gradiente anal tico para la identificaci n no destructiva de defectos

MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA V
J.M. Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor y G. Bugeda (Eds.)
©SEMNI, Espana 2002
GRADIENTE ANALÍTICO PARA LA IDENTIFICACIÓN NO
DESTRUCTIVA DE DEFECTOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS DE CONTORNO
Guillermo Rus , Rafael Gallego
Departamento de Mecánica de Estructuras,
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos (ETSICCP),
Universidad de Granada, Politécnico de Fuentenueva, 18071 Granada, España
e-mail: [email protected], [email protected] tlf: +34 958248955
Palabras clave: Problema Inverso, Método de los Elementos de Contorno, Sensibilidad a
Geometría
Resumen. La identificación de defectos se generaliza en una clase de problemas inversos que
surgen en mecánica. El problema inverso de identificación significa que las incógnitas son una
parte oculta de la geometría (cavidades internas, inclusiones, etc.) en lugar de desplazamientos
y tensiones. Su búsqueda se realiza a partir de datos adicionales en forma de mediciones de
la respuesta mecánica (detección no destructiva). El método de los elementos de contorno
(MEC) está especialmente bien condicionado gracias a su menor coste computacional y su
buena adaptación a geometrías variables.
El punto central que se presenta es una ecuación integral de sensibilidad respecto a la geometría, que proporcionará un gradiente útil para algoritmos de minimización de funciones de
costo calculadas con ayuda del MEC.
Guillermo Rus, Rafael Gallego
1 INTRODUCCIÓN
1.1 El problema
La necesidad de detección no destructiva aparece en muchos campos de la ingeniería. Por un
extremo, un gran número de estructuras civiles, arquitectónicas o aeronáuticas que requieren de
un mantenimiento sostenible para aumentar su longevidad y seguridad, y en el otro extremo,
la etapa de control de calidad en producción industrial, especialmente en materiales avanzados
y de alto rendimiento, son ejemplos del espectro de disciplinas que se benefician directamente
de la detección no destructiva. Otros campos emergentes, como la biomecánica, la búsqueda
de minas antipersonales o la geofísica también tienen gran fuerza en muchos laboratorios de
evaluación no destructiva.
En la práctica, los métodos usuales son en gran medida empíricos y experimentales, requiriendo bien aproximaciones a soluciones analíticas simples o la interpretación visual de tomografías o curvas por parte de personas experimentadas. Algunos intentos prácticos de uso
sistemático de algoritmos de identificación están dando resultados prometedores, pero la identificación es un buen ejemplo de problemas mal condicionados: ni la existencia ni la unicidad
están garantizadas, y los resultados pueden ser muy sensibles a las medidas.
Actualmente, los problemas principales, que definen la dirección de este trabajo son:
•
•
•
•
•
la necesidad de cálculo rápido y preciso de gradientes respecto a la geometría,
el escaso rango de convergencia de los algoritmos de optimización clásicos (robustez),
falta de criterios para la elección de algritmos, y
para la inicialización de éstos,
necesidad de una técnica de búsqueda global en un tiempo razonable.
Es interesante notar que en la multidisciplinariedad del tema hay muchos aspectos comunes
con la optimización de estructuras y su diseño, siéndole aplicables muchas de las presentes
contribuciones.
1.2 Concepto de Problema Inverso (PI)
En elasticidad, un problema directo se puede definir como el cálculo de la respuesta (desplazamientos y tensiones ) en un cuerpo definido por su geometría ( ), propiedades mecánicas
( ), modelo de comportamiento (operador ) y condiciones de contorno (valores conocidos de
y ). Como contraposición, un PI es aquél en el que no se conoce una parte de los datos
anteriores, por ejemplo una parte de la geometría o sus propiedades mecánicas.
Si un problema directo genérico (no necesariamente elástico) se define como:
la naturaleza de la incógnita genera la siguiente clasificación de PI, por Kubo [14]:
• Identificación: una parte de la geometría ( ). Éste es el problema aquí tratado.
• Modelización: las ecuaciones matemáticas que gobiernan el comportamiento ( ).
2
Guillermo Rus, Rafael Gallego
• Reconstrucción: condiciones de contorno o iniciales.
• Acciones externas: .
• Propiedades mecánicas: algunos parámetros que caracterizan el material ( ).
Para encontrar esta información, se han de proveer datos suplementarios, en forma de mediciones extraordinarias de o en una zona accesible del espécimen.
2 ESTADO DEL ARTE
El estudio de PI en ingeniería ha sido un área de investigación de creciente actividad en las
últimas dos décadas (Tanaka y Dulikravich [23]; Delaunay y Jarny [7]; Zabaras, Woodbury
y Raynaud [25], y otros autores). Se han escrito buenas revisiones recientemente, Bui [6] y
Stavroulakis [21]. Algunas revisiones generales fueron presentadas por Kubo [14] o Nishimura
y Kobayashi [16].
El algoritmo ideal debería cubrir todos los rangos, para poder inicializarlo con una configuración completamente desconocida y terminar con la aproximación deseada (1: precisión). El
modo de conseguir esto con un coste computacional asequible (2: efectividad) y una buena probabilidad de solución correcta (3: convergencia), es a través de varias etapas abarcando rango
global hasta local sucesivamente.
Global
Local
Tecnicas para
sistemas de ecuaciones no lineales
Algoritmos de optimizacion
(Gauss−Newton, Quasi−Newton,
Secantes, Minimos cuadrados)
Programacion lineal y cuadratica
Filtro de Kalman, filtro de proyeccion
Algoritmos geneticos y evolucionarios
Redes neuronales; inferencia difusa
Busqueda estocastica
Recocido simulado
Derivada Topologica
Esquema
Ecuaciones de
observacion
Minimizacion de
funcional de costo
Inicializacion
Figura 1. Una clasificación de estrategias para problemas inversos.
Las técnicas usadas se pueden englobar según su planteamiento en dos. Por una parte el método de la ecuación de observación se basa en esablecer directamente la correspondencia entre
valores medidos y computados de la respuesta. Pero normalmente la solución de PI se basa en
la minimización de un funcional de coste que minimiza el residuo entre ambos valores por múltiples técnicas. Una discusión sobre esta división y una demostración de una equivalencia entre
ambas ramas se puede encontrar en Rus y Gallego [19]. Pero un algoritmo eficiente requiere un
cálculo analítico del gradiente de este funcional o de las ecuaciones de observación , en
caso de que exista.
3
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Las alternativas para el cálculo de estas derivadas son:
• Diferencias finitas implica resolver al menos un problema directo a una distancia finita del
original por cada parámetro. A parte del elevado costo, proporciona una precisión limitada.
• La ventaja del método de la variable adjunta es que sólo requiere el cálculo de un segundo
problema adjunto para obtener todo el gradiente del funcional, a costa de una mayor complejidad teórica. Por ejemplo, Aithal y Saigal (1995) [1], Bonnet(1989) [2] para problemas
térmicos bidimensionales; Bonnet (1995) [3] para problemas de identificación de obstáculos penetrables y duros en 3D. Su último trabajo se basa en la obtención de la derivada de
una función de coste completa por la variable adjunta para contornos cerrados y después
para grietas [4], [5], [20].
• La base de la derivación directa vino de la formulación de las variaciones de las ecuaciones de observación. Zeng y Saigal (1992) [26] desarrollaron hasta nivel teórico una
formulación para problemas de potencial basada en variaciones. Tanaka y Masuda (1989)
[24] y Matsumoto y Tanaka (1990) [15] hicieron trabajos similares mucho antes basándose en desarrollos de Taylor de los núcleos y densidades. Gallego y Suárez (1999) [22]
desarrollaron la ecuación integral de contorno de las variaciones ( ) para el problema
potencial 2D de un modo más riguroso. Presentaron resultados usando el planteamiento de
las ecuaciones de observación Gallego y Suárez en [11], [12], [10] y [13], y Rus y Gallego
en [18].
• La diferenciación automática se realiza por software reciente especializado que procesa
código fuente (ver [8], [9]).
2.1 El método de los elementos de contorno (MEC)
En comparación con otros métodos numéricos, el MEC proporciona ventajas: no requiere remallados del dominio al modificar la geometría, implicando una fuente menos de imprecisiones
numéricas; el alto número de iteraciones requiere de métodos de cálculo rápidos; en detección
ultrasónica, el número de elementos para capturar las pequeñas ondas es muy alto.
Con objeto de establecer una nomenclatura, los problemas de elasticidad se definen aquí por
las ecuaciones:
Ecuaciones de equilibrio:
"! $# &
%
Ecuaciones de compatibilidad:
Ecuaciones constitutivas:
( ' (
(1)
)
' ( * + ,! -# " ! (2)
( /.0 ( '2131 # *4 ' (
(3)
Tensor de tensiones
Tensor de deformaciones
4
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Desplazamientos
Fuerzas de volumen
Vector de tensiones en la normal ( )
Delta de Kroenecker
. , 4 Constantes de Lamé, que pueden ser expresadas en función de:
5 , 6 Módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson
5
6
4 * )5
.8 ) # 69 ):;* 6
# 67
Estas ecuaciones se combinan en la ecuación de Navier,
<
)
)
"
!
"
@
#
,
!
A
#
%
)=:>* 6-? 4 &
que se puede expresar en forma integral en virtud de teoremas energéticos, en los cuales la
solución compatible requerida viene dada en deformación plana 2D ('2BCB D% ) por soluciones
fundamentales correspondientes al problema de la aplicación de una fuerza puntual en el polo,
dirección 1 . Tras el proceso de paso al límite del polo hasta el contorno, la ecuación integral
se torna, en el caso de ausencia de fuerzas de volumen:
E 1 GFH" 1 IFJ #LK7:OM N 1 IP$Q2FJ 1 IPR : 1 IP$Q2F0 1 IPRSUTWVXIPR$Y%
(4)
donde P es el punto de integración u observación, F el polo o punto de colocación, y las integrales tienen el sentido de valor principal de Cauchy.
Por último, de esta formulación se puede derivar la llamada ecuación hipersingular (basada
en la aplicación de la ley de Hooke a la anterior), principalmente útil para la modelización de
grietas. Se conviene la siguiente nomenclatura, donde la integral tiene sentido de Parte Finita
de Hadamard:
: [ 1 I P$Q2F0 1 GP\S]TWV^GP\^%
E 1 IF0" 1 IFJ # K M N T 1 G P$QZFJ" 1 IPR >
(5)
Ambas ecuaciones, válidas para un contínuo han de ser discretizadas para ser aproximadas
por un conjunto finito de valores (_ 1 a`cb 1 _ , 1 a`db 1 , 1 a`cb 1 ). En el MEC
se escribe la ecuación para tantos puntos y direcciones de colocación como incógnitas, con lo
cual se obtiene un sistema de ecuaciones determinado de la forma,
egf Oh8i
(6)
La aplicación de condiciones de contorno se materializa en la agrupación de las incógnitas de
f y i en un nuevo vector j , y la reordenación de las ecuaciones en,
k jl&m
5
(7)
Guillermo Rus, Rafael Gallego
3 DERIVACIÓN DIRECTA DE LA SENSIBILIDAD A LA GEOMETRÍA
El objetivo es calcular la derivada de los desplazamientos o vectores de tensiones (agrupados en
f ) respecto a la variación de la geometría ( f , derivada de Gateaux). Esta variación se describirá
en principio mediante campo de variaciones nP en el sentido de que cada punto del contorno a
variar se moverá _Ho p_ 0# q_ GPR . Más adelante se describirá este campo en términos de un
conjunto finito de parámetros r mediante una técnica llamada parametrización.
Los pasos a seguir para la definición de la derivada genéricamente, antes de parametrización
son:
1. El punto de partida es la ecuación del integral del MEC (0s y t
).
2. El procedimiento comienza definiendo la sensibilidad o gradiente de toda la ecuación respecto a la geometría (ecuaciones de las variaciones u0s y qt
).
3. Como en el MEC, esta última ha de ser llevada al contorno y discretizada, pasos en los que
hay que observar ciertas precauciones relacionadas con el orden de singularidad.
4. Finalmente, las ecuaciones discretizadas se reordenan según las condiciones de contorno,
las incógnitas ( v"w ) y los datos (soluciones de ), hasta obtener v"w .
vx+y
vz
3.1 Conceptos preliminares
Es necesario representar las variaciones de las magnitudes geométricas basicas en función del
campo de variaciones qP^IPR , partiendo de la figura 2, y manipulando la geometría de un diferencial.
δn
~
n
Γ
n
1
1
Figura 2. Sentido de las definiciones geométricas:
δJ
~
Γ
|~{ }9€ƒ‚0„|~}9€ƒ‚ƒ…‡†3|~}9€ƒ‚7ˆ ‰ { ‹
„ ŠŒŽ…†‘“’”ˆ ‰
Si q es la variación de la normal a un contorno sometido a qP , y @• es la variación unitaria
de ese contorno,
n_J— : n™—
š š— ' — ›nq_W› ! œ š œ
š< —n_J— ! œ š œ
%:ž) ) (tensor de permutación)
%?
Las ecuaciones de contorno de partida son la de desplazamientos (0s ) y la de tensiones (s )
q –—˜
q W• ' ( vistas anteriormente, pero con el polo en puntos internos, es decir, antes del paso al contorno.
6
Guillermo Rus, Rafael Gallego
3.2 Derivación de la ecuación
@ ŸuW ‡ ¡,¢¤£ ŸuW : ŸuW uª .
xAy¥=¦X§©¨
El término ŸuW representa a la ecuación de contorno original Ÿuƒ alterada por el campo infinitesimal nP ¨ . Para proceder a su sustracción hay que representar las ecuaciones en términos
Ésta se hace mediante la definición de derivación como límite,
comunes, lo que se consigue expandiendo en serie cada término de la ecuación desconocida
centrado en el conocido, y respecto a nP .
0s
Las ecuaciones original y alterada de la 0t
( ŸuW y
Ÿuƒ ) son:
1 1
Ÿuƒ ¬«
S]T V®&%
¨
1 ¨ 1 ¨
Ÿuƒ ¬«
S]TƒV®&%
Si la diferencia de los desplazamientos y tensiones son q 1 y q 1 ,
1 1 # u 1
¨ 1 1 # q 1
¨ en serie (notando como ¯H°qšt± a los términos de orden
mientras que los núcleos se han de expandir
superior, y aprovechando la naturaleza radial de las soluciones fundamentales),
1
1 # T@ 1 œ²# T@ 1 œ‹#
1 # 1 ! œ œ²#
n
_
n
™
H
¯
n
°
t
š
ƒ
±
q–
¯J°nšt±
œ
œ
“
T
_
“
T
™
¨ 1 1 # 1 ! œ u– œ² # ¯H °n št±
¨ 1 1 IPR³ 1 # 1 u GPR # 1 ! œ q– œ GPR # ¯J°nšt±
¨
¨ ¨
La q0s tras la sustitución de las expansiones en Ÿuƒ y su sustracción a ŸuW es:
1 1 #LK´M N 1
¨
q GFJ
GP$µ2FJ" IPRZq 1 IPR : 1 IP$µ2F0"u 1 GP\S]TWV^GP\
N
# K M 1 ! œ GP$ µZF0" IPR" 1 GPR : 1 ! œ IP$µ2F0 1 Zq– œ GP$µ2FJ
# 1 IP$µ2FH" G P\" 1 IPR : 1 IP$µ2F0 1 Z@•³IPR
# 1 GP$µ2FJ" 1 IPRZq GP\ S TWV^GP\c %
(8)
F interior
t
La derivada de la t
se hace de modo similar, teniendo en cuenta,
GF0 d GF0 # u IFJ
¨ T 1 T 1 # T 1 ! œ u– œ²# ¯H°nšt±
[ ¨ 1 [ 1 ¶—
GP\$ [ 1 # [ 1 q¶—AGPR # [ 1 ! œ u– œ Ž—sIPR # ¯H°nšt±
—
—
—
¨
¨ ¨
¨
GF0 # RK M ­ N 1 1 : ¨
¨ ¨ ¨
GF0 # K M N 1 1 : 7
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Y resulta q~s :
1 u 1 GFJ # K M N T 1 G P$µ2FJ" IF0Zq 1 GPR :>[ 1 — GP$µZF0" IFJ"Ž—AGPR"u 1 IPRSUTWVXIPR
# K M N +T 1 IP$µ2FH" GFJ" 1 GPR :·[ 1 — GP¸µ2F0" GF0¶—AGPR 1 "W•$GPR
# AT 1 GP¸µ2F0" 1 :>[ 1 — IP$µ2F0¶—AGP\" 1 IPR2"u IFJ
# AT 1 ! œ GP$µZF0" IF0" 1 IPR :>[ 1 — ! œ GP¸µ2F0"Ž—AGPR GFJ 1 Zq– œ GP¸µ2FJ
:¹[ 1 GP$µZF0" IFJ" 1 uŽ—sIPR S TWVXIPR©
—
F interior
%
(9)
3.3 Límite al contorno
Las ecuaciones en el capítulo 3.2 se han escrito para puntos de colocación F interiores. Al igual
que en el MEC, interesa realizar el paso de F al contorno V . Para ello se procede de un modo
similar. Se descompone el contorno localmente en un sector circular ºŽ» alrededor de F , que
: VU» . Esto define el Valor Principal de
generará términos libres, y se restará al contorno total V
Cauchy si el integrando es de orden ½ ¼ o la Parte Finita de Hadamard para ¼½ ¾ .
En el caso de que el contorno sea suave alrededor de F , las ecuaciones con este término libre
sumado quedan,
q0s :
) * 1 q 1 GFH #LK7M
N
#¿K´M N 1 G P$µ2FH" IPRZq 1 IPR : 1 IP$µ2FJ"u 1 IPR S TƒV^IPR
1 ! œ GP¸ µ2F0" IPR" 1 GPR : 1 ! œ IP$µ2FH" 1 Zq– œ GP$µZF0
# 1 GP$µ2FJ" I PR" 1 IPR : 1 IP$µ2FH" 1 Z@•³IPR
# 1 GP$µ2FH" 1 GPR"u IPRSUTƒV^IPRd
para F®À‹V
%
qt
:
) * 1 u 1 GFH # K M N T 1 G P$µ2FH" IFJZq 1 GPR :>[ 1 — GP$µZFJ" IF0"Ž—AGPR"u 1 GPRCS]TWV^GPR
#¿KWM N +T 1 GP$µ2FJ" IF0" 1 GP\ :>[ 1 — GP¸µ2FJ GFJ¶—AGP\" 1 "W•$GPR
# AT 1 GP¸µ2FJ 1 :>[ 1 — IP$µ2FH"¶—AIPR" 1 IPR2"u GF0
# AT 1 ! œ GP$µZFJ" IFJ 1 IPR :>[ 1 — ! œ GP¸µ2FJ¶—AGPR GF0 1 "u– œ IP$µ2F0
:¹[ 1 GP$µZFJ" IF0" 1 uŽ—AGPR S TWV^GPRd
—
para ™À‹V]Á
(10)
%
En la tabla siguiente se resume el orden de continuidad requerido para que exista la formu8
Guillermo Rus, Rafael Gallego
lación anterior.
Componente
1
1
1—
q_J—
uJ—
u9—
1—
Necesita
(en! à Ž
)
 ¦
acotado
:
:
:
:
:
Necesita
(en! Ã u0s )
 ¦
acotado
!Ã
 ¦
 ¼ !Ã
 ¦ !Ã
 ¦ !Ã
:
Necesita
(en! Ã t
)
 ¼
 ¦ !Ã
 ¼ !Ã
:
:
:
:
Necesita
(en! Ã us )
 ¼
 ¦ !Ã
 ¼ !Ã
ÂÅÄ ! Ã
 ¼ !Ã
 ¼ !Ã
 ¼ !Ã
La razón por la que el orden de singularidad de la ecuación en variaciones no aumenta es que
en el estado modificado se está desplazando tanto P como F (derivada material). Los núcleos
derivados en Æ que presentan singularidad, multiplican a q– , que tiende a cero como Ç+–~ por
: F , reduciendo así en ) el orden del integrando.
ser ÆÅÈP
4 PARAMETRIZACIÓN
La variación de la geometría durante un paso en el proceso iterativo se representa siempre
por una parametrización, que significa una representación de la geometría mediante un grupo de valores numéricos. Una representación genérica y exacta requeriría un número infinito
de parámetros. Cuando se procede a una discretización, este número se reduce al de algunas
coordenadas locales. Este conjunto daría una parametrización completa, implicando un número
finito pero grande de datos.
En problemas inversos y de optimización hay dos puntos importantes a considerar: los algoritmos no tienen garantizada la convergencia, y ésta se deteriora rápidamente al aumentar el
número de parámetros, con lo que en un principio interesa reducirlos; por otra parte, se puede mejorar la estabilidad y convergencia mediante la regularización, íntimamente ligada con la
parametrización, y que se puede ver como la adición de información a priori.
En este trabajo se opta por trabajar en ecuaciones de sensibilidad usando este campo de
variaciones. De este modo se puede partir de una geometría de cualquier complicación sin
complicar la parametrización. El campo vectorial de variaciones q_ expresa el cambio de
posición de cualquier punto material durante un paso del proceso iterativo de búsqueda:
1
_ 1 q_ 1ÊÉ
1 1ÊÉ
_ ¼ # 91 É q_ GP ¼ Ë ÍÌ IP ¼ "Î Ì
9
Guillermo Rus, Rafael Gallego
4.1 Parametrizaciones probadas
Campo de deformación lineal básico
ciones constantes (6 parámetros):
n_JÍÏ Ì El campo viene definido por un campo de deforma-
) % _
Ð % ) : _ Ä __ ļ : _ _ ¼ Ä __ Ä
¼
¼ Ñ
Å
½ Á
Ó"— : _JÔ Ì (_ respecto del centroide), y el sentido de cada uno de los 6 parámetros
ٔÚ
ÕÖÖ Ô Ì Ù”ÚÚ ÕÖÖ
ÖÖ q_ Ô¼ Ì ÚÚ ÖÖ Primera coordenada del centroide del defecto ÚÚÚ
ÖÖ× q_ Ä ÚÚ ÖÖ× Segunda coordenada del centroide del defecto ÚÚ
nØ
Ángulo de rotación
Î Ì Dilatación
'œ
esférica
' o Û
Û
Elongación horizontal
' Ä
Distorsión
¼
donde _®Ò_
es:
Parametrización de grietas La utilización de series de Fourier en la parametrización tiene ventajas por ser capaz de representar cualquier forma, estableciendo un compromiso entre
número de términos (léanse parámetros) y exactitud. Además se pueden incrementar los parámetros sin necesidad de alterar los anteriores. Tienen también buenas propiedades en referencia
a la regularización [17].
La parametrización sugerida consta de cuatro parámetros para definir las coordenadas de los
extremos de la grieta y un número indefinido de parámetros adicionales para cada uno de los
coeficientes de fourier, según se muestra en la figura 3.
B
grieta
ξ
A
α
Figura 3. Definición de la parametrización para grietas.
Otras parametrizaciones En [18] se describen y prueban otras parametrizaciones más complejas, como son la Combinación de dos parametrizaciones lineales en dos puntos, la Parametrización polar de Fourier, y el Campo de deformaciones cuadrático desacoplado.
5 TRATAMIENTO NUMÉRICO
5.1 Discretización y tratamiento de las ecuaciones
Al igual que en el MEC, el contorno se divide en una serie de elementos, y en cada uno, las siguientes variables se definen por un conjunto discreto de valores, tanto en la geometría conocida
como la perturbada.
10
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Ü
Ë ÍÌ uÎ Ì se obtienen las siÌ:
q – p
AË ÝÌ G ™W : Ë ÝÌ G_Ž2"Î Ì Q q š š œ š— ' œ 1 Ë 1 Ì! —Î Ì Q @•®Èš 1 š—¤Ë¹— Ìt! 1 uÎ Ì
Si se sustituye la parametrización deseada (capítulo 4), n_
guientes expresiones dependientes del vector de parámetrios uÎ
La discretización de cualquiera de las ecuaciones anteriores siguiendo los criterios del MEC
k
f
e
(donde , i , , h , j , y m tienen idéntico sentido), y la posterior ordenación según las condiciones de contorno (donde las variaciones de valores prescritos son cero y por tanto igualmente
prescritos) proporcionan las siguientes expresiones matriciales,
e f : h uig&ޏur
ß
k njlއqr
donde Þ es una matriz que agrupa al resto de las integrales, multiplicadas por el vector de
parámetros factor común qr .
Las solucionesdel último sistema se puede hacer para cada columna de Þ y agrupadas en à
(jacobiano), de modo que cumpla el objetivo deseado:
nj²à¶ur
àgOŸÊá Í Ì â
TW@T Î ã Ì
ß
Desde el punto de vista computacional, este proceso es muy barato ya que el sistema
encuentra previamente factorizado (en solución del problema directo).
se
5.2 Algoritmos de minimización
Se ha hecho una revisión de los métodos de búsqueda más usados en la literatura en la introducción. Nosotros nos centramos en los algoritmos de minimización. De todos ellos, en este
trabajo se usa principalmente el método de Levenberg-Marquardt para minimizar la suma cuadrática del vector residuo con aporte de gradiente por Derivación Directa, tras haber probado
también el de Gauss-Newton y BFGS. Por otra parte, la minimización de funcional completo,
derivado mediante el Método de la Variable Adjunta se hace con el método BFGS.
6 COMPROBACIÓN NUMÉRICA
A continuación se muestran algunos de los resultados más representativos extraidos de una serie
sistemática y extensiva de comprobaciones.
6.1 Comparación con la solución analítica
Se comienza estudiando un problema muy simple, con solución analítica exacta, que nos va
a dar la seguridad de que se converge a la solución exacta, y a qué ritmo. Se trata de una
sección de dimensiones infinitas con un hueco circular, sujeto a una tracción uniforme en el
infinito, como se muestra en la figura 4. Se muestra asímismo el error relativo en el punto para diferentes discretizaciones.
11
Guillermo Rus, Rafael Gallego
−1
10
−2
4 elts
r
A
a=1
θ
σ=1
Relative error
10
−3
10
8 elts
−4
10
16 elts
−5
10
32 elts
−6
10
1
10
Number of elements
Figura 4. Sección infinita. Modelo y error numérico.
6.2 Comparación con solución numérica
Se utiliza un conjunto de problemas simples de prueba con el objeto de permitir la reproduc*gä>* con constantes de material 5 ) ±Ý% ;
tibilidad. Consisten en una sección cuadrada de
*
)
6²å%7± , æ‹ ±Ý% (excepto la inclusión, que tiene 5 ç%7±Ýè ). Como condiciones de contorno,
la base inferior se encuentra empotrada, y la superior se somete a una tensión unitaria vertical
uniforme. La geometría de los defectos se describe en la figura 5.
Figura 5. Descripción de los problemas de cavidad, inclusión y grieta.
6.2.1
Comparación visual de valores
Se trata de comparar algunos valores obtenidos con la formulación desarrollada con los de
diferencias finitas. Los cálculos se realizaron con 256 elementos, y las diferencias finitas se
separaron por la cantidad ¦2é ¦Cê ¦ Ä , dado que éstas últimas presentaban fácilmente divergencias por
errores numéricos a bajas distancias o por efectos de segundo orden en altas distancias.
12
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Frequency sweep, Problem benchinclusion
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 1
d Px / d parameter 1
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 2
d Px / d parameter 2
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
angular frequency
0.7
0.8
0.9
1
†3ë@ìsíIî
Figura 6. Valores del gradiente. Problema de inclusión, derivadas respecto a parámetros 1 y 2. Circulos: valores
del gradiente por diferencias finitas. Línea: valor mediante
.
Frequency sweep, Problem benchcrack
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 1
d Px / d parameter 1
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 2
d Px / d parameter 2
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
angular frequency
†ïtìsíIî
0.7
0.8
0.9
1
Figura 7. Valores del gradiente. Problema de grieta, derivadas respecto a parámetros 1 y 2. Circulos: valores del
gradiente por diferencias finitas. Línea: valor mediante
.
13
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Frequency sweep, Problem benchcavity
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 5
d Px / d parameter 5
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
value of gradient
2
10
0
10
d Ux / d parameter 6
d Px / d parameter 6
−2
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
angular frequency
0.7
0.8
0.9
1
†3ë“ìsíIî
Figura 8. Valores del gradiente. Problema de cavidad, derivadas respecto a parámetros 5 y 6. Circulos: valores del
gradiente por diferencias finitas. Línea: valor mediante
.
6.2.2
Orden de integración, orden y número de elementos
En las siguientes gráficas se representa el error relativo a la mejor solución encontrada incrementando la densidad de malla, conforme se varía el número de puntos de integración de Gauss,
el orden de los elementos, y la densidad de malla.
7 CONCLUSIONES
Se ha desarrollado un procedimiento para la obtención del gradiente o sensibilidad de ecuaciones integrales de contorno singulares o hipersingulares del MEC. La sensibilidad se obtiene
analíticamente previa e independientemente de la discretización y parametrización. Finalmente
se estudian las condiciones de continuidad requeridas a todos los núcleos, pesos, discretización
y parametrización.
Se ha llevado a cabo su implementación numérica completa y comprobación. La convergencia frente a un refinamiento de la malla y la coincidencia visual con diferencias finitas permiten
concluir que se alcanza la solución exacta. El estudio ha revelado ciertas inestabilidades numéricas de las diferencias finitas relacionadas con la elección de la distancia finita y con la
frecuencia, lo cual acentúa las ventajas de este método analítico.
Se ha demostrado cómo el suministro del gradiente es un factor decisivo en la resolución
debido a la importante aceleración que proporciona y a una mayor exactitud del gradiente en
comparación con diferencias finitas, dados sus problemas numéricos derivados de la elección
14
Guillermo Rus, Rafael Gallego
Integration accuracy. Frequency: 1 Problem benchcavity
1
maximum relative error in gradient
10
0
10
−1
10
displacement/stress
parameter 1
parameter 2
parameter 3
parameter 4
parameter 5
parameter 6
−2
10
−3
10
1
10
number of gauss points
Figura 9. Orden de integración. Problema de cavidad.
Order accuracy. Frequency: 1 Problem benchcavity
0
maximum relative error in gradient
10
−1
10
−2
10
displacement/stress
parameter 1
parameter 2
parameter 3
parameter 4
parameter 5
parameter 6
−3
10
−4
10
0
1
10
10
order (number of nodes per element − 1)
Figura 10. Orden de elementos.
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Element accuracy. Frequency: 1 Problem benchcavity
1
maximum relative error in gradient
10
0
10
−1
10
displacement/stress
parameter 1
parameter 2
parameter 3
parameter 4
parameter 5
parameter 6
−2
10
−3
10
0
10
1
10
number of elements per subboundary
2
10
Figura 11. Número de elementos.
de distancia finita. Un factor importante es el número de parámetros o incógnitas, que reducen
drásticamente la estabilidad y rango de convergencia. Esto se puede solucionar dosificando
los parámetros, y jugando con el compromiso entre exactitud de representación de la solución
deseada frente a un reducido número de parámetros.
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