GUIA VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL UNITARIO

VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL UNITARIO .
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VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL UNITARIO.
DEFINICION: Si
es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el
vector tangente unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la
dirección de la derivada de
con respecto a t, es decir:
POR EJEMPLO. Sea
R(t) cuando t=2 es:
‖
‖
.
‖
j+(5t+1)k el vector tangente unitario de
‖
√
√
√
√
√
√
√
VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL UNITARIO .
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DEFINICION: Si
es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario, denotado por
, es el vector unitario en la dirección de la
derivada del vector
, es decir:
.
‖
‖
Si
es el vector posición de posición de una curva C en un punto P de C, entonces el
vector normal unitario, se puede expresar como:
‖
‖
POR EJEMPLO. Sea
cuando t=2 es:
‖
el vector normal unitario de R(t)
‖
√
√
√
√
√
DEFINICION: El vector unitario B
definido por el producto vectorial:
, perpendicular al plano
formado por T y N, se llama
binormal a la curva C. Este sistema
de coordenadas recibe el nombre de
triedro intrínseco en el punto. Como
a medida que varía s el sistema se
desplaza, se le conoce con la
denominación de triedro móvil.
√
√
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Sea
el vector de posición de un punto
P en una curva C, encuentre el vector Binormal cuando t= 1.
EJEMPLO .
Encontramos el vector tangente unitario.
‖
‖
√
√
‖
‖
√
√
Buscamos el vector normal unitario: N
√
√
√
√
√
√
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‖
‖
√
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√
√
√
√
√
Luego B, es:
|
√
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√
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√
|
|
|
√
√
DEFINICION: La longitud de la curva suave
vez conforme t crece de t= a hasta t=b, es:
∫ √(
)
, que es recorrida una sola
(
)
(
)
EJEMPLO: Encuentre la longitud de la curva, cuando se le da una vuelta a la hélice cuya función
vectorial es:
Cuando se le da una vuelta a la hélice, los valores de t varían desde t = 0 hasta t= 2. Luego:
∫ √(
)
(
)
(
)
dt
√
∫
∫
√
dt
∫
√
dt
∫
√
dt
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∫
√
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dt
√
√
√
ACTIVIDAD. TALLER PARA TERCERA NOTA
1. Para las funciones vectoriales dadas determine la derivada e integral indicada.
a)
;
b)
,
;
∫
;
;
;
;
(
)
; ∫
si se sabe
que
2. Para las siguientes funciones vectoriales de posición, determine: Vector Binormal.
a)
b)
; para t= 2
para t=1
3. Para las siguientes funciones vectoriales de posición, determine la longitud de la curva.
a)
si
b)
4) Determine la ecuación del plano Osculador de la curva definida por la
vectorial
en el punto
ecuación