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(Dated: 15 de marzo de 2012)
I.
GROSS-PITAEVSKII
A continuación se presente una breve deducción de la ecuación de Gross-Pitaevskii estacionaria usando un método variacional
en el contexto de primera cuantiazación.
A.
Gross-Pitaevskii estacionaria a partir de un principio variacional
Para deducir la ecuación de Gross-Pitaevskii, consideremos que la función de onda de muchas partı́culas se puede escribir
como el producto simetrizado de las funciones de onda de partı́cula individual.
Ψ(r1 , r2 , ..rN ) =
N
Y
ψ(ri ),
(1)
i=1
por fines prácticos de la notación se denota por ri = ~ri , se obvia la notacion vectorial.
El hamiltoniano entonces en la aproximación de contacto es

N  2
X
 P̂i
 1 X
Ĥ =
+ V(ri ) + U0
δ(ri − r j )

2m
2
i, j
i=1
(2)
el valor de expectación del hamiltoniano es

N
N  2
Y
X
 1 X
 Pi

δ(ri − r j )
ψ(ri ) =
+ V(ri ) + U0
hΨ|Ĥ|Ψi = h
ψ(ri )|Ĥ|
ψ(ri )i =
d r
ψ (ri )

2m
2
i, j
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
!
Z
Z
~
N(N − 1)
3
2
2
d r[ |∇ψ(r)| + V(r)|ψ(r)| +
=N
dri dr j U0 δ(ri − r j )ψ∗ (ri )ψ∗ (r j )ψ(r j )ψ(i r) =
2m
2
!
Z
Z
N(N − 1)
2
2
3 ~
drU0 |ψ(r)|4
=N
d r |∇ψ(r)| + V(r)|ψ(r)| +
2m
2
N
Y
N
Y
Z
3N
N
Y
∗
La energı́a es
!
Z
Z
~
(N − 1)
3
4
2
2
d r[ |∇ψ(r)| + V(r)|ψ(r)| ] +
E=N
drU0 |ψ(r)|
2m
2
(3)
(4)
no hay que olvidar que la incógnita es precisamente la ψ, la función de onda de partı́cula individual, entonces, la idea es aplicar
un principio variacional a la ψ, para encontrar la ecuación que obedece ψ, además ψ esta normalizada, de modo tal que
Z
d3 r|ψ(r)|2 = 1
(5)
√
lo que introduce un parámetro indeterminado que manosamente llamamos µ. Por comodidad introduzcamos φ(r) = Nψ(r), y
aproximaremos N −1 ≈ N (el N −1 que se menciono en clase, que en el formalismo de segunda cuantización con la aproximación
de Bogolubov es N0 ≈ N).
El principio variacional se aplicara para E(φ) variando φ(r)
!
Z
~
1
3
2
2
4
E=
d r
|∇φ(r)| + V(r)|φ(r)| + U0 |φ(r)|
(6)
2m
2
Hay que resolver
δE − µδN = 0,
variando φ(r), φ(r) + δφ(r) e introduciendolo a la energı́a
2
E(φ + δφ) =
(7)
!
Z
~
1
=
d3 r
∇(φ(r) + δφ(r)) · (∇(φ(r) + δφ(r))† + V(r)(φ(r) + δφ(r))(φ(r) + δφ(r))† ) + U0 (φ(r) + δφ(r))2 (φ(r) + δφ(r))†2 =
2m
2
Z
~
d3 r( (|∇(φ|2 + ∇φ · ∇(δφ)† + ∇φ† · ∇δφ + |∇δφ(r))|2 ) + V(r)(|φ(r)|2 + φ(δφ)† + +φ† δφ + |δφ|2 ) +
2m
1
+ U0 (φ4 + 2φ2 φ† δφ + 2φ(φ† )2 δφ† + 6|φδφ|2 + 2φ† δφ2 (δφ)† + 2φ(δφ† )2 δφ + |δφ|4 )
2
Obvie la notación φ(r) = φ !!al final se lo pongo
Considerando las variaciones δφ y δφ† como independientes, vemos que al variar φ† , el único término conflictivo se integra
usando la primera identidad de Green la cual establece que para campos escalares d(r),e(r)
Z
Z
3
2
d r(e(r)∇ d(r) + ∇e(r) · ∇d(x)) =
d2 re(r)~n · ∇d(r),
(8)
con ~n la normal que define la superficie.
En nuestro caso e(r) = δφ(r)† y d(r) = φ(r). Como la función de onda tiene condiciones(antes de tomar el lı́mite termodinámico) fijas a la frontera, entonces las variaciones deben ser tales que se anulen en la frontera.
Z
d2 rδφ(r)†~n · ∇φ(r) = 0
(9)
Finalmente, se tiene que
Z
Z
3
†
d r∇φ · ∇(δφ) = − d3 r∇2 (φ)
(10)
conservando solo los términos lineales en la variación, pues nos interesa
limδφ→0
δE − µδN
|δφ|
los términos que se conservan para δE
δE(φ) = limδφ→0
E(φ + δφ) − E(φ)
=
δφ
Z
d3 r −
!
~ 2
∇ (r)φ(r) + V(r)φ(r) + U0 φ(r)2 φ(r)† δφ(r)† ,
2m
ahora la variación de N
Z
Z
δN(φ) =
d3 r (φ + δφ)(φ + δφ)† − |φ|2 =
d3 r(φ(δφ)† + φ† δφ + |δφ|2 )
(11)
el término completo es
limδφ→0
δE − µδN
=
|δφ|
Z
d3 r −
!
~ 2
∇ (r)φ(r) + V(r)φ(r) + U0 φ(r)2 φ(r)† − µφ(r) δφ(r)† = 0
2m
escribiendo a φ(r)2 φ(r)† = φ(r)φ(r)φ(r)† = φ(r)|φ(r)|2 , se tiene que el principio variacional establece que
!
Z
~
d3 r − ∇2 (r)φ(r) + V(r)φ(r) + U0 φ(r)|φ(r)|2 − µφ(r) δφ(r)† = 0,
2m
como la variación es arbitraria, se debe cumplir que
!
~ 2
2
− ∇ (r) + V(r) + U0 |φ(r)| − µ φ(r) = 0,
2m
(12)
(13)
†
que es la ecuación de Gross-Pitaevskii.(se obtiene una ecuación similar tomando
QN δφ en lugar de δφ )
Es importante recalcar que la hipotesis principal es que Ψ(r1 , r2 , ..rN ) = i=1
ψ(ri ), es decir, nosotros deseamos encontrar la
función de onda del condensado, pero planteamos como Ansatz la forma que debe de cumplir la función de onda, y más aún
decimos que dicha ecuación de onda, corresponde a la ecuación de muchos cuerpos, es decir, en sentido estricto, la ecuación de
Gross-Pitaevskii no se deduce de un principio variacional en el cual no se asuma parte del resultado. En este sentido(fue lo que
entendı́ del artı́culo de Leggett), la función de onda, no es una función de onda ”válida”de muchos cuerpos.
3
B.
Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo
Existe un formalismo similar para deducir la ecuación de Gross-Pitaveskii dependiente del tiempo, pero ahora desde una
formulación Lagrangiana, es decir tomando
Z t2
δ
Ldt = 0,
(14)
t1
donde
L=
Z
!
i~ † ∂φ
∂φ†
d r
φ
−φ
− E,
2
∂t
∂t
3
donde E es la energı́a que se obtuvo en esta deducción . Es decir, es aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange que se aprenden en
la mecánica analı́tica pero desde un formalismo de teorı́a de campos, pues la lagrangiana L, esta dada en términos de la integral
de la densidad lagrangiana(que es lo que aparece dentro del paréntesis) poniendo a φ, φ† como campos escalares independientes
. Esbozo brevemente la idea de la derivación:
Si φ es extremo de 14, entonces
d ∂L ∂L
−
= 0,
dt ∂φ̇ ∂φ
donde φ̇ =
∂φ
∂t ,
entonces del término entre paréntesis,
!
!
∂ i~ † ∂φ
∂φ†
d
d ∂
−
φ
−
φ
= i~ (−φ)
†
†
dt ∂φ̇
∂t
∂t
dt
∂φ 2
˙ pues
Ahora, el término E no depende de psi,
!
Z
~
1
E=
d3 r
|∇φ(r)|2 + V(r)|φ(r)|2 + U0 |φ(r)|4
2m
2
entonces vemos que al escribir E como
!
Z
1
~
†
†
†
†
3
|∇φ(r) · ∇φ (r) + V(r)φ(r)φ(r) + U0 φ(r)φ(r) φ(r)φ(r)
E=
d r
2m
2
y tomar
(15)
∂E
,
∂φ†
se obtiene la ecuación de Gross-Pitaevskii, dependiente del tiempo.
(16)
(17)
(18)