales
quedan
ε ijp
0 ⎞
⎛ 4.5 0
⎜
⎟
= ⎜ 0 −3
0 ⎟ × 10−3
⎜ 0
0 −10.5 ⎟⎠
⎝
307
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
b) Considerando las propiedades elásticas del MC y la deformación volumétrica unitaria
ε ii
E = 72 GPa
ν = 13
ε ii = −9 x10−3
Se tiene que
E
νE
3E
3
λ=
=
=
= 54 GPa
(1 +ν )(1 − 2ν ) ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ 4
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠
E = 2μ (1 +ν )
μ=
E
E
3E
=
=
= 27 GPa
2(1 +ν )
⎛4⎞ 8
2⎜ ⎟
⎝3⎠
Le ecuación constitutiva del SEHLI se expresa
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
⇒
⎛ −270 −54 108 ⎞
σ ij = ⎜⎜ −54 −702 −162 ⎟⎟ MPa
⎜ 108 −162 −972 ⎟
⎝
⎠
c)
σ ijp
0
0 ⎞
⎛ −240
⎜
⎟
=⎜ 0
−649
0 ⎟ MPa
⎜ 0
0
−1055.2 ⎟⎠
⎝
d)
σ ijH = −648 MPa
⇒
⎛ 378 −54 108 ⎞
⎜
⎟
Sij = ⎜ −54 −54 −162 ⎟ MPa
⎜ 108 −162 −324 ⎟
⎝
⎠
308
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
e)
Sijp
0
0
⎛ 408.16
⎞
⎜
⎟
=⎜ 0
−0.947
0
⎟ MPa
⎜ 0
−407.216 ⎟⎠
0
⎝
f)
1
1
1
W = σ ij ε ij = (σ1ε1 + σ 2ε 2 + σ 2ε 2 ) = ( −240 × 4.5 + 649 × 3 + 1055.2 ×10.5 )
2
2
2
⇒
W = 5973.3 kJ/m3
7. Para un sistema biaxial de deformación, defina el tensor de esfuerzos y el de
deformación característicos. Desarrolle el sistema de ecuaciones diferenciales que es
necesario resolver para determinar los esfuerzos. ¿Cuántas incógnitas se tienen?,
¿cuáles son éstas?, ¿qué condiciones se deberán cumplir para que el estado de
deformación
se
pueda
definir
como
biaxial?,
¿cómo
desplazamientos?
SOLUCIÓN
Condición biaxial de deformación. Número de incógnitas = 3
⎛ ε11 ε12
ε ij = ⎜⎜ ε 21 ε 22
⎜ 0
0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
ε11 , ε 22 , ε12
Estado de esfuerzos asociado. Número de incógnitas = 3
⎛ σ 11 σ12
σ ij = ⎜⎜ σ 21 σ 22
⎜ 0
0
⎝
σ11 , σ 22 , σ12
309
0 ⎞
⎟
0 ⎟
σ 33 ⎟⎠
queda
el
campo
de
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
dado que:
ε 33 = 0 =
1
(σ 33 − υ (σ 11 + σ 22 ))
2 μ (1 + υ )
∴
σ 33 = υ (σ11 + σ 22 )
Sistema de ecuaciones diferenciales
∂σ 11 ∂σ 12
+
=0
∂x1
∂x2
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂x1
∂x2
∂σ 33
=0
∂x3
El campo de desplazamientos
ui = f1 ( x1, x2 )eˆ1 + f 2 ( x1, x2 )eˆ2 + 0eˆ3
∇2 (σ11 + σ 22 ) = 0
Se cumple que x3 >> x1 , x2
relación a las otras.
, es decir que la dimensión en un eje es dominante con
8. Un plano octaédrico es aquel que está igualmente inclinado con los ejes principales
asociados al sistema.
a) Demuestre que el esfuerzo normal en un plano octaédrico está dado por:
σ oct =
I1σ
3
b) Demuestre que el esfuerzo de corte en el plano octaédrico está dado por:
1
3
τ oct = ((σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ1 − σ 3 )2 )
donde σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales.
310
1
2
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
SOLUCIÓN
La normal del plano octaédrico es
1
ni =
3
(eˆ1 + eˆ2 + eˆ3 )
Donde σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales
σ ij p
FIGURA 6.28
UN
0⎞
⎛ σ1 0
⎜
⎟
= ⎜ 0 σ2 0 ⎟
⎜0 0 σ ⎟
3⎠
⎝
PLANO OCTAÉDRICO ESTÁ IGUALMENTE INCLINADO CON
RELACIÓN A LOS EJES
a) El vector de esfuerzos asociado al plano octaédrico es
ti = σ ij n j
0 ⎞⎛1⎞
⎛ σ1 0
⎜
⎟⎜ ⎟ 1
ti = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟⎜1⎟
⎜ 0 0 σ ⎟ ⎜1⎟ 3
3 ⎠⎝ ⎠
⎝
ti =
σ1
3
eˆ1 +
311
σ2
3
eˆ2 +
σ3
3
eˆ3
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Por otra parte, la componente normal al plano octédrico (esfuerzo normal octaédrico)
es
t N = ti ni =
σ1 σ 2 σ 3
+
3
3
+
3
1
3
∴
σ N = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) =
I1σ
= σ oct = σ H
3
Resulta por demás evidente que el esfuerzo normal octaédrico es el esfuerzo
hidrostático.
b) Por otra parte, analizando las componentes en forma vectorial se tiene que
2
2
σ = σ N + τ oct
2
1
1
2
2
∴τ oct
= σ − σ N2 = (σ12 + σ 22 + σ 32 ) − [σ12 + σ 22 + σ 32 + 2σ1σ 2 + 2σ 2σ 3 + 2σ 3σ1 ]
3
9
Simplificando queda
2
9
2
τ oct
= [σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ1 ]
Por otra parte,
(σ1 − σ 2 )2 = σ12 + σ 22 − 2σ1σ 2
(σ 2 − σ 3 )2 = σ 2 + σ 32 − 2σ 2σ 3
(σ 3 − σ1 )2 = σ 32 + σ12 − 2σ 3σ1
Sumando los términos
(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 = 2σ12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2σ1σ 2 − 2σ 2σ 3 − 2σ 3σ1
De la relación anterior se concluye que
1
9
2
τ oct
= [(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 ]
312
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
1
τ oct
⇒
1
= [(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 ] 2
3
τ oct =
(
2 2 2 2
τ1 + τ 2 + τ 3
3
)
1/2
9. El estado de esfuerzos en un punto de un medio continuo está dado por
⎛ 2σ
σ ij = ⎜⎜ ασ
⎜ βσ
⎝
ασ
−σ
γσ
βσ ⎞
γσ ⎟⎟
−σ ⎟⎠
MPa
a) Determine los valores de las constantes α, β y γ , de tal forma que el vector de
esfuerzos en el plano octaédrico (igualmente inclinado con relación a los ejes) no
exista.
b) ¿Cuál será el esfuerzo normal y esfuerzos de corte asociados a dicho plano?
c) ¿Cuál será la magnitud de la deformación hidrostática asociada al punto bajo
análisis?
d) Si el material es sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, determine el tensor de
deformaciones asociado.
e) ¿En qué magnitud difieren los esfuerzos principales asociados al tensor y desviador
de esfuerzos correspondiente?
f)
Considerando lo definido en el inciso a), determine los esfuerzos principales en el
punto bajo análisis.
g) Con la consideración del inciso a), determine las deformaciones principales en el
punto bajo análisis.
SOLUCIÓN
a)
⎛2
σ ij = ⎜⎜ α
⎜β
⎝
α
β⎞
−1 γ ⎟⎟ σ
γ −1⎟⎠
313
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Como en el plano octaédrico el vector de esfuerzos es nulo, entonces
α
β ⎞ ⎡1⎤
1
⎟
−1 γ ⎟ ⎢⎢1⎥⎥
3
γ −1⎟⎠ ⎢⎣1⎥⎦
⎡0 ⎤ ⎛ 2
⎜
ti = ⎢⎢0 ⎥⎥ = ⎜ α
⎢⎣0 ⎥⎦ ⎜⎝ β
2 +α + β = 0
α −1+ γ = 0
β + γ −1 = 0
γ = 1− β
β = 1− γ
o
α = 1− γ
2 + [1 − γ ] + [1 − γ ] = 0
4 − 2γ = 0
∴
γ =2
α = β = −1
b) Dado que el vector de esfuerzos en el plano octaédrico es nulo, entonces
τ oct = σ oct = 0
c) El normal octaédrico o esfuerzo hidrostático es cero, razón por la que la deformación
hidrostática también lo es
ε kk =
σ =0
σH
k
⇒
ε kk = 0
d) Tensor de deformaciones considerando SEHLI
ε ij =
1
(σ ij (1 + υ ) − υσ kk σ ij )
2μ (1 + υ )
314
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
⎛ 2 −1 −1⎞
σ ij = σ ⎜⎜ −1 −1 2 ⎟⎟
⎜ −1 2 −1⎟
⎝
⎠
ε11 =
1
σ
(σ11 − υ (σ 22 + σ 33 )) =
(2 + 2υ )
2μ (1 + υ )
2 μ (1 + υ )
ε11 =
ε 22 =
σ
μ
1
σ
(σ 22 − υ (σ11 + σ 33 )) =
(−1 − υ )
2μ (1 + υ )
2μ (1 + υ )
−σ
2μ
ε 22 =
ε 33 =
MPa
−σ (1 + υ )
1
σ
σ
=−
σ 33 − υ (σ11 + σ 22 ) ) =
( −1 − υ ) =
(
2μ (1 + υ )
2μ (1 + υ )
2μ (1 + υ )
2μ
ε 33 =
ε13 =
−σ
2μ
ε12 =
σ 13 −σ
=
2μ 2μ
σ 12 −σ
=
2μ
2μ
ε 23 =
⎡
⎢ 1
⎢
1
ε ij = ⎢ −
⎢ 2
⎢ 1
⎢−
⎣⎢ 2
1
2
−1
2
−
1
σ 23 2σ σ
=
=
2μ 2μ μ
1⎤
− ⎥
2
⎥
σ
1 ⎥
⎥μ
1⎥
− ⎥
2 ⎥⎦
e) Al ser el esfuerzo hidrostático igual a cero, entonces el tensor y su desviador
asociado son iguales
Sij = σ ij − σ H δ ij
dado que σ H = 0 ⇒
315
Sij = σ ij
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
f)
Esfuerzos principales
⎛ 2 −1 −1⎞
σ ij = σ ⎜⎜ −1 −1 2 ⎟⎟
⎜ −1 2 −1⎟
⎝
⎠
σ ij p
⇒
⎡3 0 0 ⎤
⎢
= σ ⎢0 0 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 −3⎥⎦
g)
h) Por su parte, las deformaciones principales en la coordenada analizada son
−1 −1⎤
2 ⎥⎥
⎢⎣ −1 2 −1⎥⎦
⎡2
⎡3 0
σ ⎢
ε ij =
−1 −1
2μ ⎢
ε ij p
⇒
0⎤
0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 −3⎥⎦
σ ⎢
0 0
=
2μ ⎢
10. Un sólido es sometido a una serie de solicitaciones en su rango elástico, de tal forma que
se han obtenido los siguientes resultados al aplicar solicitaciones en diferentes
direcciones:
Prueba # 1
Carga uniaxial a tracción aplicada a lo largo del eje x1 (longitudinal)
Esfuerzo resultante = 100 MPa
Deformación longitudinal = 1 × 10 −3
Deformación transversal en los ejes x2 , x3 = −3.2 ×10
No se presentaron deformaciones a corte
Prueba # 2
Carga uniaxial a compresión a lo largo del eje x2
Esfuerzo resultante = 250 MPa
Deformación longitudinal = −2.5 × 10−3
Deformación transversal en los ejes x1 , x3 = 8 × 10
No se presentaron deformaciones a corte
316
−4
−4
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Prueba # 3
Ensayo de torsión. El momento torsionante es aplicado a una barra de sección
circular cuyo eje longitudinal es x1 .
En este caso la deformación a corte en el plano x3 x2 = 5.28 ×10
−4
Con base en lo antes expuesto:
a) Indique el tipo de comportamiento característico (isotrópico, transversalmente
isotrópico, ortotrópico, etc.). Justifique su respuesta.
b) Determine los estados de esfuerzos y deformaciones que se describen para las
pruebas 1 y 2.
c) Calcule las constantes elásticas factibles de determinar a través de los datos
presentados.
SOLUCIÓN
Prueba #1
Prueba #2
Prueba #3
σ11 = 100 MPa
σ 22 = 250 MPa
ε11 = 1×10−3
ε 22 = −2.5 ×10−3
Ensayo de torsión
⇒ Corte puro
ε 22 = ε 33 = −3.2 ×10−4
ε11 = ε 33 = 8 ×10−4
ε 23 = 5.28 ×10−4
ε 31 = ε12 = ε 23 = 0
ε12 == ε 23 = ε 31 = 0
No existe deformación de corte cuando los esfuerzos son normales, ni deformación
normal cuando los esfuerzos son de corte, por lo tanto, se descarta que se trata de un
sólido elástico monotrópico, entonces sólo se puede tratar de:
(SEHLI) Sólido elástico isotrópico
(SEHLTI) Sólido elástico transversalmente isotrópico
(SEHLO) Sólido elástico ortotrópico
317
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
En el caso más general, SEHLO la ecuación constitutiva permite describir las
siguientes relaciones:
ε11 =
σ 11 ν 21σ 22
E1
−
E2
−
ν 31σ 33
E3
Para el ensayo #1 se reduce a
ε11 =
σ 11
⇒
E1
E1 =
σ 11 100
MPa = 100 GPa
=
ε11 10−3
Por otra parte,
ε 22 = −
ν12σ11
E1
+
σ 22
E2
−
ν 32
E3
se reduce a
ε 22 = −
ν12σ11
ε 22 E1
(−3.2 ×10−4 ) ×100 ×107
=−
= 0.32
ν12 = −
σ11
100 ×106
∴
E1
Además,
ε 33 = −
ν 13σ 11
E1
+
σ 23σ 22
E2
+
σ 33
E3
lo que se reduce a
ε 33 = −
ν13σ11
∴
E1
ν13 = −
ε 33 E1
= 0.32
σ11
Para el ensayo #2. Prueba de compresión
Considerando un modelo general similar al ensayo 1 se tiene:
ε 22 = −
ν 12σ 11 σ 22 ν 32
E1
+
E2
−
E3
σ 33
318
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Se reduce a
σ 22 2.5 ×108
∴
E2 =
=
ε 22 2.5 ×10−3
⇒
ν =−
εT
εl
E2 = 1×1011 = 100 ×109 = 100 GPa
E1 = E2
ν 21 = −
⇒
ν 23 = −
8 ×10−4
2.5 ×10−3
8 ×10−4
2.5 ×10−3
= 0.32
= 0.32
De todo lo anterior, se constata que se trata de un sólido elástico homogéneo, lineal e
isotrópico.
ν12
E1
ν 23
E2
=
ν 21
=
Para un SEHLI
E2
ν 32
E3
⇒
ν13
⇒
E3 =
E1
=
ν 31
E3
ν 32
E
ν 23 2
⇒
⇒
E3 =
E1ν 31
ν13
E3 = E2
E1 = E2 = E3
ν12 = ν 23 = ν 31 = ν
11. Para el caso de un medio continuo cuyo comportamiento se puede describir como el
de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, el cual es sometido a
deformaciones infinitesimales, desarrolle una expresión (ecuación diferencial) que
describa el comportamiento en función de los desplazamientos (ui), de las
propiedades elásticas (E, k, λ, μ,ν) y de la densidad (ρ).
Dado que las deformaciones son muy pequeñas se puede considerar que:
Dvi D2 ui
≈
Dt
Dt 2
319
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
por otra parte,
ρ (t ) ≈ ρ0
Para el desarrollo de la función tome como base la ecuación de Cauchy.
SOLUCIÓN
Ecuación de Cauchy
∂σ ij
∂x j
+ ρ Bi = ρ
Dvi
Dt
Para desplazamientos infinitesimales:
Dvi ∂ 2 ui
=ˆ 2
Dt
∂t
ρ ( t ) =ˆ ρ0
Entonces,
∂σ ij
∂x j
+ ρ 0 Bi = ρ 0
∂ 2 ui
∂t 2
Dado que se trata de un sólido, elástico, la ecuación constitutiva es
σ ij = λε kk δ ij + 2 με ij
ε kk = ∇iu
En general,
1 ⎛ ∂ui ∂u j
+
2 ⎝ ∂x j ∂xi
ε ij = ⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎠
Sustituyendo se tiene:
∴
( λ + μ ) ∇ e + μ ∇ ⋅ (∇ u ) + ρ 0 B = ρ 0
∂ 2u
∂t 2
que es la ecuación de Navier (Teoría infinitesimal de la elasticidad).
320
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
12. Una viga de sección circular es sujeta a una combinación de solicitaciones, de tal
forma que se aplica un momento flexionante de 28000 Nm, además de una carga de
tracción a lo largo del eje longitudinal de 10000 N. Si el límite elástico del material es
de 124 MPa (esfuerzo máximo de diseño). Determine cuál deberá ser el diámetro
mínimo de la barra.
FIGURA 6.29 BARRA
DE SECCIÓN CIRCULAR DE RADIO
r
Y LONGITUD
l
LA CUAL ES
SOMETIDA A UNA CARGA AXIAL f Y UN MOMENTO FLEXIONANTE Mf
SOLUCIÓN
Mf = 28000 N m
f = 10000 N
σ 0 = 124 MPa
φmí n = ?
Al tratarse de fenómenos lineales sí se puede realizar superposición de esfuerzos,
por tanto,
1
I 33 = π r 4
4
σ11 =
′ =
σ11
Mx 4Mr
=
I
π r4
f
π r2
321
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
′
⎛ σ11 + σ11
⎜
σ ij = ⎜
0
⎜
0
⎝
0
0
0
⎛ f
4M
⎜ 2 + π r3
⎜πr
σ ij = ⎜
0
⎜
0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
0
0
0
⎞
0⎟
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
Los esfuerzos principales serán
σ 2 = σ3 = 0
σ1 =
f
πr
2
+
4M
πr
3
fr + 4M
=
π r3
La cedencia se presenta de acuerdo con el criterio de Tresca cuando el cortante
máximo alcanza un valor crítico τ 2 = k . Dicho criterio se puede expresar en forma
simplificada como σ 0 = σ 1 − σ 2 . Por otra parte, el criterio de Von Mises indica que
la cedencia se presenta cuando el segundo invariante del desviador de esfuerzos
alcanza un valor crítico J 2 = k , a partir de lo cual se puede demostrar que
2
σ VM =
1
2
( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2
∴σ VM ≥ σ 0′ .
Como consecuencia de lo antes expuesto, y siendo que el criterio de Von Mises
es el más preciso, se tiene que la deformación elástica se presentará siempre y
cuando que no exista cedencia; entonces, el esfuerzo eficaz será menor que el
de fluencia, por tanto, en el límite
2
σVM
=
( )
1
2σ12
2
; σ 0′ =
2
2
σ0
3
⎛ 2
⎞
⎛ f
4M ⎞
σ0 ⎟
⎜ 2 + π r3 ⎟ = ⎜
⎝πr
⎠ ⎝ 3 ⎠
(
2
2
4 × 124 ×106
⎛ 10000 4 × 28000 ⎞
+
⎜
⎟ =
3
π r3 ⎠
⎝ π r2
322
)
2
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
2
⎛ 112 × 103 + 1× 104 r ⎞ 12.5 × 109 + 1× 108 r 2 + 2.24 × 109 r
⇒⎜
= 2.05 ×1016
⎟⎟ =
3
2 6
⎜
πr
π r
⎝
⎠
⇒ r 6 − 4.94 ×10−10 r 2 − 1.107 ×10−8 r − 6.177 × 10−8 = 0
La única raíz real positiva es
r = 0.063 m
De otra forma, considerando Tresca
σ1 − σ 3 = σ 0 , σ 3 = 0 ⇒ σ1 = σ 0
σ0 =
f
πr
2
+ 4 M3
124 × 106 =
πr
10000
π r2
+
4 × 28000
π r3
Por lo que se tiene el polinomio
r 3 − 2.56 × 10−5 r − 2.87 ×10−4 = 0
La única raíz real del polinomio es
r = 6.6 × 10 −2 m
Los resultados anteriores confirman lo indicado por la teoría, ya que Tresca es un
criterio conservador en comparación con Von Mises, el cual predice la falla para
un menor esfuerzo o demanda una dimensión mayor (radio mínimo de la barra de
sección circular) para soportar las solicitaciones.
323
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Para resolver un sistema biaxial de deformaciones es necesario determinar σ11 , σ 22 , σ12 ,
esto a partir de la solución simultánea de las tres ecuaciones diferenciales características
del sistema:
∂σ 11 ∂σ 12
+
= 0,
∂x1
∂x2
⎛ ∂2
∂2
⎜⎜ 2 + 2
⎝ ∂x1 ∂x2
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂x1
∂x2
⎞
⎟⎟ (σ11 + σ 22 ) = 0
⎠
Para este caso, la solución se expresa a través de una función de Airy (ϕ), en este caso
los esfuerzos se definen como:
σ11 =
∂ 2ϕ
∂x22
σ 22 =
∂ 2ϕ
∂x12
σ12 = −
∂ 2ϕ
∂x1∂x2
Con base en lo anterior, demuestre que ϕ representa una función de esfuerzos de Airy:
ϕ=
x x3 ⎞ P 2
3F ⎛
⎜⎜ x1 x2 − 1 22 ⎟⎟ + x2
4c ⎝
3c ⎠ 4c
Asimismo, defina el estado de esfuerzos y de deformación asociado al caso bajo
análisis.
Considere que el material se comporta como un sólido, elástico, homogéneo, lineal e
isotrópico, con constantes elásticas E ,ν , μ , λ , k .
Nota: La función φ antes indicada se emplea para describir el comportamiento de una
viga sometida a una carga en el eje x1 , P y otra que genera flexión sobre la barra F y
que se describe en dirección del eje x2. La barra tiene un peralte (altura) 2c , un ancho
b y una longitud l .
324
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
FIGURA 6.30 VIGA EMPOTRADA CON CARGAS
P
Y
F.
2. La ecuación constitutiva de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, se
expresa como:
ε ij =
1
(σ ij (1 + ν ) − νσ kk δ ij )
2 μ (1 + ν )
donde
ε - deformación
σ - esfuerzo
μ - Módulo de Rigidez a corte (Representa la relación del esfuerzo de corte a
la deformación angular)
ε
ν - Coeficiente de Poisson ν = − T (Representa la relación de la deformación
εl
transversal a la longitudinal)
Con base en lo anterior, desarrolle las ecuaciones representadas a través de la notación
índice.
En el rango elástico, la relación esfuerzo deformación es lineal y la energía de
deformación se expresa como
dw = σ ij d ε ij
325
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.31 TRABAJO DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA W
e
1
= σ ijε ij
2
Considerando lo antes expuesto, determine la expresión en notación índice que
representa el trabajo de deformación elástica.
3. Un cuerpo es sometido a una serie de solicitaciones que provoca la distorsión del mismo,
situación que se puede representar con el tensor ∇ X u ( X i , t ) . Con esta base defina los
tensores de deformación ( ε ij ) y de rotación ( ωij ).
Por otra parte, determine las deformaciones y esfuerzos principales considerando que el
material presenta un módulo de elasticidad de 200 GPa y un coeficiente de Poisson de
1 / 3 , es homogéneo e isotrópico y las deformaciones son elásticas.
Determine el estado de esfuerzos correspondientes.
⎛ 25 10 −12 ⎞
⎜
⎟
eij = ⎜ 2 8 −15 ⎟ × 10−3
⎜ 9 7 −10 ⎟
⎝
⎠
m
m
4. La distribución de esfuerzos en un cuerpo está dada por σ ij . Con base en lo anterior:
a) Considere que la deformación es biaxial y determine el valor de σ 33 . El coeficiente de
Poisson es igual a 1 3 .
326
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
b) Para el elemento diferencial ubicado en
X i ( 2, 2,1) , determine el estado de
deformaciones, así como los valores principales de los esfuerzos y las
deformaciones. Considere que el material presenta un coeficiente de Poisson ν y
módulo de rigidez a corte μ .
⎡ x1 + x2
⎢
σ ij = α ⎢ 2 x1 − x2
⎢
⎢⎣ 0
2 x1 − x2
x1 − 3 x2
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
σ 33 ⎥⎦
5. Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, presenta un módulo de elasticidad de
72 Gpa y un módulo de Poisson de 0.30.
Una pieza del material anterior es sometida a una serie de solicitaciones, las cuales
provocan en un elemento diferencial X i del cuerpo una distorsión que se puede
representar mediante el tensor eij.
⎛ 6 −2 5 ⎞
m
⎜
⎟
eij = ⎜ 4 −4 −3 ⎟ × 10−3
m
⎜ 7 10 −8 ⎟
⎝
⎠
Con base en lo anterior y considerando que la deformación está dentro del rango
elástico, determine el estado de esfuerzos en dicho elemento diferencial.
6. Determine el número de constantes elásticas linealmente independientes que existen
para un material monotrópico.
7. Aplicando la teoría de medios continuos se puede comprobar que el estado de
deformaciones asociado a una dislocación de hélice, se puede expresar como:
ε ij =
0
0
0
0
−bx2
4π ( x12
+
bx1
x22 )
4π ( x12 + x22 )
327
−bx2
4π ( x12 + x22 )
bx1
4π ( x12 + x22 )
0
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
donde el vector de Burgers de la dislocación b tiene una magnitud b y es paralelo al eje
x3.
Considerando que se trata de un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico, se
cumplirá entonces con
σ ij = λ eδ ij + 2 με ij , donde λ, μ
son constantes de Lamê,
e = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 .
Con base en lo expuesto y partiendo de que no existen fuerzas de cuerpo y que además
no hay aceleración en el cuerpo, verifique la existencia de equilibrio en cualquier
elemento diferencial de la dislocación de hélice.
∂σ ij
∂x j
+ ρ Bi = ρ ai
Asimismo, compruebe la existencia de un vector de desplazamientos u (u1 , u2 , u3 ) que
da lugar a ε ij .
Por otro lado, determine cuál será la variación de volumen que se asocia a la presencia
de la dislocación para cualquier condición, y cuál será la rapidez de variación del
volumen asociada al estado de deformación descrito para la dislocación.
e
Considerando que la deformación elástica está definida como W =
1
(σ ijε ij ) , y que la
2
teoría de medios continuos se puede aplicar a partir de un radio r0 y hasta el radio del
cristal
R , determine la energía asociada a la dislocación; asimismo, determine los
esfuerzos y deformaciones principales, máxima deformación y esfuerzos de corte.
8. El campo de desplazamiento asociado a un medio continuo está dado por (coordenadas
rectangulares).
u1 =
−bX 3 X 2
X1
u2 =
bX1 X 3
X2
u3 = X 3b sen X 2
Además, se ha determinado que
x1 = ( X 2 + X 3 ) , x2 = aX1 ,
328
x3 =
X 2 X1
X3
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Si el material es sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, con un coeficiente de
Poisson (ν ) y módulo de compresibilidad ( k ) , determine:
a) Tensor de esfuerzos
b) En ausencia de fuerzas de cuerpo, ¿el campo de esfuerzos estará en equilibrio?
c) Campo de rapidez de deformación.
9. Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, presenta un módulo de elasticidad de
70 GPa y un coeficiente de Poisson de 1/3. Cuando al material se le aplica una fuerza f
( f = 500eˆ1 + 250eˆ2 − 750eˆ3 ), ésta provoca en el elemento diferencial X = ( 5,1, 2 ) una
serie de desplazamientos cuyo gradiente valuado en
X está dado por:
⎛ −6 3 8 ⎞
⎜
⎟
(∇u ) X = ⎜ 5 9 −2 ⎟ ×10−4 m/m
⎜ 2 12 20 ⎟
⎝
⎠
Con base en las deformaciones producidas por efectos de los desplazamientos, y
considerando que éstas se encuentran en el rango elástico, determine para el punto en
cuestión:
a) Estado de deformaciones
b) Estado de esfuerzos
c) Cambio de volumen
d) Esfuerzo hidrostático
10. Para una dislocación de borde se ha determinado la siguiente función de Airy.
ϕ=−
1
Gb
x2 ln( x12 + x22 ) 2
2π (1 − υ )
donde
G - Módulo de rigidez a corte, υ - Coeficiente de Poisson, b - magnitud del vector de
Burger asociado a la dislocación
Con base en lo anterior, determine el estado de esfuerzos y deformaciones
correspondientes; asimismo, compruebe la existencia de equilibrio.
329
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Si la energía asociada a la dislocación se puede expresar como U = 1 2 σ ij ε ij
considerando que el material es isotrópico, determine la energía asociada a la
dislocación de borde.
11. El estado de esfuerzos en un elemento X i a un tiempo t está dado por
0
0⎞
⎛ −16.18
⎜
⎟
σ ij = ⎜ 0
34.18 0 ⎟
⎜ 0
0
50 ⎟⎠
⎝
MPa
Si con otra base de referencia el estado se representa como
0 ⎞
⎛ −16.18 0
⎜
σ ij′ ( X i , t ) = ⎜ 0
σ 22 25 ⎟⎟
⎜ 0
25 σ 33 ⎟⎠
⎝
MPa
y se trata de un material sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, determine el
estado de deformaciones correspondiente a σ ij′ , así como su representación en ejes
principales. Considere que ν = 1 3 , E=200 GPa.
λ=
νE
(1 + ν )(1 − 2ν )
¿Cómo están orientados los ejes principales de deformación con relación a los
principales de esfuerzos?
Calcule la matriz de rotación.
12. Desarrolle las relaciones que permiten determinar cualesquier constante elástica a partir
de conocer dos de éstas. Esto para un sólido elástico, lineal homogéneo e isotrópico.
λ, μ
E, ν
μ, ν
λ
μ
E
ν
k
330
E, ν
K, ν
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
13. Para una condición de deformación plana en un medio continuo, se ha propuesto como
solución la siguiente función de Airy:
ϕ = 2 x14 + 12 x12 x22 − 6 x24
a) Determine el estado de esfuerzos asociado al medio continuo.
b) Si se trata de un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, determine el
campo de deformaciones.
c) ¿Existirá un vector de desplazamientos a través del cual se representa la
deformación del sólido?
d) Verifique la existencia de condiciones de equilibrio.
14. El tensor de distorsión para un elemento de un bloque de acero está dado por Uij.
⎛ 6 8 −6 ⎞
⎜
⎟
U ij = ⎜ 9 −9 15 ⎟ × 10−4
⎜18 6 −25 ⎟
⎝
⎠
Las constantes de Lamê del material (λ , μ ) son respectivamente 120 y 73 GPa. Con
base en lo anterior, determine el tensor de deformación (ε ij ) , el de rotación (ωij ) , el de
esfuerzos (σ ij ) (deformación elástica), el desviador esfuerzos, el esfuerzo efectivo, la
deformación efectiva, los esfuerzos y deformaciones principales, la deformación
volumétrica, así como las restantes constantes elásticas (módulo de elasticidad,
coeficiente de Poisson, constante de compresibilidad).
15. Determine si en ausencia de fuerzas de cuerpo el desviador de esfuerzos Sij cumple con
condiciones de equilibrio; asimismo, determine si S 33 = −α ( x12 + x22 ) .
⎛ α ( x22 + ν ( x12 − x22 ))
0 ⎞
−2αν x1 x2
⎜
⎟
⎜
⎟
Sij = ⎜
α ( x12 + ν ( x22 − x12 )) 0 ⎟
−2αν x1 x2
⎜
⎟
⎜
0
0
S33 ⎟
⎝
⎠
331
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
16. Para el estado de esfuerzos σ ij , determine el valor de σ 33 que garantice que la
deformación es biaxial.
Considere que se trata de una deformación elástica y que el material es homogéneo,
lineal e isotrópico, con constantes elásticas λ (constante de Lamê),
rigidez a corte), ν
μ
(módulo de
(coeficiente de Poisson), k (constante de compresibilidad), E
(módulo de elasticidad).
⎛ α ( x22 + ν ( x12 − x22 ))
0 ⎞
−2αν x1 x2
⎜
⎟
⎜
⎟
σ ij = ⎜
α ( x12 + ν ( x22 − x12 )) 0 ⎟
−2αν x1 x2
⎜
⎟
⎜
0
0
σ 33 ⎟⎠
⎝
17. En la figura 6.32 se presenta la distorsión generada por una dislocación de tornillo
(hélice) en un cristal. Si se considera que los desplazamientos productos de la
dislocación son
σi
ε
FIGURA 6.32
DESCRIPCIÓN
ESQUEMÁTICA DE LA DISTORSIÓN GENERADA EN EL CRISTAL
POR FECTO DE UNA DISLOCACIÓN DE TORNILLO.
EL DIAGRAMA
σ −ε
A LA
DERECHA SE OBSERVA
CONSIDERANDO QUE EL MATERIAL ES SEHLI
u1 = 0, u2 = 0, u3 = f (θ ) =
u3 =
b
θ
2π
x
b
tan −1 2
2π
x1
donde el vector de Burgers de la dislocación b̂ tiene una magnitud b y es paralelo al eje
x3 .
332
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Con base en lo antes expuesto y tomando en cuenta que se trata de un sólido elástico
homogéneo lineal e isotrópico, determine:
a) Tensor de deformaciones asociado
b) Tensor de esfuerzos asociado
c) ¿Cuál es el cambio del volumen asociado a la presencia de la dislocación de
tornillo?
d) ¿Cuál será la rapidez de variación de volumen asociado a la condición antes
expuesta?
e) Considerando que la teoría de medios continuos se puede aplicar a partir de un
radio r0 y hasta el radio del cristal R , determine la energía de asociada a la
dislocación.
f)
Explique usted que sucederá con respecto al estado de esfuerzos y a la energía
involucrada, si el material es ortotrópico.
g) Despreciando el efecto de las fuerzas de cuerpo ¿existirá equilibrio?
h) Considerando que los esfuerzos normales sobre las paredes laterales del
elemento son nulos y que el esfuerzo axial debe ser diferente de cero, ¿el modelo
propuesto cumple con estas condiciones?
18. Una barra de sección circular de radio
R
y longitud l , es sometida a un momento
torsionante M T , donde el eje x1 coincide con el eje del cilindro. El momento torsionante
produce un pequeño ángulo de rotación definido por θ , donde θ = θ ( x1 ) , (la
deformación es elástica).
FIGURA 6.33
BARRA
φ
l, LA CUAL
ES DEFORMADA POR UN MOMENTO TORSIONANTE APLICADO EN x = l .
1
LA BARRA SE ENCUENTRA EMPOTRADA EN x1 = 0
DE SECCIÓN CIRCULAR DE DIÁMETRO
333
Y LONGITUD
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Considerando lo antes expuesto, determine:
a) Estado de deformaciones asociado
b) Estado de esfuerzos
c) Deformaciones principales
d) Esfuerzos principales
e) ¿En qué planos se presentan los esfuerzos máximos?
f)
Si el material de la barra se comporta frágil, qué ángulo describirá la superficie de
fractura con el eje longitudinal.
g) ¿Qué pasa si la barra presenta una sección elíptica?
19. Describa el estado de esfuerzos y deformaciones que corresponden a:
a) Estado biaxial de esfuerzos
b) Estado biaxial de deformaciones
20. Las ecuaciones de Navier se pueden expresar como
ρ0
∂ 2u
∂t 2
= ρ0 B + (λ + μ )∇e + μ div(∇u )
Con base en lo antes expuesto, exprese las ecuaciones de Navier en coordenadas
rectangulares, cilíndricas y esféricas.
21. En una deformación plástica el vector desplazamiento está dado por
u = α (2 X 3 + 3 X 2 )eˆ1 + (( X 2 + 3 X1 ))eˆ2 + (2 X1 + 3 X 2 + 2 X 2 )eˆ3
α = 10−2
Para el elemento diferencial que originalmente se ubicaba en la posición (0.08, 0.1, 0.14),
determine el estado de deformación asociado, así como las deformaciones principales y
la deformación máxima a corte. ¿Cómo es la deformación en todo el MC?
22. Una barra de sección circular de diámetro φ y radio R es sometida a una serie de
solicitaciones que provocan flexión y torsión en ésta. El momento flector alrededor de x3,
Mf actúa en el extremo de la barra de acuerdo con lo indicado en la figura 6.34, en el
334
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
mismo extremo se aplica un momento torsionante M T sobre el eje x1 . Por otra parte, la
barra es sometida a una carga distribuida p y una carga concentrada f a la mitad de la
barra. Esta carga f está a un ángulo θ con respecto al eje x1 . Con base en lo antes
expuesto, determine el estado de esfuerzos en la forma σ ij = h ( x1, x2 ) , así como
también la función de Airy que es solución del problema.
FIGURA 6.34
23. Determine la relación existente entre el módulo de elasticidad y velocidad de ondas
elástica longitudinales y transversales en un sólido de Hooke.
24. Para resolver un sistema biaxial de deformaciones es necesario determinar σ 11 , σ 22 , σ 12 ,
esto a partir de la solución simultánea de las tres ecuaciones diferenciales características
del sistema:
∂σ 11 ∂σ 12
+
=0
∂x1
∂x 2
,
∂σ 21 ∂σ 22
+
=0
∂x1
∂x 2
⎛ ∂2
∂2
⎜⎜ 2 + 2
⎝ ∂x1 ∂x 2
⎞
⎟⎟(σ 11 + σ 22 ) = 0
⎠
Para este caso, la solución se expresa a través de una función de Airy (φ), y los esfuerzos
se definen como:
σ 11 =
∂ 2φ
∂x22
σ 22 =
∂ 2φ
∂x12
σ 12 = −
∂ 2φ
∂x1 ∂x
Con base en lo anterior, determine la función de esfuerzos (φ) para la viga horizontal de
la figura 6.35, considere que existe simetría con relación a la carga aplicada (F), la cual
es de 10 000 lbf, asimismo, tome en cuenta que el cable que transmite la carga se
encuentra a un ángulo (θ ). Defina los esfuerzos a que estará sometida la viga.
335
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Determine la función de Airy ϕ = f (x1, x2; F, θ , L, I33). Donde x1, x2 son los ejes
longitudinal (horizontal) y transversal (vertical) con relación a la viga. F es la carga
aplicada, θ es el ángulo entre el cable y la horizontal, L es la longitud de la viga , e I33
representa al momento de inercia sobre el eje x3.
Considere a la viga como empotrada. Tome en cuenta que el material se comporta como
un sólido elástico homogéneo e isotrópico, con constantes elásticas E ,ν , μ , λ , k .
FIGURA 6.35
25. Una viga tipo I [S510x143], de acero A572-HSLA grado 65 (figura 6.36), con
σ u = 552 MPa; σ 0 = 448 MPa; ε m = 17% , es sometida a una carga concentrada f2 [30
kN] y una distribuida [p] de 7500 N/m. Considere que la viga tiene una longitud de 10 m.
Las propiedades de la viga S510x143 son:
Peso 1.4 kN/m
I x = 6.95 × 10 8 mm 4 ;
Sx =
Ix
= 2.47 × 10 6 mm 3 ;
y máx
A = 1820 mm 2 ,
Peralte (altura total de la viga) - 516 mm
Espesor en el alma - 20.3 mm
a) Con base en lo anterior, determine el estado de esfuerzos [ σ ij = σ ( f 2 , p; x1 , x2 ) ] como
una función de las solicitaciones y de la posición. Considere que la deformación se
puede describir como biaxial.
336
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
De ser factible determine la función de Airy que es solución del problema. ¿Soportará la
viga las cargas aplicadas?
El peso de la viga ya ha sido considerado como parte de la carga distribuida, donde Ix
representa el momento de inercia con respecto al plano medio vertical (momento de
inercia) y Sx es el primer momento de área.
FIGURA 6.36
26. Un sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico, presenta constantes elásticas
Ei ,ν i , μ j , k hasta totalizar 9 linealmente independientes. Si las deformaciones que han
sido determinadas experimentalmente en una cierta región del material se expresan
como:
8 ⎤
⎡12 −5
m
⎢
ε = ⎢ −5 7 −15⎥⎥ × 10−4
m
⎢⎣ 8 −15 −9 ⎥⎦
Determine el estado de esfuerzos correspondiente a dicho elemento diferencial del material,
si algunas de las constantes elásticas del material son:
E1 = 150 GPa
E2 = 180 GPa
E3 = 200 GPa
ν12 = 0.3
ν13 = 0.28
ν 23 = 0.33
μ4 = 60 GPa
μ5 = 70 GPa
μ6 = 75 GPa
337
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
27. Un sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico, presenta constantes elásticas
Ei ,ν i , μ j , k hasta totalizar 9 linealmente independientes. Si las deformaciones que han
sido determinadas experimentalmente en una cierta región del material se expresan
como:
8 ⎤
⎡18 5
m
⎢
−12 ⎥⎥ × 10−4
6
ε =⎢5
m
⎢⎣ 8 −12 −15 ⎥⎦
Determine el estado de esfuerzos correspondiente a dicho elemento diferencial del
material, si algunas de las constantes elásticas del material son:
E1 = 100 G Pa; E2 = 120 G Pa; E3 = 150 G Pa; ν 12 = 0.31; ν 13 = 0.27, ν 23 = 0.33
μ 4 = 50 G Pa; μ5 = 60 G Pa; μ6 = 75 G Pa
También, calcule la deformación y esfuerzo hidrostáticos, así como la constante de
compresibilidad.
Determine el desviador de esfuerzos y de deformaciones.
28. Una barra de sección circular está bajo la acción de una carga axial f1 y un momento
flexionante Mf 3
Figura 6.37
Con base en lo anterior, determine el estado de esfuerzos y deformaciones para
cualquier posición y tiempo.
Si el esfuerzo de cedencia del material es σ 0 , determine el radio R mínimo de la barra.
29. A una barra de hierro colado de 200 cm de largo y 5 cm de diámetro es aplicada, en
ambos extremos, una fuerza longitudinal de igual magnitud y sentido contrario P. Con
base en lo anterior determine el esfuerzo normal máximo y los cortantes máximos, ¿a
338
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
qué ángulo se presentarán éstos con relación al eje longitudinal de la barra? Describa el
estado de esfuerzos y deformaciones, si uno de los ejes del sistema cartesiano es
coincidente con el eje de la barra, mientras que los otros dos se encuentran sobre un
plano cuya normal es el eje longitudinal. Si las cargas son de tracción, determine la
longitud final de la barra, así como las contracciones laterales.
1
E = 103 GPa, ν = , P = 100 kN
3
ε ij =
(
1
σ (1 +ν ) −νσ kkδ ij
2 μ (1 +ν ) ij
)
E = 2 μ (1 +ν )
Si la barra en cuestión se coloca en un núcleo indeformable cuyo diámetro interior es de
5 cm y cuya longitud es mayor que la de la barra, que sucederá al aplicar a la barra la
carga P, pero ahora de compresión, ¿Cuál será el estado de esfuerzos y deformaciones?
30. Una banda de un sólido elástico homogéneo, lineal e isotrópico, cuyo espesor es
despreciable en comparación con sus otras dos dimensiones, está sometida a una serie
de
solicitaciones
que
generan
un
estado
de
esfuerzos:
3
T11 = α x12 x2 ; T22 = α nx23 ; T12 = f ( x1 , x2 ) . Donde n es un escalar y α = 1MPa/ m . Determine la
función que describe el esfuerzo cortante. Determine el estado de esfuerzos y de
deformaciones, considere que T23 = T31 = 0; T33 = f ( x1 , x2 ) .
31. El arreglo de galgas extensométricas para un estado de deformaciones plano (figura
6.38), mide las deformaciones normales (longitudinales) a lo largo de los ejes x1, x2 (base
original) y del eje x´1 (nuevo sistema de referencia), tal que:
′ = 8 ×10−4
ε11 = 6 ×10−4 ; ε 22 = 4 ×10−4 ; ε11
Determinar la deformación angular ε12 , la deformación normal ε 22, y verificar que:
′ + ε 22
′
ε11 + ε 22 = ε11
339
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
FIGURA 6.38
Para el estado de deformaciones en la base original, determinar las deformaciones principales y las direcciones principales asociadas.
Con base en lo antes expuesto y considerando que se trata de un sólido elástico y
transversalmente isotrópico con μl = 50 GPa, μT = 56 GPa, ν l =
1
, ν T = 0.3, λ = 98 GPa ,
3
determine el estado de esfuerzos asociado.
32. En coordenadas polares una función de esfuerzos de Airy está dada por
ϕ = Cr 2 ( cos 2θ − cos 2α ) , donde C , α
son constantes, considerando que σ rθ = −τ ,
cuando θ = −α . Determine el estado general de esfuerzos y el valor de la constante C .
33. La viga curva de la figura 2 cuyas superficie interior y exterior, así como las laterales
están dadas por ri , re ;θ = ±α , está sometida a un momento flector puro M f , de tal forma
que ri , re están libres de esfuerzos de tracción, lo mismo que z = ± h . Considerando que
2
se trata de un sólido elástico e isotrópico (SEHLI) y que su espesor (h) es muy pequeño
comparado con las otras dimensiones, determine el estado de esfuerzos en la viga.
FIGURA 6.39 VIGA CURVA SOMETIDA A UN MOMENTO FLECTOR PURO
340
CAPÍTULO 6. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
34. Para la viga simplemente apoyada de la figura 6.40, determine la función de esfuerzos de
Airy solución del sistema. Con base en lo anterior, determine las constantes del polinomio
de la forma: φ = φ2 + φ3 + φ5 que representa la función solución.
Considere que el material se comporta como un sólido elástico homogéneo e isotrópico,
con constantes elásticas E ,ν , μ , λ , k .
σ11 = σ ( x1, x2 ) ; σ 22 = 0 para x2 = h; σ 22 = p2 para x2 = −h; σ 22 = σ ( x2 ) σ12 = σ ( x1, x2 )
σ12 = 0 ∀x2 = ±h; σ12 = σ12máx
∀x2 = 0
Para el análisis considere superposición de efectos, en el caso de la carga distribuida la
cara superior de la viga está sometida a la carga distribuida p2 (carga/área), mientras
que en la parte inferior la carga es cero. Para el caso de la carga concentrada, ésta sólo
genera cortante. El esfuerzo σ 11 , en los extremos del elemento σ 11 = 0 para x1 = ±
l
.
2
FIGURA 6.40
35. Para el elemento mecánico de la figura 6.41, determine la función de Airy solución del
problema. Considere que la pieza tiene una longitud L un ancho b y un espesor h . Para
motivo del análisis considere al elemento como de sección transversal constante.
FIGURA 6.41
341
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
36. Para la estructura de la figura 6.42, determine la función de Airy solución del problema.
FIGURA 6.42
37. Determine el estado de esfuerzos en coordenadas cilíndricas para un tubo de diámetro
interior d y diámetro exterior D , que se encuentra a la presión interior pi y a la presión
exterior pe .
38. Una placa es sometida a una carga axial f1 en dirección del eje x1 (figura 6.43); la carga
genera al interior de la placa un esfuerzo σ11 . La placa presenta una discontinuidad en
su interior, la cual es de un radio a . Determine la concentración de esfuerzos que genera
la discontinuidad antes descrita.
FIGURA 6.43
PLACA
SOMETIDA
CIRCULAR DE RADIO
A
TRACCIÓN
r,
EL ANCHO DE LA PLACA ES
342
CON
UNA
DISCONTINUIDAD
2R .