Cotas para la probabilidad de error en el problema de

ESTADISTICA ESPAÑOLA
núm. 1 14, 1987, págs. 133 a 149
Cotas para la probabilidad de error en el
problema de discriminación entre los estados
difusos asociados a un sistema de
información probabilístico con información
difusa
por
M.a LUISA MENENDEZ
Departamento de Matemáticas
E.T.S. Arquitectura
U. Politécnica de Madrid
RESUMEN
En este trabajo se aborda el problema de encontrar cotas para la probabilidad de error con informacián difusa, cuando se elige como estado verdadero del sistema aquel cuya probabilidad "a posteriori" en el sentido de
Zadeh es máxima. Estas cotas se basan en las rnedidas de f*--Divergencia
con información difusa propuestas por Menéndez (1986).
Palabras clave: Sistema de información probabilístico; Probabilidad de
error; Información difusa; Sistema de información difuso; Estado difuso;
,f *-Divergencia media.
1.
INTRODUCCION
Sea A un sistema de información probabilístico del que se puede obtener información nítida según una medida de probabilidad P, , donde P, está definida sobre el
t^ r^^^^rtit tc ^r f sF^^>tic^i •^
1 3-^
espacio medible {X, (^^) y .y^ pertenece al espacio de estados S={.^^^,.ti^,,.,.,.s^r }.
Designaremos por ,f^(.^- ^s) la densidad de P, respecto de una medida conveniente v,
cl P, (-i^)
--(./^(.^^ 'a) _^j
^ ^- -). Supondremos dando un enfoque Bayesiano al problema, que el
^
estado .^^ es el resultado de una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad ^^(s) =(,n(s^),...p(s„) ). El problema de discríminación consiste en discernir sobre
la base de la informacián conseguida mediante la observación del sistema de informacián probabilístico qué estada del sistema se presentará.
Si se utiliza e[ método de Bayes, que consiste en elegir el estado s; del sistema para
^(s;/.1)
es máxima una vez observada la
el cual la probabilidad "a posteriori"
i nformación exacta .^-, la probabilidad de error cuando se elige el estado s; es 1-^(.ti^;/_r)
y la probabilidad media de error viene dada por:
P^, = E ^^ (1-1^(s;/.v))
es deci r:
P^. = E ^^ [ 1 -/11Ct1' ^(.S'^/.^)1
r
donde E,}^ denota la esperanza en X.
En este trabajo se aborda el problema de encontrar cotas para la probabilidad de
error cuando la información conseguida a partir del sistema de información probabilístico no es exacta y solamente se está interesado en discernir acerca de ciertos estados
difusos asociados al sistema de informaeión probabilístico.
2.
COTAS PARA LA PROBABILIDAD DE ERROR
Sea A un sistema de informaci©n probabilístico a partir del cual la información que
se obtiene no es exacta y viene expresada a través de un subconjunto difuso X definido
X, cuya función de pertenencia ^X es medible Borel, {esto es, X es un suceso
difuso sobre X) denominado " información difusa". ( Tanaka, Okuda y Asai 197b,
1979) Supongamos que cada información difusa X, pertenece a la partición difusa de
sucesos difusos X* de X, denominada " sistema de información difuso" (Tanaka,
Ok uda y Asai, l 97b, 1979) ( es decir, todo )( E X* es un suceso difuso sobre X
sobre
veri^cándose que
^ ^^X (x) = 1, V_x F X). En este apartado abordamos la situación en
x^x•
la cual solamente estamos interesados en discernir acerca de ciertos estados difusos
asociados al sistema de información probabilístico con información difusa. De forma
c'OTAS f^AR^^ l_.1 PROf;-1Bll.lf)^^D DE^ E:[tftc)R C C?ti ltif O R41-^( !O^, D!f l s^1
_
_
_
_
más precisa, supongamos que sobre el espacio de estados hay definida una partición
difusa de sucesos difusos S* y que se trata de discernir entre ellos. En este contexto las
probabilidades que se utilizarán posteriormente son las siguientes: (Gil M. A., López M.
T, and P. Gil 19$5).
P(S)
_
_
n
^ ^.5^(s;) ' ^(-s^;)
i-1
1
P{X/S) _
P( S) "^.
^
1
----^P^S1X) = P
^
^^^
"
^ ^^.s^ (-^;) I^ (-s^;) ^x (x) J^(.i,%s,) ^lv^ (.i}
;_ ^
^^
^ ^^.5' (.^;} ^^ (.s,) ^x (.t ) ,^^^.t ^^:s;} clv^ (.1)
;-^
El método de Bayes consiste en este caso, en elegir el estado difuso S del espacio S*
para el cual la probabilidad P(S1X) es máxima una vez observada la inforrnación difusa
ti
X. Con esta regla de decísión la probabilidad de error cuando se elige el estado difuso S
es 1-P(S/X)
y por tanto, la probabilidad media de error viene dada por:
^
Pc^ = 1 -
^ ^na_^ { P(S1X) } . P(X)
~
XF X•
SF.S*
•••
••.
El objetivo de este trabajo es encontrar cotas superiores e inferiores para Pc^.
_ En
primer lugar plantearemos el problema en el supuesta de que la partición difusa sobre
el espacio de estados del sistema conste únicamente de dos sucesos difusos que denotaremos Sf y S'. Posteriormente abordaremos el problema cuando la partición difusa de
sucesos difusos sobre S conste de rr elementos. Para acotar superior e inferiormente l^^
probabilidad de error definimos la .J'*-Divergencia media con información difusa entre
dos estados difusos S^ y S' del sistema de información probabi lístico con información
difusa como sigue:
Dc^^ir^rcrvn 2.1.
Se denomina ,J^*-Divergencia media con información difusa entre los estados difusos
S' y S' para un sistema de información probabilistico con información difusa al valor:
^
D^^ (Sf ' S )
P{S^/ X^
,
^ ^^ * ( P S'/ X ) . P(S-/ X? - P^X)
xt:x•
^
^(
T.STADISTIC'A E:SPAÑC)LA
^ 36
donde 1^* es una función convexa que satisface las condiciones ./^* (a} _
.J^*(u)/u.
-!im f*(a/E) - a . 1 im
1 rrn ,^^*(u) , o.J^*(c^/o)
_ 0, r^.J^*(a/0)
°'°
^
^
11-I ^
Utilizando ta función auxiliar R(.x) = x. J'*
. (^---Y ) con x= P(S`'/ X} resulta que:
^
x
1-P(S'/ X)
^
~
^^{.t) = ^(P(S-1 X) ) = P(s-^ Xi .l-* { P(S-/ X) ) ^
P(s^/X1
.l^*
(
^_
= P(S
^i
^C)
^.
( Xy )
_
con 1o cual
D^ .( S', S') _^
^(.v) P( X)
Por tanto, la probabilidad media de error es un caso particu[ar de .f'*-Divergencia
media con inforrnación dífusa entre estados difusos sin más que totnar g(.Y) = min
^.i, l-.1), ya que para _^c = P(S'/ X) se tiene que:
Df^.(Si, S^) _^
K(-Y) P(X) _^
min { P(S11 X ^ , P(S''/Xj }. P(X)
.^r
ti
^
^
XeX•
XeX"
= 1- ^ rnu.v { P(Sf/X), P(S'/X) }. P(X)
x ^ x•
s
^.
^
Vamos a dar ahora los teoremas en los que se establecen las cotas superiores e
inferiores de la probabilidad de error en función de la .J'*-Divergencía media con
información difusa entre dos estados difusos.
Tec^rema 2.1.
Dado un sistema de información probabilístico con información difusa y asociado a él
una partición difusa de sucesos difusos {S^, S`} sobre el espacio de estados S, la
probabilidad media de error está acotada superiormente por:
1(0) P(S^) + 1(^ ) P(S') - D^.(S^, S`')
Pe
^
_ --
1(0} + 1(^) -.,^*(1)
siendo l(0) + 1( ^) un valor finito, 1(0) = 1 im .J'*(.x) í.x.
u -^ ^)
('OTAS PARA LA PROBABILIDAD nE ERROR C'UN INFORMAC'ION DIFI^S.^
137
Demostraci^n
Para funciones convexas f* sabemos que se cumple la siguiente desigualdad:
.1'* (-^^, ) -.T *(^x!)
<
x„ - x ^
.i* (x^ ) -.f *(^^^^)
(1) V x^, E (-Y,, -x ^) C [4, ^ )
x , - .tr,
por lo cual 1(0) + 1( ^)>, f*(1).
1-x
La función ^(x) = x;f *(--- )
V.x ^[o, l] verifica que:
K(^) = 1( ^ ), ^(1 /2 ) _ _ f *(1)/2 y R'(1) = i (0)
^
D^ #(S f , S?) _
x ^ x•
^(-^) P(^ ) Y Pe = ^
ra(_^: ) P( X 1
x E x•
^
donde Qf(_x) = m1n (.r, l-_Y), _Y E[o, l], x= ^P(S`/X).
Consideremos los conjuntos:
X, _{ X E X*/P(X/S') . P(S-') < P(X/S') . P(S^) } y
X
...P(S') < P(X/S')
. P(S')
}
_
^
_^, _ { X ,e X */P(X/S1)
_
y sea n
P(X,/S1}
_^
^^
P(X/S') . P(Sf )
XeX^
P(X,/S') _^
P(X/S^) . P(S^)
XeX^
Se tiene entonces que:
PE^
^ _
^
min { P(X1S^)
. ^P{S^) , _P(X/S') . P(S')
}_
^
_
= P(X,/S')
+ P(X,1S^)
^_
^^
Supondremos de aquí en adelante que 1(0) <^ y 1( ^)<^. Sobre el conjunto X,
_
sabemos que se cumple:
,^(_x) _ ^(P(S-'/ X) ) _ ^(^(.^c) ) puesto que en X , ,^(.Y) _ .r = P(S'/ X)
Teniendo en cuenta la convexidad de ^ y utilizando la desigualdad (1) tornando .^, = 0,
x, = 1/2 y.Y^, = f^(.r) obtenemos que:
Fti_1 >l)Iti f l( ^^ F_SF'r1ti(?l A
1^^
.^,j(^(-t-^ ) - .^j(a)
,^^( l ^^ ^ ) - ,^^(©(.t-^ )
g(.t )- 0
^
1,' 2 - o(.t )
de donde como fó(.^) _.i^, resulta:
(2}
^^(^t ) < (I^*(1) - ?1 ( ^ ) ) _ti + l ( «^ )
en X_ ,
Sobre el conjunto X, sabemos que:
4
,^(.t^) _ ^( P(S'/ X) ) _ .^,'(1-Q^{.t ) ) puesto que en X ^ I -Q^(.t ) = 1 _ P( S ^ / ^O = P(S'/ X) _ .t
^
^
^^.
^.
Teniendo de nuevo en cuenta la convexidad de ,^ y utilizando de nuevo la desigualdad
(1) tomando .^-^ = 1 /?, _^-, = 1 y .^,, = 1-^(.t ) resu lta:
^^(o(.^ ) ) - .^(1 / 2 )
1-ra(.t ) - 1 /?
,^(1) - ,^,'(1-e^(-t ) )
-=
1 - ( i -ra(.^ ) )
'
de donde como ^ó(.ti} = 1-.t., se cumple que
.^(^i ) = k( l -^(.^ ) ) < (h*(1 } - 21(4) ) ( 1-.t ) + 1(0) ( 3 ) en X ^
s
`
Tomando esperanzas sobre X^
en ( 2} se obtiene:
_
^ ^^(.1) P(X) <
X€Xl
+1{^).
+ 1(^)
^
(1^*(1) - 21(0) ) P(S'/ X) . P( X) +
Xt^XJ
^
P(X) _ {J^*( i ) - 21 { ^ ) )
xExi
^
P( X /S') . P(S') +
x^x^
^ [ P(X/Sf) • P(S^)
• P(S^)
] _ (i^*(1) - 21(^) )
_ + P(Xfs^)
,^
^.
xFx!
P{X^iS^) + 1(«^ )
-
^
XE;X^
P(X/S')
. P(S^)
+ 1(^)
^
_
^
P(X/S^)
. P(5^)
_
_
.^
XeX^
= 1( °° ) • P(S') +.1^*(1) P( X ^IS') - 1( ^ ) [ P(X,/S`') + P(X ^/S^) ]
^
1r
ti
^
^r
De forma similar tomando esperanzas sobre X,
^ en (3) se tiene:
^ ^;(.Y) P(X ) < 1(0) . P(S')
+ J'*(1)
. P(X,/S^)
_
^
_ ^^
- 1(0) [ P(X!/S`') + P(X^/S^) ]
Sumando las expresiones (4) y(S) resulta:
^.
^r
(4)
('OTAS P.ARA LA PKOHABI[.InAD DE ERROR (`O`^7 I^iFORMA('IUI'^+ DIFI ^A
D^•(S1, S^) _
^ ^,f(.ti) P(X) =
x^x*
13y
,^;'(-v) PtX) <
^ ^,'(-Y) P(X) + ^
xFx,
x^x^
< 1(0) . P(S^) + 1( ^ ) . P(S^) + (J^*(1) - 1(0) - l ( ^ ) ) . P^
^•
^^r
r
:
y por tanto:
1(0) . P(S`') + 1( ^). P(S') - D, ^(S^, S`')
4
^r
Pc^ <
1(0) + l(«^) -,J^*(t)
En el caso particular de que la función ,^ sea simétrica respecto a.i = 1/2, es decir
,^(.^) _,^(1-_v), se tiene K(o) _,^(1) y por tanto 1( ^)= t(o). En consecuencia, sustituyendo
en la desigualdad anterior, se llega a que:
Pc^
^ <
1
,* 1
21(^^)-.1 ( )
(1(^)-^ J ^(S^ , S^})
Hasta ahora hemos conseguido acotar superiormente la probabilidad de error en el
caso de que la función ,^ sea simétrica respecto a.t = 1/2. En lo que sigue varnos a
buscar cotas inferiores para la probabilidad de error, comenzando por el caso en que la
función ,^,^ sea simétrica respecto a 1/2.
Tcwrc^if^u ?. Z.
> .ti * donde .t * satisface la ecuación K (.i *) = D, ^ (S^, S^).
Si ,^T (.v) _ ,^ (1-.t} entonces PE^
_ -
Dc^^nc^.strac^l()Y!
A 1 se r
Pc^ _
P(X1S^) . P(S^) +
^ ^^'(-v) P(X) _ ,^
x^.x^
^
P(X^S^) . P(S^)
= P(X,/S^)
+ P(X^/S^)
_
_
dande X, y X, son los conjuntos utilizados en la demostración del teorema ?. l.
Consideremos las funciones lineales:
r^(.ti) _-A.1+8 definida sobre [o, l!2] y que verifica ,^r(.^) > r^(.1)
r,(_ti) = A.v-^3+2C definida sobre [ 112,1 j y que verifica ,^,r(.t^} > r•,(.^-)
donde A= 2B-2C, B= r^ (o) = r,(1) y C- r^(1 /2) = r,(1 /2)
i a^o
^.STADIS^TI( A F.SF'A!VOLA
Haciendo sobre X^
resulta:
_ .t = P(S'/X)
^
^^(-^ ) = K(^(-1) ) > r, (^(-t } ) _ -A^(X }+B = 2(C-B) . ^(.x) + B,
luego:
^(.ti) > 2(C-B).^r +B
Haeiendo sobre X,_Y
= P(S'/X)
resulta:
^
_^{x^R'(1-^(.^ ) ) > r, (1-^(x) ) = 2 (C- B) (1-^(.Y) ) + B
luego:
^(.t) > 2C-B-2(C-B)_r
Tomando esperanzas sobre X,
_ en (1) se tiene:
a
^ g(.^) P(X) > B. P(S )+ 2C P(X,/S`} - B[P(X,/Sr) ]
x^x!
Tomando esperanzas en (2) sobre X, se tiene:
4
^
^ g(x) P(X) > B . P(S`') - 2C P(X,/S') + (2C-B) [P(X,1S^) ]
xEx^
(4)
Sumando las desigualdades (3) y{4) resulta:
Dr* {Sr, S`')
^
g(.x) P(X) > 8+2(C-B) = B-A Pc^
x E x•
es decir:
Pe
> 1 B-Di(,
^ ^^ S^ )]
S^
^_A[
Por otra parte, la recta r,(x) será tangente en un único punto a la función ^T(.x), por ser
ésta convexa. Si denotamos por x * este punto, se verificará entonces que:
^'(x*)=-A, g(.x*)=-Ax+B
Sustituyendo en la desigualdad {5) se llega a que :
1
Pe > x * + ,
* [ D^^^(S'> S^) - k(-x *) ]
K (x )
+
('OTAS PARA L,A PROBABILInAD DF ERROR C'ON ItiFORMAC'IOti f?IF^I!SA
141
Como esta cota es válida V x E (0,1 /2), podemos encontrar la mejor de las cotas (el
ínfímo) derivando respecto a x* el segundo miembro de la desigualdad (6} e igualando a
cero. En efecto, tras esa derivación se tiene:
1 +
_^.„(x*)
,
*
[^(x)l
^
z [ D^^. ( S', S ) - ,^(x *) ] - ^ '(x *) .
,
^
* =0
^(^)
de donde, el ínfimo del segundo miembro de (6) se alcanza para
^(x *) = D^ ^(S', S^)
y, en consecuencia, resulta que:
Pe
^ >
-_x *
donde x* satisface la ecuación g(_^r *) = D^ ^(S^; S^)
Te^^rE^ma 2.3.
Si .J^* satisface las condiciones generales, es decir, g no es simétrica, entonces:
2K(-xi) - 2^'(xl) . xf + [ K'(.xi) + ^'(.r,) ] . P(S^) - 2D^.(S^, S^)
Pe >
_ -
^'(.t ^) - K'(x,)
donde .x, y.r, satisfacen la ecuación
[ K(-Y1) - Di^*(S^, S') ] (.Yi - P(S`') ) - [ ^^'(-^ ,) - D^^^(S', S ^) J (-^, - P(S
_ ^) ) = 0
D^rnostraci^^n
Sean las funciones lineales h!(x) y h,(.t) tales que ^^(.^) > h;(.^) i=1,2 y A=h1 (0) , B=h^
(1 /2) y C=h ^(1). Se puede escribi r entonces:
h,(.r) _ -2(A-B) + A donde .r E [ 0,1 /2 ]
h,(.i) = 2(C-B) + 2B-C donde .^ E[ 1/2,1 ]
Se puede observar que las dos rectas se intersecan en .i=1 /2. Usando la misma notación
que en la demostración del teorema 2.2 se tiene, que sobre X^ se cumple que:
^'(-^) _ ^^(^(-^) ) > h^(^(-^) ) _ - 2(A-B) D (-t) + A = A + 2 ( B-A).^^
^ 1)
t.s1 ^r^isric A ^:tiw^^c^i_^^
__
y sob re X_-^
,^(.^ ) _ ^^(1-D(-^ ) ) > h ,(1-Q^(.Y ) ) = 2 (C-B) (1-^ó(-^ ) }+2 B-C - 2(_^ -1)C+2 (1-_t ) B
Tomando esperanzas en ( I) sobre X,
_ se tiene:
^ k(.r) PIX) > A. P(S^) + 2B P(X,/S`'} - A[ P(X^/S`) + P(X,/S^) ]
xr:x,
(3)
Tomando esperanzas en (2} sobre X^
^^ se tiene:
^ .n(-r) P(X) > C. P(S`) - 2B P(X,/S^) +(2B-C)[ P(X,IS^) + P(X,/S^) J(4)
^
^^
r
Ar
^.
^^r
^.
4 1r
X^:X1
Sumando, las desigualdades (3) y(4) resulta:
^
x^:x•
k(_v) P(X)
= D^,.(S', S^) ^
> A. P(S^)
+ C . P(S`')
+ (2B-C-A)Pc^
_
_
^
.,
donde:
AP(S')
+ CP(S')
- D^^^(S^, S`')
"
_
>
Pc^
A+C-2B
Por otra parte, la recta h,(x) será tangente a,^(.^) en un único E[ 1/2,1 ] por ser ésta
convexa, y se verificará entonces:
R'(-v^) _ -^{A-B} , K(w,) - -2(A-B)_^c +A
Igualmente la recta h, (_^} será tangente a k(.Y) en un único punto E[ 0, l/2 ] por ser ésta
convexa, y se verifícará entonces:
^'(x,) = 2(C-B) , ^(x2) = 2(C-B).x,+2B-C
donde:
A = R(-Y^) - ,^;'(_Y/) • -Y1
B = k'(x,) + (1 /2) . ^^^'(.^^} (1-2.^,) _ ^{-x,^ + (1 /2)^'(.^ ^) (1-2_x^)
(6)
C = K(-^^ ) + K'(x ^) ( l -_Y,)
sustituyendo A, B y C en la expresión ( 5} se obtiene:
P^ >
2k{.^1) . 2t^'(_^,)_x, + [ ^'(x,) + ^'(x^) ] P(S`'}
- ^Di ^(S', S')
^
---
^;'(.^^) - ^,l'(-^,)
(7)
{^()T^AS PARA ^A PR()HAF31L1[)AD DE^ ERRC)R ( t)ti I^+F ()Rti1A(^I()!'^ DIF^I:SA
143
Sin embargo, .ti, y x^ satisfacen ( 6) io cual lleva a que:
1
1
K(-vl) + - 2 k'(-v,) (1-2-ti,) - ^(.^ ^} - 2 ^,J'(.v^) (1-2.t,) = 0
(g)
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para maximizar la cota de
PE^
^ en ^(7) sujeta a la restricción ($ ) resulta:
^ K(-x,)) - 1>>^•(S', S`') ] (-^^ - P(S?) - ^ ^(-^^) - D, ^^(S', S') ] (.Y, - P(S`') = 4
que es la condición dada en el enunciado.
Cuando se dispone de una partición difusa de n estados difusos sobre el espacio de
estados (supuesto finito) asoeiado al sistema de inforrnación probabilístico con información difusa, se puede dar también una cota superior para la probabilidad rnedia de
error. En efecto, en este caso 1a probabilidad media de error viene dada por:
^
max { P(SJ/X}, P(S^ /X ),..., P(S"/X )}. P( X) _
Pe = 1- ^
+r
i.
r
.r
,^,
X ,: x"
= 1- ^
x^:x•
max P(S''/ X). P( X)
'
`
Esta probabilidad media de error puede acotarse superiormente a través de la probabilidad media de error establecida para dos estados difusos de la siguiente forma:
PE^(S', S')
Pe < ^ ^
s
v
^^
^ _/
^_
+1
siendo
Pc^(S', S') ! 1^^y
rna_r { P(S'/ X), P(S'/ X)}. P( X).
^
i
xl:x•
^v
^`
Vamos a acotar entonces la probabilidad media de error cuando el sistema de
información difuso tiene asociado r1 estados difusos. Previamente, basándonas en la
.j^*-Divergencia media entre dos estados difusos asociados a un sistema de intorrnación
probabilístico con información difusa, se tiene:
l^eJinic^it^n 3.1.
Se denomina ,J^*-Divergencia media con información difusa entre ti estados difusos
asociados a un sistema de información probabilístico con información difusa al valor:
„
Di^^(S', S',..., S") =
„
P(S'íX)
^ ^ ^ ^^ * ( P S`/X ) . P(S'/ X) . P(X)
)
_(
^, / ;_,^./ x ^^ x•
144
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
es decir.
Dr^•(S^, S`',..., S") =
^ ^ D^^^(S1^ ^)
t=!
j=itl
Vamos entonces a establecer una cota superior para la probabi lidad media de error,
utilizando ta J'*-Divergencia media con información difusa entre n estados difusos
asociada a un sistema de información probabilístico con información difusa. Sabemos
que:
n-! n
PE^ (S', S'}
Pe
< ^ ^
_
r =/
j = i+^
^.
y que
i (0) P (S') + 1( ^ ) P (S'} - D^. (S', S')
Pe (S ` S') < '^
'
'
1(Q) + 1(^) -.f*(1)
luego
n_ 1
Pe < ^,
;= r
s
n
^
;_;+1
1(0) P(S') + 1( «^ ). P(S `}
1(0) + 1(^) -.i'*(1)
D^^.(S1, S`',..., Sn)
+
.Í^*(1) - 1(0) - 1(^)
Por tanto:
Pe
< A' + B'Df^^ (S^, S`',..., Sn)
_ _
donde
n
A, _,T ^ ^
;_1
^ - ;+1
1{0) ..,P(S') + 1( ^) P(S')
..,
1(B) + 1( ^ ) - .Í*(1)
1
B' _ ^
f*tl) - 1( Q) + 1(«>)
En resumen, la probabilidad media de error en el problema de discriminación entre n
estados difusos asociados a un sistema de información probabilístico con información
difusa está acotada superiorrnente por una función lineal de la .f *-Divergencia media
con información difusa, entre n estados difusos asociados a un sistema de información
probabi lístico con información difusa.
^^^^^r^n^ ^>,^k^^ t_.^^ E^kc^t^.^Hii_tna^^ [^t t Kk^^^^ c ^^^ i^^ ^^kti^ ^^^ ^^^^ r^iF ^ ^.^
3.
I ^5
^JEMPL(^ NU MERIC:O
Sea S -{ S^^;i^
,^l un conjunto de posibles tasas del crecimiento económico en un
determinado país. Una empresa desea tener información acerca del espacio de estados S
para poder planificar su política de inversiones en los próximos años. A ^ tal fin, consulta
a un grupo de expertos y estos deciden realizar un estudio según tres niveles de
actividad económica {Nivel bajo, Nivel admisible y nivel alto) que se reflejan en sendos
,
sucesos difusos sobre ^;, S* = S', 5-, S{ ^, cuyas funciones de pertenencia vienen dadas en
la siguiente tabla:
Sl
s,
s^
s4
SS
sh
S,
5,^
Sy
Slr^
Sll
^l?
^l i
^la
^I ^
Slh
Sl?
`^1,^
Sly
^^r)
^^s1C^,)
>
>
>
i
o.8
o.s
o.5
©.3
0. i
o
0
0
0
0
0
o
a
a
o
0
^^ S^(s;)
0
0
0
0
0.2
0.4
0.5
0.7
0.9
1
1
1
0.9
0.8
0.6
0.3
0.1
0
0
0
u S^(s^)
0
0
O
O
0
0
0
0
O
0
0
0
0.1
0.2
0.4
0.7
0.9
1
1
1
Los expertos establecen como conocimiento "a priori" acerca de los estados .^^; la
siguiente distribución de probabilidad
Sl
hts^)
S^
S.^
SQ
SS
Sh
S^
S^i
Sy
SI(1
`^11
^l'
^1 ^^13 •`'1 ^
S/h
S/' S/{^ 4/y S?()
0.01 0.03 0.03 0.03 0.03 0.07 0.07 0.07 O.OS 0.08 0.08 0.08 0 07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.01 0.03
Con el fin de recoger información acerca de S* deciden analizar ?U posibles tasas de
crecimiento de la inversión nacional ti-^É,,x- ^^ ,_ ,,,,. Se sabe que las probabilidades
condicionales ^(_Y;/.^^,) vienen dadas por
^4b
ESTA[)ISTI('.A ESPAÑOl.A
^
^^_^
^4
^/
0.6 0.15 0.1
0.0
^,
0.05 0.05 0.1
`^
I
^I
^.'
tS
th
r7
rN
^9
ti^10
t11
i/?
YJ^
x/4
x1S
Y1h
^17
-llt^
-Y19
r?0
0.05 0.05
0.05 0.15 0.6
s
0.05 0.1
0.0
0.8 0.15 0.05
^
0.05 0.1
0.0
O.g 0.15 OA5
^S
0.05 0. 4
0.05 0.6 0.1 5 0.05
s
O.fi 0.15 0.1
s7
0.6
s^
0.5
0.1
0.05
. 05 0.05
0.05 0.05 0.05
0.6 0.1 5 0.1
0.05 0.05 0.05
sy
0.5 0.15 0.1
s/f^
0.05 0.1
s 11
0.05 0.1
sl^
0.1
0.05 0.05
0.6 0.05 0.1 5 0.05
0.6 0.05 0.1 5 0.05
0.05 0.6 0.05 0.05 0.15
0.1
sl^
0.05 0.6 0.05 0.05
.s !4
0.1
0.15 0.6
s! S
0.1
0.15 0.6
.15
.05 ©.05 0.05
.05 ©.05 0.05
slh
0.05
.05 0.1
0.15 0.6 0.05
s! ^
0.05
.05 0.1
0.15 0.6 0.05
.sl^
.05 0.05 0.05 0.1
0.15 0.6
slq
.05 0.05 0.05 0.1
0.15 0.5
0.1
,,^^
.05 0.05 0.05 0.1
0.15 0.5
0.1
La información que se obtiene por la observación de X no se puede recoger nitidamente sino que esta viene dada en términos de los siguientes sucesos difusos sobre X
(informaciones difusas):
X': La tasa de crecimiento de la inversión nacional será aproximadamente igual al
10%
XZ: La tasa de crecimiento de la inversión nacional será aproximadamente superior al
10%.
X^: La tasa de crecimiento de la inversión nacional será aproximadamente inferior al
10°la.
cuyas funcianes de pertenencia vienen dadas por
.t/
.1^2
.^3
.t^4
.tS
.r^
.t7
rR
r9
.tlll
-111
^^1^
t13
1^14
t^1S
^t16
•t17
^1R
-^^/9
^^O
u^.!(_r ^)
1
0.9
0.8
0.7
0.5
0.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O
0
,u ^4^(.r^)
0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.$
1
1
1
0.9
0.8
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0
0
^ k^-;(_r^)
0
0
0
O
0
0
0
0
0
0
0.1
0.1
0.2
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
147
('OTAS PARA l_A PROBABI[_I[^AD DE ERROR ('ON I^1FORMAC'i(^N [71F^f'sA
Es decir, la información difusa queda recogida a través del sistema de información
,
difuso X* .= X1, X-, X^^
Las probabilidades difusas asociadas a los estados difusos vienen dadas por
S/
S^
S^
^
donde
P(S^)
I
0. 23 I 0. 603
P(S^)
_
_
O.lb7
^^
^
;-1
p(s;) ^^(s;)
Seguidamente calcularemos las probabi lidades difusas de las distintas informaciones
difusas del sistema de información difuso X*
XI
X3
donde
0. l b99 0.583b5
P{X
^ m)
P(X"')
_
^
0.24b45
?o
_ ^ p(x;) • ^ ^^( x;)
^^
p(x;) _
Y
^-^
^ p(s;} . p(.x;ls;}
siendo sus valores
i=1
.i^
.r/
.YZ
.r j
.^q
.rS
.t^^
Y7
.^X
^y
^10
p(.Y ^)
0.0075
0.0075
0.0130
0.0905
0.1220
0.1045
0.0385
0.0425
0.1215
0.0670
.rll
-t^12
.Y1^
.t 14
rl ^
.t-16
^l^ll
^^lX
^lq
>>O
0.0480
0.0365
0.1025
0.0240
0.0165
0.0195
0.0430
0.0135
0.0380
0.0040
Por último las probabilidades a posteriori de los estados difusos S^^ condicionados a
las distíntas informaciones difusas Xm son:
X^
P(S^1Xm) )
^
X^
X^
SI
0.630 f 06
0.191478
0.000914
g-'
0.3ó9894
0.76006^
0.535625
S-^
0
0.048460
0.46 ^46 I
^
donde
m
^^
?^
^ ^ ^:k'^'r(-^i) µ^{S;)^(X^l.S;^ . ^(•^i}
P{S
!X ) = r =1
^
; =1 ---
P(X'n)
r
Finalmente calculemos la probabilidad media de error en el problema de discriminación entre los tres estados difusos S/, S^ y S^^. Utilizando la función _,^'*(.ti) _ ^ 1-.v (, se
llega a que
D^^* (S 1, S`', S^) = 1. 712 34
y
P^,<0.14383
FS^TAi)iS1I(^-1 E.SP-#tiOL^\
_
_.
1^2^
_ _
._ _ _
^
_ _._ ._____ -
___
___
_
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^
C'f)T'AS PARA LA PROHANIL.IF^A[) DE FitRUR ('Oti I^F^ORMA(lOti I)IF l S^^
I^y
SUMMARY
BOUNDS FOR THE PROBABILITY OF ERROF I:^t THE PROBLEM
OF DISCRIMINATION BETyVEEN VAGUE STATES ASSOCIATED
WITH A PROBABILISTIC INFORMATION SYSTEM V^iITH FUZ.^Y
INFORMATION.
In this paper, we present several bounds for Bayesian probability of error
with fuzzy information where the states of the fuzzy information system are
vague. These bounds are constructed on the basis of the class of
,f *-Divergence measures.
Key wvrds: Probabilistic inforrr^ation system; Probability of error; Fuzzy
informa^tion; Fuzzy information system; Fuzzy state; ,J^*-Divergence.
AMS I^980. S^^bject classification: 94B70; 94D05.