ONDAS ESFÉRICAS

ONDAS ESFÉRICAS
Soluciones de la ecuación de onda
Ecuación de onda en coordenadas esféricas
∇ 2Ω + k 2Ω = 0
1 ∂  2 ∂Ω 
1
∂ 
∂Ω 
1 ∂ 2Ω
r
sin
θ
+
+
+ k 2Ω = 0

 2

 2
2
2
r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂φ
Separación de variables
Ω = R ( ρ ) H (θ ) Φ (φ )
sin 2 θ d  2 dR  sin θ d 
dH  1 d 2Φ
r
+
sin
θ
+ k 2 r 2 sin 2 θ = 0



+
2
R dr  dr  H dθ 
dθ  Φ d φ
Soluciones modales para el problema escalar
La ecuación se puede separar en dos ecuaciones diferenciales, la
primera con una variable y la segunda con las dos restantes.
1 d 2Φ
= −m2
2
Φ dφ
1 d  2 dR 
1
d 
dH 
m2
r
+
sin
θ
−
+ k 2r2 = 0




2
R dr  dr  H sin θ dθ 
dθ  sin θ
La segunda ecuación se separa a su vez en otras dos, para ello se
utiliza como constante de separación –n(n+1)
1
d 
dH 
m2
sin
−
= − n ( n + 1)
θ


H sin θ dθ 
dθ  sin 2 θ
1 d  2 dR  2 2
r
 + k r = n ( n + 1)
R dr  dr 
Las tres ecuaciones resultantes son
d  2 dR 
2 2
r
 + ( k r − n ( n + 1) ) R = 0
dr  dr 
1
d 
dH 
m2
θ
sin
−
= − n ( n + 1)


H sin θ dθ 
dθ  sin 2 θ
d 2Φ
+ m2Φ = 0
2
dφ
Las primera ecuación es una función relacionada con la ecuación de
Bessel, las soluciones son las funciones esféricas de Bessel.
bn ( kr ) =
π
B 1 ( kr )
2kr n + 2
La segunda ecuación diferencial está relacionada con la ecuación de
Legendre, las soluciones son las funciones asociadas de Legendre
Lmn ( cos θ ) : Pnm ( cos θ ) , Qnm ( cosθ )
Pnm ( cosθ ) son las funciones asociadas de Legendre de primera
especie y Qnm ( cosθ ) son las funciones asociadas de Legendre de
segunda especie.
Las soluciones de la tercera ecuación diferencial son las funciones
armónicas.
sin mφ , cos mφ , e jmφ , e − jmφ
Las soluciones elementales para los modos esféricos son
Ω m ,n = bn ( kr ) Lmn ( cosθ ) h ( mφ )
La solución completa para la solución de la ecuación de onda en un
sistema de coordenadas esféricas es la suma de todas las
soluciones individuales.
Ω = ∑∑ cm ,n Ω m ,n
m
n
Las soluciones de la forma Lmn ( cos θ ) : Pnm ( cos θ ) , Qnm ( cosθ ) tienen
singularidades en el eje z, salvo para Pnm ( cosθ ) con n entero.
Las soluciones para las funciones esféricas de Bessel tienen un
comportamiento similar a las cilíndricas. El modo 0 tiene la forma
conocida.
ho(
2)
( kr ) = −
ho( ) ( kr ) =
1
e− jkr
kr
e jkr
kr
sin ( kr )
kr
cos ( kr )
y0 ( kr ) = −
kr
j0 ( kr ) =
Soluciones vectoriales de la ecuación de onda
Las soluciones de la ecuación de onda se pueden obtener utilizando
el mismo procedimiento que en coordenadas cartesianas y
cilíndricas.
Para ello se definen unas funciones potenciales, que tienen
componente z, y se derivan unos modos TM respecto a z
Á = Ω E z = Ω E ( cos θ r − sin θ è )
También es necesario definir unos modos TE respecto a z.
F = Ω H z = Ω H ( cos θ r − sin θ
)
Una solución más simple es definir unos modos TM y TE respecto a
r.
Para ello se definen unas funciones potenciales
Á = Ar r
F = Fr r
Los potenciales así definidos no cumplen la ecuación de onda
∇ 2 Ar + k 2 Ar ≠ 0
Para obtener la ecuación diferencial que liga los potenciales se
puede partir de la ecuación de onda vectorial
∇2A + k 2A = 0
 ∂ 2 A 2 ∂Ar 2
1 ∂ 2 Ar cot θ ∂Ar
1
∂ 2 Ar 
∇ 2 A = rˆ  2r +
− 2 Ar + 2
+
+

r ∂r r
r ∂θ 2
r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 
 ∂r
 2 ∂Ar 
 2 ∂A 
+θˆ  2 r  + φˆ  2

 r ∂θ 
 r sin θ ∂φ 
La ecuación para la componente r es
1 ∂ 2 Ar cot θ ∂Ar
1
∂ 2 Ar 2 ∂Ar 2
∂ 2 Ar
+
−
A
+
+
+
+ k 2 Ar = 0
r
2
2
2
2
2
2
2
2
∂r
r ∂r r
r ∂θ
r ∂θ r sin θ ∂φ
Teniendo en cuenta la expresión
∇ 2ψ =
1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ
r
+
sin
θ
+




r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
∂θ  r 2 sin 2 θ ∂φ 2
Se puede llegar a demostrar que
(∇
2
+ k2 )
Ar
=0
r
De la misma forma, para los potenciales magnéticos
(∇
2
+ k2 )
Fr
=0
r
Las expresiones generales de los campos en función de los
potenciales son
1
1
Á∇ ( ∇ ⋅ ) +F ∇ ×
jωµε
ε
1
1
HÁ= ∇ ×
F − jω +
F ∇ (∇ ⋅ )
jωµε
µ
EÁ= − jω
+
En coordenadas esféricas, si sólo se tiene componente r las
ecuaciones quedan como
1 ∂ 2
1
∂A  2 A ∂A
r Ar ) = 2  2rAr + r 2 r  = r + r
(
2
r ∂r
r 
∂r 
r
∂r
∂
1 ∂
1
∂
∇ (∇ ⋅ A ) = r (∇ ⋅ A ) +
è ( ∇ ⋅ ) +A
ö( ∇ ⋅
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∇⋅A =
)
A
Las expresiones finales, que se obtienen en coordenadas esféricas
son
1  ∂2
2
Er =
 2 + k  Ar
jωε  ∂r

Eθ =
−1 ∂Fr
1 ∂ 2 Ar
+
r sin θ ∂φ jωε r ∂r ∂θ
Eφ =
1 ∂Fr
1
∂ 2 Ar
+
r ∂θ jωε r sinθ ∂r ∂φ
1  ∂2
2
Hr =
 2 + k  Fr
jωµ  ∂r

Hθ =
−1 ∂Ar
1 ∂ 2 Fr
+
r sin θ ∂φ jωµ r ∂r ∂θ
Hφ =
1 ∂Ar
1
∂ 2 Fr
+
r ∂θ jωµ r sin θ ∂r ∂φ
MODOS ESFÉRICOS
Las soluciones elementales de las ondas esféricas son
Ω m ,n = bn ( kr ) Lmn ( cosθ ) h ( mφ )
En la siguiente tabla se comparan algunos de los modos
fundamentales
m=1
m=2
m=3
n=1
n=2
n=3
n=4
La representación gráfica de las funciones asociadas de Legendre
es la siguiente
Representación gráfica de L1n ( cosθ )
1
2
3
4
5
6