Dinamica Curso de Verano 2005 Cinematica de Cuerpos Rigidos
Anuncio
Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Dinamica Curso de Verano 2005 Cinematica de Cuerpos Rigidos Cinetica 2 Ley de Newton ITESM Campus Monterrey Departamento de Ingenieria Mecanica Documento preparado por: Ing. Jovanny Pacheco B [email protected] Este documento es propiedad intelectual y exclusiva del autor, cualquier alusión a entidades publicas o privadas se hace como referencia de lugar. Y no compromete por ende a las mismas Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Objetivos del Tema • Conocer y aplicar la 2 Ley de Newton al movimiento del centro de masa de un cuerpo rígido • Comprender el concepto de cantidad de movimiento angular y su forma particular para un cuerpo rigido. • Entender la relación entre los momentos externos que actúan en un cuerpo rígido y la cantidad de movimiento angular de este. Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuaciones de movimiento • Relacionan los agentes que propician el movimiento (Fuerzas) con las variables cinemáticas ∑ F = ma dH ∑ M = dt G G Ejemplo de ecuaciones de movimiento de la mecánica Newtoniana Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Conceptos: Centro de Masa • Para un sistema Continuo rdm ∫ r= ∫ dm dm ri r ∫ dm = ∫ rdm z • Si el SC está en el origen ∫ rdm = 0 r y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Movimiento del Centro de Masa • Segunda Ley de Newton: • Establece que el resultado de aplicar un sistema de fuerzas no balanceadas sobre un cuerpo es un cambio en la cantidad de movimiento lineal de éste. Esto puede expresarse de manera muy simple como: dG ∑ F = dt Esta es ecuación es el pilar de la Mecánica Newtoniana Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Conceptos: Cantidad de Movimiento lineal G = mv v G = mv También es conocida como: Momento lineal* Momentum lineal O Impetu Representa la tendencia de un cuerpo a no dejarse afectar por otros Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Sistemas de unidades: m = 1 kg m = 1 lbm m = 1 slug W = 9.8 N W = 1 lbf W = 32.2 lbf a = 1 m/s2 F=1N m = 1 kg SI a = 1 ft/s2 a = 32.2 ft/s2 F=1lbf m = 1 lbm F=1lbf Sistema Inglés m = 1 slug Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación de momentos dH O ∑ M O = dt Lo cual establece que el momento resultante de las fuerzas externas actuantes sobre un cuerpo respecto a un punto fijo O, produce un cambio en la cantidad de movimiento angular respecto a dicho punto. Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación para el movimiento angular • Ecuaciones generales de movimiento angular dH O Momentos respecto a un punto ∑ M O = dt inercial O. Momentos respecto al centro de masa Momentos respecto a un punto no-inercial P. dH G ∑ M G = dt r dH G ∑ M P = ρ × ma + dt Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Concepto: Cantidad de Movimiento Angular • Para un cuerpo rígido HG = ∑ ( r r ρi × mi ρ& i ) Es la sumatoria de la cant de movimiento angular de cada elemendo de masa del cuerpo rigido r r H G = ∫ ρ × ( ρ& dm) vdm msist v z ρi y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Concepto: Cantidad de Movimiento Angular • Para un cuerpo rígido (2) I xx − I xy − I xz Hx H y = − I xy I yy − I yz − I xz − I yz H z I zz { 14442444 3 Cantidad de movimiento Angular Tensor de Inercia r HG = [ I ] ω ωx ω y ω z { Ω z HG Velocidad Angular msist v y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación de Momentos en Cuerpos Rigidos Como la cantidad de movimiento angular es una función vectorial, que puede expresarse en términos de la velocidad angular del cuerpo rígido y el Tensor de Inercia. Se escoge un sistema de coordenadas en movimiento con el objeto para que éste último no varíe dH FG Ω HG dH G F ∑ M G = dt = dt + Ω × H G z y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación de Momentos en Cuerpos Rigidos Hx Donde: H F = H G y H z Tiene componenetes en el SCR solidario al cuerpo rigido. Ω HG z y Expandiendo el producto cruz: ∑M ∑M ∑M x y z = H& x − H yω z + Hz ω y = H& y − Hz ω x + H xω z = H& − H ω + H ω z x y y x x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación de Momentos en Cuerpos Rigidos Si se alinean los ejes de tal forma que coincidan con los ejes principales H x H = y H z I xx 0 0 0 I yy 0 0 ω x 0 ω y I zz ω z H x = I xxω x H y = I yyω y H z = I zzω z HG Ω z y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuación de Momentos en Cuerpos Rigidos ωz Reemplazando estos resultados se obienen las ecuaciones de Euler. La ecuacion utilizada en el movimiento tridimensional ωy z ∑ M x = I xxω& x − ( I yy − I zz ) ω yω z ∑M ∑M y z y = I yy ω& y − ( I zz − I xx ) ω xω z = I zzω& z − ( I xx − I yy ) ωx ωy x ωx Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuacion de Momentos para el plano • Ecuación de momentos para un cuerpo en movimiento plano con simetría respecto a dicho plano ∑M x z = I zzω& z = I zzα = I α Esta sumatoria de momentos se aplica en el centro de masa ωz y z Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuacion de Momentos para el plano (2) • Ecuación de momentos en un cuerpo rígido para puntos diferentes a CM – Respecto un punto fijo cualquiera r dH G ∑ M P = ρ × ma + dt ∑M ∑M O = ρ × ma + I α O = mad + I α Iα ma ρ d y x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Ecuaciones de movimiento • En conjunto la ecuación de fuerzas y de momentos permiten definir completamente el movimiento de una particula, sistema de partículas o cuerpo rígido en 3D dG ∑ F = dt dH G ∑ M G = dt Estas dos ecuaciones conforman la base de la mecánica Newtoniana Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler El problema de la Cinética • Problema Inverso: Dada una variable cinemática (r,v o a) determinar una o más fuerzas que produzcan esa condición. • Problema Directo: Dada una resultante de fuerzas (que puede ser función de una o más variables cinemáticas). Encontrar las funciones r,v o a. El resultado de éste último es genralmente una ecuación diferencial que puede no tener solución analítica Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Pasos para la solución • Establecer cual es el objeto u objetos de estudio. Esto permite definir que tipo de sistema utilizar • Establecer el tipo de movimiento (Traslacion, rotacion, movimiento general) y si existen restricciones cinemáticas. A partir de éstas deben generarse ecuaciones adicionales. • Dibujar los diagramas de cuerpo libre y diagramas cinéticos del sistema en estudio Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler F1 Pasos para la solución F3 & H G & = ma G ≡ F2 DCL DC • Obtener a patir de estos diagramas y con la 2a Ley de Newton las ecuaciones que rigen el movimiento del cuerpo. • Según se un problema inverso o directo, hallar las fuerzas incógnitas o resolver la ecuación diferencial para obtener el movimiento del cuerpo Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Casos Particulares: Traslacion • Ecuación para el movimiento del centro de masa siguiendo una trayectoria rectilinea ∑F ∑F x = ma x y =0 ∑M ∑M G O =0 = max d max y x d .O Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Casos Particulares: Traslacion • Ecuación para el movimiento del centro de masa siguiendo una trayectoria curvilinea vG ) ( =m ∑F = man ∑F = mat = m( v&G ) n y ∑M G ρ =0 2 n t Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Casos Particulares: Rotacion Pura • Normalmente se aplica solo la ec. De momentos r dH G ∑ M P = ρ × ma + dt ∑M ∑M ∑M O = ρ ma + I α O = ρ m ( ρα ) + I α O = mρ α + I α ma y 2 ∑M O = I Oα ω Iα ρ x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Casos Particulares: Rotacion Pura • Centro de Percusion: Es el punto donde hay que aplicar las fuerzas externas tal que se minimizan la reacciones en O ma (q − ρ ) = I α pero a = αρ ma mαρ q − mαρ 2 = I α mαρ q = ( I + mρ 2 ) α E555555 F IO pero I O = mk , donde k es el radio de giro 2 q=k 2 ρ y ω ρ Iα q x Dinámica: Cinetica Ecuaciones de Newton-Euler Casos Particulares: Movimiento General • Movimiento No restringido: – 3 Ecuaciones Independientes • Movimiento Restringido: – 3 Ecuaciones de Movimiento No-independientes. – Completar con ecuaciones cinematicas provenientes de un análisis de aceleración
