Relaciones: Propiedades

Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23 Representación Alternativa para Relaciones Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 2/23 Representación Alternativa para Relaciones Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Alternativamente al diagrama de flechas del conjunto hacia si mismo: a a a b b b c c c Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 2/23 Ejemplo Si A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 3/23 Ejemplo Si A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación. Solución 1 2 4 3 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 3/23 Relación Reflexiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 4/23 Relación Reflexiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que ■ R es reflexiva si : ∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 4/23 Relación Reflexiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que ■ R es reflexiva si : ∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 4/23 Relación Reflexiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que ■ R es reflexiva si : ∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a, a) donde a barre todos los elementos de A. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 4/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 5/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación no Reflexiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 5/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no Reflexiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Relación Reflexiva Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 5/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no Reflexiva Relación Reflexiva Cada nodo debe tener un cíclo. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 5/23 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación:     1 ··· 1 ···  .. . .   ..   .   . 1  .         ... 0     ... 1 Relación No reflexiva Relación Reflexiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 6/23 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación:     1 ··· 1 ···  .. . .   ..   .   . 1  .         ... 0     ... 1 Relación No reflexiva Relación Reflexiva En la diagonal principal debe haber sólo unos para relaciones reflexivas. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 6/23 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación:     1 ··· 1 ···  .. . .   ..   .   . 1  .         ... 0     ... 1 Relación No reflexiva Relación Reflexiva En la diagonal principal debe haber sólo unos para relaciones reflexivas. En las no reflexivas hay al menos un cero. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 6/23 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 7/23 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 7/23 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si ∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 7/23 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si ∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 7/23 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si ∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice que en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 7/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 8/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación no simétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 8/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no simétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Relación Simétrica Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 8/23 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 9/23 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 9/23 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 9/23 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y). Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la relación, es porque las parejas son (x, x). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 9/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 10/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación no Antisimétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 10/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no Antisimétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Relación Antisimétrica Matemáticas Discretas - p. 10/23 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 11/23 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 11/23 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si ∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 11/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 12/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación no Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 12/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Relación Transitiva Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 12/23 Relación de Equivalencia Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 13/23 Relación de Equivalencia Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 13/23 Relación de Equivalencia Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 13/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 14/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación no de Equivalencia Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 14/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación no de Equivalencia Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Relación de Equivalencia Matemáticas Discretas - p. 14/23 Relación de Orden Parcial Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 15/23 Relación de Orden Parcial Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 15/23 Relación de Orden Parcial Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 15/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 16/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación que no es Orden Parcial Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 16/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Relación que no es Orden Parcial Relación de Orden Parcial Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23 Ejemplo Considere el conjunto A = {1, 2, 3} y la relación: R= ( (2, 2) , (2, 3) , (1, 1) , (3, 3) (1, 2) , ) Indique cuáles propiedades tiene la relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 17/23 Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son relaciones de equivalencia: 1. mod5 en los enteros 2. La relación vecinos en los paises 3. Primos en una familia 4. ≥ en los enteros Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 18/23 Cerradura Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R0 que cumple: Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 19/23 Cerradura Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R0 que cumple: ■ R0 es transitiva, Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 19/23 Cerradura Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R0 que cumple: ■ R0 es transitiva, ■ R ⊆ R0 (R0 contiene a R), y Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 19/23 Cerradura Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R0 que cumple: ■ R0 es transitiva, ■ R ⊆ R0 (R0 contiene a R), y ■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R0 . Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 19/23 Cerradura Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R0 que cumple: ■ R0 es transitiva, ■ R ⊆ R0 (R0 contiene a R), y ■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R0 . Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña relación transitiva que contiene a R. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 19/23 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 20/23 Ejemplos 1 2 4 3 Relación Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 20/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Cerradura Transitiva Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 20/23 Ejemplos 1 2 1 2 4 3 4 3 Relación Cerradura Transitiva Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada para revisar si ya es transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 20/23 Considere el conjunto A = {1, 2, 3} y la relación sobre A: ( (1, 1) , (1, 2) , R= (2, 1) , (2, 2) , (1, 3) , (3, 3) ) Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejas deben aãdirse a R en la cerradura transitiva: 1. (2, 3) 2. (3, 1) 3. (3, 2) Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 21/23 Partición de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1 , A2 ,. . . ,Am tal que Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 22/23 Partición de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1 , A2 ,. . . ,Am tal que ■ Ningún subconjunto Ai es vacío: ∀i, Ai 6= ∅ Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 22/23 Partición de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1 , A2 ,. . . ,Am tal que ■ Ningún subconjunto Ai es vacío: ∀i, Ai 6= ∅ ■ Los conjuntos no tienen elemento en común: ∀i, j, (i 6= j → Ai ∩ Aj = ∅) Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 22/23 Partición de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1 , A2 ,. . . ,Am tal que ■ Ningún subconjunto Ai es vacío: ∀i, Ai 6= ∅ ■ Los conjuntos no tienen elemento en común: ∀i, j, (i 6= j → Ai ∩ Aj = ∅) ■ La unión de los conjuntos es igual a A: A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 22/23 Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son particiones del conjunto: {1, 3, {5, 2}, 4} 1. 2. 3. 4. {∅, {1, 3, {5, 2}, 4}} {{1}, {3, {5, 2}, 4}} {{{1, 3}}, {5, 2}, {4}} {{1}, {3}, {{5, 2}}, {4}} Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Representación Ejemplo 1 Reflexiva Ejemplo 2 Ejemplo 3 Simetrı́a Ejemplo 3 Antisimetrı́a Ejemplo 4 Transitividad Ejemplo 5 Equivalencia Ejemplo 6 Orden Parcial Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Cerradura Ejemplo 10 Ejemplo 11 Partición Ejemplo 12 Matemáticas Discretas - p. 23/23

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