TEMA 2 INTERES SIMPLE

TEMA 2:
EL INTERÉS SIMPLE
1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1.- CÁLCULO DEL INTERÉS:
Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de
cada periodo de capitalización NO se agregan al capital inicial para hallar los intereses del
periodo siguiente, sino que se calculan sobre el capital inicial C0
Vamos a usar la siguiente nomenclatura:
C0: Capital inicial
I: los intereses del periodo
IT: los intereses totales, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo
i: tipo de interés anual en tanto por uno, que representa la cantidad de dinero que obtiene
por cada euro invertido en un año
Cn: capital final o montante, que es la suma del capital inicial más los intereses totales.
Vamos a comenzar aprendiendo a calcular los INTERESES TOTALES de una operación,
cuyo capital es C0, y está impuesta a un tipo de interés i durante n periodos:
Intereses del primer
periodo
Intereses del segundo
periodo
…….
……
EJEMPLO:
Calcula el interés de 600€ al 10% anual en
3 años:
……..
……..
Intereses del periodo n
Intereses totales
TOTAL INTERESES: 60+60+60 =180
En definitiva podemos decir que:
Gestión Financiera
1
Reyes F.F.
1.2.- VARIABLES QUE INTERVIENEN EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE, A
PARTIR DE LA FÓRMULA DEL INTERÉS:
CAPITAL
TIEMPO
TIPO DE
INTERÉS
1.3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FORMA DE OPERAR EN INTERÉS
SIMPLE:
En interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, NO
acumulándose al mismo para producir nuevos intereses:
INTERESES TOTALES:
I2
I1
In
C0
1
2
n-1
I1 + I2 + …. + In
n
1.4.- EL MONTANTE:
Definimos montante o capital final Cn obtenido en una operación de capitalización a la suma
del capital inicial más los intereses, por tanto:
C0
Cn
A la expresión (1+n.i) se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN y como resultado de
aplicar dicha expresión a un capital inicial, convierte a éste en un capital final.
Gestión Financiera
2
Reyes F.F.
EJEMPLO:
¿Cuál será el montante obtenido por un capital de 10.000€ al 5% de interés simple durante 5 años?:
Capital
inicial
Intereses
A partir de la fórmula del montante también podemos calcular cualquiera de sus elementos
tal y como se hizo a partir de la fórmula del interés total. Veamos cuál sería el valor del
capital inicial, conocidos el montante, el tiempo y el tanto de colocación, para lo cual sólo
hemos de despejar C0:
Que es lo mismo que:
C0
Cn
Pues bien a la expresión (1+n.i)-1 se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACIÓN y como
resultado de aplicar dicha expresión a un capital final, convierte a éste en un capital inicial
o anterior.
EJEMPLO:
Sabemos que tras 5 años de colocación de un capital al 5% de interés simple, éste se convirtió en
12.500€. ¿Cuál fue el capital que se impuso?
2.- TANTOS EQUIVALENTES
Hasta ahora hemos dado por hecho que los periodos de tiempo considerados eran años y
que el tipo de interés era anual, pero lógicamente nos podemos encontrar con que el tiempo
no se mida en años, sino en cualquier otra fracción del mismo (meses, semestres,…..).
Lo primero que debemos tener en cuenta para trabajar de esta forma es que el tiempo y el
tanto deben estar referidos a periodos de tiempo homogéneos, si no es así, podemos
hacer cualquiera de estas dos cosas:
Gestión Financiera
3
Reyes F.F.


Transformar el tiempo en la unidad temporal que mida el tipo de interés.
Transformar el tipo de interés en su equivalente de la unidad temporal en que
estemos trabajando.
Antes de seguir debes recordar, cuántos subperiodos (m) contiene el año de cada una de
las posibles fracciones en que podemos dividirlo:
Frecuencia de
PERIODO
Son periodos de:
fraccionamiento
m
Año
1
Teniendo en cuenta este nuevo
parámetro, debemos completar la
nomenclatura vista anteriormente,
de la siguiente forma:
Semestre
6 meses
2
Cuatrimestres
4 meses
3
Trimestres
3 meses
4
Bimestres
2 meses
6
equivalente
Meses
30 días
12
m:frecuencia de capitalización
7 días
52
Semanas
Días
i: tanto anual
i(m): tanto fraccionado
360/365
Llamaremos TANTOS EQUIVALENTES a aquellos que aplicados a un mismo capital inicial
C0 durante el mismo periodo de tiempo n producen los mismos intereses I o generan el
mismo montante Cn.
Imaginemos que tenemos un capital C0 , en capitalización simple durante un periodo de
tiempo a un tipo de interés anual i y queremos calcular el tanto equivalente im , éste en una
unidad temporal inferior.
Pues teniendo en cuenta el concepto de tantos equivalentes, i e im lo serán si sucede que los
intereses o los montantes producidos por los mismos son iguales, nosotros vamos a aplicar
igualdad de intereses que simplifica más la demostración:
Si tenemos en cuenta el tiempo y el tanto en años:
Si tenemos en cuenta el tiempo expresado en m fracciones de año
Igualamos ambas expresiones y despejamos i en función de im:
Y también podemos decir:
Gestión Financiera
4
Reyes F.F.
De lo que podemos deducir que:
En capitalización simple los tantos equivalentes son, además, proporcionales cosa que,
como ya veremos, no ocurre con los tantos equivalentes en capitalización compuesta.
Así si el tanto anual de una operación fuera el 12%, podemos decir que su tanto equivalente:



Mensual, será: 1%
Semestral: 6%
Bimensual 2%
Y así sucesivamente.
EJEMPLO:
Calcular el interés que produjo un capital de 10.000€ invertidos al 0,09 simple anual
durante 13 cuatrimestres.
Co = 10.000€
i= 0,09
n= 13 cuatrimestres
Como vemos i y n están referidos a distintas unidades
temporales, podemos resolver este problema de las siguientes
formas:
I: ¿?
1) Transformando n en la unidad temporal de i:
13 cuatrimestres son 13/3 =4,33333 años
De forma que:
2) Transformando i en la unidad temporal de n:
De forma que:
Se puede decir por tanto que i(3) =0,03 trimestral es equivalente al i=0,09 anual pues
aplicados al mismo capital inicial durante el mismo periodo de tiempo producen los mismos
intereses.
Gestión Financiera
5
Reyes F.F.
 El tiempo y el tanto siempre deben estar referidos a la misma unidad temporal, cuando
eso no sucede, podemos:


Transformar n, en la unidad de tiempo a que se refiere i
Transformar i, en la unidad de tiempo a que se refiere n
 TANTOS EQUIVALENTES, son aquellos aplicados al mismo capital inicial durante el
mismo tiempo generan los mismos intereses o el mismo montante
Siendo m el número de partes en que se divide el año
3.- AÑO CIVIL Y COMERCIAL
Cuando el fraccionamiento del tiempo es diario, surge la siguiente cuestión: ¿tomar el año
civil (365 días) o el año comercial (360 días, con meses de 30 días cada uno)?. Así pues
tendremos dos posibilidades para calcular los intereses:
En ambos casos n
está expresada en
días
Si se observan ambas expresiones, es fácil apreciar que
3.1.- RELACIÓN
INTERÉS CIVIL
POR
DIFERENCIA
ENTRE
INTERÉS
COMERCIAL
E
Hay pues dos posibles resultados:
Gestión Financiera
6
Reyes F.F.
3.2.- RELACIÓN POR COCIENTE ENTRE INTERÉS COMERCIAL E INTERÉS
CIVIL
Por tanto, podemos decir:
4.- MÉTODOS DE CÁLCULO ABREVIADO
Esta práctica es muy útil para el cálculo de intereses, cuando el tipo de interés que se
aplica es constante y son muchos los capitales con los que trabajar, esto ocurre cuando se
liquidan cuentas corrientes, por ejemplo.
Supongamos que tenemos varios capitales: C1, C2, …., Cn, colocados a un mismo tanto unitario
anual de interés simple i, durante n1, n2,…., nn (meses, días, semanas,……….) respectivamente
y que deseamos saber el interés total que nos producen
Para ello, tenemos que calcular el interés de cada uno de los capitales y sumarlos después,
es decir:
(1)
4.1.- MÉTODO DEL MULTIPLICADOR FIJO:
Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC)
Al cociente i/m lo llamamos lo llamamos MULTIPLICADOR FIJO (M)
Podemos decir que:
En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales por el
multiplicador fijo (M), siendo éste i/m
Gestión Financiera
7
Reyes F.F.
4.1.- MÉTODO DEL DIVISOR FIJO:
Si volvemos a la expresión (1), podemos decir:
Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC)
Al cociente m/i lo llamamos lo llamamos DIVISOR FIJO (Df)
En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales divido
entre el divisor fijo Df, siendo éste m/i
EJEMPLO
Calcula los intereses totales de 2.500, 1.500 y 3.000€ durante 13, 25 y 56 días, a un
interés simple del 5%. Teniendo en cuenta el año comercial
C0
2.500
n
13
NC
32.500
1.250
25
31.250
3.000
56
168.000
TOTAL
DIVISOR FIJO:
MULTIPLICADOR FIJO:
231.750
5.- TANTO MEDIO DE COLOCACIÓN DE VARIOS CAPITALES
Sean los capitales C1, C2, ….., Ct, invertidos a los tantos de interés simple anual i 1,
i2, …, it, durante n periodos. Llamamos TANTO MEDIO ( ) a aquel que aplicado sobre
ese conjunto de capitales durante esos n periodos produce el mismo montante o el
mismo interés.
Si trasladamos este concepto teórico a una expresión matemática lo que debemos hacer es
igualar los montantes o los intereses de ese conjunto de capitales y, puesto podemos
elegir, vamos a hacer la demostración igualando los intereses que hace todo el proceso más
simple.
Gestión Financiera
8
Reyes F.F.
Dado que n está en todos los sumandos, podemos simplificar y queda:
Que podemos expresar de la siguiente forma:
O también:
Ya podemos decir que:
EJEMPLO
Tengo unos ahorros colocados del siguiente modo:
2.000 al 7% anual simple en el Banco A
3.000 al 10% anual simple en el Banco B
500 al 6,5% anual simple en el Banco C
¿Cuál es el tanto medio de interés que me producen mis ahorros si todas las inversiones
están a un plazo de 1,5 años?
Sería el tanto medio de colocación de los tres capitales
Gestión Financiera
9
Reyes F.F.
6.- INTERÉS ANTICIPADO E INTERÉS VENCIDO. RELACIÓN
Hasta ahora, sólo hemos visto operaciones a interés vencido, es decir, cuando el
prestamista cedía un capital C0 y en el momento n el prestatario devolvía C0 más los
intereses devengados, es decir Cn
Pero en algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado,
es decir, en el momento en que se concierta la operación que ha de producirlos. Para ello
aplica un tipo ia que se aplica sobre el nominal Cn para obtener el efectivo C0 de la
operación.
¿Podemos averigua el ia que equivale al
CON INTERÉS VENCIDO:
interés vencido i y viceversa?
Se presta C0 y se devuelve Cn
Se puede ver fácilmente que la cantidad que
se prestó fue:
Para que exista equivalencia deberá haber
igualdad entre los C0 en ambos casos, es
decir entre (1) y (2)
(1)
CON INTERÉS ANTICIPADO:
Se presta Cn pero se entrega C0 y me
cobran intereses sobre Cn Por tanto los
intereses se calculan:
De donde podemos deducir la cantidad que
se prestó:
Si pasamos el 1 del segundo miembro al
primero, en el primero queda 0 y también
podemos simplificar dividiendo entre “n”,
con lo cual nos queda:
(3)
(2)
De todo lo cual se puede deducir que:
Cuando ia = i
Y dado que Cn > C0
El Ia > I
Gestión Financiera
Desde la expresión (3), podemos operar
para obtener ia en función de i:
10
Reyes F.F.
EJEMPLO
Vamos a comprobar todo lo dicho anteriormente.
¿Qué tipo de interés anticipado ia equivale al 10% anual de interés vencido i , teniendo en
cuenta que la operación dura 6 meses?
Efectivamente, si tomamos como cantidad presta 10€, en interés vencido, podremos
comprobar:
INTERÉS VENCIDO
INTERÉS ANTICIPADO
Si pretendemos prestar 10,5€ al 9,52%
anual de interés anticipado, ¿Qué cantidad
entregaremos?
¿Sucedería lo mismo para 20 meses?
Si presto 11,67€ al ia anual del 9,52%, ¿qué
cantidad debo entregar?
Esto sucede porque:
Para cada interés vencido hay un anticipado equivalente en cada momento, de manera
que no será equivalente en otro distinto
¿PODEMOS CALCULAR EL MOMENTO DEL TIEMPO EN QUE OCURRE QUE ia Y i
SON EQUIVALENTES?
Si partimos de
podemos despejar el tiempo:
En nuestro ejemplo:
años
Es decir, 6 meses
Gestión Financiera
11
Reyes F.F.