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ANÁLISIS
MATEMÁTICO I
Más ejercicios
para las prácticas
4-5y6
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Más ejercicios para las prácticas 4 - 5 y 6
1. Hallar: dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos
y mínimos locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexión de:
a) f ( x ) 
x 2  6x
x2
b) f ( x ) 
x 2  35
x 1
c) f ( x ) 
x
.
x 4
2
Graficar.
2. Hallar: dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos
locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexión de:
f ( x )  (3  x ).e2 x
ax  b
3. f ( x )   2
x  1
x 1
x <1
Hallar valores de a y b para que f tenga máximo local en el punto (1,2).
Graficar.
4. La suma de un número más el cuadrado de otro es 300.
Si el producto de esos números es máximo, ¿cuáles son esos números?
5. El producto de dos números positivos es 18.
La suma del cuadrado de uno más el triple del otro es mínima.
¿Cuáles son esos números?
6.
f ( x )  x 3  ax 2  bx
Determinar a y b sabiendo que el gráfico de f pasa por el punto (1;0) y f tiene un
extremo local en x =1. ¿En x =1 hay máximo o mínimo local?
7. Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es Verdadera o Falsa.
Si es verdadera, demostrarla; si es falsa, dar un contraejemplo.
i) Si f es una función derivable en R y f´(a) > 0 entonces f es creciente en x = a.
ii) f una función derivable en R,
si f´(0) = 0 entonces f tiene máximo o mínimo local en x = 0.
iii) Si f es una función dos veces derivable en R y f´´(0) = 0 entonces f tiene punto
de inflexión en x = 0.
iv) f una función derivable en R,
si f tiene mínimo local en x = 0 entonces f´(0) = 0.
8. Dar un ejemplo de una función que no es derivable en x = 2 pero que tiene un
máximo local en x = 2.
2

9. Hallar todos los extremos locales de f ( x )  x 2  4

2
3
2
10. f ( x )  2 x  3 x 3
i) Hallar todos los extremos locales de f
ii) Probar que f es cóncava hacia arriba x  0
2
11. f ( x )  x 2 ( x  4)3
a) Hallar todos los puntos críticos de f
b) Hallar máximos y mínimos locales de f
5
4
12. Dada f ( x )  2x 3  5 x 3 , hallar:
a) intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos locales de f
b) intervalos de concavidad y puntos de inflexión
x3
, hallar:
x 1
a) dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y
mínimos locales
b) intervalos de concavidad y puntos de inflexión
13. Dada f ( x ) 
14. Dada f ( x )  25  x 2 , hallar: dominio, máximos y mínimos absolutos
15. a) Dar la definición y la interpretación geométrica del diferencial de una función.
b) Hallar un valor aproximado de 3 9 utilizando el diferencial de f ( x )  3 x para
x y x convenientes.
16. Calcular :
a) lim x.tg
x 
1
x
b) lim
x.sen(3 x )
sen(9 x )  9 x  x 2
d) lim
sen(4 x 2 )
e5 x  5 x  1
x 0
2
c) lim  ln x  x
x 0
x 
1
e) lim  cos(3 x )  x 2
x 0 
1
g) lim  x 1ln x
x 0 
i) lim(1  tgx )
x 0
2
3x
3 
 3
f) lim 

x 1 ln x
x  1

1
 1
h) lim 
 
x 0  senx
x



j) lim cos x.ln  x  

2
x

2
3
1
17. Determinar k R para que lim 1  k ln x  sen ( x 1)  e 3
x 1
lim
18. Hallar todos los k para los cuales
x 0
8x 2  3x3
4
1  cos( kx )
19. Decidir si es aplicable el teorema de Rolle a f ( x )  ( x  3)  x  1
1;3 .
2
en el intervalo
En caso afirmativo, calcular los valores de c que verifican la tesis.
2
20. Determinar si es posible aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = x 3 en el
intervalo
i)  1;1
ii)  a; a
a0
21. Decidir si es aplicable el teorema de Lagrange a f ( x ) 
1 
i)  ;2 .
2 
x 1
en el intervalo
x
 1 
Ii)   ,1
 2 
En caso afirmativo, calcular los valores de c que verifican la tesis.
22. Dado P( x )  x 4  3x 3  2x 2  x  2 , utilizar el teorema de Lagrange para
probar que existe al menos un x  1;3 tal que P’(x) = 6.
23. Dada f ( x )  25  x 2 , analizar si f verifica el teorema de Rolle en su dominio
24. Dar un ejemplo de una función f que sea continua en el intervalo 5,5 , que
verifique f(-5) = f(5) pero que no cumpla la tesis del teorema de Rolle.
25. La función f es continua y derivable en R; f(1) = f(5) =0 ; g( x )  e2 x f ( x )
a) Verificar que g(x) cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 1;5 .
b) Probar que existe c 1;5  tal que f’(c) = 2 f(c).
1

26. Dada f ( x )  x 3  2x , determinar si existe c   1 ;  que verifique:
2

1
3
f ( )  f ( 1)  f '(c ) . En caso afirmativo, hallar el valor de c.
2
2
4
27. Decidir si se puede aplicar el teorema de Lagrange a f ( x ) 
x 1
en el
x
1

intervalo  ; 2 , en caso afirmativo hallar los valores de c que verifican la tesis.
2

0
28. Determinar si f ( x )  
x.lnx
si x = 0
si x > 0
cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0,e]
En caso afirmativo, hallar el valor de c que verifique la tesis.
29. Hallar el polinomio de McLaurin de grado 3 para f ( x )  1 2x . Utilizarlo para
calcular un valor aproximado de 1,4 .
30. Con un polinomio de MacLaurin de grado 4 aproximar e 0,5 ; acotar el error
cometido con dicha aproximación.
31. Con un polinomio de Taylor de grado 4 para f ( x )  ln x , aproximar ln(1,2) y
acotar el error cometido.
32. P( x )  1 2x  3x 2 es el polinomio de MacLaurin de grado 2 de la función f(x).
a) Hallar: f(0) , f’(0) y f’’(0).
b) Si g ( x )  x.f ( x ) , hallar el polinomio de MacLaurin de grado 2 de la función g(x).
33. Si el polinomio de MacLaurin de grado 2 de f(x) es P( x )  1 x  4x 2 ,
2
hallar el polinomio de MacLaurin de grado 2 de g ( x ) 
.
1 f ( x )
 x1
e
34. f ( x )   1
 x x-1

si x  1, x  0
si x >1
a).Calcular: lim f ( x ) y lim f ( x )
x 
x 
b) Hallar las asíntotas horizontales de f
5