Tasas Nominales y Convertibles - Claroline

Tasas Nominales y Convertibles
Prof. Vı́quez
CA201
Universidad de Costa Rica
[email protected]
Viernes 29 de Agosto
Prof. Vı́quez (UCR)
Teorı́a del Interés
Viernes 29 de Agosto
1 / 11
Tasas Nominales y Convertibles
Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas
Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la
cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal.
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Tasas Nominales y Convertibles
Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas
Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la
cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal.
La tasa efectiva en un periodo, es la tasa que se pagó durante ese periodo.
Pero qué pasa cuando el pago es hecho antes de que acabe el periodo (la
unidad de tiempo que fijamos al inicio)?
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Tasas Nominales y Convertibles
Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas
Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la
cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal.
La tasa efectiva en un periodo, es la tasa que se pagó durante ese periodo.
Pero qué pasa cuando el pago es hecho antes de que acabe el periodo (la
unidad de tiempo que fijamos al inicio)?
Las tasas que se expresan en términos del periodo pero que se pagan en
instantes anteriores al periodo se llaman “tasas nominales”, y la frecuencia
con que éstas pagan el interés (o reinvierten) se conoce como “periodo de
conversión del interés”
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Tasas Nominales y Convertibles
Tasa Nominal Convertible
Definición
La tasa nominal de interés pagadera m veces por periodo, i(m) , donde
m > 1 es un entero positivo, es una tasa que paga un interés efectivo de
i(m)
m cada m−ésima parte de periodo.
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Tasa Nominal Convertible
Definición
La tasa nominal de interés pagadera m veces por periodo, i(m) , donde
m > 1 es un entero positivo, es una tasa que paga un interés efectivo de
i(m)
m cada m−ésima parte de periodo.
Ejemplo: Una tasa nominal anual del 8 % convertible trimestralmente, no
significa una tasa de interés del 8 % pagada cada cuatro meses, sino que
significa una tasa de interés del 2 % pagada cada cuatro meses. Esto
debido a que hay 4 trimestres en un año, por lo que m = 4.
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Tasas Nominales y Convertibles
Tasas Equivalentes
Cómo comparar dos tasas con periodos distintos?
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Tasas Nominales y Convertibles
Tasas Equivalentes
Cómo comparar dos tasas con periodos distintos?
Equivalencia de Tasas
Dos tasas de interés se dicen equivalentes si una cantidad dada de
principal, invertido bajo interés compuesto durante el mismo plazo, a cada
una de éstas tasas, produce el mismo valor acumulado al final del plazo.
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Tasas Equivalentes
Cómo comparar dos tasas con periodos distintos?
Equivalencia de Tasas
Dos tasas de interés se dicen equivalentes si una cantidad dada de
principal, invertido bajo interés compuesto durante el mismo plazo, a cada
una de éstas tasas, produce el mismo valor acumulado al final del plazo.
Nótese que lo primero que se debe hacer es fijar un horizonte de tiempo, y
que la equivalencia sucederı́a solo para este plazo en especı́fico, si se
escoge un nuevo horizonte de tiempo, estas tasas pueden dejar de ser
equivalentes.
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Ejemplo
Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 %
convertible trimestralmente?
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Ejemplo
Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 %
convertible trimestralmente?
En este caso, la tasa equivalente anual es i = ? y la tasa nominal anual
convertible trimestralmente es i(4) = 8 %. El valor acumulado después de
un año con la tasa equivalente anual es 1 + i. Por otro lado, la tasa
nominal se tiene que reinvertir por 4 periodos de tres meses para
(4) 4
.
completar el año, dejando un valor acumulado igual a 1 + i 4
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Ejemplo
Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 %
convertible trimestralmente?
En este caso, la tasa equivalente anual es i = ? y la tasa nominal anual
convertible trimestralmente es i(4) = 8 %. El valor acumulado después de
un año con la tasa equivalente anual es 1 + i. Por otro lado, la tasa
nominal se tiene que reinvertir por 4 periodos de tres meses para
(4) 4
.
completar el año, dejando un valor acumulado igual a 1 + i 4
Igualando ambos resultados,
1+i=
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i(4)
1+
4
!4
⇒ i=
i(4)
1+
4
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!4
− 1 = 8, 24 %.
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Tasa Compuesta Continuamente
Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando
1
periodos,
m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m
se obtiene,
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Teorı́a del Interés
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Tasa Compuesta Continuamente
Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando
1
periodos,
m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m
se obtiene,
1
(m)
δ = lı́m i
m→∞
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= lı́m
m→∞
(1 + i) m − 1
1
m
=
Teorı́a del Interés
∂
(1 + i)t t=0 = ln(1 + i).
∂t
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Tasa Compuesta Continuamente
Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando
1
periodos,
m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m
se obtiene,
1
(m)
δ = lı́m i
m→∞
= lı́m
m→∞
(1 + i) m − 1
1
m
=
∂
(1 + i)t t=0 = ln(1 + i).
∂t
Definición
Se denota por δ a la tasa de interés diaria compuesta continuamente
(fuerza de interés), la cual representa la tasa constante que se debe pagar
durante el periodo, componiendo continuamente, para que se obtenga la
misma cantidad de dinero que si se invirtiera de una sola vez a la tasa i.
Dicha tasa viene dada por la fórmula:
δ = ln(1 + i).
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Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente
Sabiendo que el valor acumulado A1 es constante respecto a m ante tasas
equivalentes, es decir,
A1 = 1 + i =
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i(2)
1+
2
!2
=
i(3)
1+
3
!3
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= ··· =
i(m)
1+
m
!m
= ···
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Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente
Sabiendo que el valor acumulado A1 es constante respecto a m ante tasas
equivalentes, es decir,
A1 = 1 + i =
i(2)
1+
2
!2
=
i(3)
1+
3
!3
= ··· =
i(m)
1+
m
!m
= ···
Cuál serı́a la fórmula del valor acumulado cuando m tiende a infinito, i.e.,
cuál serı́a la fórmula del valor acumulado con interés compuesto
continuamente?
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Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente
1
(m)
Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i)
L’Hôpital,
A1 = lı́m
m→∞
1+
lı́mm→∞
=e
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i(m)
−1
m2
(m)
ln 1+ i m
lı́mm→∞
1
m
!m
y aplicando
=e
m
1
(1+i) m ln(1+i)
(m)
1+ i m
= eln(1+i) = eδ .
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Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente
1
(m)
Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i)
L’Hôpital,
A1 = lı́m
m→∞
1+
lı́mm→∞
=e
i(m)
−1
m2
(m)
ln 1+ i m
lı́mm→∞
1
m
!m
y aplicando
=e
m
1
(1+i) m ln(1+i)
(m)
1+ i m
= eln(1+i) = eδ .
Se puede asociar a lo hecho anteriormente y mostar que At = et·δ .
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Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente
1
(m)
Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i)
L’Hôpital,
A1 = lı́m
m→∞
1+
lı́mm→∞
=e
i(m)
−1
m2
(m)
ln 1+ i m
lı́mm→∞
1
m
!m
y aplicando
=e
m
1
(1+i) m ln(1+i)
(m)
1+ i m
= eln(1+i) = eδ .
Se puede asociar a lo hecho anteriormente y mostar que At = et·δ .
NOTA: La unidad de cuenta de la fuerza de interés δ es la misma que i, es
decir, si i es una tasa efectiva anual, entonces δ se cuenta en años, y el
valor acumulado de n años serı́a An = en·δ . Pero si i es una tasa efectiva
diaria, entonces el valor acumulado de n años serı́a An = en·360·δ , pues δ
se cuenta en dı́as.
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Ejercicios
1
Encuentre el valor acumulado de $500 invertido por 5 años al 8 %
anual convertible trimestralmente.
2
Encuentre la tasa nominal de interés convertible semestralmente que
es equivalente a una tasa nominal anual del 6 % convertible
trimestralmente.
3
Encuentre el valor acumulado de $1000 invertido por 10 años a interés
compuesto continuamente, con una fuerza de interés anual del 5 %.
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Referencias
S. Kellison (2009)
The Theory of Interest.
3ra Ed, McGraw-Hill, New York.
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Final de clase
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