módulo 2. leyes financieras de capitalización y descuento simple

Análisis de las Operaciones Financieras I
M2. Leyes financieras de capitalización
y descuento simple
MÓDULO 2. LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y
DESCUENTO SIMPLE
Índice de contenidos:
1. Ley Financiera de capitalización y descuento simple a interés vencido.
1.1. Equivalencia de capitales.
1.2. Tipos de interés equivalentes.
2. Ley financiera de capitalización y descuento simple a interés anticipado o
comercial.
2.1. Equivalencia de capitales.
2.2. Tipos de interés equivalentes.
3. Cálculo de tantos efectivos.
Glosario
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y descuento simple
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1. Ley financiera de capitalización y descuento simple a interés
vencido
Si recordamos, las características principales de las leyes financieras simples a
interés vencido, son básicamente dos:
Al tratarse de leyes simples los intereses no son productivos, es decir, los
intereses no generan nuevos intereses.
Al tratarse de leyes a interés vencido los intereses se pagan al final de cada
período.
Como ya señalamos en el tema anterior, las leyes financieras son fórmulas
matemáticas que nos permiten trasladar capitales financieros a diferentes
momentos del tiempo. En el caso de las leyes financieras simples a interés vencido,
la fórmula que nos permite trasladar capitales financieros a diferentes momentos
del tiempo es la siguiente:
C n = C 0 .( 1 + i .n )
Dónde:
Cn: Capital final resultante en el momento “n”.
C0: Capital inicial situado en el momento “0”.
i: Tipo de interés.
n: Número de períodos.
(1+i.n): Factor de capitalización simple a interés vencido.
A la hora de introducir valores para el tipo de interés (i) y el tiempo (n) en la
fórmula general de la ley financiera simple a interés vencido, hay que tener en
cuenta que ambos valores deben ir expresados en la misma unidad de tiempo. Por
ejemplo:
Si trabajamos con un tipo de interés anual, entonces “n” deberá ir expresado en
años.
Si trabajamos con un “n” mensual, entonces “i” deberá ser un tipo de interés
mensual.
Así pues vemos como, a la hora de expresar (i) e (n) en la misma unidad de tiempo,
tenemos flexibilidad para cambiar tanto (i) como (n), en función de lo que resulte
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más cómodo y sencillo. Esta regla se repetirá en todas las fórmulas que se vayan
viendo en los módulos siguientes.
Ejemplo
Supongamos que queremos trasladar un capital financiero de 100 u.m. 2 años hacia
adelante. Supongamos que nos proporcionan diferentes tipos de interés:
El 10% anual: entonces (n = 2 años).
C 2 = ( 100 ).( 1 + 0 ,1.2 ) = 120 u.m.
El 10% mensual: entonces (n = 24 meses).
C 2 = ( 100 ).( 1 + 0 ,1.24 ) = 340 u.m.
El 10% semestral: entonces (n = 4 semestres).
C 2 = ( 100 ).( 1 + 0 ,1.4 ) = 140 u.m.
La fórmula general de la ley financiera simple nos permite trasladar capitales
financieros tanto a momentos futuros (capitalización) como a momentos anteriores
(descuento). Por esta razón (y siguiendo el esquema visto en el Módulo 1),
distinguiremos entre la ley financiera de capitalización simple, y la ley financiera
de descuento simple.
1. Ley Financiera de capitalización simple.
Esta ley nos permitirá conocer el valor de un capital situado hoy (= C0), dentro de
(n) períodos. A dicho valor lo definiremos como (Cn).
C n = C 0 .( 1 + i .n )
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Gráficamente:
C0
Cn
0
n
2. Ley Financiera de descuento simple.
Esta ley nos permitirá conocer el valor hoy de un capital situado dentro de (n)
períodos (= Cn). A dicho valor lo definiremos como (C0).
C 0 = C n .( 1 + i .n ) −1
Gráficamente:
C0
Cn
0
n
Si queremos conocer la cuantía de los intereses generados por un determinado
capital inicial (= C0) durante un determinado período de tiempo (n), será
simplemente la diferencia entre su valor final (= Cn) y su valor inicial (= C0):
I = C n − C 0 = ( C 0 ).( i ).( n )
Ejemplos
1. Calcular el capital final (= C2) obtenido al colocar 1 millón de u.m. al 5% anual
durante 2 años.
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Solución
C2= C0. (1+2.i) = 1.000.000. (1+2 . 0,05) = 1.100.000 u.m.
2. Calcular el tipo de interés al que debemos colocar 2 millones de u.m. durante 5
años para que el capital final en esa fecha sea de 2.500.000 u.m..
Solución
C5= C0. (1+5.i)
2.500.000 = 2.000.000 . (1+5.i)
i = 0,05 = 5% (anual)
3. Calcular los intereses generados por un capital de 1 millón de u.m. colocados
durante un año al 10% de interés simple anual.
Solución
I = Cn – C0 = (C0). (i) . (n) = (1.000.000).(0,1).(1) = 100.000 u.m.
4. Hallar el valor actual (en el momento “0”) de un capital de 1.000.000 de u.m.
que se encuentra situado dentro de 2 años, a un interés del 6% simple anual.
Solución
-1
C0 = 1.000.000. (1+0,06.2) = 892.857,14 u.m.
1.1. Equivalencia de capitales
Como ya hemos visto previamente, el valor del dinero en el tiempo depende del
momento del tiempo en el que se encuentre. Este hecho hace que no podamos
comparar, ni operar (p.ej.; sumar, restar) directamente capitales que se encuentran
situados en diferentes momentos del tiempo. Sólo podemos comparar y/o operar
dos capitales financieros que se hallan situados en un mismo momento del tiempo.
En consecuencia si queremos comparar y/o operar dos capitales financieros que se
hallan en diferentes momentos del tiempo es preciso trasladar ambos a un mismo
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momento del tiempo. Las herramientas que nos permitirás trasladar los capitales a
un mismo momento del tiempo serán las leyes financieras.
Así pues, en este contexto, diremos que dos capitales financieros serán
equivalentes desde el punto de vista financiero, si valorados en un mismo momento
del tiempo, y a través de una misma ley financiera, y con un mismo sistema de
cómputo del tiempo, su valor en ese momento del tiempo coincide.
En este punto debemos realizar una serie de puntualizaciones
En las leyes financieras simples, si dos capitales financieros que son
equivalentes en un determinado momento del tiempo, pueden no serlo en otro
momento. Como veremos en el en las leyes financieras compuestas (Módulo 4)
esto no sucede. En las leyes financieras compuestas podemos asegurar que si
dos capitales financieros son equivalentes en un determinado momento del
tiempo, también lo serán en cualquier otro momento del tiempo.
Las relaciones de mayor/menor se mantienen en cualquier momento del
tiempo, tanto en leyes simples cómo en leyes compuestas.
Ejemplo
El señor X decide comprar un televisor cuyo precio al contado es de 100.000 u.m.
Al no poderlo pagar al contado el vendedor le propone la siguiente forma de pago
aplazado:
15.000 u.m. hoy.
30.000 u.m. dentro de un año.
25.000 u.m. dentro de dos años.
"C" u.m. dentro de tres años.
Gráficamente:
PAGO A
PLAZOS
15.000
0
30.000
1
PAGO AL
CONTADO
25.000
C
2
3
100.000
0
1
2
3
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Se pide averiguar cuál debe ser la cuantía del último pago aplazado (= C) para que
la opción de pago a plazos sea equivalente a la opción de pago al contado.
Plantear la equivalencia financiera en el momento 3, y considerar que el tipo de
interés es del 10% anual vencido.
Solución
Recordar que para hallar la definición de equivalencia financiera nos dice que dos
capitales financieros o conjuntos de capitales financieros serán financieramente
equivalentes, si valorados en el mismo momento del tiempo, su valor coincide.
Cómo nos dicen que planteemos la equivalencia financiera en el momento 3, lo que
haremos será valorar ambas opciones en el momento 3.
PAGO A
PLAZOS
15.000
0
30.000
1
PAGO AL
CONTADO
25.000
C
2
3
100.000
0
1
2
3
La opción pago aplazado esta formada por un conjunto de capitales financieros.
Dado que éstos se encuentran en diferentes momentos del tiempo, no podemos
sumarlos directamente. Así pues, para obtener el valor en el momento 3 de la
opción pago aplazado, deberemos trasladar todos lo capitales financieros que la
forman al momento 3:
Valor del capital (15.000, 0) en el momento 3:
C3 = 15.000 . (1+ (0,1).3) = 19.500 u.m.
Valor del capital (30.000, 1) en el momento 3:
C3 = 30.000. (1+ (0,1).2) = 36.000 u.m.
Valor del capital (25.000, 2) en el momento 3:
C3 = 25.000. (1+ (0,1).1) = 27.500 u.m.
Valor del capital (C, 3) en el momento 3:
C3 = C. (1+ (0,1).0) = C u.m.
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Una vez tenemos todos los capitales de la opción pago aplazado valorados en un
mismo momento del tiempo (momento 3), ya podemos sumarlos:
Coste (valorado en el momento 3) si adquirimos la TV a plazos = 19.500 +
36.000 + 27.500 + C = 83.000 + C
La opción pago al contado esta formada por un solo capital situado en el momento
0. Si queremos conocer su valor en el momento 3 simplemente tenemos que
trasladar dicho capital:
Valor del capital (100.000, 0) en el momento 3:
C3 = 100.000. (1+ (0,1).3) = 130.000 u.m.
Así pues, el valor en 3 de la opción pago al contado, será:
Coste (valorado en el momento 3) si adquirimos la TV al contado = 130.000
u.m.
Si queremos que ambas opciones sean equivalentes es preciso que el coste de
ambas sea el mismo:
130.000 = 83.000 + C
C = 47.000 u.m.
Así pues, el importe del último pago (= C) para que las dos opciones (pagar al
contado o pagar a plazos) sean equivalentes en el momento 3, deberá ser de 47.000
u.m.
1.2. Tipos de interés equivalentes
Como ya se ha señalado previamente, una de las características de las leyes
financieras de capitalización y descuento simple (y en general de todas las fórmulas
de la matemática financiera) reside en el hecho que el tipo de interés (i) y el tiempo
(n) deberán ir expresados siempre en la misma unidad de tiempo. Así pues, cuándo
tengamos el tiempo y el tipo de interés expresados en diferente unidad de tiempo,
tendremos dos opciones:
O bien transformar el tiempo.
O bien transformar el tipo de interés, obteniendo su tipo de interés equivalente.
Ejemplo
Hallar el valor actual (= valor en 0) de un capital de 1.000 de u.m. que se encuentra
situado dentro de 5 meses, a un interés del 10% simple anual.
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Solución
Si observamos, en este caso el tiempo esta expresado en meses y el tipo de interés
es anual.
Una posible forma de solucionar el problema sería transformar el tiempo en años.
En concreto, 5 meses son exactamente (5/12) años, por lo que:
C0 = 1.000 . (1 + 0,1.(5/12))-1 = 960 u.m.
No obstante en ocasiones transformar el tiempo puede no ser sencillo, por lo cuál
sería interesante tener una fórmula que nos permitiera transformar el tipo de
interés. Es decir, por ejemplo, una fórmula que nos permitiera transformar un tipo
de interés del 10% anual en su tipo de interés mensual equivalente.
La nomenclatura que utilizaremos de aquí en adelante a la hora de expresar tipos de
interés vencidos, será la siguiente:
El tipo de interés anual lo representaremos por (i).
El tipo de interés mensual lo representaremos por (i12), ya que un año tiene 12
meses.
El tipo de interés trimestral lo representaremos por (i4), ya que un año tiene 4
trimestres.
El tipo de interés cuatrimestral lo representaremos por (i3), ya que un año tiene
3 cuatrimestres.
El tipo de interés semestral lo representaremos por (i2), ya que un año tiene 2
semestres.
Diremos que dos tantos (ó tipos de interés) son equivalentes cuándo aplicados
sobre un mismo capital inicial (C0) durante un mismo período de tiempo (n) nos
proporcionan el mismo capital final (Cn).
Basándonos en esta definición, podemos decir que la fórmula que nos permite
obtener el “i” equivalente a un determinado “iK”, y viceversa, es la siguiente:
[i = i K .k ] ⇔ iK

i
= 
k
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Ejemplo
Si seguimos con el ejemplo anterior, el valor de C0 lo podríamos obtener de dos
formas totalmente equivalentes:
a. Transformando el tiempo en años.
En concreto, 5 meses son exactamente (5/12) años, por lo que:
C0 = 1.000 . (1+0,1.(5/12))-1 = 960 u.m.
b. Transformando el tipo de interés.
En concreto, buscamos el tipo de interés mensual equivalente al 10% anual.
Aplicando la fórmula anterior:
i12 = (i/12)
i12 = (0,1/12) = 0,00833
C0 = (1.000) . (1+(0,00833).5)-1 = 960 u.m.
Como vemos, el resultado obtenido con ambos métodos es exactamente el mismo,
puesto que los dos tipos de interés son equivalentes.
Ejemplos
1. Calcular el montante final obtenido al invertir 1.000 u.m. a un i2 = 5% durante 1
año y medio.
Solución
C1año y medio= 1.000 . (1+(0,05).3) = 1.150 u.m.
2. Durante cuanto tiempo hay que invertir 1.000 u.m. al 5% trimestral para obtener
un montante final de 1.500 u.m..
Solución
1.500 = (1.000) . (1+0,05.n)
n = 10 trimestres (= 2,5 años)
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3. Calcular el montante final obtenido al invertir 1.000 u.m. durante un año al 5%
semestral (= i2).
Solución
Tenemos dos opciones:
a) Transformar el tiempo: 1 año son 2 semestres, por lo que,
C1año = (1.000) . (1 + 0,05.2) = 1.100 u.m.
b) Transformar el tipo de interés: El tipo de interés anual equivalente al 5%
semestral es:
[i = ik. k]
[i = 0,05 . 2 = 0,1]
Así pues:
C1año = (1.000) . (1 + (0,1).1) = 1.100 u.m.
Vemos como el resultado obtenido con ambos métodos es exactamente el mismo,
puesto que los dos tipos de interés son equivalentes.
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y descuento simple
2. Ley financiera de capitalización y descuento simple a interés
anticipado o comercial
Si recordamos, las características principales de las leyes financieras simples a
interés anticipado, son básicamente dos:
Al tratarse de leyes simples los intereses no son productivos, es decir, los
intereses no generan nuevos intereses.
Al tratarse de leyes a interés anticipado los intereses se pagan al inicio de cada
período.
Como ya señalamos, las leyes financieras son fórmulas matemáticas que nos
permiten trasladar capitales financieros a diferentes momentos del tiempo. En el
caso de las leyes financieras simples a interés anticipado, la fórmula que nos
permite trasladar capitales financieros a diferentes momentos del tiempo es la
siguiente:
C n = C 0 .( 1 − d .n ) −1
Al tipo de interés anticipado “d” también se le llama tanto de interés comercial.
La fórmula general de la ley financiera simple a interés anticipado nos permite
trasladar capitales financieros tanto a momentos futuros (capitalización) como a
momentos anteriores (descuento). Por eso distinguiremos entre la ley financiera de
capitalización simple, y la ley financiera de descuento simple.
1. Ley financiera de capitalización simple.
Esta ley nos permitirá conocer el valor de un capital situado hoy (= C0), dentro de
(n) períodos. A dicho valor lo definiremos como (Cn).
C n = C 0 .( 1 − d .n ) −1
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Gráficamente:
C0
Cn
0
n
2.- Ley Financiera de descuento simple.
Esta ley nos permitirá conocer el valor hoy de un capital situado dentro de (n)
períodos (= Cn). A dicho valor lo definiremos como (C0).
C 0 = C n .( 1 − d .n )
Gráficamente:
C0
0
Cn
n
Ejemplos
1.Calcular el capital final (= C3) obtenido al colocar 1.000 u.m. al 5% anual
anticipado, durante 3 años.
Solución
C3= C0. (1 - d.3)-1 = 1.000 . (1 - (0,05) . 3)-1 = 1.176,47 u.m.
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2. Hallar el valor actual de un capital de 1.000 u.m. que se encuentra situado dentro
de 5 años, a un interés del 10% anticipado simple anual.
Solución
C0 = 1.000 . (1 - (0,1) . 5) = 500 u.m.
3. El señor A presta al señor B un total de 750.000 u.m., a devolver dentro de 2
años al 10%. Analizar el importe de los flujos de caja de la operación y momento
de pago de los intereses, tanto en el caso de que el tipo de interés del 10% sea
vencido o antipado.
Solución
a) En primer lugar analizaremos el caso en el que el 10% sea un interés vencido:
En el momento 0: el señor A entrega al señor B las 750.000 u.m.
En el momento 2 años: el señor B entrega al señor A 900.000 u.m.. Se reparte
de la siguiente forma: 750.000 u.m. en concepto de devolución de la cantidad
prestada, y 150.000 u.m. en concepto de pago de intereses.
Gráficamente:
C o = 750.000
0
C n = 900.000
2
b) En segundo lugar analizaremos el caso en el que el 10% sea un interés
anticipado:
En el momento 0: el señor A entrega al señor B un total de 600.000 u.m.. El
préstamo es de 750.000 u.m. pero al cobrarse los intereses por anticipado (los
cuáles ascienden a 150.000 u.m.) el señor A ya no le entrega 750.000 u.m.,
sino que le entrega: 750.000 - 150.000 = 600.000 u.m..
En el momento 2 años: el señor B le devuelve al señor A 750.000 u.m., que era
la cantidad que este le había prestado (los intereses ya se pagaron en el
momento 0).
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Gráficamente:
C o = 600.000
0
C n = 750.000
2
2.1. Equivalencia de capitales
Como ya hemos visto, el valor del dinero en el tiempo depende del momento del
tiempo en el que se encuentre. En consecuencia si queremos comparar y/o operar
dos capitales financieros que se hallan en diferentes momentos del tiempo es
preciso trasladar ambos a un mismo momento del tiempo a través de una misma ley
financiera y bajo un mismo sistema de cómputo del tiempo.
Así pues, en este contexto, diremos que dos capitales financieros serán
equivalentes desde el punto de vista financiero, si valorados en un mismo momento
del tiempo, y a través de una misma ley financiera, su valor en ese momento del
tiempo coincide.
Al igual que hemos hecho anteriormente, en este punto debemos realizar una serie
de aclaraciones:
En las leyes financieras simples, si dos capitales financieros que son
equivalentes en un determinado momento del tiempo, pueden no serlo en otro
momento. Como veremos en el Modulo 4, esto no sucede en las leyes
financieras compuestas. En las leyes financieras compuestas podemos asegurar
que si dos capitales financieros son equivalentes en un determinado momento
del tiempo, también lo serán en cualquier otro momento del tiempo.
Las relaciones de mayor/menor se mantienen en cualquier momento del
tiempo, tanto en leyes Simples cómo en leyes compuestas.
2.2. Tipos de interés equivalentes
Como ya se ha señalado, una de las características de las leyes financieras de
capitalización y descuento simple (y en general de todas las fórmulas de la
matemática financiera) es que el tipo de interés (d) y el tiempo (n) deberán ir
expresados siempre en la misma unidad de tiempo. Así pues, cuándo tengamos el
tiempo y el tipo de interés expresados en diferente unidad de tiempo, tendremos
dos opciones:
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Transformar el tiempo.
Transformar el tipo de interés.
La nomenclatura que utilizaremos de aquí en adelante a la hora de expresar tipos de
interés anticipados, será la siguiente:
El tipo de interés anual lo representaremos por (d).
El tipo de interés mensual lo representaremos por (d12), ya que un año tiene 12
meses.
El tipo de interés trimestral lo representaremos por (d4), ya que un año tiene 4
trimestres.
El tipo de interés cuatrimestral lo representaremos por (d3), ya que un año tiene
3 cuatrimestres.
El tipo de interés semestral lo representaremos por (d2), ya que un año tiene 2
semestres.
Diremos que dos tantos son equivalentes cuándo aplicados sobre un mismo capital
inicial (C0) durante un mismo período de tiempo (n) nos proporcionan el mismo
capital final (Cn).
Basándonos en esta definición, podemos decir que la fórmula que nos permite
obtener el “d” equivalente a un determinado “dK”, y viceversa, es la siguiente.
[d = d K .k ] ⇔ d K

=
d
k 
Ejemplos
1. Calcular el montante final obtenido al invertir 1.000 u.m. a un d2 = 5% durante 1
año y medio.
Solución
Un año y medio son 3 semestres, por lo que:
C1año y medio = (1.000) . (1 – (0,05) . 3)-1 = 1.176,47 u.m.
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2. Calcular el montante final obtenido al invertir 1.000 u.m. durante dos años al 5%
semestral anticipado (= d2).
Solución
Tenemos dos opciones:
a) Transformar el tiempo.
2 años son 4 semestres, por lo que:
C2 años = (1.000) . (1 – (0,05) . 4)-1 = 1.250 u.m.
b) Transformar el tipo de interés.
El tipo de interés anual anticipado equivalente al 5% semestral anticipado es:
[d = dk. k]
[d = 0,05 . 2 = 0,1]
Así pues:
C 2 años = (1.000) . (1 – (0,1) . 2)-1 = 1.250 u.m.
Vemos como el resultado obtenido con ambos métodos es exactamente el mismo,
puesto que los dos tipos de interés son equivalentes.
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3. Cálculo de tantos efectivos
Como ya vimos en el módulo 1, en aquellas operaciones financieras en las cuáles
no existen flujos de dinero independientes del tipo de interés, se acepta que éste
representa de una forma correcta el coste/rentabilidad de la operación. No obstante
en las operaciones financieras en las que si existen flujos de dinero independientes
del tipo de interés de la operación (p. ej.: gastos, comisiones, impuestos, etc…), en
estos casos el tipo de interés no representa correctamente el coste/rentabilidad de la
operación.
Si deseamos conocer el coste/rentabilidad de una operación financiera en la cuál
aparecen flujos de dinero independientes del tipo de interés deberemos calcular los
“tantos efectivos” de la operación.
Los tantos efectivos se caracterizan porque en su cálculo no sólo se tiene en cuenta
el tipo de interés de la operaciones financieras sino que también se tienen en cuenta
todos los demás flujos de dinero (independientes del tipo de interés) anexos a ésta.
Es decir, a la hora de calcular el tanto efectivo de una de las partes se tienen en
cuenta todos los cobros y pagos que realiza ese individuo, por lo que el tanto
efectivo si representa de una forma correcta el coste/rentabilidad que le
proporciona esa operación financiera a cada individuo.
Si recordamos, podemos definir tanto efectivo cómo aquel tipo de interés que
satisface las siguientes condiciones:
es un tipo de interés anual y vencido,
calculado en base al sistema de cómputo del tiempo “Calendario/Calendario”,
que iguala el valor de la prestación con el valor de la contraprestación (ambas
valoradas en un mismo momento del tiempo),
teniendo en cuenta tanto las características bilaterales cómo las unilaterales.
Es decir, el tanto efectivo de uno de los participantes en la operación financiera es
aquel tanto de interés anual vencido (calculado con un sistema de cómputo del
tiempo “Calendario/Calendario”) que iguala el valor de su prestación y de su
contraprestación (ambas valoradas en un mismo momento del tiempo, puesto que si
no es así es imposible compararlas), teniendo en cuenta tanto las características
bilaterales cómo las unilaterales.
Una de las principales características de los tantos efectivos, reside en el hecho de
que, al depender fundamentalmente de la prestación y contraprestación (conceptos
totalmente subjetivos, es decir, dependen del individuo analizado), dependen de la
persona analizada. En consecuencia, si analizamos el tanto efectivo de diferentes
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M2. Leyes financieras de capitalización
y descuento simple
individuos participantes en una misma operación financiera, éstos pueden no
coincidir. Concretamente, como veremos más adelante, en el caso de que existan
características de tipo unilateral, los tantos efectivos de diferentes miembros de una
misma operación financiera no coincidirán.
Ejemplo
Supongamos que un cliente de una entidad financiera solicita a ésta un préstamo de
1 millón de u.m. a devolver dentro de un año. El interés será 10% anual vencido.
Además deberá hacer frente con una comisión de apertura de 50.000 u.m. y unos
gastos de notario que ascienden a 100.000 u.m..
Se pide:
a) Determinar las características unilaterales y bilaterales de la operación, tanto
desde el punto de vista del cliente cómo del banco.
b) Determinar la prestación y contraprestación, tanto desde el punto de vista del
cliente cómo del banco.
c) Cálculo de los tantos efectivos (utilizando leyes financieras simples) de la
operación de préstamo, tanto desde el punto de vista del cliente cómo del banco.
Solución a)
A. Para el banco:
Características Unilaterales:
- Ninguna.
Características Bilaterales:
- Pago de 1.000.000 u.m. en el momento 0.
- Cobro de 50.000 u.m. en el momento 0.
- Cobro de 1.100.000 u.m. en el momento 1: 1.000.000 en concepto de devolución
del préstamo y 100.000 en concepto de intereses.
B. Para el cliente:
Características Unilaterales:
- Pago de 100.000 u.m. en concepto de gastos de notario en el momento 0.
Características Bilaterales:
- Cobro de 1.000.000 u.m. en el momento 0.
- Pago de 50.000 u.m. en el momento 0, en concepto de comisión de apertura.
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M2. Leyes financieras de capitalización
y descuento simple
- Pago de 1.100.000 u.m. en el momento 1: 1.000.000 en concepto de devolución
del préstamo y 100.000 en concepto de intereses.
Solución b)
A. Para el banco:
Prestación:
- Pago de 1.000.000 u.m. en el momento 0.
Contraprestación:
- Cobro de 50.000 u.m. en el momento 0.
- Cobro de 1.100.000 u.m. en el momento 1.
B. Para el cliente:
Prestación:
- Pago de 150.000 u.m. en el momento 0: 100.000 de Gastos de Notario y 50.000
de Comisión de Apertura.
- Pago de 1.100.000 u.m. en el momento 1.
Contraprestación:
- Cobro de 1.000.000 de u.m. en el momento 0.
Solución c)
Si recordamos el tanto efectivo es aquel tipo de interés (anual vencido) que nos
iguala el valor de la prestación y contraprestación (teniendo en cuenta tanto las
características bilaterales como unilaterales) en el mismo momento del tiempo.
Tal y como nos dice el enunciado, tenemos que calcular el tanto efectivo aplicando
leyes financieras simples.
En la solución propuesta valoramos prestación y contraprestación en el momento 1
año, pero señalar que es una decisión totalmente subjetiva, de forma que si lo
valoráramos todo en otro momento obtendríamos exactamente el mismo resultado.
A. Tanto efectivo para el banco (= iB):
Valor de la prestación en el momento 1: (1.000.000) . (1+iB.1)
Valor de la contraprestación en el momento 1: (50.000) . (1+ iB.1) +
(1.100.000)
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M2. Leyes financieras de capitalización
y descuento simple
Igualamos:
(1.000.000) . (1+iB.1) = (50.000) . (1+ iB.1)+ (1.100.000)
Tanto efectivo para el banco: [iB = 0,1578947 = 15,7894%]
B. Tanto efectivo para el cliente (= iC):
Valor de la prestación en el momento 1: (150.000) . (1+ iC.1) + (1.100.000)
Valor de la contraprestación en el momento 1: (1.000.000) . (1+ iC.1)
Igualamos:
(150.000) . (1+ iC.1) + (1.100.000) = (1.000.000) . (1+ iC.1)
Tanto efectivo para el cliente: [iC = 0,2941176 = 29,41 %]
En este ejercicio hemos visto cómo:
El tanto efectivo del banco nos indica la verdadera rentabilidad que obtiene el
banco con el préstamo; mientras que el tanto efectivo del cliente nos indica el
verdadero coste que supone el préstamo para el cliente.
Los tantos efectivos en ningún caso coinciden con el tipo de interés del
préstamo. Esto se debe a la existencia de otros pagos/cobros independientes de
los intereses (p.ej., gastos de notario y comisiones).
Los tantos efectivos de ambas partes difieren entre sí. Esto se debe a la
existencia de características unilaterales. Si no existieran dichas características
unilaterales ambos tantos efectivos (el del banco y el del cliente) coincidirían.
Observar como (iB < iC). Es decir, la rentabilidad efectiva que obtiene el banco
en el préstamo, es menor que el coste efectivo que le supone éste al cliente. La
razón de esta diferencia es la existencia de características unilaterales (gastos
de notario) que paga el cliente y el banco no cobra.
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M2. Leyes financieras de capitalización
y descuento simple
Glosario
Ley financiera de capitalización simple a interés vencido:
Nos permitirá conocer el valor de un capital situado hoy (= C0), dentro de (n)
períodos, en el caso en el que los intereses no son productivos y se pagan al final de
cada período. A dicho valor lo llamamos (= Cn).
C n = C 0 .( 1 + i .n )
Ley financiera de descuento simple a interés vencido:
Nos permitirá conocer el valor hoy de un capital situado dentro de (n) períodos (=
Cn), en el caso en el que los intereses no son productivos y se pagan al final de cada
período. A dicho valor lo llamamos (= C0).
C 0 = C n .( 1 + i .n ) −1
Equivalencia de capitales:
Dos capitales financieros serán equivalentes desde el punto de vista financiero, si
valorados en un mismo momento del tiempo, y a través de una misma ley
financiera, y bajo un mismo sistema de cómputo del tiempo, su valor en ese
momento del tiempo coincide.
Tipos de interés equivalentes (vencidos):
Diremos que dos tipos de interés son equivalentes cuándo aplicados sobre un
mismo capital inicial (C0) durante un mismo período de tiempo (n) nos
proporcionan el mismo Capital Final (Cn).
[i = i K .k ] ⇔ i K

i
= 
k
Ley financiera de capitalización simple a interés anticipado o comercial:
Nos permitirá conocer el valor de un capital situado hoy (= C0), dentro de (n)
períodos, en el caso en el que los intereses no son productivos y se pagan al inicio
de cada período. A dicho valor lo llamamos (= Cn).
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y descuento simple
C n = C 0 .( 1 − d .n ) −1
Ley financiera de descuento simple a interés anticipado o comercial:
Esta ley nos permitirá conocer el valor hoy de un capital situado dentro de (n)
períodos (= Cn), en el caso en el que los intereses no son productivos y se pagan al
inicio de cada período. A dicho valor lo llamamos (= C0).
C 0 = C n .( 1 − d .n )
Tipos de interés equivalentes (anticipados):
Diremos que dos tantos son equivalentes cuándo aplicados sobre un mismo capital
inicial (C0) durante un mismo período de tiempo (n) nos proporcionan el mismo
capital final (Cn).
[d = d K .k ] ⇔ d K

=
d
k 
Tantos efectivos:
Es aquel tanto de interés anual vencido (calculado con un sistema de cómputo del
tiempo “Calendario/Calendario”), que iguala el valor de su prestación y de su
contraprestación (ambas valoradas en un mismo momento del tiempo, puesto que si
no es así es imposible compararlas), teniendo en cuenta tanto las características
bilaterales cómo las unilaterales.
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