problemas procesos aleatorios

PROBLEMAS PROCESOS ALEATORIOS
Problema 1:
En el sistema de comunicación mostrado se envía un mensaje x(t) cuya autocorrelación es
Rx(τ )= 104 Sinc 104 τ , el cual se contamina con ruido blanco n(t) independiente de la
señal, con media cero y densidad espectral de potencia normalizada igual a 10-8 W/Hz.
Además el canal disminuye en 10 la amplitud
(Φ uniformemente distribuida entre -π y π)
a.- Grafique |HT(f)|2 para que la señal de salida x3(t) no sufra distorsión.
b.- Determine fo mínimo para que la potencia total de ruido a la salida sea mínima.
c.- Si la señal de entrada es x(t)=Cos2 (2π.2.103t + Ø) con Ø uniformemente
distribuida entre -π y π, Determine la autocorrelación de la señal y1(t) y la relación señal a
ruido a la salida.
Solución:
a) Primero transformamos Rx para obtener la DEP y nos queda después de pasarla por HT
El ancho de banda coincide con el filtro HR(f) para que la señal no sufra distorsiones
2
2
H T Gx (f ) H R
= K 2Gx
800
| HT | debe compensar a | HR | donde
HT
2
=
k'
HR
2
Por lo que:
HT
2
= k'e
f
Lo que garantiza que la señal x no sufrirá distorsión.
b)
Para que la potencia de ruido sea mínima, no tiene que haber solapamiento, es decir la
frecuencia de 2fo-500K tiene que ser mayor que los 5K del filtro HR
2 fo − 500k > 5 K
2 fo > 505 K
fo >
505K
= 252.5 K
2
c) Para hallar la autocorrelación primero manipulamos la señal de entrada.
x(t ) = cos 2 (2π .2.10 3 t + φ ) =
1 cos(2π .2.10 3 t + φ )
+
2
2
Luego transformamos para hallar su DEP
1
1
1
DEP( x) = δ ( f ) + δ ( f − 2 K ) + δ ( f + 2 K )
16
16
4
DEP(n)=
Donde su autocorrelación es igual a R (n) = 10 −810 6 sinc(10 6 τ )
Como x y n son independientes y el ruido tiene media cero Gy1=Gx1+Gn =>
Ry1 = Rx1 + Rn1 = 10− 2 sin c(106 τ) +
1 1
+ cos(2π.2.103 τ)
4 8
Para el cálculo de la relación señal a ruido:
Sea la DEP de x igual a
Si fo es lo suficientemente grande para evitar solapamiento después del primer coseno la
DEP queda
Por el otro coseno y por el filtro queda
< S 2 >=
1 1
1
1 1
1
* *
*2 + * *
* 2 * 2 = 468.75 x10 −6 W
4 16 100
16 16 100
Ahora el ruido tiene una DEP de:
Si fo es grande después del 1º coseno
Por el otro coseno:
Luego el último filtro solo deja pasar lo que se encuentre entre –5K y 5K por lo que:
2.10−8 − f
2.10−8 5 K − f
10−8 − f
< n >= 2 ∫
e
e df =
∫ e df = −
800
800 0
0 800
2
5K
5K
0
= 25x10−12
Por lo que la relación señal a ruido queda:
< S > 468.75 x10 −6
=
= 18.75 x10 6
−12
<N>
25 x10
Problema 2:
Un proceso ergódico con distribución uniforme entre (-a,a), tiene la siguiente función de
autocorrelación
R x (τ) =
e
−τ
3
Determine el valor de a (Explique).
Si el proceso x(t) es ergódico también es estacionario y se cumple que la media
temporal es igual a la media estadística, es decir, <x(t)>=E[x]. Al evaluar la
autocorrelación en cero se tiene <x2(t)>= E[x2]= 1/3. Se conoce también la función
densidad de probabilidades debido a que es uniforme entre (-a,a), entonces
a
1
2
2 1
[ ]= ∫ x
Ex
−a
2a
dx =
3
2a 2 1
= ⇒ a =1
6a 3
Problema 3:
Un proceso ergódico x(t) tiene un valor medio igual a 4v. Si x(t) pasa por un sistema LIT
cuya respuesta impulsiva es h(t)=4Sinc(t), determine el valor medio de la señal de salida.
Si el proceso x(t) es ergódico entonces es estacionario y se cumple que
E[x(t)]=E[x]=Nivel D.C. de la señal eléctrica. De los datos tenemos que E[x]=4v ⇒ (E[x])2
=16 W
Gy(f)= ⏐H(f)⏐2 Gx(f), que es el valor de la densidad espectral de potencia a la
salida del sistema LIT . Sabemos que Gx(f) tendrá una delta en el origen de amplitud 16, la
cual representa la potencia D.C. de la señal a la entrada del sistema LIT, es decir, Gx(f)=
cualquier señal + 16 δ(f)
La respuesta impulsiva del sistema es h(t)=4Sinc(t) cuya transformada de Fourier es
H(f)= 4 ∏(f) ⇒ ⏐H(f)⏐2 = 16∏(f)
A la salida del sistema LIT tenemos que la función de densidad espectral de
potencia es Gy(f)= 16* cualquier señal +256 δ(f), y como queremos el valor medio de la
señal de salida tenemos que:
(E[y])2 = 256 ⇒ E[y]= ±16 =16 = Nivel D.C. de la señal a la salida
También hemos podido decir que
Nivel DC Salida= Nivel DC de entrada *H(0)=4*4=16
Problema 4:
Al pasar ruido blanco gausseano por un filtro pasabajo ideal de 1MHz de ancho de banda
se obtiene N1(t) con una potencia de 0.08 µw. Luego se filtra con un pasabanda como el
mostrado y se obtiene una potencia de 0.02 µw.
Determine la probabilidad de que N1(t) supere 1mv.
Ruido blanco
Gausseano
FILTRO
PASABAJO
IDEAL 1MHz
N1(t)
FILTRO
PASABANDA
IDEAL
0.5MHz a 1MHz
N2(t)
Solución:
Representación Gráfica del sistema
Observación importante: Como el ruido es blanco y gaussiano no sabemos si su nivel DC
es nulo (si dijeran que el ruido es térmico sería otro asunto) Sabemos que la DEP del ruido
tiene la siguiente forma:
Donde K1y K2 son constantes.
A la salida del primer filtro pasa el delta que representa la potencia DC y una parte de la
DEP constante e igual a K1 que representa la parte AC; la suma de estas 2 potencias es
igual 0.08µ W
K1.(2M) .(1) 2 + K2 = 0.08µW
A la salida del pasabanda solo tenemos la componente AC con una potencia igual a 0.02 µ
W.
(1)2.K1.(1M)= 0.02 µ W. => K1=2x10-14
La potencia DC=K2=0.08µ W-K1(2µ)=4x10-8
La DEP de N1(t) queda
Como N1(t) es gausseano para que no supere 1mv
1mv = m + Kσ ⇒ K =
1mv − m
σ
donde
m = 4x10 −8 = 2 x10 − 4
σ2=2x10-14 =2x10-14.2M=4x10-8
σ=2x10-4
⎛ 1m − 2x10 − 4 ⎞
⎟ = Q(4) = 3.17 x10 − 5
P( N1 > 1mv) = Q⎜
⎜ 2x10 − 4 ⎟
⎝
⎠
Problema 5:
En un sistema como el mostrado se envía una señal x(t) que se contamina
con dos fuentes de ruido blanco, independientes, de media cero
η
η
H1(f)
L=10 dB
(POT)
10
L=10 dB
(POT)
+
-1Hz
H2(f)
G
+
-2 Hz
1 Hz
2 Hz
Determine G para que la potencia de ruido a la salida no cambie al
intercambiar de lugar H1(f) y H2(f).
Solución:
Primero calculamos la potencia a la salida debido a las 2 fuentes de ruido sin intercambiar
los filtros. Sabemos que la DEP del ruido es constante e igual a η/2
η / 2. H1 .(2Bw1). H 2
η
Pot1 =
+ (H 2) 2 (2Bw 2) = η(10)G 2 + ηG 2 2 = 12ηG 2
Lcanal
2
2
2
Ahora calculamos la potencia a la salida debido a 2 fuentes de ruido intercambiando los
filtros
η / 2. H1 .(2Bw1). H 2
η
+ ( H1) 2 ( Bw1) = η(10)G 2 + η100
Pot 2 =
Lcanal
2
2
2
Como las potencias deben ser iguales
η.12.G2=10η G2+100η
2G2=100
G2=50
G = 50
G=5 2
Problema 6:
En la figura mostrada, la señal ni(t) es ruido blanco gausseano con un nivel
DC de 8v y densidad espectral igual a 10-3 w/Hz. Cuando esta señal pasa
por el sistema mostrado, el voltaje r.m.s a la salida es de 4v.
H(f)
n (t)
i
no(t)
8
B
8k
Determine
a) El ancho de banda B
b) P( 4v<no(t) <8v)
Solución:
a)Primero Calculamos el ancho de Banda
η
2
Hf .2 B = (Vrms) 2
2
2x10-3(8)2.B=16
B=
16
1000
=
= 125
64 x 2 x10− 3
8
b)
Como el ruido es gausseano y el filtro no deja pasar el nivel DC
σ=4
m=0
4=K1σ => K1=4/4=1
8=K2σ => K2=8/4=2
P(4<n<8) = Q(k1)-Q(k2)=Q(1)-Q(2)=0.1587-0.0228=0.1359
Problema 7
Un mensaje x(t) aleatorio, ergódico, con una función de autocorrelación
Rx(τ)=0.1Sinc2106τ, es modulado en amplitud usando el siguiente sistema:
1 v (Nivel DC)
x(t)
H(f) =0.8
y(t)
Fase=0
9
Cos( 2π10 t+θ )
θ unif. distr. (-π,π)
Independiente de x(t)
Determine la densidad espectral de potencia de y(t) en función de la densidad de potencia
de x(t) ( Dibújela)
Solución:
Para sacar la correlación de la señal de salida con respecto a la entrada, primero hallaremos
como es afectada por el coseno
Ry = E[ y1(t ) y1(t − τ ) cos(ωc(t − τ ) + θ )] =
1
Ry1(τ ) cos(ωcτ )
2
Esto implica que la DEP a la salida va poseer la siguiente relación:
Gy =
Gy1( f − fc) Gy1( f + fc)
+
4
4
Por lo que
(0.8) 2
0.1sin c 2 (106 τ) cos(ωc τ) + 0.5 cos(ωc τ)
Ry =
2
Por lo que la DEP a la salida va quedar como la DEPde X(t) filtrada mas la transformada
del nivel DC todas divididas entre 4 por lo antes demostrado:
La DEP de x(t)
Después del filtro:
Usando lo demostrado anteriormente nos queda:
Problema 8
Una señal x(t) con autocorrelación Rx(τ)= 5 Sinc(5τ) +2 se contamina con ruido blanco
independiente de ella con DEP Gn(f)=0.5. La suma de estas señales se procesa por un
sistema que tiene |H(f) |2= Sinc2f.
a) Determine el valor DC y la potencia AC de x(t)
b) Determine la potencia de ruido a la salida
Solución:
a)
La autocorrelación de la señal es igual a Rx(τ)= 5 Sinc(5τ) +2 y su transformada de Fourier
es igual
Donde la potencia DC es igual a 2 Æ El nivel DC es igual a ± 2
La potencia total es
R( x 0 ) = 5 + 2 = 7
Potencia total =PAC+PDCÆPAC= PTotal –PDC=7-2=5
b) La potencia de Ruido a la salida viene dada por la DEP del ruido Filtrada por |H(f)| por
lo que su potencia será la integral de:
Gout = 0.5sinc 2 (f )
< N 2 >= ∫ 0.5sinc 2 (f )df =
1
2
Problema 9
La señal de una emisora de radio se modela como una señal aleatoria x(t)=Cos(2πt+Q) con
Q uniformemente distribuido entre –π,π. Esta es interferida por otra señal aleatoria,
independiente de x(t), dada por z(t)=Cos(4πt+θ) con θ uniformemente distribuido entre –
π,π
Para eliminar la interferencia, la suma x(t)+z(t) se pasa por un sistema como el ilustrado:
a) Determine T de forma que a la salida no exista interferencia y si pueda pasar la señal de
radio.
b) Determine, bajo esas condiciones, la potencia promedio total a la salida.
Solución:
a) Primero se calculan las DEP de x(t) y de z(t)
X( t ) = cos(2πt + Q)
Z (t ) = cos(4πt + θ )
El sistema tiene una función de transferencia dada de la siguiente forma
H ( f ) = 1 − e − j ωT
Como Gy=Gx|H|2 , hay que tomar H(f) y lograr que se anule para f=2 Hz y no se anule para
1 Hz
H( f ) =1− e
− jωT
=e
−
JωT
2
(e
+
JωT
2
−e
−
JωT
2
)
Donde lo que está dentro del paréntesis puede expresarse como
2 j(sen(
Buscamos ahora que se anule para ω=4π
ωT
))
2
ω = 4π
4πT
2
T=
=π
2 1
=
4 2
Ahora verificamos que deje pasar la señal ubicada en ω=2π
Sen(
2π 1
π
) = sen( ) = 1
2 2
2
b)
Afectado por H(jω)
Gy = Gx | H |ω2 = 2π = G.4
1
Rxo = 4 cos(ωτ ) ⇒ Pxo = Rxo(0) = 2
2
Problema 10
La señal aleatoria x(t) = 10Cos(2πt + φ) con φ uniformemente distribuída entre -π y π
pasa por un sistema como el mostrado. Recordando que Rx(τ) = 50Cos2πτ
a) Determine la autocorrelación de la salida Ry(τ) en forma explícita.
b) Determine la potencia AC y DC de y(t)
Transformador de
Hilbert
x(t)
y(t)
+
Retardo
T segundos
Solución:
y(t) = x̂ (t) + x(t - T) y Ry(τ) = E[y( t ) y( t − τ)]
⇒ Ry(τ) = E[(x̂ ( t ) + x ( t − T ) )(x̂ ( t − τ) + x ( t − T − τ) )]
Aplicando propiedad distributiva.
Ry(τ) = E[(x̂ ( t ) x̂ ( t − τ) + x̂ ( t ) x ( t − T − τ) + x ( t − T ) x̂ ( t − τ) + x ( t − T ) x ( t − T − τ) )]
Por propiedad del Operador Valor Esperado.
Ry(τ) = E[x̂ ( t ) x̂ ( t − τ)] + E[x̂ ( t ) x ( t − T − τ)] + E[x ( t − T ) x̂ ( t − τ)] + E[x ( t − T ) x ( t − T − τ)]
⇒
Ry(τ) = Rx̂ (τ) + Rx̂x (τ + T ) + Rxx̂ (τ − T ) + Rx (τ)
Por
propiedad
de
Autocorrelacion
Rx (τ) = Rx̂ (τ) , Ya que una señal tiene la misma DEP que la de su transformada de
Hilbert.
⇒ Ry(τ) = 2Rx (τ) + Rx̂x (τ + T) + Rxx̂ (τ − T)
Aplicando la propiedad de Autocorrelación siguiente:
Rx̂x (τ + T ) = R̂x (τ + T) = 50Sen (2π(τ + T )) = 50Sen (2πτ)
Esta deducción se pudo simplificar, aplicando la propiedad de Autocorrelación siguiente:
Rx̂x (τ − T) = −R̂x (τ − T) = −50Sen (2π(τ − T)) = −50Sen (2πτ)
Estas propiedades vienen de:
Ryx(τ) = h (τ) * Rx (τ) , Si h (τ) = Hilbert
Rx̂x (τ) = h Hil (τ) * Rx (τ) = R̂x (τ)
Rxx̂ (τ) = −R̂x (τ)
⇒ Ry(τ) = 2Rx ( τ)
⇒ Ry(τ) = 100Cos 2πτ
Gy(f) = F{100 Cos2πτ}
Como no hay Delta en el Origen ⇒ Potencia DC = 0.
⇒ Ry(0) = Potencia Promedio Total = 100 ⇒ Ry(0) = Potencia AC.
Debido que la Pot. DC = 0
⇒ Potencia AC = 100
Problema 11 Una señal aleatoria s(t) con autocorrelación
R s (τ ) = 10 4 Sinc 2 10 4 τ
se contamina con un ruido n(t), independiente de la señal, de media nula, gausseano,
blanco, de densidad espectral constante e igual a 0.5x10-10 w/Hz.
La señal mas el ruido alimentan un filtro tal y como se muestra en la figura.
a) Determine f1 y B mínimo de tal forma que no exista distorsión en la señal de salida.
b) Determine B Si se sabe que la probabilidad de que el ruido a la salida sea mayor a 6 mv
es igual a (P(n0(t) >6mv)=1.35x10-3)
c) Fije ahora f1=0 y B=100KHz; determine la relación señal a ruido a la salida en dB
H (f)
2
2
f1
Solución:
a) Determine f1 y B mínimo de tal forma que no exista distorsión.
Para que no exista distorsión del mensaje a la salida
y(t) = kx(t-td)
Tenemos que Gs(f) = Λ(f/104)
⇒ f1 = 0 y B = 10k, esto permite que pase Gs(f) sin distorsión.
b) Determine B Si se sabe que la probabilidad de que el ruido a la salida sea mayor a 6 mv
es igual a (P(n0(t) >6mv)=1.35x10-3)
⇒ Q(x) = 1,35x10-3 ⇒ Por tabla que x = 3
x=
α−m
σ = Pn , m = 0 → Potencia = 0,5x10 −10 x 2x 2B = 2x10 −10 B
σ
6 x10 −3 = 3σ ⇒ σ = 2 x10 −3 = 2 x10 −10 B ⇒ 4 x10 −6 = 2 x10 −10 B
B = 2 x10 4 = 20kHz
c) Fije ahora f1=0 y B=100KHz; determine la relación señal a ruido a la salida en dB
⎛
⎞
10 4 x 2x 2
⎜
⎟
⎛S⎞
⎛ PotenciaSeñal ⎞
2
⎜ ⎟ = 10Log⎜
⎟ = 10Log⎜ 5
−10
⎟ = 90dB
⎝ N ⎠s
⎝ PotenciaRuido ⎠
⎜ 10 x 0.5x10 x 2x 2 ⎟
⎝
⎠
Problema 12.Observe el siguiente sistema
x(t)
Retardo
1 seg.
Retardo
1 seg.
2
3
y(t)
a) Determine la autocorrelación de y(t) en función de la autocorrelación de
x(t)
b) Determine la densidad espectral de potencia a la salida, si la
autocorrelación de x(t) es:
R x (τ) = 10 4 Sinc10 4 τ
Respuesta:
(
R x (τ) = 10 4 Sinc10 4 τ ⇒ G x (f ) = F{R x (τ)} = ∏ f 10 4
)
y(t ) = 2 x (t ) + 3x (t − 2)
⇒ Ry(τ) = E[(y( t ) y( t − τ) )] = E[(2 x ( t ) + 3x ( t − 2) )(2 x ( t − τ) + 3x ( t − 2 − τ) )]
Aplicando Propiedad Distributiva:
Ry(τ) = E[(4x ( t ) x ( t − τ) + 6x ( t ) x ( t − 2 − τ) + 6x ( t − 2) x ( t − τ) + 9 x ( t − 2) x ( t − 2 − τ) )]
Por propiedad del operador valor esperado:
Ry(τ) = 4E[x ( t ) x ( t − τ)] + 6E[x ( t ) x ( t − 2 − τ)] + 6E[x ( t − 2) x ( t − τ)] + 9E[x ( t − 2) x ( t − 2 − τ)]
⇒ Ry(τ) = 4Rx (τ) + 6Rx (τ + 2) + 6Rx (τ − 2) + 9Rx (τ)
⇒ Ry(τ) = 13Rx (τ) + 6Rx (τ + 2) + 6Rx (τ − 2) y por consiguiente:
Gy(f ) = 13Gx (f ) + 6Gx (f )e jω2 + 6Gx (f )e − jω2 = 13Gx (f ) + 12Gx (f ) cos 2ω
( 10 )+ 12∏ (f 10 )cos 2ω
Gy(f ) = 13∏ f
4
4
Problema 13.-Un proceso ergódico gausseano x(t) tiene la siguiente función de
autocorrelación:
R x ( τ) = 0. 25 + 0 .007Sinc 20000τ + 0. 014Sinc 40000τ
Dicho proceso pasa por el sistema ilustrado a fin de producir dos nuevas salidas: z(t) y y(t).
Si se sabe que Q (independiente de x(t)) está uniformemente distribuido entre −π, π , que la
ganancia del filtro pasabajo es unitaria yque su ancho de banda es W (menor que 20 KHz):
a) Grafique la densidad espectral de potencia de y(t) en función de W.
b) Determine la varianza de y(t) en función de W
c) Determine que valor de W entre 10KHz y 20 KHz hace que la probabilidad de que y(t)
este entre 0 y 1 voltio sea igual a 0.999784.
d) Grafique la densidad espectral de potencia de z(t).
e) Determine la potencia promedio total de z(t).
Transformador de
Hilbert
z(t)
x
x(t)
Sen(80000 π t+Q)
Filtro Pasabajo ideal
W<20000
y(t)
Respuesta:
a) Grafique la densidad espectral de potencia de y(t) en función de W
G x (f ) = F{R x (τ)} = 0.25δ(f ) +
7 x10 −3
20 x10 3
∏ (f
)
20x10 3 +
14 x10 −3
40 x10 3
∏ (f
40 x10 3
)
(
)
(
G x (f ) = 0.25δ(f ) + 0.35x10 −6 ∏ f 20 x10 3 +0.35x10 −6 ∏ f 40 x10 3
)
Para W<10k
Para 10k<W<20K
b) Determine la varianza de y(t) en función de W
Para W<10k
σ 2 = 1.4Wx10 −6
Para 10k<W<20K
σ 2 = 7 x10 −3 + 0.7 Wx10−6
σ2 = Potencia Promedio AC de x(t) = E[x(t)2] – E[x(t)]2 ⇒ El área bajo la curva, omitiendo
el Delta en el origen.
c) Determine que valor de W entre 10KHz y 20 KHz hace que la probabilidad de que y(t)
este entre 0 y 1 voltio sea igual a 0.999784.
P(0<y(t)<1) = 0,999784 ⇒ P(0<y(t)<1) = 1-Q(0)-Q(1)
m = 0,25 = 0,5 Esto se debe a que 0,25 es el valor de la Potencia DC.
P(0<y(t)<1) = 1-2Q(x) = 0,999784
⇒ 1-2Q(x) = 0,999784 ⇒ Q(x ) =
1 − 0,99974
= 1,08x10 − 4
2
Por tabla de Gausseana, tenemos:
x = 3,70 → x =
α−m
, donde σ = 7 x10 −3 + 0,7 Wx10 −6
σ
⎛
1 − 0,5
x=⎜
−
3
⎜ 7 x10 + 0,7 Wx10 −6
⎝
⎞
⎟ = 3,70 ⇒ 0,1351 = 7 x10 −3 + 0,7 Wx10 −6
⎟
⎠
⇒ W = 16,09kHz
d) Grafique la densidad espectral de potencia de z(t).
ω = 2πf ⇒ f =
Gz(f ) =
480x10 3 π
⇒ f = 40 x10 3
2π
Gx (f − 40000) Gx (f + 40000)
+
4
4
e) Determine la potencia promedio total de z(t).
Potencia Promedio Total = 2(62,5x10-3 + 40x103x87,5x10-9 + 20x103x87,5x10-9
Potencia Promedio Total = 135,50x10-3 W
Problema 14
H (f)
1
A
-2 KHz
2
2
2KHz
100
-f
c
H (f)
2
Salida
f
c
El sistema mostrado es alimentado por ruido blanco de media cero y densidad
espectral de potencia igual a 10-10 w/Hz; fc es variable y positiva . Si al variar fc la
máxima potencia que se puede obtener a la salida es de 1µw:
a.- Determine "A" (|H1(f)|2máx)
b.- Determine fc para que la potencia de salida sea el 25% de la máxima.
Respuesta:
a.- Determine "A" (|H1(f)|2máx)
Potencia Promedio Total = 1µW (A la salida), que es lo mismo que decir el área más
grande que se puede calcular con ambos filtros multiplicado por la señal. Con fc = 0
se tiene la máxima potencia a la salida.
2
2
H 1 (f )
H 2 (f )
⇒ Ax10 −10 4x10 3 x100 = 10 −6 ⇒ A = 25x10 −3
b.- Determine fc para que la potencia de salida sea el 25% de la máxima.
Si multiplicamos los filtros H 1 (f ) y H 2 (f ) , obtendremos un filtro resultante con
las siguientes características:
2
2
B = 25x10 −3 x100 ⇒ B = 2,5 , La cual seria la amplitud de un posible filtro resultante.
⇒ 10 −10 x 2,5x 2(2k − fc ) = 0,25x10 −6 ⇒ 2k − fc = 500Hz ⇒ fc = 1500Hz
Problema 15
Una señal aleatoria x(t), ergódica y gausseana, tiene una función de autocorrelación
dada por Rx(τ)=1+ e-|τ| . Esta señal pasa por un canal que solo le produce un
retardo de 8 segundos. Determine la probabilidad de que la señal retardada sea mayor
a 1.5 voltios.
Respuesta:
Rx (τ) = E[x ( t ) x ( t − τ)] Por concepto de Autocorrelación
y (t ) = x (t − 8 )
Ry(τ) = E[x ( t − 8) x ( t − 8 − τ)]
⇒ Ry(τ) = Rx (τ)
⇒ Gy(f ) = δ(f ) +
2
, Esto indica que se tiene una Delta en el origen de
1 + ω2
(
)
amplitud igual a la unidad.
[ ]
⇒ m = 1 y R x (0 ) = 2 ⇒ σ 2 = E x 2 − E[x ] = R x (0) − m 2 ⇒ σ 2 = 2 − 1 = 1
2
σ = 1 y α = 1,5
x=
α−m
1,5 − 1
⇒x=
⇒ x = 0,5
σ
1
P(y(t ) > 1,5) = Q(x ) ⇒ Q(0,5) = 0,3085 . (Por tabla de Gaussianas)
Problema 16
Observe el siguiente sistema:
x(t)
+
Retardador
de 1 seg
y(t)
+
G (f)
n
El mensaje es la señal x(t) y tiene una densidad espectral Gx(f) dada por:
Gx (f)
1
-2.5
-1.5
1.5
f(Hz)
2.5
Por su parte, el ruido tiene una densidad espectral de potencia plana, unitaria entre -4
Hz y 4 Hz , y nula en el resto del espectro de frecuencias.
1) Determine la expresión de la autocorrelación de y(t) en función de las
autocorrelaciones de x(t) y de n(t).
2) Determine la densidad espectral de señal a la salida.
3) Determine la potencia de señal a la salida.
Del diagrama de señales obtenemos:
y (t ) = x(t ) + x(t − 1) + n(t )
(1.1)
Además se sabe que
G x ( f ) = Π ( f − 2) + Π ( f + 2)
(1.2)
R x (τ ) = 2 cos(2π 2τ ) ⋅ sinc(τ )
⎛f ⎞
Gn ( f ) = Π⎜ ⎟
⎝8⎠
Rn (τ ) = 8sinc(8τ )
(1.3)
Nótese que ninguna de las señales tiene potencia DC (deltas en el origen del espectro
de potencia), es decir:
x2 = 0 ⇒ x = 0
n2 = 0 ⇒ n = 0
(1.4)
Entonces se calcula la autocorrelación de la señal de salida
R y (τ ) = E [ y (t ) y (t − τ )] = E [{x(t ) + x(t − 1) + n(t )}{x(t − τ ) + x(t − 1 − τ ) + n(t − τ )}]
La autocorrelación de la señal de salida en función de las autocorrelaciones de las
otras dos señales es:
R y (τ ) = 2 R x (τ ) + R x (τ + 1) + R x (τ − 1) + Rn (τ )
(1.5)
Calculando la transformada de Fourier de la autocorrelación se determina la densidad
espectral de potencia:
G y ( f ) = 2G x ( f ) + G x ( f )e j 2πf + G x ( f )e − j 2πf + G n ( f )
G y ( f ) = 2G x ( f )[1 + cos(2πf )] + Gn ( f )
(1.6)
⎛f ⎞
G y ( f ) = 2{Π ( f − 2) + Π ( f + 2)}{1 + cos(2πf )} + Π⎜ ⎟
⎝8⎠
La potencia promedio de la señal de salida se calcula integrando la densidad espectral
de potencia
∞
5
−∞
3
2
y = ∫ G y ( f )df = 4 ∫ (1 + cos 2πf )df + 8 = 12
2
2
Entonces la potencia promedio de la señal de salida es 12 Watts.