Clase 1

Formulación general del problema de contorno
L2m [u] = f
(1)
(formulación diferencial en estado estacionario)
L2m operador diferencial lineal
u
variable de estado a ser calculada
f fuerza
D dominio
2m derivada de mayor orden
La solución deberá satisfacer
- condiciones de contorno
Mi [u] = gi
i = 1; 2; ::::
(2)
(para f = 0 se tiene la ecuación diferencial homogénea)
Puede reescribirse el problema diferencial como
A2m [u]
L2m [u]
B[u] = M [u]
f =0
g=0
en
en D
(3)
D
(4)
Vamos a estar interesados, en particular, en operadores simétricos, de…nidos
positivos, que satisfagan la condición de simetría
Z
uL2m [v]dD =
D
Z
D
(El operador es autoadjunto)
1
vL2m [u]dD
(5)
De…nición de de…nido positivo
Z
L2m [u]dD
0
(6)
D
R
( D L2m [u]dD = 0 sii
u = 0)
Generalmente cuando los operadores son autoadjuntos y de…nidos positivos los
problemas están bien condicionados (las matrices luego, también)
Ejemplo1 De la teoría de ‡exión de vigas (Bernoulli) donde la altura <<longitud
y se desprecia la deformación por corte, se tiene la ecuación
@2
@2w
(EI 2 ) = q
2
@x
@x
(7)
E es el módulo de Young del material
I momento de inercia de la sección
w desplazamiento perpendicular al eje de la viga
q carga perpendicular al eje de la viga
además
M0 =
M0 momento ‡ector
mento y no por el corte)
L2m [w] =
@2w
@x2
EI(x)
@2w
@x2
(8)
(la deformación está producida únicamente por el mo-
(m = 1)
f=
M0
EI
L es de orden 2, ya que aparece la derivada segunda, y las condiciones de
contorno son
B0 = wx=0 = w0 = 0
y
(= g0 )
B1 = wx=L = wL = 0
(= g1 )
D = [0; L]
2
Formulación variacional
Cuando los operadores involucrados poseen cierta simetría una formulación variacional (o débil) del problema diferencial puede obtenerse al minimizar (o maximizar)
ciertos funcionales.
Sea el funcional,
F( ) =
1
2
Z
L
(
0
@ 2
)
@x
2f
dx
(9)
(0) = (L) = 0
F funcional (depende de ;
(10)
@
@p
@x ; ::; ::::; @xp )
Minimizar F es buscar w tal que F tome el menor valor
F (w)
para toda
F( )
(11)
Se toma una función arbitraria v = w +" , " > 0 (v cerca de w, con " pequeño,
" es una perturbación, también llamada ’variación de w’y se escribe w
La energía en v es
F (v) = F (w + " ) = F (w) + " F (w; ) + "2 2 F ( )
(12)
donde
F (w; ) = lim
"!0
1
[F (w + " )
"
F (w)] =
@
F (w + " ) en
@e
"=0
(13)
Si w minimiza F
F (w)
F (w + " ) + " F (w; ) + "2 2 F ( )
como el último término es positivo, w minimiza F sii
Z
0
L
(
@w @
@x @x
f )dx = 0
3
(14)
F = 0 sii
(15)
integrando por partes
Z
L
(
0
@2w
@x2
f )dx = 0
(16)
F un funcional con derivadas hasta orden m
minimizar F equivale a resolver EDP (ecuaciones en derivadas parciales) +
condiciones de contorno
c.c.
esenciales (orden m 1) dan el valor especí…co de la solución
(w(0) = w(L) = 0; T (0) = T (L) = T0 )
c.c
naturales (derivadas órdenes m a
de la solución por ej. ‡ujo de calor k @T
@x = q
2m
1) involucran derivadas
F se parece al diferencial total, actúa como el operador diferencial con respecto
a las variables
w;
@pw
@w
@x ; :::::::::::::; @xp
y las reglas son similares que las reglas de la diferenciación
(F + G) = F + G
(F:G) = F:G + F: G
(F )n = n(F )n
1
F
@n( F )
@nF
= ( n)
n
@x
@x
Z
F (x)dx =
Z
F (x)dx
Obs 1 F = 0 garantiza un mínimo cuando el funcional es cuadrático
4
(17)
Obs 2 En casos como en las ecuaciones de convección-difusión y Navier-Stokes,
no hay un principio variacional
Método de los residuos ponderados o pesados
A2m [u] = 0
Bi [u] = 0
(18)
i = 1; 2; ::::
(19)
Como el sistema de ecuaciones diferenciales tiene que ser 0 en todos los puntos
del dominio D se deduce que
Z
v T A2m [u] dD
0
(20)
D
8
9
< v1 =
v2
donde v =
es un conjunto de funciones arbitrarias de número igual al
:
;
::::
de ecuaciones (o componentes u del problema)
Puede a…rmarse que si se cumple esta última expresion para cualquier v las
ecuaciones diferenciales (18) deberán satisfacerse en todos los puntos del dominio
( si no fuera así, si A2m [u] 6= 0 en algún punto o porción del dominio, podría
encontrarse una función v que haga la integral (20) distinta de cero).
Si han de satisfacerse simultáneamente las condiciones de contorno (19) ello
puede asegurarse imponiendo
Z
v T B [u] d D
0
(21)
D
para cualquier conjunto de funciones v. Entonces que la expresión integral
Z
D
v T A2m [u] dD +
Z
v T B [u] d D
0
(22)
D
se satisfaga para todos los v y v equivle a que se satisfagan las ecuaciones
diferenciales (18) y sus condiciones de contorno (19) (se está suponiendo que se
5
eligen v adecuadas y que es posible calcular las integrales).
Para el problema
k
@2T
+Q=0
@x2
(23)
T (0) = T (1) = 0
(24)
0
x
1
x
La solución exacta es T = Q 2k
(1 x)
Supongamos una solución aproximada Te, entonces se de…ne el residuo
h i
R(Te) = A2m Te
En el ejemplo,
R(Te) = k
(25)
@2T
+Q
@x2
(26)
En general R(Te) 6= 0, y se propone que sea lo más chico posible
Si se considera una solución aproximada de (18) y (19) de la forma
e=
n
X
ai hi = Ha
(27)
i=1
donde hi son funciones de prueba L.I.y los ai son parámetros a determinar.
Para la solución exacta el residuo es 0. Una buena aproximación de la solución
exacta implica R pequeño
Volviendo a (22), si tomamos en lugar de cualquier función v un conjunto …nito
de funciones preestablecidas
v = wj
v = wj
j = 1; n
(28)
donde n es el número de parámetros ai , entonces (22) proporciona un sistema
de ecuaciones
6
Z
wjT
A2m [Ha] dD +
D
Z
wj T B [Ha] d D
0
(29)
D
A2m [Ha] y B [Ha] representan el residuo o error que se obtiene al sustituir
la solución aproximada en la ecuación diferencial y en las condiciones de contorno
respectivamente.
La expresión integral anterior es la integral ponderada de tales residuos .
Este procedimiento recibe el nombre de Método de residuos ponderados y es
muy anterior al método de los elementos …nitos. Este último usa principalmente
funciones de…nidas localmente ( en el elemento).
A los efectos de ponderación puede utilizarse casi cualquier conjunto de funciones
independientes wj y se da un nombre diferente a cada proceso, de acuerdo a la
función elegida
a) Colocación por puntos
wj = (x
xj )
Z
xj )R( e )dx = Rcxj
(x
D
(30)
Se pide que el residuo se anule en distintos puntos y se obtiene un sistema de
ecuaciones para los ai
b) Galerkin
Los parámetros ai se determinan tomando como wj las mismas funciones con
que se aproxima e
Z
hi RdD = 0
i = 1; n
(31)
D
c) Cuadrados mínimos
Se considera
wj = R y luego se minimiza
decir
R
D
R2 dD, con respecto a los parámetros ai , es
7
@
@ai
Z
R2 dD = 0
i = 1; 2; ::n
(32)
D
d) Subdominios
El dominio se divide en n subdominios y se pide que la integral del residuo en
cada uno sea cero y así se generan n ecuaciones en los ai
En todos estos métodos se resuelve un sistema de ecuaciones en los ai , lineal
pues L2m es lineal
Obs 1 En b) (Galerkin) la matriz de coe…cientes es simétrica y def. positiva si
el operador L2m es sim. y def. positivo
Obs 2 En c) siempre se obtiene una matriz simétrica (independientemente de
las propiedades de L2m )
Obs 3 En a) y d) las matrices no necesariamente resultan simétricas
Obs 4 El método de diferencias …nitas es un caso particular de colocación con
funciones base de…nidas localmente
Los más utilizados, (por sus propiedades) son los métodos b y c.
Obs 5 En estos métodos se utilizan los operadores diferenciales (18) y (19) para
minimizar el error.
En el análisis de Ritz, en cambio, se utiliza el funcional F del problema variacional correspondiente.
Se sustituye en F la expresión de e y luego pidiendo F = 0, se debe cumplir
@F
=0
@ai
i = 1; 2; :::n
(33)
En este análisis las funciones elegidas deberán satisfacer únicamente las condiciones de contorno esenciales, ya que las naturales están contenidas en el funcional
F.
8