La Función Cuadrática

CASIO ACADEMICO CHILE
La Función Cuadrática
Analizando el lanzamiento de proyectiles
Contexto
El simple lanzamiento de un papel a un basurero, la caída de una pelota cualquiera o el disparo
que realiza un cañón en un combate, son situaciones que describen un mismo fenómeno en
particular: El lanzamiento de proyectiles.
Cuando se realizan lanzamientos de algunos objetos, dado un cierto ángulo de inclinación y
potencia, éstos describen una trayectoria en forma de parábola, las cuales se representan
gráficamente mediante funciones cuadráticas de la forma ( ) =
+
+ en donde a, b y
c son números reales.
Cabe destacar que esta aplicación de las funciones cuadráticas tiene ciertas restricciones, dentro
de las cuáles se destacan:
 La parábola que describe el fenómeno suele ser cóncava hacia abajo, es decir, < 0.
 Dependiendo de elementos de la situación, se prioriza el trabajo entre los dos primeros
cuadrantes. Esto sucede generalmente cuando los contextos se refieren a lanzamientos
de objetos que caen sobre una superficie y no a través de ella.
Actividades de clase
El lanzamiento de un balón de basquetbol
Un famoso basquetbolista de nombre Jordan, realiza un lanzamiento del balón desde cierta
posición hacia la canasta del tablero como se muestra en la Figura 1. Si bien se muestra que el
jugador encesta, no hay un rival que haya intentado bloquear la trayectoria del tiro realizado.
Un matemático que observaba a Jordan fue capaz de modelar el tiro mediante la función
( )=− .
+ .
+ .
Figura 1
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El matemático modela la situación para analizar si un defensa de gran altura y con una capacidad
óptima de salto, puede bloquear el disparo del famoso jugador.
Antes de la aparición del defensa
1. Introduce la función cuadrática dada por el matemático a la calculadora en GRAPH para
verificar si la Figura 1 es coherente con su expresión algebraica.
Si no logras visualizar bien el gráfico, desplázate con las teclas de movimiento.
Nota: Según el modelo establecido por el matemático, el famoso jugador se sitúa intersectando al eje Y.
1.1 Sabiendo que la situación se modela estableciendo en el eje horizontal la distancia del
jugador a la base del tablero, y que el eje vertical representa la altura, realiza una
tabla de valores de la función dada. Para ello presiona la tecla MENU y luego la opción
TABLE y finalmente EXE.
1.2 Si se sabe que la altura del tablero establecida por la NBA es de 3,05 metros,
determina la distancia exacta a la que se encuentra Jordan de la canasta. Para esto,
modificala tabla utilizando la tecla SET y elige una escala adecuada (determinada por
Step)
1.3 El área semicircular de la cancha de basquetbol tiene un radio de 6,75 metros, que
comienza justo debajo del aro de la canasta, indica si un tiro anotado por algún
jugador es de 2 puntos si está dentro de esta, y de 3 si está fuera. ¿De cuántos puntos
fue el tiro anotado por el famoso jugador?
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1.4 Vuelve al gráfico de la función y usando F5 presiona la opción X-CALcon F2 y
determina cuál fue la distancia máxima que recorre el balón hasta que toca el piso.
1.5 Vuelve al MENU y desplázate en el gráfico de la función hasta ubicar el punto máximo
de la parábola. Utiliza las funciones de la tecla F5 para determinar las coordenadas de
la altura máxima que logra el balón lanzado.
Bloqueando el tiro de Jordan
2. Utiliza la función RUN-MAT para realizar operaciones básicas desde el MENU y determina
la altura máxima que logra el defensa si su altura es de 2,16 metros y su capacidad
máxima de salto es de 1,08 metros.
2.1Utiliza el mismo procedimiento de 1.4y determina si el defensa es capaz de bloquear
el tiro si se encuentra a 1,42 metros de distancia horizontal de Jordan (Usar para este
casoY-CAL)
2.2Explora usando herramientas anteriores y determina a cuántos metros se encuentra el
defensa de Jordan si se ubica justo debajo de la altura máxima de la trayectoria que
describe el lanzamiento del balón.
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2.3 ¿Logra el defensa rozar el balón si se sabe que éste tiene un radio de
12 cm y la trayectoria del modelo utiliza su centro de gravedad (ver
Figura 2)?
Figura 2
Determinando un rango
3.1Utilizando la información de 2.2, vuelve al gráficode la
función y utilizando “Trace” al pulsar F1, recorre la parábola y
determina al menos 4 coordenadas en las que el defensa no
logra tan siquiera rozar el balón.
3.2 Utiliza “Trace”nuevamente y determina un intervalo de todas las posibles distancias a
las que se debe encontrar el defensa del famoso jugador de modo que no pueda ni
siquiera rozar el balón lanzado. Ejemplo: (1.3 , 2.6).
Compara tus resultados con tus compañeros y tu profesor.
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Cierre
1. ¿Qué tipo de situaciones modela la función cuadrática ( ) =
+
+ ?
2. Durante la actividad, determinaste ciertos puntos importantes de toda función
cuadrática. Indica en qué parte de la actividad encontraste
o Intersección con el eje Y
___________________
o Vértice (máximo o mínimo)
___________________
o Intersección con el eje X
___________________
3. ¿Existe alguna relación entre la intersección al eje Y de la parábola con su expresión
algebraica? ¿Cuál? Compara con tus compañeros y tu profesor
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