Método Abreviado. El poder de la reducción al absurdo… En el

Método Abreviado.
El poder de la reducción al absurdo…
En el tema anterior hemos comprobado cómo funciona el método de las
tablas de verdad para descubrir si una formula es tautológica o no. A continuación
aprenderemos un método abreviado, llamado reducción al absurdo para conseguir
el mismo objetivo. El método de reducción al absurdo es un método general de
razonamiento que consiste en suponer lo contrario de lo que se busca demostrar,
de forma que esto queda demostrado si a partir de dicha suposición se llega a una
contradicción, a un resultado imposible.
Dada la importancia de las Tautologías, por cuanto constituyen leyes
lógicas, frecuentemente cuando nos enfrentamos ante una fórmula nuestro interés
está centrado en saber si la tal fórmula es o no Tautología. Si lo es, estamos ante
una ley lógica; si no lo es, poco nos importa ya si es Contradicción o Empírica.
Para saberlo, contamos con el método de las Tablas de Verdad. Pero,
frecuentemente, sucede que este método, aunque seguro, resulta largo y tedioso:
piense, sin más, el lector en que tuviese que trabajar en la Tabla de Verdad de una
fórmula con cinco variables, lo que le daría una Tabla de ¡¡32!! líneas. Por eso, el
que se haya buscado un Método Abreviado, que nos permita, si no saber toda la
Tabla de Verdad, sí, al menos, saber si la fórmula es o no Tautología. Que no es
poco.
Se le ha llamado también Método de Reducción al Absurdo, por el parecido
con el Método de este nombre, que sirve para llegar a conclusiones lógicas. Pero
no siendo exactamente el mismo, y para evitar confusiones, preferimos llamarlo
Abreviado.
Método Abreviado
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En él, se aplican las mismas Reglas de Interpretación que acabamos de
estudiar y que hemos utilizado para las Tablas de Verdad. Únicamente que este
método es, en parte, inverso al de las Tablas, por cuanto en éstas partíamos de los
valores de cada variable para llegar a los de la fórmula total, y ahora partiremos de
los valores de la fórmula completa, hasta llegar a los de las variables.
Explicación:
Si una fórmula es Tautología, es porque en su Tabla de Verdad hay
solamente V (1). Bastaría que en dicha Tabla hubiese una sola F (0), para que la
fórmula no fuese Tautología.
De modo que nuestro Método Abreviado va a consistir precisamente en eso:
ver si es posible que haya una F (0) (al menos una) en la Tabla de Verdad de la
fórmula en cuestión. O, dicho de otro modo: ver qué pasaría si suponemos que en
la Tabla aparece una F (0):
Si suponiendo tal F (0) llegamos a un absurdo, querrá decir que no es
posible que dicha F (0) figure en la Tabla; y, por tanto, lo único que hay en ella
son V (1); y en conclusión la fórmula es Tautología;
Si suponiendo tal F (0) no llegamos a un absurdo, querrá decir que la
supuesta F (0) cabe perfectamente en la Tabla; y por tanto la fórmula no es
tautología.
Veamos en la práctica cómo funciona este método para averiguar si
estamos ante una tautología o no. Numeraremos los pasos para tu comodidad
Tomemos como ejemplo, el caso de la fórmula: p v ~p
Método Abreviado
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1.- Construiremos una tabla que nos ayude a llevar adelante todo el
proceso, con tantas celdillas como proposiciones y conectivas tenga la fórmula
objeto de análisis:
p
v
~p
2.- A continuación suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar,
esto es, suponemos que la conectiva principal (la disyunción, en este caso) es falsa
(0):
p
v
~p
0
1
3.- Para que la disyunción sea falsa, tenemos que suponer que los dos
términos que la componen sean falsos (0) simultáneamente (siguiendo la
definición de la disyunción que ya conocemos). Por lo tanto:
Método Abreviado
p
v
~p
0
0
0
2
1
3
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4.- Vemos en este caso que nos encontramos con una contradicción, pues,
según la definición de la negación, si la negación de un enunciado es falsa (0),
dicho enunciado ha de ser verdadero (1) (y viceversa).
¡Contradicción!
p
v
~p
0
0
0
2
1
3
Nos encontramos que p=F (0) y que p=V (1), y eso no puede suceder
simultáneamente, es contradictorio
¿Qué significa que nos encontremos con esta contradicción? Cuando al
suponer que un enunciado es falso y nos encontramos con una contradicción, lo
que sucede es que no hay ninguna posible interpretación del enunciado bajo
estudio [en nuestro caso p v ~p] que haga falso (0) a dicho enunciado. Y si no
hay ninguna posible interpretación que lo haga falso (0), entonces ha de ser una
tautología por fuerza (bajo cualquier posible interpretación el enunciado será
verdadero.
Método Abreviado
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