Cuestiones - Unican.es

Examen de Física-1, 1° Ingeniería Química
Examen final. Enero de 2013
Cuestiones (Un punto por cuestión).
Cuestión 1 (Primer parcial): Un punto recorre la mitad del camino con la velocidad v0 .
La parte restante la hace a una velocidad v1 la mitad del tiempo, y a la velocidad v2 el
trayecto final. Determinar la velocidad media del punto durante el recorrido.
Solución:
Si llamamos d a la longitud del camino el tiempo que invierte en recorrer la primera
mitad será
d /2
.
v0
En la segunda mitad emplea un tiempo Δt2 a velocidad
velocidad v2 con lo que tenemos que
Δt1 =
d
= ( v1 + v2 ) Δt2
2
⇒ Δt2 =
v1 y el mismo tiempo a
d /2
.
v1 + v2
Aplicando la definición de velocidad media tenemos que
vm =
2v ( v + v )
d
d
d
1
1
=
=
=
=
= 0 1 2 .
d
2d
1
1
v1 + v2 + 2v0 2v0 + v1 + v2
Δt Δt1 + Δt2 + Δt2
+
+
2v0 2 ( v1 + v2 ) 2v0 ( v1 + v2 ) 2v0 ( v1 + v2 )
Cuestión
2 (Primerque
parcial):
Analizar
el tipo
de movimiento
quepeso
posee
3) Analizar el tipo
de movimiento
posee una
partícula
sometida
a su propio
y auna
unapartícula
fuerza de
que
parte
del
reposo
y
está
sometida
a
su
propio
peso
y
a
una
fuerza
de
rozamiento directamente proporcional a su velocidad. Sin necesidad de resolver la rozamiento
ecuación del
directamente
proporcional
a su velocidad,
constante yde
proporcionalidad
k . Sin la
movimiento, discútase
los aspectos
más relevantes
de dichocon
movimiento
dibújense
aproximadamente
necesidad
de
resolver
la
ecuación
del
movimiento,
discútanse
los
aspectos
más
relevantes
aceleración y la velocidad de la partícula en función del tiempo. ¿Como se calculara el espacio recorrido
de dicho movimiento y dibújense aproximadamente la aceleración y la velocidad de la
por la partícula?
partícula en función del tiempo. ¿Cómo se calculará el espacio recorrido por la partícula?
SOLUCION:
Solución:
Aplicando
segundalaley
de Newton,
la suma
deactúan
las fuerzas
queaactúan
es por
Aplicando la segunda
ley delaNewton,
suma
de las fuerzas
que
es igual
la masa
igual
a
la
masa
por
la
aceleración,
3) Analizar el tipo de movimiento que posee una partícula sometida a su propio peso y a una fuerza de
la aceleración:
mg
rozamiento directamente proporcional a su velocidad. Sin necesidad de resolver la ecuación del
mglos−aspectos
kv = ma.más(3.1)
(1) de dicho movimiento y dibújense aproximadamente la
relevantes
–movimiento,
kv = ma discútase
aceleración y la velocidad de la partícula en función del tiempo. ¿Como se calculara el espacio recorrido
por la partícula?
Si la partícula parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y por lo tanto la aceleración inicial es: a = g.
El convenio de signos escogido es que el eje y crece hacia abajo.
A medida que pasa elSOLUCION:
tiempo, la partícula va adquiriendo velocidad por lo que la aceleración va
Si
la
partícula
parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y, por lo tanto, la aceleración es
disminuyendo.
a = g. Aplicando la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan es igual a la masa por
la aceleración:
Este proceso continua hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento compensa al peso
A medida que pasa el mg
tiempo,
la partícula va adquiriendo
velocidad por lo que la
– kv = ma
(3.1)
(kv = mg), y la aceleración es a = 0; alcanzándose entonces la velocidad límite:
vL = mg/k.
aceleración va disminuyendo.
Si la partícula parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y por lo tanto la aceleración inicial es: a = g.
Las graficas aproximadas
son: continúa hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento
Este proceso
A medida que pasa el tiempo, la partícula va adquiriendo velocidad por lo que la aceleración va
compensa
al peso ( kv = mg ), y la aceleración es a = 0 , alcanzándose la velocidad límite
disminuyendo.
12
6
mg
(t)
. proceso continua hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento compensa al peso
vL = v Este
10
5
k(kv = mg), y la aceleración es a = 0; alcanzándose
a (t)
entonces
la velocidad límite:
v = mg/k.
6
2
0
5
t(s)
10
2
4
10
2
4
3
12
a (t)
8
2
V(m/s)
1
0
v (t)
5
6
a(m/s )
3
8
2
Las gráficas
aproximadas
son
Las graficas
aproximadas
son:
a(m/s )
V(m/s)
L
4
15
0
0
5
6
4 t(s)
1
2
0
0
10
15
5
10
0
5
10por la15partícula, si lo0 queremos
En cuanto a determinar el espacio
recorrido
calcular
en15 función de la
t(s)
t(s)
velocidad, se parte de la ecuación (3.1): mg – kv = ma
En cuanto
a determinar
el espacio
recorrido
si lo
calcular
en función
y sustituimos la aceleración
a = el
dv/dx
• dx/dt
= dv/dx por
• v lalapartícula,
En cuanto
atomando
determinar
espacio
recorrido
por
partícula,
si queremos
lo queremos
calcular
en de la
velocidad,
se
parte
de
la
ecuación
(3.1):
mg
–
kv
=
ma
función de la velocidad, se parte de la ecuación (1), mg − kv = ma, y sustituimos la
La ecuación que aceleración
nos queda es
kv = m (dv/dx) v, Finalmente pasamos la v y el dv a un lado de la
comomgla –aceleración
y sustituimos
tomando a = dv/dx • dx/dt = dv/dx • v
ecuación , el dx a otro, e integramos.
La ecuación que nos queda es
mg – kv = m (dv/dx) v, Finalmente pasamos la v y el dv a un lado de la
ecuación
, el dx a otro,
integramos.
Si lo queremos calcular
en función
del etiempo,
hay que hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la
aceleración como a = dv/dt y sustituimos en la ecuación (3.1), nos queda mg – kv = m • dv/dt. Despejando
Si lo queremos calcular en función del tiempo, hay que hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la
e integrando determinamos
v(t). En un segundo paso, como v(t) = dx/dt, despejamos el dx e integrando
aceleración como a = dv/dt y sustituimos en la ecuación (3.1), nos queda mg – kv = m • dv/dt. Despejando
calculamos x (t).
e integrando determinamos v(t). En un segundo paso, como v(t) = dx/dt, despejamos el dx e integrando
a=
dv dv dx
dv
=
=v ,
dt dx dt
dx
la ecuación que nos queda es
mg − kv = mv
dv
.
dx
Separando variables (llevando todas las velocidades a un lado y todo lo que dependa de la
posición al otro) podemos integrar para conocer x(v) .
Si queremos calcular el espacio recorrido como función del tiempo, tenemos que
hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la aceleración como a = dv / dt y sustituimos
en la ecuación (1). Esto nos lleva a
mg − kv = m
dv
.
dt
Despejando e integrando, determinamos v(t) . En un segundo paso, como v(t) = dx / dt ,
despejamos el dx e integramos para calcular x(t).
4) Determinar la posición del centro de masas de la placa
Cuestión 3 (Segundo parcial): Determinar la posición
homogénea
la figura: la posición del centro de masas de la placa
4) de
Determinar
del centro de
masas de la placa homogénea de la figura
homogénea de la figura:
Solución:
SOLUCION: SOLUCION:
Y
Recordando la definición de centro de masas de una
Y
Recordando laRecordando
definiciónladedefinición
centro de
masas
de
una
superficie
de centro de ∫masas
x dSde una superficie Ymax Y
max
x
=
superficie
homogénea
y teniendo en
CM
x
ds
x
ds
"
"
dS
∫
homogénea xhomogénea
cuentaen
que
ds =
dx ds
dy,= dx dy,
=
teniendo
cuenta
que
x y=teniendo yen
CM
ds
ds
"
"
Y =2 KX2
Y = KX
cuenta que dS = dx dy , donde este diferencial de
donde estede
diferencial
de área en
se integra
en la superficie
delimitada
donde este diferencial
se integra
la superficie
delimitada
dy dy
área se área
integra
2en la superficie delimitada por la
2
pory la
= kx
y el eje x, allegamos
a la ecuación
de partida:
por la parábola
= parábola
kx y elyyeje
x,2 llegamos
ecuación
parábola
y el eje x ,lallegamos
adelapartida:
ecuación
= kx
! de partida,
dx X X X
!
dx Xmaxmax
CM
kx 2
X max
x CM =
""
""
X max
kx 2
X max
X max
dy
xmax
X max
kx 2
X max
xdx "
xdx x[max
xdx
kx 2
kx " kx
y]0
"
"
2
2 xmax
xdxdy
kx
"" xdx= dy0
xdx
0
x dx
x 2dxxdx
x dx=kx 2 ......
x CM =
= yX0dy
[=y]0X0kx
0
xdxdy
X maxdy kx 2
max
max
0dxdy
0x dx
0
0
kx
= ""
= = Xdy
=0 X max
= 2 ...... ,
X max=
xCM
kx 2
2 = [y]
" =dx x0kx
" dx
" x0max kx20 "kx dx
xmax0
dxdy
max
"
"
∫∫
dx dy
" dx∫∫" dy
0
0
0
"∫
0
2
2
[∫ ]
∫ "
"∫ dx
]
dx [∫ydy
max
0
0
∫
kx 2 0 2
y ] kx
∫ dx"[ dx
0
0
0
0
0
0
∫
dx kx 2
0
2
donde primero hemos integrado dy entre el eje x y la parábola (kx ) y posteriormente integraremos la
2
variable
x entre
0 y Xhemos
donde primero
hemos
integrado
dy. entre
el eje xdyy entre
la parábola
y posteriormente
la
!
max
donde
primero
integrado
el eje x (kx
y la) parábola
posteriormente
y = kx 2 yintegraremos
X
# x 4& max
variable x entre 0integraremos
y Xmax. X max
!
la variable x entre
0 y xmax . X 4
" kx3 dx X max%% k 4 ((
k max
# x 4&
$
'0
3
X max
0
4
........... 3= X
=
=4
=x =
X max
%
(
X
k
X
3
" kx dx max %2 4x(max # x 3& kmax
xmaxmax
4 % max
4
X
"
4
max
x 3
" kx$ dx '0 %k 2(
k
xmax
4 3 dx
k
x
dx
kx
kx
$
'
∫
∫
........... = X 0
=
=
=
=
X
3
k
0
% 3(
3
3
# 4 &0 4 max 4
max
0
# =x 3&0X max$ '0= X
xCM
=
= 3 = xmax.
max
" kx 2 dx
xmax
kxmax
%k (xmax
3
x
4
3 2 dx " x %
0
%$ 3 ('∫ dx kx 2
k max
kx
k
∫
$
'
0
3
0
# 3 &0
Procediendo de forma análoga 0para la coordenada
y:
2
X
X
X
kx
Procediendo
forma
análoga para
y , y 2 kx
k 2x4
Procediendo de forma
análogade
para
la coordenada
y: ladxcoordenada
dx kx 2
y dy
dx
"
"
"
"
xmax
xmax
" y ds = "" ydxdy = xmax0 kx02
2 2
2 4 2
y
=
= X0 "kxy2 % 0 = 0Xk x
=
X dx kxy X
2
dx
dy
dx
X
X
max
" ds ∫∫""y dxdy
k"22dx
x 4 kx 2
dx
dy kx ∫0 " dx∫0 " dymax ∫0 y 2" $#dx2['&y0]kx max∫0
0 = " dx
" dx =" yxmaxdy0 kx02 " =dxxmax20
yCM =
=
xmax
02
y ds
ydxdy
"
""
dx
0
kx 2
0 dy 0
0
0
2
∫∫
y CM =
=
= X max kx 2 dx= dyX max ∫ dx [2y ] = X max∫ dx kx =
∫ ∫
0
kx
dxdy
X
" ds
""
2
5
50
k x
y
"0 dx kx2
[
]
"kxmax2dxX"maxdy50 0 2"Xdx
0
max
k0
0
0
2 5 0 " k 2 x 5 %0 2
!
3
3
2
5k 2 x 5 =
10
=
=
=
kX max =
Ymax
max
X $
3
3
'
3
10
10
X max
X max2
2
5
x
X max
3
3
#
&
5 =5 k kx = y
0k
5
=2
=3 2 3X
k
k 2 x5
max
max.
3 %xmax
3 k0 "X max
2
xmaxmax 10 3
10
x
k
k
2 5 0
!
3
3
k
2
3 10 3
=
= 2 $# 533'&0 =
=
kX max =
Ymax
X max
10
10
X max
X max
x3
k
k
k
3
3
3
!
max
CM
max
[ ]
] [ ]
2
max
2
max
[]
max
max
[
[ ]
0
4
!
[]
max
2
max
Cuestión 4 (Segundo parcial): Calcular el trabajo realizado sobre un gas ideal en una
expansión isotérmica cuasi-estática desde un volumen Vi hasta un volumen V f .
El trabajo realizado sobre un gas viene determinado por la expresión
Vf
W = − ∫ P dV .
Vi
Como el gas es ideal y el proceso es cuasiestático, podemos utilizar la expresión
PV = nRT para cada estado intermedio en el proceso. De esta manera tenemos que
Vf
Vf
W = − ∫ P dV = − ∫
Vi
Vi
nRT
dV .
V
Como T es constante en este proceso, puede salir fuera de la integral, al igual que n y R,
Vf
W = −nRT ∫
Vi
#V
dV
V
= −nRT lnV V f = −nRT ( lnV f − lnVi ) = nRT ( lnVi − lnV f ) = nRT ln %% i
i
V
$ Vf
&
((.
'
Si el gas se expande, V f > Vi y el valor del trabajo realizado sobre el gas es negativo. Por
el contrario, si el gas se comprime, V f < Vi y el trabajo realizado sobre el gas es positivo.