practica 4 - Unican.es

PRÁCTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
CURSO 2014-2015
CÁLCULO II
Prácticas Matlab
Práctica 10 (5/05/2015)
Objetivos
o
Representar las isoclinas de una edo de primer orden como apoyo para trazar un campo de direcciones. o
Representar el campo de direcciones de una edo de primer orden y entender su significado. o
Representar las soluciones de una edo de primer orden. o
Utilizar representaciones gráficas para profundizar en el estudio de las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. Comandos de Matlab
1.‐ Para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de forma simbólica dsolve('eq', 'cond', 'var') Ejemplos: >>
>>
dsolve('Dx = -a*x')
dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b')
Ejercicios
Representación de isoclinas y campos de direcciones 1
a) Busca todas las funciones y = y ( x ) que cumplen que y  = 2 x . Debes obtener una familia uniparamétrica de curvas (esto es lo que se llama solución general de la ecuación). b) Si no fuera tan sencillo encontrar la familia de soluciones, una herramienta que facilita el estudio de su comportamiento es el método de las isoclinas y el dibujo del campo de direcciones. 
Representa las isoclinas de pendientes 1,  0.5, 0, 0.5, 1 y sobre ellas el campo de direcciones. PÁGINA 2
MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
Representa las soluciones que pasan por los puntos  0, 0.5  ,  0, 0  y  0, 0.5 .

Indicaciones Este es el ejercicio propuesto nº 6 del tema 5. Definición de isoclina.-
Dada una e.d.o. y   f ( x, y ) , se llama
isoclina al lugar
geométrico de los puntos del plano donde la pendiente de las curvas solución es
constante, siendo su ecuación f ( x, y ) = C .
Campo de direcciones.-
Dada una e.d.o.
y   f ( x, y ) , se llama
mapa de
direcciones a la representación gráfica de una muestra de pequeños segmentos de
rectas tangentes a las curvas solución, dibujados sobre los puntos de corte de éstas
con las isoclinas.
Apartado a) Resulta inmediato comprobar que la solución general de esta ecuación diferencial es: y  x2  C
Puedes encontrar esta solución, con el siguiente comando: dsolve('Dy=2*x','x')
En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de las isoclinas y las soluciones particulares pedidas. Pendiente Isoclina Punto Constante Solución particular 2
 y   y  2 x   x0 , y0  ( C  y0  x0 ) ( y  x 2  C ) C  0.5 y  x 2  0.5 C  0 y  x2 x0  0, 0.5  0, 0   0, 0.5 C  0.5 y  x 2  0.5 0.5 x 1/ 4 1 x 1/ 2 1 x  1 / 2 0.5 x  1 / 4 0 Apartado b) MATLAB: PRÁCTICA 10
PÁGINA 3
Representa con Matlab las isoclinas y una muestra del campo de direcciones en el cuadrado  1,1   1,1 . Representa también las soluciones particulares indicadas, destacando sobre ellas los puntos del enunciado.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Función para representar el campo de direcciones de este ejercicio . function isocampodir0(d)
% isocampodir0(d)
% dibuja primero unas isoclinas de la ecuación
% y'=2x , sobre las que dibuja una muestra del
% campo de direcciones
% finalmente traza unas curvas solución (y=x^2+k)
% d es el paso entre isoclinas, se aconseja d=.4, d=.2 o similar
plot([-1 1],[0 0],'k',[0 0],[-1 1],'k') % ejes coordenados
hold on
axis([-1 1 -1 1])
y=-1:0.01:1;
c=-2:d:2; % pendientes de las isoclinas
lon=.08; % longitud en horizontal para el campo de direcciones
% Dibujo de las isoclinas una a una y las direcciones sobre ella
for i=1:length(c)
plot([c(i)/2 c(i)/2],[-1 1]) % dibujo de la isoclina para c=c(i)
%text(c(i),-1.2,['c=',num2str(c(i))])
title(['Ecuación y´=2x: isoclina 2x=',num2str(c(i))])
aux=lon/(2*sqrt(1+c(i)^2));
for k=10:8:length(y) % se abre un ciclo para dibujar las pendientes
plot([c(i)/2-aux c(i)/2+aux],[y(k)-c(i)*aux y(k)+c(i)*aux])
end
disp('pulsa una tecla para pintar siguiente isoclina')
pause
end
% Dibujo de las soluciones particulares por puntos (0,y) dados
for k=10:8:length(y)
x=-1:.01:1;
plot(x,x.^2+y(k),'r')
title(['Ecuación y´=2x: solución por punto(0,',num2str(y(k)),')'])
disp('pulsa una tecla para pintar siguiente solución')
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MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
pause
end
hold off
Para cada una de las siguientes ecuaciones,
1) y '  xy
2
2) y '  x  y
3)
y '  x2  y
contesta a estas preguntas:
a)
Traza una muestra de las isoclinas correspondientes a cada
ecuación. Sobre cada isoclina traza los segmentos que
indican la pendiente de esa isoclina.
b) Estudia la monotonía y la concavidad de las curvas solución y
comprueba que concuerda con el campo de direcciones
representado en el apartado anterior.
Este es el ejercicio propuesto nº 8 del tema 5. Resumen de comandos
Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I. 
Para resolver ecuaciones diferenciales: dsolve